四川省绵阳市新安中学高三数学理模拟试题含解析

四川省绵阳市新安中学高三数学理模拟试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知是实数，则函数的图象可能是参考答案：B2.已知函数的定义域为,且满足,为的导函数,又知的图象如右图所示,若两个正数满足,,则的取值范围是（

）

A.

B.

C.

D.参考答案：D略3.已知z=ai（a∈R），（1+z）（1+i）是实数，则|z+2|=（）A． B． C．3 D．5参考答案：B【考点】复数求模．【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，由虚部为0求得a值，再由复数模的计算公式求解．【解答】解：∵z=ai（a∈R），且（1+z）（1+i）是实数，∴（1+ai）（1+i）=（1﹣a）+（1+a）i是实数，则a=﹣1，∴|z+2|=|2﹣i|=．故选：B．4.为了得到函数的图象，只需把函数的图象A．向左平移个单位长度

B．向右平移个单位长度C．向左平移个单位长度

D．向右平移个单位长度参考答案：D5.函数的最小正周期为（）A．4

B．2

C．

D．参考答案：C6.椭圆与渐近线为的双曲线有相同的焦点,为它们的一个公共点,且,则椭圆的离心率为（

） 参考答案：【答案解析】C

解析：设双曲线方程为：，记，根据题意得：，解得，，所以选C.【思路点拨】设出双曲线方程，记，根据椭圆、双曲线的定义及勾股定理得方程组，求得，.7.函数的零点所在的一个区间是

(

）A．（一2，一1）

B．（一1，0）

C．（0，1）

D．（1，2）参考答案：B8.已知圆C：x2+y2﹣2x+4y=0关于直线3x﹣ay﹣11=0对称，则圆C中以（，﹣）为中点的弦长为（）A．1 B．2 C．3 D．4参考答案：D【考点】直线与圆的位置关系．【分析】由已知直线3x﹣ay﹣11=0过圆心C（1，﹣2），从而得到a=4，点（1，﹣1）到圆心C（1，﹣2）的距离d=1，圆C：x2+y2﹣2x+4y=0的半径r=，由此能求出圆C中以（，﹣）为中点的弦长．【解答】解：∵圆C：x2+y2﹣2x+4y=0关于直线3x﹣ay﹣11=0对称，∴直线3x﹣ay﹣11=0过圆心C（1，﹣2），∴3+2a﹣11=0，解得a=4，∴（，﹣）=（1，﹣1），点（1，﹣1）到圆心C（1，﹣2）的距离d==1，圆C：x2+y2﹣2x+4y=0的半径r==，∴圆C中以（，﹣）为中点的弦长为：2=2=4．故选：D．9.已知点P是焦点为F的抛物线上的一点，且，点Q是直线与的交点，若，则抛物线的方程为（

）A. B.或C. D.或参考答案：B【分析】依题意，；设，求出点坐标，由列出关于与的方程可得的值，由可得的值，可得答案.【详解】解：依题意，；设，联立，解得，故，；因为，故，解得，且；又由得，，解得或，故选：B.【点睛】本题主要考查抛物线的标准方程及基本性质，需灵活运用已知条件解题，属于中档题.10.已知函数，则的大致图象为（

）A． B．C． D．参考答案：A因为，所以函数为奇函数，排除B选项，求导：，所以函数单调递增，故排除C选项，令，则，故排除D．故选A．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知(为常数)在[—2，2]上有最小值-5，那么f(x)在[—2，2]上的最大值是_________.参考答案：35略12.已知a∈R，设函数的图象在点（1，）处的切线为l，则l在y轴上的截距为

.参考答案：1 ，切点为，，则切线的斜率为，切线方程为：，令得出，在轴的截距为1.

13.平面向量的夹角为，，则____________．参考答案：略14.以椭圆的右焦点为焦点，且顶点在原点的抛物线标准方程为______.参考答案：

略15.在△的内角、、的对边分别为、、，若，，，则

.参考答案：略16.函数的最大值为_______参考答案：517.直线与圆相交的弦长为

.参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知函数f（x）=xlnx+x2﹣ax+2（a∈R）有两个不同的零点x1，x2．（1）求实数a的取值范围；（2）求证：x1?x2＞1．参考答案：【考点】利用导数研究函数的极值．【分析】（1）考虑f（x）与x轴有切点，设为（m，0），求出导数，可得f′（m）=0，f（m）=0，解得a，m，考虑由于f（x）的图象开口向上，由f′（1）=3﹣a＜0，解得a的范围即可；（2）由零点的定义，得到两个方程，同除以x，两式相减，整理化简，结合分析法，构造法，不妨设0＜x1＜1，x2＞1，即可得证．【解答】（1）解：函数f（x）=xlnx+x2﹣ax+2（a∈R）有两个不同的零点x1，x2．考虑f（x）与x轴有切点，设为（m，0），f′（x）=lnx+1+2x﹣a，则lnm+1+2m﹣a=0，又mlnm+m2﹣am+2=0，消去a，可得m2+m﹣2=0，解得m=1（﹣2舍去），则a=3，由于f（x）的图象开口向上，由f′（1）=3﹣a＜0，解得a＞3，可得f（x）在（0，+∞）不单调，有两个不同的零点x1，x2．故a的范围是（3，+∞）；（2）证明：由题意可得x1lnx1+x12﹣ax1+2=0，x2lnx2+x22﹣ax2+2=0，即为lnx1+x1﹣a+=0，lnx2+x2﹣a+=0，两式相减可得，lnx1﹣lnx2+x1﹣x2+=0，即有1+=，要证x1?x2＞1，即证＜2，即有1+＜2，即＜1，即有＜0，（*）令g（x）=lnx﹣x，g′（x）=﹣1，当x＞1时，g′（x）＜0，g（x）递减；当0＜x＜1时，g′（x）＞0，g（x）递增．则g（x）在x=1处取得极大值，且为最大值﹣1，即有lnx﹣x＜0，不妨设0＜x1＜1，x2＞1，则x1﹣x2＜0，lnx1﹣x1﹣（lnx2﹣x2）＞0，故（*）成立，即有x1?x2＞1．19.函数的定义域为集合A，函数的定义域为集合B，若，求实数的取值范围。参考答案：略20.已知某单位甲、乙、丙三个部门的员工人数分别为24，16，16.现采用分层抽样的方法从中抽取7人，进行睡眠时间的调查.（I）应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取多少人？（II）若抽出的7人中有4人睡眠不足，3人睡眠充足，现从这7人中随机抽取3人做进一步的身体检查.（i）用X表示抽取的3人中睡眠不足的员工人数，求随机变量X的分布列与数学期望；（ii）设A为事件“抽取的3人中，既有睡眠充足的员工，也有睡眠不足的员工”，求事件A发生的概率.参考答案：（Ⅰ）解：由已知，甲、乙、丙三个部门的员工人数之比为3∶2∶2，由于采用分层抽样的方法从中抽取7人，因此应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取3人，2人，2人．（Ⅱ）（i）解：随机变量X的所有可能取值为0，1，2，3．P（X=k）=（k=0，1，2，3）．所以，随机变量X的分布列为

X0123P随机变量X的数学期望．（ii）解：设事件B为“抽取的3人中，睡眠充足的员工有1人，睡眠不足的员工有2人”；事件C为“抽取的3人中，睡眠充足的员工有2人，睡眠不足的员工有1人”，则A=B∪C，且B与C互斥，由（i）知，P(B)=P(X=2)，P(C)=P(X=1)，故P(A)=P(B∪C)=P(X=2)+P(X=1)=．所以，事件A发生的概率为．21.（本小题满分12分）

设是函数的一个极值点.（1）求与的关系式（用表示），并求的单调区间；（2）设，.若存在使得成立，求的取值范围.参考答案：解：（Ⅰ）f`(x)＝－[x2＋(a－2)x＋b－a]e3－x,由f`(3)=0，得－[32＋(a－2)3＋b－a]e3－3＝0，即得b＝－3－2a，---------------2分则f`(x)＝[x2＋(a－2)x－3－2a－a]e3－x＝－[x2＋(a－2)x－3－3a]e3－x＝－(x－3)(x＋a+1)e3－x.令f`(x)＝0，得x1＝3或x2＝－a－1，由于x＝3是极值点，所以，那么a≠－4.当a<－4时，x2>3＝x1，则在区间（－∞，3）上，f`(x)<0，f(x)为减函数；在区间（3，―a―1）上，f`(x)>0，f(x)为增函数；在区间（―a―1，＋∞）上，f`(x)<0，f(x)为减函数.-----------------------4分当a>－4时，x2<3＝x1，则在区间（－∞，―a―1）上，f`(x)<0，f(x)为减函数；在区间（―a―1，3）上，f`(x)>0，f(x)为增函数；在区间（3，＋∞）上，f`(x)<0，f(x)为减函数.-------------------------------6分（Ⅱ）由（Ⅰ）知，当a>0时，f(x)在区间（0，3）上的单调递增，在区间（3，4）上单调递减，那么f(x)在区间[0，4]上的值域是[min{f(0)，f(4)}，f(3)]，而f(0)＝－（2a＋3）e3<0，f(4)＝（2a＋13）e－1>0，f(3)＝a＋6，那么f(x)在区间[0，4]上的值域是[－（2a＋3）e3，a＋6].--------------------8分又在区间[0，4]上是增函数，且它在区间[0，4]上的值域是[a2＋，（a2＋）e4]，-----------------10分由于（a2＋）－（a＋6）＝a2－a＋＝（）2≥0，所以只须仅须（a2＋）－（a＋6）<1且a>0，解得0<a<.故a的取值范围是（0，）.-----------------------------------------------12分略22.（本小题满分12分）假设某人定了鲜奶，送奶工可能在早上6：30～7：30之间把鲜奶送到他家，他离开家去上学的时间是6：15～7：00之间，设送奶工到达他家的时间是，他离开家的时间是.用数对表示可能的试验结果，则全部事件组成的集合．