建筑力学 第章 扭转

第6章扭转[内容提要]本章主要介绍了扭转时圆轴横截面上扭矩的计算、扭矩图的画法和应力分布及其计算；阐述了圆轴扭转时的强度条件及其应用。6.1扭转的概念工程中经常利用轴的转动来传递动力，如图6-1。这时的轴需要承受传递动力时作用其上的多个力偶，这些力偶将使轴的任意两横截面绕轴的轴线作相对转动，或者说两横截面间产生相对转角，称为扭转角，如图6-2所示。这种变形为扭转变形。这种现象即为扭转现象。扭转变形是构件的基本变形形式之一。图6-1图6-2本章主要讨论圆截面直杆（统称圆轴）的扭转问题。6.2圆轴扭转时的扭矩及扭矩图6.2.1扭矩如图6-3所示圆轴，在两端垂直于轴线的平面内作用一对力偶M。采用截面法，假想从m-m截面截开，取左边一段为分离体。图6-3设截面上的内力为T，由静力学中力偶系平衡条件有T＝M，即截面上的内力一定为力偶，我们将这个内力偶称为扭矩。由于力偶有不同的转向，为了统一表达截面上不同转向的扭矩，对扭矩的转向和扭矩值正负号之间的关系有着如下规定：以右手四指指向扭矩的旋转方向，当右手大姆指指向横截面外法线方向时扭矩值为正，反之为负。该规定称之为右手螺旋法则。如图6-4所示。图6-4扭矩的单位与力偶矩相同，常用牛顿·米（N·m）或千牛·米（kN·m）。6.2.2扭矩图如果有多个外力偶分别作用于轴上不同的位置，则不同横截面上的扭矩值也不相同。我们将不同截面上的扭矩值计算出来，并将其值沿轴线画于图上，就形成了扭矩图，它是扭转问题的内力图。下面我们通过一个例子来说明扭矩图的画法【例6-1】一轴受三个外力偶M1＝10kN·m、M2＝40kN·m、M3＝30kN·m，其转向如图6-5(a)所示，请画出该轴的扭矩图。图6-5(a))(c)(d)(b解：1、用m-m截取轴的左侧一段如图6-5(b)所示，由T1＋10＝0有T1＝-10(kN·m)；2、用n-n截取轴的左侧一段如图6-5(c)所示，由T2＋10-40＝0有T2＝30(kN·m)；3、将计算的扭矩值画于轴线上，如图6-5(d)。6.2圆轴扭转时的截面应力分布为了分析圆轴扭转时横截面上应力分布规律，与分析受拉（压）杆件时一样，从实验入手。如图6-6(a)所示，实验前，在一圆轴表面上作许多平行的纵向线和圆周线。然后在两端加一对力偶，橡胶圆轴即发生了变形，如图6-6(b)所示。我们观察到的结果是：图6-61、原来的纵向线都倾斜了同一个角度γ，变成螺旋线，原来的矩形格子都变成了平行四边形。2、圆周线仍保持原来形状，各圆周线之间距离不变，只相对转动一个角度（即扭矩角）。3、圆轴的直径没发生改变。由此可以推出：1、圆轴扭转后，纵向纤维没有伸长(缩短)，横截面上的正应力σ＝0，由此我们假设任一横截面上的各点在变形前后仍处于同一个平面上。2、表面上的小矩形变成平行四边形，表明相邻两横截面发生相互错动，属剪切变形。剪切变形的程度以γ角来表示。γ称为切应变。3、由于圆轴的直径没发生改变，我们可以假设内部各点到轴线的距离变形前后保持不变，扭转变形时的各点只以各自到轴线的距离为半径沿圆周位移。4、圆轴横截面上存在切应力，它的方向沿着圆周切线方向，即垂直于横截面圆半径。通过大量材料的力学试验，并经过统计分析得知：在弹性范围内，切应变γ与切应力τ之间可以认为存在直线比例关系。称为剪切虎克定律，即τ＝Gγ(6-1)式中G称为剪切弹性模量。常用材料的G值也可从有关手册中查到。横截面上的切应力τ的分布规律，可从分析横截面上各点的切应变γ着手。由于圆截面变形后仍为圆平面，平面上直径仍为一直线，只是由原来位置转过一个角度，如图6-7(a)所示。从图中可以看到横截面外沿的圆周处的点移动得最大，也就是图6-7(b)所示表面上的切应变γ最大。圆心处（即轴线位置）的点没有移动，切应变γ为零。其余各点移动的大小与该点到圆心的距离成正比，即沿直径各点的切应变γ与该点到圆心距离ρ成正比。因此沿直径各点的切应力τ，由剪切虎克定律可知，也与该点到圆心距离ρ成正比，方向与半径垂直。实心圆轴的横截面上切应力分布如图6-7(b)所示，空心圆轴的横截面上切应力分布如图6-7(c)所示。图6-7(a)(b)(c)由此可推出圆截面上任一点切应力τ的计算公式（推导从略）可表达为(6-2)式中T为横截面上所受扭矩；ρ为横截面任一点至圆心的距离；Ip称为横截面对形心的极惯性矩。它是一个只由截面尺寸和形状决定的几何常量。简单图形的极惯性矩可从相关工具书中查到。对于实心圆轴，有(6-3)式中D为圆截面直径。对于空心圆轴，有(6-4)式中D、d分别为空心圆截面的外径与内径，α为内外径之比，即IP的单位长度是四次方，常用mm4。由(6-7)式可知最大切应力τmax在圆周处，即在ρ=R处。R为圆截面半径，R=D/2。于是(6-5)令Wp=IP/R，称为抗扭截面系数，上式可改写为(6-6)Wp的单位为长度的三次方，常用mm3。它是一个可以衡量截面尺寸和形状抗扭能力的参数，其值相关工具书中查到。直径为D的圆截面的计算公式为(6-7)6.励3毛圆轴忘扭转糠时的赤强度胞计算6.堤1.散1持强度探条件为了纸保证脉圆轴刮安全欧正常培工作法，轴泛内最毯大切获应力嫂不应链超过车材料雪容许躬应力群[τ考]，塑即：(6摇-8庸)称为啦圆轴贿扭转绞时的叨强度伞条件值。式中缩慧[τ不]为堂扭转井时材宏料的雕许用脊切应眨力，取可由睁相关残工具折书中撕查到豪。在视静荷卫载作嚷用下红，同活一材墨料扭转转时址的许伏用切昌应力尊[τ晕]与孟其拉伐伸时蚂的许秋用应席力[屿σ]纷之间已关系绪为：对于层塑性级材料仔[品τ]庆=（训0.蔬5~糠0.裙6）介[σ匹]对于港脆性桥材料吹[愈τ]骨=（厚0.蠢8~答1.脸0）幼[σ拨]强度欲条件尺式(恶6-孙6)朽，可位以进鞠行以常下三臭个方喘面的屯计算惊：【例首6-晌2】丈一实妙心圆趟轴直露径为贪10石0m织m，忙受三卡个外脑力偶祥M1＝1络0亩kN左·m犁、M2＝4筒0伪kN若·m摇、M3＝3慨0运kN视·m竭，其载转向丈如图武6-氧8(冈a)蛇所示倘，已海知该鸣轴所战用材上料的嚷许可禁切应躁力值堆[τ睁]=惨16谨0M商Pa溪，请卫计算拔出它伞的最戏大应棕力值敢，并域校核井该轴匪强度笼。(a览)(b辱)图6耀-8解：伤根据土本题扶条件怒，可方绘出识其轴恨的扭刷矩图兼，如糖图6承—8咐(b斗)所愧示。天其最缎大应专力值示出现碰在到猫横截混面外酸沿的劳圆周纷上，遇其切彩应力毙值的盘计算决可用贴公式筋(6接-6月)解改出：由公潜式(商6-夏8)劲，有可见竿，该卡轴的姑强度反符合乐要求滑。由公违式(酸6-驻8)遇，有可见睬，该溜轴的梦强度效符合恨要求板。请注莫意：1、牌计算携式中鲜列出伸的物是理单舍位应冤为：扭矩启的单章位T应为厦（N勺·m骄）或借者（赶N·淹mm纷）；者抗扭笔截面耍模量膛Wp的单悠位为碑m3或m溪m3；切盯应力氏的物格理单晨位则粗为帕话(MP朗a)或抽兆帕恩(MP舟a)。2、以计算表过程蜜中列感出物逢理单着位的梅目的驾是给撇同学肺作分轨析示戚范的严，真鹅正计涨算其日切应哄力时胶，不扭必在班中间悬过程蜘内加缝注物终理单梳位，住只需迈在计相算结丸果后乎加注顾切应尸力的窜物理革单位献帕(Pa)或滑兆帕理(MP脚a)。【例观6-续3】振一实叨心圆购轴直徐径为音10各0m虾m，洽受三愿个外抄力偶凝M1＝1叶0指kN换·m汇、M2＝4鞋0菜kN咐·m虑、M3＝3身0动kN堵·m饮，其础转向亿如图甘6-呈5(羡a)舌所示累，请雾确定船该轴命的许罩可应树力值颂[τ他]。解：精本题抚受扭德情况雹同上岛题，裁其轴嘱的扭负矩图誓如图净6—订5(盒b)啦所示某。其贿应力镇许可蔽值可仗由公打式6括-8抽计算超：由有：可知彻，所贴选轴欲的材贷料满疾足即可缝。【例率6-哥4】冰一实森心圆廉轴受冤三个甩外力盼偶M1＝1淋0尺kN焰·m地、M2＝4衬0弊kN刻·m番、M3＝3疼0斧kN谷·m援，其胀转向摊如图推6-辅5(陈a)梁所示闲，已终知该舒轴所轿用材柱料的渗许可愿切应拢力值努[τ愿]=报16烦0M炮Pa矮，请惠确定尿该轴惑的直阀径。解：旷本题陆受扭棒情况需同上龟题，泽其轴亩的扭朝矩图绿如图葵6—瓜5(越b)掉所示械。其汽轴的臭直径感可通邻过公宗式(详6-盲9)舌计算耳：可知仪，轴刘的直娇径大来小需瘦大于柏97倘.8茄7m证m。【例踏6-戴5】谷一空另心圆撕轴受刮三个亏外力摆偶M1＝1搭0煮kN心·m饮、M2＝4写0辰kN悉·m随、M3＝3景0混kN宏·m激，其这转向陕如图呼6-搭5(蛙a)爽所示吐，已辞知该钉轴的分内外袄径之到比为材0.使5（担即α亿=端r/嫂R殖=侵0.探5）稀，所赖用材拣料的市许可匆切应吴力值截[τ锦]=脱16印0M拥Pa犯，请地确定影该轴局的外刻径，本并与泪实心棍圆轴炊的结弄果进雀行比这较。解：础本题黄受扭盏情况壁同上限题，盆其轴蔬的扭著矩图筐如图昂6—餐5(美b)面所示驱。其拆轴的滨外径崭可通仗过公铺式(摊6-翠10库)计锹算：可知玩，轴琴的外宏径大猪小需篇大于堪10岛0m骑m。由于阁为空轰心圆恳轴，悔其外椒径要遍求在廊荷载把条件肆一样种时（堵例6省-4恐、例乏6-鉴5）尘比实搬心圆品轴的啦直径乌要大呜，但比是，腿两轴协的横芝截面付积之久比是昆：可见累，满据足强含度要钳求的荡前提恨下，寇空心脸圆轴扬比实本心圆腹轴省蹄材料锯20瘦％以标上（低本题膨条件办下）器，其障轴的含自重辞也按拉该比邪率减播少；熟当内劝外径捎之比认α=惜r晌/R泳越恶大，顽省材贴料、缴减自结重的陕效果遍越明续显。我们家在建倡筑工线程中款常遇明到一判些非染圆截贪面受哥扭构酿件，量如矩扬形、财T形伍、工贼字形毫等截张面。穴这些颈非圆欣截面稿构件滚受扭驾转后肠的变劳形以们及应云力分探布情丹况与品圆形守截面分构件所的不赚同，厦并要骗复杂犹得多惑。实验广表明侍：非添圆截复面构屯件受害扭后奴，横吹截面逐不再谅保持锈为平俩面。芬如一灶矩形青截面骆构件傲受扭鼻转前页，在姐其表目面在膀画上谢横向摔线和层纵向安线如葡图6醉-9透(a顶)所派示。仓构件旨受扭护转后偿，其彼表面干上的焰横向述线和印纵向叔线都彻变成酒曲线份如图境6-高9(雨b)权所示腹，原呢横截臣面后晶来发袜生了痒翘曲锄，变号成一类个曲童面，异在这寒种情置况下优平面浆假设角不适灰用，颈因此垃，不上能将泰用于辣圆轴给扭转缴的应础力计长算公归式应筑用于应非圆推截面亏构件案的应隔力计涛算。※6少.4碑非徒圆截汇面构旨件的他扭转厉问题(a樱)(b坐)图6邀-1暖0非圆仪截面绝构件件的扭呀转问掉题需拢要用捞弹性躁力学著的理秤论和茄方法龟分析嗽、计晕算。阶本节塞只以姓矩形堵截面萌构件煤的一赢些结内果为庸例，颂简要弱说明相横截谁面上纸切应则力分枣布的赵情况响。矩形带截面撕杆扭元转后深，横哑截面浪上切殖应力哑是按义照如最图6凯-1巾0所旱示的服分布绵规律喷分布亦的。并切应塌力在藏矩形标截面套的外梢沿长扣边中漂点达他到最老大值赚，其举计算沃公式披为（6零-1善0）式中乐，称为朋抗扭践截面腰系数悠；为一匠个与仆比值h/彼b有关呈的系吼数，景可肠在有漫关手梳册中采查到搂。在承续受相花同扭在矩的槽情况拢下，仓矩府形截黎面构隙件的斯扭转门最大怖切应蔬力大旗于相挂同截悄面面蒜积的亏圆截都面构扑件的栽扭转术最大显切应愁力。电通过讯进一各步的俊分析汁得知斯，对底受扭畅转的篇构件颈而言刘，圆尝截面吧是最艇合理善的截雹面。1．钞圆轴敏扭转大时的槽扭矩健及扭爆矩图1）家扭矩愉采富用截袖面法漠，取克一段庸为分照离体银，由蛮静力臭学中秃力偶委系平条衡条听件可炉求出叼截面既上的距扭矩瞒。对您扭矩打的转毫向和框扭矩散值正戚负号照之间葬的关肚系按邀右手遣螺旋视法则繁确定较。扭鲁矩的路单位伙与力汪偶矩假相同搭，常睬用牛动顿·针米（肾N·妈m）危或千坚牛·贷米（协kN纱·m译）。2）欲扭矩路图将不鸭同截杰面上炕的扭妨矩值逆计算舟出来仙，并初将其膨值沿肺轴线雪画于颤图上苹，就像形成酱了扭问矩图查。小种结2搜圆轴娇扭转纺时的宋截面类应力失分布实心暴圆轴君的横洗截面剃上切止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