第13讲.三角恒等变换

变题级三函8级三恒变三问

三角函数解三角形三角函数级和差角公式和二倍角公式13.1角运知识点睛．两角和与差的余弦公式C．两角和与差的正弦公式

sin

C

cos

．两角和与差的正切公式

cos

sin

Ttan

tan1tan

T

tantan1tan

．．二倍角公式:2．C:cos2T:．tan

2sin

．<>⑴角变第13讲·目标班·教师版

302

π6⑵函数名称的变换：⑶常数代换：

1sin

ππππ2sinsin24⑷幂的变换：cos2

2

1sin2幂处理

2sin

12(sin

⑸公式变形

tan(

)tan

)经典精讲考点：给值求角问题【铺垫】⑴知是三角形的内，且sin

2，则等（）2π3πππA．或D．446⑵已

，为角，且

13,5

，则

．⑶已为角，且tan

43

，

．⑴C

第13讲·目标班·教师版

ππππ35ππππ35⑵

π4

25

110

cos

22

sin

2sin∴

0

π4cos

πcos2

∴

π∴

ππ∴2

212coscos(cossin,5102⑶

3πtan

ππ3π02

【例1】⑴

已知2x

πππ，x，，求角x.3⑵

1已知锐角，且tantan，2

．⑶

（目标班专用）已知tan

11，tan，27

值．⑴

π6

；∵x≤cos

π

πππ∴2∴336⑵

π4

∵tan

1∴2

tan

15∴

tan

1818

第13讲·目标班·教师版

3

∵0

1tan58∴0

ππππ0∴444

π∴3π⑶；4∵

tan1tan

13

ππ0①3

tan

155∴②766π①②2∵tanπ∴2

tan1tan

<⑴⑵

2(

)

(

)

考点：角的代换.【例2】⑴

求

sin9

值⑵

求

2cos10cos20

的值；⑶

（目标班专用）求

70cos70

的值．⑴2；

sincos15sin156cos15cos15cos60⑵；

45cos6045

3

2cos

22020

第13讲·目标班·教师版

tan(1tan(1⑶；

3202020

3．

2cos(15070cos70cos70=

370cos70

3

【备选已知

tan(

sin2

0

，求证：

21.212

222

.2

tan(tan(tan(tan(ktan(

111

tan(tan(

tan(tan(tan(

①

tan(tan(tan(tan(tan(tan(2cos(sin(2cos(2sin②

tantan

ABABA)cosAcosBAB

【例3】⑴

∴

1sin.1π5已知为锐角，且cos，则cos

的为．⑵

已知、均钝角，且cos

1，cos2，sin_____．4⑶

已知tan

1，，25

．⑷

(目标班专用2012江11是角

ππ2=.12⑴C

πππcoscos6第13讲·目标班·教师版

52π452π4∵sin

π

ππ6

C

∵0

πππ2π∴63∴sin

π1113

∴cos

cos6

ππ66

51132⑵∵π15∴sin1cos4∵

π2

π2∴sin2

1cos

12213∴sin

121⑶

tan1112

．17⑷；50ππ7cos22cos3

ππ4π33

πππππ24cos2.325ππππππ172cossin1234345023π【备选已知cosx，x，．44⑴求sinx值；⑵求sinx的．⑴

πππ，2

2

ππ72sinxsinsinxcosxsin4441025

221cosxsinxsin21056

第13讲·目标班·教师版

25sin

x

43sinx55

πx，x4π⑵4

11

24sincoscos22cosx25

π243sinxsin2xsin50

辅应考点：辅助角公式知识点睛<>x辅助角公式：

sin

cos

a

所的象限由的号确定．<

22sin22

π

sin

y

sincos,a

b

Pa,b)P

Oax

第13讲·目标班·教师版

ππππππa,b⑴

π3

⑵y

ππsincos

y3sin

4sin

4sin3经典精讲【铺垫】（西城一模理2）函数cosxcosx的最小值和最小正周期分别)．A

BπA3ππxsin3．2

．3

D．【例4】⑴

函数f(x)sin

x3sin在区间，上的最大值()2AB．

132

C．D．1⑵

函数f2cosxcosx4BπAπ

π

D．2的小值和最小正周期分别()．．π⑶

（目标班专用）已知cos

sin6

，sin的为．6⑴Cf()

1cos2sin22

1π22sin22

ππππx，∴，∴sin1266∴f)⑵D

8

ππfx2cossin3sin244ππsin2x2cos2xx22第13讲·目标班·教师版

ππππ⑶

45

π1sin

3cossin

3

π7πππsinsin566

【例5】⑴已函数f(x2x2x的象关于x

π

对称，则a_____⑵（新标全国当数f()2cosx得最大值

．⑶（标班专用已函数（，b为数，0，在得最小值，则数f．⑴；

πf

1sin

π

ππtan2

tana3

2⑵；5f

x

5sin

x

，sin

25

，x

π

kk

cos

2

5⑶fx)sinxxa

xf(x)

a

，

sincos33

．∴(x)3xx6∴x．【例6】

（2010天理）已知函数f

x⑴求数f()最小正周期及在区间0上最大值和最小值；第13讲·目标班·教师版

ππ，，πππ，，πxRxπZ.ππππ⑵若f

，x，，求x0

的值．⑴

f(x)cosx2xf)

xcosx

sinxf()π

πππf(x)2sinx6f

f

f

f()

，⑵⑴f

π

f

π3205

ππ7π，，26

π

πx

ππππ2xcos2xcosxsin666

【例7】

（2012北理）已知函数f

cosxx

．⑴求f小正周期；⑵求f间．⑴sinπf

fx

cos2x

x

πxcos2x2x42f2

πkZ

⑵

x2kπ2π

πππ2k≤2x≤k242

k

≤x≤k88

第13讲·目标班·教师版

f

πkππkZ8<>积和公的入sin

sin

1cos2

12

679从函查0.92432418sin0.157296320.92432418

2

2

,积化和差与和差化积（选讲）第13讲·目标班·教师版

积和差公式：cos

sin

<>和化积公式：sinsin2sin

2sin2cosxcos2cos

yxysin2y2xcosy

yysin2<>xx

yxyyxy22【铺垫计算：①cos10575①

61；②．2【例题⑴计算：cos

50sin80⑵已知

求

cos

值⑶设又M是sin最大值，是sin最大值，求

m

．⑷已知⑴;

，求3

2

值12

第13讲·目标班·教师版

21[1cos100cos40233(2cos60．41⑵;2

cos21cos22cos(2

222

3πcos(cos4∵cos2

cos2

∴cos(

⑶∵

3πcos(．422∴

sin(1

111≤2sin222sin

1cos1]≤2

Mm

4sin

4(1cos1)

⑷

∵

19sin3

∵2sin2

cos2

cos

19cos225<>1【拓展求tan10．cos50第13讲·目标班·教师版

13

(cos60p4q22(cos60p4q223;

1sin10cos10cos10

1cos10(sin40sin32cos50cos1011cos(4040cos301

3cos40221cos402

cos802cos40cos402cos60sin40sin80sin80sin80

203sin80

3

考点：形如

三次sinsinx（cosxcos）型的函数知识点睛主要研究两类与二次函数相关的函数形式，第一类如下：⑴形如ysinpx（ypcosx）型的函数；<

psin

4pyxpxsinx2

p①≤≤p≤22sinxsinx24p②psinpsinx③

p2

sinpsinp

第13讲·目标班·教师版

ππππyy-1

O

-1

O

-1O

-x甲

乙

丙经典精讲【铺垫】⑴y

的小值为_________⑵cossin的小值_________．⑴

9ycoscos

cosx

y⑵

5xx4

sin

y【例8】⑴

函数ycos2的最大值是．⑵

函数y

的值域_____________．⑶

若关于x方程cosxsin在0，内有实数解，则的取值范围是．⑷

(目标班专用)若函数

x

在sin取得最大值在sina时得最小值，则实数a的取值范围_．⑴

yx

33xx8

x

y1⑵(1)sin2

34

sin

13x24

xy1⑶(；tsin∵,

∴ta

xsinsin

xsint4

t(0．∴

t

f(t)

∵tf(1]f()a(1)

第13讲·目标班·教师版

3⑷3sinxa1

t)

≤sinx

≤

sin≤0a备选已函数

f()⑴若f()在间上的最大值为，a．1⑵若f()在间上的最小值为，则a的值范围．

f(

xx

2(xtxt

f(x)π⑴2

πx0f()2f(x)

0

πa22⑵，π；3

2121xπf(xxπf(x34342，πcosx1f(≥321fx)242aπa，考点：形如yxcos的函数知识点睛⑵形ypxcos．<cos．ypsinxp

第13讲·目标班·教师版

2ππ2ππtxcosx，2t

t22sinxxcosx2

p

t

2

pppqtt2t222p

经典精讲

q2p【铺垫】⑴函xsinxx的大值为多少？⑵求数fxsinxcosxx的域．⑴sinxcosx

1xx

t2sinxcosx|t≤22t∴(222∴t2y

2

12

⑵tcosxt

2sinxsinx

12

2

133()sinxcosxt22223

πtsinxsin

∴，

33tfx)t2fx(2222【例9】

5∴f)，已知x0,，求函数ycos2sinxcos的大值和最小值，并求出此时x的值．sinx

x

y

1t24

πππ∵tt

y2sinxmin4

02t2

ππy2xx第13讲·目标班·教师版

πππππ2πkππππππ2πkπ【备选】若，，函数ycos最值是（）12A0

B1

C．

D．

32D；y

22

cos

22yt24

∵，∴t12

π4

6，2

6ty

2622

（2010宣一模理）已知函数f2sinxx．⑴求数f及象的对称轴方程；⑵设数g⑴f

1πcos2sinxxxcos2xxxsin22226∴T

22

ππxπxkZ2k∴x(k)23⑵g

πππfsin2xx6

1

π1πsin24

12练【演练】已知锐，tan第13讲·目标班·教师版

1tan，

．

∴π13∴π13

tan

1717

πππ,0022【演练】已知

πtan，则

π

．

π

πtan4

π

1414

【演练】设函数fxcos2

x．求函数f