圆内问题极柱坐标系下的分离变量法

在圆形域和柱形域内，用分离变量法求解定解问题时，应选用极坐标系。这样，不仅能简单地表达边界条件，更重要的是可以达到变量分离的目的。

为方便起见，引入拉普拉斯算子

而在极、柱坐标系下，拉普拉斯算子分别为

2.3极、柱坐标系下的分离变量法

补充内容：证明：证明：由得

及

所以

于是

上面两式相加得

一、圆内问题

例1半径为的圆板，上，下面绝热，圆周温度分布为，求温恒状态下的温度分布。

解：定解问题为(提示：把非齐次边件条件看作初始条件）

设解为，代入方程(2.3.1)得

同除以得

方程(2.3.1)被分离成两个常微分方程

如何确定固有值问题?这里没有齐次边界条件。我们补充一点,对于固有值问题的边界条件，除三类齐次边界条件以外，还可以根据问题的性质取边界条件，称其为自然边界条件，如解的周期性，解的有界性等。这里由于圆板温度u具有周期性。故固有值问题为特征方程

（1）当时，，方程的通解为

要满足自然边界条件

只有,故在时,只得零解。

（2）当时，，方程的通解为由得

即

所以，固有值，相应的固有函数为（3）当时，

，方程的通解为

由得

要使上式成立，只有

即，固有值相应的固有函数为总之：固有值

相应的固有函数为

将代入方程(2.3.3)得

这是欧拉方程,解为

事实上令

引入微分算子

一般

所以，方程化为特征方程

n=0时，

由解的有界性

于是

由解的叠加性，得级数形式解

其中,，由

所以

例2求解砌圆环失域内区泊松恼方程反的边趋值问罩题解：港以圆窜为边候界的喘定解杨问题忠，应虑采用钳极坐艘标系令

问题滨化为(2.3.6)(2.3.7)自然边界条件：

设代入(2.3.6)对应的齐次方程

方程(2阀.3钢.6筝)被分雄离成余两个妨常微械分方肝程固有洁值问定题为由例1知，固有值

相应板的固喉有函喝数为设解深为固凳有函幻玉数级拢数其中为待定函数。

代入眨非齐谨次方签程(2带.3番.6悟)，得比较闲系数傻得由边钱界条津件(2坦.3古.7资),得方程(2夏.3驱.9左)、(2明.3荒.1懒0)是欧汉拉方仇程,其解零分别总为由边枯界条烈件(2丛.3赔.1奖1)、(2乳.3粥.1器2)得下面只需确定，用常数变易法求得特解

事实忽上设浸对应羞齐次拥方程岩的通程解为令

故通饺解为由边界条件得

即所以因此定解问题的解为

下面羽介绍府一种明很有区实用菜价值零的特大解法特解脖法的血基本通思想府是，识对泊邻松方区程不论边界条件如何给出，先设法求得方程的一个特解w，即然后，令u=v+w，这样将泊松方程化为拉普斯方程，即这样诸，通台过泊纺松方写程的伴特解牧，将晓泊松冻方程利的边遣值问喂题转艘化为得拉普播斯方盆程的舅边值驰问题狸。而马对后帝者则偶是前磁面已苗解决泳的问概题了愈。再考察上例

特解法：求w使

观察知

化为极坐标

令u=央v+观w，将垫泊松旋方程刑的边证值问舞题转腐化为影拉普拜斯方叙程的犁边值倒问题用分饿离变亏量法疗，仿鸦例１愚，可届求得罪解。例３求圆津内波颜动方惰程的央混合绘问题(2.3.13)(2.3.14)(2.3.15)解：枯设变姐量分胀离形怪式解代入秋方程(2象.3溉.1啦3)得同除以

可取于是观，得挂到三鞋个常斥微分翼方程浑：由得固有值

相应的固有函数为再解却固有芽值问布题令则

把代入方程得即

这是n阶贝捧塞尔万方程吸。通解为

所以

此时

由R（r）=0得

为求非零解，，只需

即

固有值

相应的固有函数为

将代入的方程(2.3.16)得

通解

由解羊的叠映加性,得二建重级款数形咏式解其中由初始条件得

由三院角函视数的座正交场性，曲可得吴傅氏别系数上面欺三个巴级数果是第匹一类恢贝塞漆尔级