2022-2023学年山西省运城市清华中学高三数学理联考试卷含解析

2022-2023学年山西省运城市清华中学高三数学理联考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.设，则的值为

（

）

A．

B．

C．

D．参考答案：C

，故选C．2.已知集合，，则(

).A．（1,3） B．（2,4） C．（1,4） D．（2,3）参考答案：D3.若则（）A.

B.

C.

D.1参考答案：【知识点】定积分.B13

【答案解析】B解析：设，则，，所以.故选B.【思路点拨】本题考查了定积分以及微积分基本定理的应用.4.已知集合，集合，则（

）A.

B.

C.

D.参考答案：B5.函数的图象（

）A．关于原点对称

B．关于直线对称

C．关于轴对称

D．关于轴对称参考答案：D略6.已知U={x|y=}，M={y|y=2x，x≥1}，则?UM=（）A．[1，2） B．（0，+∞） C．[2，+∞） D．（0，1]参考答案：A【考点】1F：补集及其运算．【分析】分别求出关于U，M的范围，从而求出M的补集即可．【解答】解：U={x|y=}={x|x≥1}，M={y|y=2x，x≥1}={y|y≥2}，则?UM=[1，2），故选：A．【点评】本题考查了集合的运算，是一道基础题．7.一只蚂蚁在边长分别为3，4，5的三角形区域内随机爬行，则其恰在离三个顶点距离都大于1的地方的概率为（

）

A.

B.

C.

D.参考答案：B作出满足题意的区域如下图，则由几何概型得，所求概率为.8.已知函数f（x）的定义域为（﹣1，0），则函数f（2x+1）的定义域为（）A．（﹣1，1） B． C．（﹣1，0） D．参考答案：B考点：函数的定义域及其求法．专题：函数的性质及应用．分析：原函数的定义域，即为2x+1的范围，解不等式组即可得解．解答：解：∵原函数的定义域为（﹣1，0），∴﹣1＜2x+1＜0，解得﹣1＜x＜﹣．∴则函数f（2x+1）的定义域为．故选B．点评：考查复合函数的定义域的求法，注意变量范围的转化，属简单题．9.已知集合，，则

（

） A、 B、 C、

D、参考答案：C略10.定义在R上的函数f（x）满足f（x+6）=f（x）．当x∈[﹣3，﹣1）时，f（x）=﹣（x+2）2，当x∈[﹣1，3）时，f（x）=x，则f（1）+f（2）+f（3）+…+f=(

)A．336 B．355 C．1676 D．2015参考答案：A【考点】数列与函数的综合．【专题】函数的性质及应用；等差数列与等比数列．【分析】直接利用函数的周期性，求出函数在一个周期内的和，然后求解即可．【解答】解：定义在R上的函数f（x）满足f（x+6）=f（x）．可得函数的周期为：6，当x∈[﹣3，﹣1）时，f（x）=﹣（x+2）2，当x∈[﹣1，3）时，f（x）=x，f（1）=1，f（2）=2，f（3）=f（﹣3）=﹣1，f（4）=f（﹣2）=0，f（5）=f（﹣1）=﹣1，f（6）=f（0）=0，2015=6×335+5，f（1）+f（2）+f（3）+…+f=f（1）+f（2）+f（3）+f（4）+f（5）+335[f（1）+f（2）+…+f（6）]=1+2﹣1+0﹣1+335×（1+2﹣1+0﹣1+0）=336．故选：A．【点评】本题考查数列与函数相结合，函数的值的求法，函数的周期性的应用，考查计算能力．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.若正实数a、b、c满足，，则c的最大值为________．参考答案：【分析】通过表示出，再结合可得，这样问题转化为已知，求的最小值即可，由“1”的代换可得．【详解】由，，解得，，，，【点睛】本题考查用基本不等式求最值问题，考查换元代入的思想。难度中等。12.用数字0，1，2，3，4，5，6组成没有重复数字的四位数，其中个位、十位和百位上的数字之和为偶数的四位数共有______.参考答案：324分两大类：(1)四位数中如果有0，这时0一定排在个、十、百位任一位上，如排在个位，这时，十、百位上数字又有两种情况：①可以全是偶数；②可以全是奇数．故此时共有C32A33C41＋C32A33C41＝144(种)．(2)四位数中如果没0，这时后三位可以全是偶数，或两奇一偶．此时共有A33C31＋C32C31A33C31＝180(种)．故符合题意的四位数共有144＋180＝324(种)．13.已知函数为奇函数，则

．参考答案：014.椭圆上一点P与椭圆的两个焦点F1，F2的连线互相垂直，则△PF1F2的面积为．参考答案：24考点：椭圆的简单性质．专题：计算题．分析：根据椭圆的标准方程求出焦点坐标，利用点P与椭圆的两个焦点F1，F2的连线互相垂直以及点P在椭圆上，求出点P的纵坐标，从而计算出△PF1F2的面积．解答：解：由题意得a=7，b=2，∴c=5，两个焦点F1（﹣5，0），F2（5，0），设点P（m，n），则由题意得

=﹣1，+=1，∴n2=，n=±，则△PF1F2的面积为

×2c×|n|=×10×=24，故答案为：24．点评：本小题主要考查椭圆的标准方程、椭圆的简单性质、方程组的解法等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，属于基础题15.已知函数的定义域为D，若满足：①在D内是单调函数；②存在使得在上的值域为那么就称为“成功函数”。若函数是“成功函数”，则的取值范围为_____________。参考答案：【分析】根据“成功函数”的概念利用对数函数的性质和一元二次方程根的判别式求解．【详解】依题意，函数g（x）=loga（a2x+t）（a＞0，a≠1）在定义域上为单调递增函数，且t≥0，而t=0时，g（x）=2x不满足条件②，∴t＞0．设存在[m，n]，使得g（x）在[m，n]上的值域为[m，n]，∴，即，∴m，n是方程（ax）2﹣ax+t=0的两个不等的实根，设y=ax，则y＞0，∴方程等价为y2﹣y+t=0的有两个不等的正实根，即，∴，解得0，故答案为：.

16.已知函数，给出如命题：①是偶函数；②在上单调递减，在上单调递增；③函数在上有3个零点；④当时，恒成立；其中正确的命题序号是__________.参考答案：①④略17.双曲线的焦点到相应准线的距离等于实轴长，则双曲线的离心率为

．参考答案：1+

【考点】双曲线的简单性质．【分析】由题意可得c﹣=2a，化简整理，结合离心率公式，即可得到所求值．【解答】解：双曲线的焦点（c，0）到相应准线x=的距离等于实轴长2a，可得c﹣=2a，即c2﹣2ac﹣a2=0，解得c=（1+）a或c=（1﹣）a（舍去），即有离心率e==1+．故答案为：1+．【点评】本题考查双曲线的几何性质的运用，主要考查准线和离心率的求法，考查运算能力，属于中档题．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.在等比数列{an}中，a1=1，a3，a2+a4，a5成等差数列．（1）求数列{an}的通项公式（2）若数列{bn}满足b1++…+（n∈N+），{bn}的前n项和为Sn，求证Sn≤n?an（n∈N+）参考答案：考点：数列与不等式的综合．专题：等差数列与等比数列．分析：（1）通过将a2、a3、a4、a5用公比q表示及条件a3、a2+a4、a5成等差数列，可求出q=2，利用等比数列的通项公式计算即可；（2）当n=1时，b1=a1=1，显然有S1=1×a1；当n≥2时，利用=an﹣an﹣1可得bn=n?2n﹣2，求出Sn、2Sn，两者相减，利用错位相减法解得Sn，计算即可．解答： （1）解：设数列{an}的公比为q，∵a1=1，∴a2=q，a3=q2，a4=q3，a5=q4，又∵a3，a2+a4，a5成等差数列，∴2（a2+a4）=a3+a5，即2（q+q3）=q2+q4，解得q=2或0（舍），∴an=2n﹣1；（2）证明：∵数列{bn}满足b1++…+=an（n∈N+），∴当n=1时，b1=a1=1，此时S1=1×a1；当n≥2时，=an﹣an﹣1=2n﹣1﹣2n﹣2=2n﹣2，∴bn=n?2n﹣2，∴Sn=1+2×20+3×21+4×22+…+（n﹣1）×2n﹣3+n×2n﹣2，∴2Sn=2×20+2×21+3×22+4×23+…+（n﹣1）×2n﹣2+n×2n﹣1，两式相减，得﹣Sn=1+21+22+23+…+2n﹣2﹣n×2n﹣1，∴Sn=n×2n﹣1﹣1﹣（21+22+23+…+2n﹣2）=n×2n﹣1﹣1﹣=（n﹣1）×2n﹣1﹣1=n×2n﹣1﹣（1+2n﹣1）＜n×2n﹣1=n?an，综上所述，Sn≤n?an（n∈N+）．点评：本题考查考查等差、等比数列的性质，考查分类讨论的思想，考查分析问题的能力与计算能力，利用错位相减法求Sn是解决本题的关键，属于中档题．19.（本题满分18分）定义域为的函数，如果对于区间内的任意两个数、都有成立，则称此函数在区间上是“凸函数”．（1）判断函数在上是否是“凸函数”，并证明你的结论；（2）如果函数在上是“凸函数”，求实数的取值范围；（3）对于区间上的“凸函数”，在上任取，，，……，．①证明：当（）时，成立；②请再选一个与①不同的且大于1的整数，证明：也成立．参考答案：解：（1）设，是上的任意两个数，则．函数在上是“凸函数”．……4分（2）对于上的任意两个数，，均有成立，即，整理得………………7分若，可以取任意值．若，得，，．综上所述得．………………10分（3）①当时由已知得成立．假设当时，不等式成立即成立．那么，由，得．即时，不等式也成立．根据数学归纳法原理不等式得证．……15分②比如证明不等式成立．由①知，，，，有成立．，，，，，从而得．………………略20.提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况。在一般情况下，大桥上的车流速度（单位：千米/小时）是车流密度（单位：辆/千米）的函数。当桥上的的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/小时，研究表明；当时，车流速度是车流密度的一次函数．（Ⅰ）当时，求函数的表达式;（Ⅱ）当车流密度为多大时，车流量（单位时间内通过桥上某观点的车辆数，单位：辆/每小时）可以达到最大，并求出最大值（精确到1辆/小时）参考答案：（Ⅰ）由题意：当时，；

…2分当时，设再由已知得所以………5分 故函数的表达式为………6分21.设集合W是满足下列两个条件的无穷数列的集合：①对任意，恒成立；②对任意，存在与n无关的常数M，使恒成立．（1）若是等差数列，是其前n项和，且试探究数列与集合W之间的关系；（2）设数列的通项公式为，且，求M的取值范围．参考答案：(1)设等差数列的公差是，则解得………1分∴

(3分)∴∴，适合条件①又，∴当或时，取得最大值20，即，适合条件②．综上，………（6分）（2）∵，

∴当时，，此时，数列单调递减；………9分当时，，即，………10分因此，数列中的最大项是，………11分∴，即M的取值范围是．………12分22.（本小题满分12分）

某工厂生产甲、乙两种产品，甲产品的一等品率为80%，二等品率为20%；乙产品的一等品率为90%，二等品率为10%，生产1件甲产品，若是一等品，则获利4万元；若是二等品，则亏损1万元，生产1件乙产