【人教版】九年级下册数学课件《相似三角形》相似

XXXXX-相似三角形1.相似图形定义：具有相同形状的图形称为相似图形.2.比例线段定义：在四条线段a、b、c、d中,如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，即ab=cd（或a∶b=c∶d），那么这四条线段a、b、c、d叫做成比例线段，简称比例线段.注意：（1）线段a、b、c、d成比例是有顺序的，表示ab=cd（或a∶b=c∶d）；3.比例线段的性质性质：（1）基本性质：如果a∶b=c∶d或ab=cd，那么ad=bc；特

别地，如果a∶b=b∶c或ab=bc，那么b2=ac.

（2）合比性质：如果ab=cd，那么a±bb=c±dd.4.相似多边形定义：对应角相等、对应边成比例的两个多边形叫做相似多边形.注意：仅对应边成比例的两个多边形不一定相似，如菱形；仅对应角相等的两个多边形也不一定相似，如矩形.相似比：相似多边形对应边的比叫做相似比.注意：相似比为1的两个多边形全等.性质：（1）相似多边形的对应角相等，对应边的比相等;

（2）相似多边形周长的比等于相似比;

（3）相似多边形面积的比等于相似比的平方.5.相似三角形定义：对应角相等，对应边成比例的三角形叫做相似三角形.判定：（1）平行于三角形一边的直线和其他两边（或延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似;（2）如果两个三角形的三组对应边的比相等，

那么这两个三角形相似;（3）如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，

那么这两个三角形相似;（4）如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，

那么这两个三角形相似;（5）如果两个直角三角形的斜边和一条直角边对应的比相等，那么

这两个直角三角形相似.注意：直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原三角形彼

此相似.性质：（1）相似三角形的对应角相等，对应边成比例；（2）相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应角平分线的比都

等于相似比；（3）相似三角形周长的比等于相似比；（4）相似三角形面积的比等于相似比的平方.注意：利用相似三角形的性质得到对应角相等或对应线段成比例时，

要注意对应关系。类型之一相似三角形的判定［2010·珠海］如图38-1，在平行四边形ABCD中，过点A作AE⊥BC，垂足为E，连接DE，F为线段DE上一点，且∠AFE＝∠B.(1)求证：△ADF∽△DEC；(2)若AB＝4,AD＝33,AE＝3,

求AF的长.【解析】（1）证明∠AFD=∠C，∠ADF=∠CED；（2）由△ADF∽△DEC,得ADDE=FACD,而AD、DE、CD已知或可求，容易求出FA.解：（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AB∥CD，∴∠ADF=∠CED，∠B+∠C=180°.∵∠AFE+∠AFD=180°，∠AFE=∠B，∴∠AFD=∠C，∴△ADF∽△DEC.(2)∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，CD=AB=4.又∵AE⊥BC，∴AE⊥AD.在Rt△ADE中，DE=AD2+AE2=（33）2+32=6.∵△ADF∽△DEC，∴ADDE=AFCD，∴336=AF4，∴AF=23.【点悟】判定两三角形相似，若出现一对角相等时，则考虑还能否找到另一对角相等，或夹这个角的两边对应成比例.类型之二相似三角形的性质的运用［2011·预测题］如图38-2，梯形ABCD中，AD∥BC，两腰BA与CD的延长线相交于P，PF⊥BC，AD=2，BC=5，EF=3，则PF=5.【解析】本题利用相似三角形对应边上的高的比等于相似比来列式计算.∵AD∥BC,∴△PAD∽△PBC.又PF⊥BC,∴PEPF=ADBC，即PF-3PF=25,解得PF=5.预测理由相似三角形的应用广泛，它在投影、圆的有关计算证明等方面占有重要位置，通过它的运用能反映识图能力和逻辑推理能力，是中考必考内容.［预测变形1］如图38-3，锐角△ABC中，BC＝6,S△ABC=12，两动点M、N分别在边AB、AC上滑动且MN∥BC，以MN为边向下作矩形MPQN，设MN为x，矩形MPQN的面积为y（y＞0）,当x＝3时，面积y最大，y最大值＝6.【解析】∵12=12×6·AE，∴AE=4.设矩形的高为a，则4-a4=x6,a=4-23x，∴y=x·a=-23x2+4x，∴当x=-42×-23=3时，y最大值=6，填3，6.［预测变形２］一张等腰三角形纸片，底边长15cm，底边上的高为22.5cm．现沿底边依次从下往上裁剪宽度均为3cm的矩形纸条，如图38-4所示．已知剪得的纸条中有一张是正方形，则这张正方形纸条是（

）A.第4张

B.第5张

C.第6张

D.第7张C【解析】设第n个矩形是正方形，则n个矩形的高为3n，∴22.5-3n22.5=315,解得n=6,选C.［预测变形３］电灯P在横杆AB的正上方，AB在灯光下的影子为CD，AB∥CD，AB=2m，CD=5m，点P到CD的距离是3m，则P到AB的距离是（

）A.56m

B.67m

C.65m

D.103m【解析】设P列AB的距离为x，则有x3=25,∴x=65,选C.C［预测变形４］如图38-5所示，某校计划将一块形状为锐角三角形ABC的空地进行生态环境改造．已知△ABC的边BC长120米，高AD长80米.学校计划将它分割成△AHG、△BHE、△GFC和矩形EFGH四部分.其中矩形EFGH的一边EF在边BC上，其余两个顶点H、G分别在边AB、AC上.现计划在△AHG上种草，每平方米投资6元；在△BHE、△FCG上都种花，每平方米投资10元；在矩形EFGH上兴建爱心鱼池，每平方米投资4元.(1)当FG长为多少米时，种草的面

积与种花的面积相等？(2)当矩形EFGH的边FG为多少米时，△ABC空地改造总投资最小？最小值为多少？【解析】（1）由HG∥BC，GF∥HE∥AD，设FG=x，列比例式计算x；（2）依题意列二次函数求顶点坐标（或极值）.解：（1）设FG=x米，则AK=(80－x)米.由△AHG∽△ABC，BC=120，AD=80可得：HG120=80-x80,∴HG=120-32x，∴BE+FC=120-(120-32x)=32x，∴12×（120-32x）×(80-x)=12×32x×x,解得x=40,∴当FG的长为40米时，种草的面积和种花的面积相等.（2）设改造后的总投资为W元,根据题意，得：W=12×(120-32x)×(80-x)×6+12×32x×x×10+x×(120-32x)×4=6x2-240x+28800=6(x－20)2+26400，∴当x=20时,W最小=26400.答:当矩形EFGH的边FG长为20米时，空地改造的总投资最小，最小值为26400元.【点悟】灵活运用相似三角形对应边上的高的比等于相似比可以求一些线段的长度.类型之三相似三角形与圆［2010·宿迁］如图38-6，AB是⊙O的直径，P为AB延长线上的任意一点，C为半圆ACB的中点，PD切⊙O于点D，连接CD交AB于点E．求证：（1）PD=PE；（2）PE2=PA·PB.如图38-6例3答图【解析】（1）连半径，作等腰三角形；（2）证明△PDB∽△PAD即可.证明：(1)连接OC、OD，∴OD⊥PD，OC⊥AB，∴∠PDE=90°-∠ODE，∠PED=∠CEO=90°-∠C.又∵∠C=∠ODE,∴∠PDE=∠PED,∴PE=PD