塑性力学之塑性本构关系

第5章塑性本构变形第五章塑性本构关系§5.1弹性本构关系§5.2Drucker公设§5.3加载、卸载准则§5.4增量理论（流动理论）§5.5全量理论（形变理论）§5.6岩土力学中的Coulomb屈服条件和流动法则塑性力学§5.1弹性本构关系在弹性阶段，材料的本构关系即广义Hooke定律：张量写法：其中其中（5-1）（5-2）为平均正应力。将三个正应变相加，得：（5-3）记：平均正应变体积弹性模量则平均正应力与平均正应变的关系：（5-4）（5-5）（5-2）式用可用应力偏量和应变偏量表示为包含5个独立方程（5-2）由（5-5）由等效应力和等效应变的关系：或可得：（5-8）当应力从加载面（后继屈服面）卸载时，应力和应变的全量不满足广义Hooke定律，但它们的增量仍满足广义Hooke定律。（5-9）Mises屈服条件的物理解释中将弹性应变能分解为体积应变能和形状改变比能。这里，由弹性本构关系将三者表示为：§5.2Drucker公设两类力学量外变量：能直接从外部可以观测得到的量。如总应变，应力等。内变量：不能直接从外部观测的量。如塑性应变，塑性功等。内变量只能根据一定的假设计算出来。关于塑性应变和塑性功的假设：1、材料的塑性行为与时间，温度无关。2、应变可分解为弹性应变和塑性应变。3、材料的弹性变形规律不因塑性变形而改变。根据以上假设，内变量可以由外变量表示出来。对于各向同性材料：（5-12）这样，内变量也可以由外变量表示出来。将总功分解为弹性功和塑性功。对于各向同性材料：（5-13）（5-14）Drucker公设:对于处于在某一状态下的材料质点（或试件），借助一个外部作用，在其原有的应力状态之上，缓慢地施加并卸除一组附加应力，在这附加应力的施加和卸除的循环内，外部作用所做的功是非负的。单元体在应力状态下处于平衡。在单元体上施加一附加力，使应力达到，刚好在加载面上，即开始发生塑性变形。继续加载至，在这期间，将产生塑性应变。最后，将应力又卸回到。完成应力循环。应力循环的过程：图5-1以表示应力循环过程中任一时刻的瞬时应力状态。按Drucker公设，附加应力在应力循环中所作的功非负。（5-17）在应力循环中，应力在弹性应变上的功为0，即（5-18）故（5-17）式写成（5-19）在整个应力循环中，只在应力从到的过程中产生塑性应变。当为小量时，上述积分变为：（5-20）这就是图5-1所示的阴影部分面积。两个重要的不等式：当处于加载面的内部，即，由于是高阶小量，则（5-20）当正处于加载面上，即，则（5-21）由此可对屈服面形状与塑性应变增量的特性导出两个重要的结论。1、屈服曲面的外凸性。2、塑性应变增量向量与加载面的外法线方向一致——正交性法则。当处于加载面上，Drucker公设导致的（5-21）通常叫作Drucker稳定性条件。1、屈服曲面的外凸性。oA0AoA0A图中，A0和A分别表示应力状态和。向量代表。用表示。则（5-20）为（5-22）可见，应力增量向量与塑性应变增量向量之间的夹角必须小于900屈服曲面必须是凸的。如果屈服面是凹的，则5-22式不满足。2、塑性应变增量向量与加载面的外法线方向一致——正交性法则。A0Ann——加载面在A点的外法向。如果与n不重合，则总可以找到A0，使5-22式不成立。因此，必须与加载面的外法线重合。的外法线方向即其梯度方向。可表示为：（5-23）§5.3加载、卸载准则Drucker稳定性条件：由于与外法线n同向，上式改写成：只有当应力增量指向加载面外部时，材料才能产生塑性变形。（5-25）（5-26）判断能否产生新的塑性变形，需判断：（1）是否在上。（2）是否指向的外部。加卸载准则加载：指材料产生新的塑性变形的应力改变。卸载：指材料产生从塑性状态回到弹性状态的应力改变。、理想材料的加卸载准则

理想材料的加载面与初始屈服面是一样的。由于屈服面不能扩大，所以当应力点达到屈服面上，应力增量不能指向屈服面外，而只能沿屈服面切线。n加载卸载nlnm加载加载卸载对于Tresca屈服面：加载卸载二、强化材料的加载、卸载准则强化材料的加载面在应力空间不断扩张或移动。n中性变载卸载加载这里，中性变载相当于应力点沿加载面切向变化，应力维持在塑性状态但加载面并不扩张的情况。§5.4增量理论（流动理论）一、概述塑性本构关系——材料超过弹性范围之后的本构关系。此时，应力与应变之间不存在一一对应的关系，只能建立应力增量与应变增量之间的关系。这种用增量形式表示的塑性本构关系，称为增量理论或流动理论。进入塑性阶段后，应变增量可以分解为弹性部分和塑性部分。由Hooke定律，由Drucker公设，（5-30）（5-31）（5-32）进入塑性阶段后，应变增量可以分解为弹性部分和塑性部分。由Hooke定律，由Drucker公设，（5-30）（5-31）给出了塑性应变增量与加载函数之间的关系。流动法则（5-32）将（5-31）、（5-32）代入（5-30）得：增量形式的塑性本构关系：（5-33）塑性位势理论将塑性应变增量表示为塑性位势函数对应力取微商。（5-34）其中是塑性位势函数。两种情况：1、服从Drucker公设的材料，塑性势函数g就是加载函数φ，即，此时（5-34）式称为与加载条件相关连的流动法则。由于加载面和塑性应变增量正交，也称为正交流动法则。2、当加载面和塑性应变增量不正交，此时（5-34）式称为与加载条件非关连的流动法则。主要用于岩土材料。二、冒理想喜塑性挎材料领与M侮is面es归条件绍相关客联的吩流动帜法则对于静理想品塑性险材料崖，屈摘服函打数f就是各加载细函数φ。流动且法则者写成敢：（5生-3温5）Mi稼se盼s屈鞋服条群件：有故理培想塑貌性材心料与须Mi膝se法s条四件相仇关连筝的流预动法棚则为疑：（5初-3春6）1、理想蹄弹塑逆性材埋料按照坦广义届Ho珠ok屑e定协律求帆得弹缩慧性应用变增浴量，慎再与成（5唯-3幅6）题式所单得的塑案性应匹变增经量叠榴加，青就得归到理机想弹租塑性撇材料增的增晃量本宁构关战系——核Pr屑an扬dt绳l-光Re去us届s关熔系对理想塑性材料，比例系数要联系屈服条件来确定。Mi添se唱s屈服简条件此时可见，给定应力和应变增量时从Prandtl-Reuss关系可以求出及应力增量。但反过来，如果给定的是则定不出，也就求不出。给定挣应力腰求不前出应勇变增奇量，育这正昂反映管出理值想塑垃性材劳料的随特点银。（5瓣-3强8）由于塑性变形消耗功，所以，则。

2、理水想刚剂塑性政材料——年Le柔vy威-M捞is基es漂关系当塑碰性应响变增位量比情弹性贩应变芒增量贪大得柄多时靠，可盈略去锄弹性曾应变凳增量收，从识而得膀到适石用于泊理想船刚塑晴性材声料的描Le照vy磨-M搞is衣es阳关系（5写-3制9）此式飞表明吉应变猪增量回张量禁与应偷力偏画张量子成比侵例，突也可扔以写穴成（5萄-4爷0）如果愁（5筒-4惭0）堡的后其三个赛分式区的分鼓母为晴零，歪则其够分子复必须伪同时撕为零乓。这羞说明消Le炉vy镜-M岗is摊es循关系僚要求应变她增量疏张量梦的主蛋轴与末主应毁力轴替重合。在（5-39）式中，给定后不能确定，但反之却可由确定如下：利用张Mi恩se挡s屈倍服条毅件可以她得到将（证5-毕41袍）式恢代回传（5穿-3域9）凑式，搁可求毛出对于阀刚塑赠性材江料将（垫5-朱38时）式峰与（饺5-冬41颗）式祝加以怠比较羞就发级现：（5幸-4旗1）（5伏-4愧4）（5臂-4断5）3、实验饿验证理想爬塑性纷材料礼与M聋is神es折条件览相关丙连的有流动绑法则劈燕：对应于π平面上，与

二向量在由坐标原点发出的同一条射线上。Lo顾de队（1袭92信6）采用容薄壁蜜圆管通受轴等力和脚内压旋同时择作用游的实贞验。实验穴中使练用的垮参数赏：实验表明，大致相等，在消谊除了军实验意用薄莲管的钱各向拿异性熟后，社结果请表明架两个线Lo汽de下参数泼相等贝。三、喉理想显塑性俭材料心与T塔re茫sc高a条辫件相形关连欠的流其动法且则与M盒is啊es劳条件持相关钉连的坟流动土法则艘相比椒，与驾Tr汗es终ca栗条件灯相关题连的杂流动坟法则杨有两肺个显脚著的降特点朗：2、堪在T赚re允sc悲a六钩角柱映的棱那线上终（在侧π平菌面内守，就升是在真正六虑边形蒙的角亮点上嫁），烤不存余在唯耳一的郑外法沟线。ABC1、在Tresca六角柱的屈服平面上（在平面内，就是在正六边形的直边上），给出沿外法向的并不能就此确定S，因为同一个屈服平面上的任一点都具有相同的外法向。实际柿上，宽角点蚂可以急看成挤是一袄段光评滑曲租线无宪限缩挠小的秧极端氧情况款，因李此角仁点的炸法线办不唯静一，涂而可租为上惠述夹扰角范隙围内抖的任仪一方寄向。考察正图5每-1毒1中脖的角稀点B可。它吼的两愁侧面休，A漫B面博和B梁C面凳的方督程分酸别为慌：对A油B面同理父，对中BC饲面有角点丑B处异的塑纵性应滨变增肾量可朽以AB面和BC面上筑的塑雨性应陈变增榆量的愈线性逃组合盘得到岭。ABC其中四、架强化脾材料卷的增骗量本摧构关失系Du谷ck披er公设当且仅当时可令其中h>凡0称为昆强化矮模量仙，依头赖于燥加载耍面的煌变化酷规律隆，一牌般不乒为常陈数。如果h和都不含应力增量，称为版线性昨增量变理论近。这样呜就有炸：间成线性关系，这时具有Mi意se谅s加载尺条件刃的等排向强有化材需料加载奔面在加载时，虽然，但应力点始终保持在扩大的加载面上，因而的全微分为零，即（5叨-5羞1）（5芬-5给2）则即代入英（5玻-5奋2）攀式得（5碌-5备3）（5齿-5满4）上式左边自乘求和得右边自乘求和得，

比较这二者，可知=1，或利用荣（5赌-5偏1）喇和（怪5-拼55息）式馆，得菜出其中可由简单拉伸曲线来决定。事实上，退化到简单拉伸情形时（5-51）式就是，即它就是曲线的斜率。作为特例，在线性强化时就有:（5默-5创5）（5呜-5钳6）（5气-5罗7）§5持.5橡全量钞理论歉（形绸变理污论）认为喊应力悟和应侍变之丽间存崇在着糊一一夸对应鄙的关哨系，父因而等用应力亿和应衬变的财全量桑建立欠起来表的塑草性本离构方补程，又惨称形凯变理僚论。全量绿理论在单暮调加调载的固情况风下应开力和那应变傻之间袍存在信一一武对应托关系扔，这拼时塑习性变胸形相悬当于械非线因性弹久性问稠题，钢可用静全量影理论惰求解湾。一、И详л窝ью缸ши仁н理纽奉论基本拌假定耗:1.物体狠是各亮向同强性的纪；2.体积积改变非服从扩弹性蹦定律敌:其中3.应力塔偏量滩与应保变偏号量成迹正比(5违-5升8)其中是一个标量，它是应力张量和应变张量不变量的待定函数。由假喊设3可得腐，主应剪应扰变与京主剪盖应力奋成正召比,稼即(5淹-5咽9)在（5泳-5爱8）式中吴，如平果取可得脾弹性煎状态腿下的掀应力洁应变锻关系精,即榜Ho狼ok浪e定言律。在弹蚂塑性摸变形建的情喘况下优，若洒令则可以岔认为臭是弹仅塑性员变形轻时的岂折算给剪切部模量晶。（5-尿58）式可誉写成（5尊-6丑0）弹性煤部分塑性循部分将两边自乘后开方，有：（5工-6秩1）（5酒-6有2）于是退，应灵力应迁变关华系:全量闪建立汇起来刘的塑政性本剂构关侄系—午—И肿ль增юш邻ин沃理论（5惨-6新3）二、简单滨加载翅和单孤一曲场线假昌定简单沙加载调：单元闪体的滤应力钢张量扇各分坟量之爹间的举比值呼保持污不变贞，按同情一参漠量单跃调增盛长。复杂隶加载通：不满左足这轰一条链件的衔加载臭情形吗。简单加载路径在平面上可表示为的射线。yx对于Mises条件，不论强化模型如何，加载路径始终沿半径方向。即沿的方向。而的方向可由表示。则加入阁弹性悉应变桥增量此即帝理想黎弹塑绕性材色料的凭Pr唤an胜dt匪l-沾Re会us贞s关拍系在简跨单加接载条坝件下园，将呈上式巡寿积分肝，得在简昌单加芹载条烦件下链增量席理论隶同全墙量理满论是微等价鄙的。单一汗曲线杀假定伞:实验证明，只要是简单加载或偏离简单加载不大，尽管在主应力空间中射线方向不同，曲线可近似地用单向拉伸曲线表示。三、简单伏加载挑定理简单华加载贝定理侧（Ил颗ью定ши懒н，19叔46）：如果条满足坦下面租一组方充分办条件旷，物艺体内断部每侄个单佣元体态都处永于简柿单加掏载之飘中。晃这组受条件殊是：1.小变形；2.材料不可压缩，即；3.载荷按比例单调增长，如果有位移边界条件，则只能是零位移边界条件；4.材料的曲线具有幂函数的形式。其中呆，1华、3助是必欺要条胳件，睬2、阵4是浸充分捎而非饺必要亚条件宏。四、早几种储理论羽的总从结与此比较名称类型年代材料应变大小屈服条件应力应变关系Levy-Mises增量1871，1913理想刚塑性小应变增量MisesPrandtl-Reuss增量1924，1930理想弹塑性小应变增量MisesИльюшин全量1943弹塑性强化小应变MisesHency全量1924理想弹塑性小应变MisesNadai全量1937刚塑性强化小应变Mises与增誉量理芽论相夏比，球全量勤理论皱应用舞起来漠方便骆得多漠，因务为它闷无须拣按照狸加载句路径铁逐步创积分便。全嘉量理颜论的膨加载瓣路径屿允许泰和简辱单加宵载路悄径有升一定敌的偏杠离。梢这样株造成修的误泄