2021-2022学年广东省深圳市南山区高二（上）期末数学试卷

第1页（共1页）2021-2022学年广东省深圳市南山区高二（上）期末数学试卷一、单项选择题：本题共8道小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）直线x﹣y﹣1＝0的倾斜角α＝（）A．30° B．60° C．120° D．150°2．（5分）在等差数列{an}中，a1＝﹣1，a3＝3，则a10＝（）A．10 B．17 C．21 D．353．（5分）已知⊙O：x2+y2＝1与⊙C：x2+y2﹣2x﹣4y+1＝0，则两圆的位置关系是（）A．相交 B．相离 C．外切 D．内切4．（5分）已知双曲线C过点且渐近线为，则双曲线C的方程是（）A．3x2﹣y2＝1 B．x2﹣3y2＝1 C．y2﹣3x2＝1 D．3y2﹣x2＝15．（5分）若椭圆的短轴长是焦距的2倍，则C的离心率为（）A． B． C． D．6．（5分）在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，M为A1C1与B1D1的交点，若＝，＝，＝，则与相等的向量是（）A． B． C． D．7．（5分）已知等比数列{an}，满足log2a3+log2a10＝1，且a3a6a8a11＝16，则数列{an}的公比为（）A．4 B．2 C．±2 D．±48．（5分）数列{an}，{bn}满足anbn＝1，an＝n2+5n+6，n∈N*，则{bn}的前10项之和为（）A． B． C． D．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．（多选）9．（5分）若是平面α的一个法向量，是平面β的一个法向量，A，B是直线b上不同的两点，则以下命题正确的是（）A． B． C．α∥β⇔∃λ∈R，使得 D．设α与β的夹角为θ，则cosθ＝|cos＜，＞|（多选）10．（5分）已知椭圆C1：＝1（m＞1）与双曲线C2：＝1（n＞0）的焦点重合，e1，e2分别为C1，C2的离心率，则（）A．m＞n B．m＜n C．e1e2＞1 D．e1e2＜1（多选）11．（5分）已知Sn是等比数列{an}的前n项和，下列结论一定成立的是（）A．若a3＞0，则a2021＞0 B．若a4＞0，则a2021＜0 C．若a3＞0，则S2021＞0 D．若a4＞0，则S2021＞0（多选）12．（5分）设圆C：（x﹣3）2+（y﹣4）2＝9，过点P（1，2）的直线l与C交于A，B两点，则下列结论正确的为（）A．P可能为AB中点 B．|AB|的最小值为3 C．若，则l的方程为y＝2 D．△ABC的面积最大值为三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）若直线2x﹣y+1＝0与直线x+ay+3＝0平行，则a＝．14．（5分）已知＝（﹣1，1，2），＝（0，2，3），若k+与2﹣垂直，则k＝．15．（5分）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M，N分别为BC，CC1的中点，则直线A1B和MN夹角的余弦值为．16．（5分）已知点F（1，0），直线l1：x＝﹣1．动圆P过点F且与直线l1相切，其圆心P的轨迹为曲线C，C上的动点Q到y轴的距离为d1，到直线l2：x﹣y+2＝0的距离为d2，则d1+d2的最小值为．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）在等差数列{an}中，已知公差d＜0，a1＝10，且a2，a5，a7成等比数列．（1）求数列{an}的通项公式an；（2）求|a1|+|a2|+…+|a30|的值．18．（12分）已知圆C的圆心在直线y＝2x+4上，且经过点M（0，2）和N（2，4）．（1）求圆C的标准方程；（2）若过点P（1，0）的直线l与圆C交于A，B两点，且，求直线l的方程．19．（12分）已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝2an﹣2（n∈N*）．（1）求数列{an}的通项公式；（2）从下面两个条件中选择一个填在横线上，并完成下面的问题．①b2＝4，b4＝8；②b2是b1和b4的等比中项，T8＝72．若公差不为0的等差数列{bn}的前n项和为Tn，且____，求数列的前n项和An．20．（12分）如图，AB是过抛物线y2＝2px（p＞0）焦点F的弦，M是AB的中点，l是抛物线的准线，MN⊥l，N为垂足，点N坐标为（﹣2，﹣3）．（1）求抛物线的方程；（2）求△AOB的面积（O为坐标系原点）．21．（12分）图1是由等边三角形ABD和等腰直角三角形BDC组成的一个平面图形，其中BD＝2，∠BDC＝．将△ABD沿BD折起，若AC＝2，连接AC，如图2．（1）求证：平面ABD⊥平面BCD；（2）求二面角C﹣AB﹣D的余弦值．22．（12分）设圆x2+y2﹣2x﹣21＝0的圆心为P，点Q（﹣），点H为圆上动点，线段HQ的垂直平分线与线段HP交于点E，设点E的轨迹为曲线C．（1）求曲线C的方程；（2）若直线l与曲线C交于点A，B，与圆O：x2+y2＝2切于点M，问：|MA|•|MB|是否为定值？若为定值，求出该定值；若不为定值，说明理由．

2021-2022学年广东省深圳市南山区高二（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、单项选择题：本题共8道小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）直线x﹣y﹣1＝0的倾斜角α＝（）A．30° B．60° C．120° D．150°【分析】由直线方程可得直线的斜率，再由斜率和倾斜角的关系可得所求．【解答】解：可得直线的斜率为k＝＝，由斜率和倾斜角的关系可得tanα＝，又∵0°≤α＜180°∴α＝30°故选：A．【点评】本题考查直线的倾斜角，由直线的方程求出直线的斜率是解决问题的关键，属基础题．2．（5分）在等差数列{an}中，a1＝﹣1，a3＝3，则a10＝（）A．10 B．17 C．21 D．35【分析】由通项公式an＝a1+（n﹣1）d，求出d，再计算a10即可．【解答】解：在等差数列{an}中，a1＝﹣1，a3＝a1+2d＝3，解得d＝2，所以a10＝a1+9d＝﹣1+2×9＝17，故选：B．【点评】本题考查等差数列的通项公式，是基础题．3．（5分）已知⊙O：x2+y2＝1与⊙C：x2+y2﹣2x﹣4y+1＝0，则两圆的位置关系是（）A．相交 B．相离 C．外切 D．内切【分析】根据题意，由圆的方程求出两个圆的圆心和半径，求出圆心距，在判断两圆的位置关系．【解答】解：根据题意，⊙O：x2+y2＝1，其圆心为（0，0），半径r＝1，⊙C：x2+y2﹣2x﹣4y+1＝0，即（x﹣1）2+（y﹣2）2＝4，其圆心为（1，2），半径R＝2，圆心距|OC|＝＝，则有R﹣r＝1＜|OC|＜R+r＝3，则两圆相交，故选：A．【点评】本题考查圆与圆的位置关系，注意将圆的方程变形为标准方程，属于基础题．4．（5分）已知双曲线C过点且渐近线为，则双曲线C的方程是（）A．3x2﹣y2＝1 B．x2﹣3y2＝1 C．y2﹣3x2＝1 D．3y2﹣x2＝1【分析】根据题意，双曲线的渐近线为，可设双曲线方程为y2﹣2x2＝λ（λ≠0），又由双曲线过点P（1，），将点P的坐标代入可得λ的值，进而可得答案．【解答】解：根据题意，双曲线的渐近线为，可设双曲线方程为y2﹣3x2＝λ（λ≠0），∵双曲线过点P（1，），∴2﹣3＝λ，即λ＝﹣1．∴所求双曲线方程为3x2﹣y2＝1．故选：A．【点评】本题考查双曲线的标准方程的求法，需要学生熟练掌握已知渐近线方程时，如何设出双曲线的标准方程．5．（5分）若椭圆的短轴长是焦距的2倍，则C的离心率为（）A． B． C． D．【分析】先根据题意可知2c＝b，进而求得a和c的关系，离心率可得．【解答】解：依题意可知2c＝b，而a＝＝c∴椭圆的离心率e＝＝．故选：C．【点评】本题主要考查了椭圆的简单性质．属基础题．6．（5分）在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，M为A1C1与B1D1的交点，若＝，＝，＝，则与相等的向量是（）A． B． C． D．【分析】把用基底＜，，＞表示得答案．【解答】解：在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，∵＝，＝，＝，M为A1C1与B1D1的交点，∴＝＝＝＝．故选：D．【点评】本题考查空间向量的线性运算，考查转化思想，是基础题．7．（5分）已知等比数列{an}，满足log2a3+log2a10＝1，且a3a6a8a11＝16，则数列{an}的公比为（）A．4 B．2 C．±2 D．±4【分析】将已知条件转化为首项和公比的方程组，解方程组即可得到公比q．【解答】解：依题意，log2a3+log2a10＝log2（a3•a10）＝1，∴a3•a10＝＝2①，又a3a6a8a11＝＝16②，联立①②得q2＝4，又log2a3+log2a10＝1有意义，所以a3＞0，a10＞0，所以q7＝＞0，即q＞0，所以q＝2，故选：B．【点评】本题考查了等比数列的性质，考查了等比数列的通项公式，考查分析解决问题的能力和计算能力，属于中档题．8．（5分）数列{an}，{bn}满足anbn＝1，an＝n2+5n+6，n∈N*，则{bn}的前10项之和为（）A． B． C． D．【分析】推导出bn＝＝＝，由此能求出{bn}的前10项之和．【解答】解：数列{an}，{bn}满足anbn＝1，an＝n2+5n+6，n∈N*，∴bn＝＝＝，∴{bn}的前10项之和为：S10＝+++…+＝＝．故选：D．【点评】本题考查数列的前10项和的求法，考查裂项求和法等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．（多选）9．（5分）若是平面α的一个法向量，是平面β的一个法向量，A，B是直线b上不同的两点，则以下命题正确的是（）A． B． C．α∥β⇔∃λ∈R，使得 D．设α与β的夹角为θ，则cosθ＝|cos＜，＞|【分析】利用线面平行的性质判断A；利用面面垂直的性质判断B；利用面面平行的性质判断C；利用二面角的余弦值判断D．【解答】解：是平面α的一个法向量，是平面β的一个法向量，A，B是直线b上不同的两点，对于A，b∥α，∴AB∥α，∴＝0，反之，若＝0，则，∴b∥α或b⊂α，故A错误；对于B，∵α⊥β，∴＝0，反之，若＝0，则α⊥β，故B正确；对于C，∵α∥β，∴，∴∃λ∈R，使得，反之，若∃λ∈R，使得，则，∴α∥β，故C正确；对于D，设α与β的夹角为θ，则由两个平面的夹角定义和平面的法向量的性质得cosθ＝|cos＜，＞|，故D正确．故选：BCD．【点评】本题考查命题真假的判断，考查线面平行、面面垂直、面面平行、二面角的余弦值等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．（多选）10．（5分）已知椭圆C1：＝1（m＞1）与双曲线C2：＝1（n＞0）的焦点重合，e1，e2分别为C1，C2的离心率，则（）A．m＞n B．m＜n C．e1e2＞1 D．e1e2＜1【分析】由题意可得m2﹣1＝n2+1，即m2＝n2+2，由条件可得m＞n，再由离心率公式，即可得到结论．【解答】解：由题意椭圆C1：＝1（m＞1）与双曲线C2：＝1（n＞0）的焦点重合，可得m2﹣1＝n2+1，即m2＝n2+2，又m＞1，n＞0，则m＞n，由e12•e22＝＝＝＞1，则e1•e2＞1．故选：AC．【点评】本题考查双曲线和椭圆的离心率的关系，考查椭圆和双曲线的方程和性质，以及转化思想和运算能力，属于中档题．（多选）11．（5分）已知Sn是等比数列{an}的前n项和，下列结论一定成立的是（）A．若a3＞0，则a2021＞0 B．若a4＞0，则a2021＜0 C．若a3＞0，则S2021＞0 D．若a4＞0，则S2021＞0【分析】根据已知条件，结合等比数列的通项公式，以及前n项和公式，即可求解．【解答】解：对于A，若，则a1＞0，所以，故A正确，对于B，，则无法判定a1的正负，所以的正负无法判断，故B错误，对于C，＞0，则a1＞0，若q＝1时，S2021＝2021a1＞0，若q≠1，，故C正确，对于D，若＞0，若a1＞0，q＝1时，S2021＝2021a1＞0，若q≠1，S2021＝，当q＜﹣1时，a1＜0，所以S2021＜0，故D错误．故选：AC．【点评】本题主要考查等比数列的通项公式，以及前n项和公式，属于中档题．（多选）12．（5分）设圆C：（x﹣3）2+（y﹣4）2＝9，过点P（1，2）的直线l与C交于A，B两点，则下列结论正确的为（）A．P可能为AB中点 B．|AB|的最小值为3 C．若，则l的方程为y＝2 D．△ABC的面积最大值为【分析】判断点P在圆的内部，当CP⊥直线l时，P为AB的中点，且此时|AB|最小，利用弦长公式可求得，可分别判断ABC，利用基本不等式可判断D．【解答】解：由圆C：（x﹣3）2+（y﹣4）2＝9，知圆心（3，4），半径为r＝3，对于A：因为（1﹣3）2+（2﹣4）2＝8＜9，即点P在圆的内部，当CP⊥直线l时，P为AB的中点，故A正确；对于B：当CP⊥直线l时，|AB|最小，因为kCP＝＝1，所以kl＝﹣1，则直线l的方程为x+y﹣3＝0，圆心（3，4）到直线l的距离d＝＝2，所以|AB|＝2＝2，故B错误；对于C：当直线l斜率不存在时，即x＝1，此时|AB|＝2＝2，符合，当直线l斜率存在时，设直线l的方程为kx﹣y﹣k+2＝0，由|AB|＝2＝2，得d＝2，则圆心（3，4）到直线l的距离d＝＝2，解得k＝0，即y＝2，所以满足题意的直线为y＝2或x＝1，故C错误；对于D：S△ABC＝×|AB|×d＝×2×≤＝，当且仅当9﹣d2＝d2，即d＝时取等号，所以△ABC的面积最大值为，故D正确．故选：AD．【点评】本题考查直线与圆的位置关系，以及三角形的面积问题，属中档题．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）若直线2x﹣y+1＝0与直线x+ay+3＝0平行，则a＝．【分析】根据已知条件，结合两直线平行的公式，即可求解．【解答】解：∵直线2x﹣y+1＝0与直线x+ay+3＝0平行，∴2×a＝（﹣1）×1，解得a＝．故答案为：．【点评】本题主要考查两直线平行的公式，属于基础题．14．（5分）已知＝（﹣1，1，2），＝（0，2，3），若k+与2﹣垂直，则k＝．【分析】由题意，利用两个向量垂直的性质，两个向量的数量积公式，两个向量坐标形式的运算法则，计算求得k的值．【解答】解：∵＝（﹣1，1，2），＝（0，2，3），k+与2﹣垂直，∴（k+）•（2﹣）＝2k+（2﹣k）﹣＝2k×6+（2﹣k）×（0+2+6）﹣（0+4+9）＝0，则k＝﹣，故答案为：﹣．【点评】本题主要考查两个向量垂直的性质，两个向量的数量积公式，两个向量坐标形式的运算法则，属于基础题．15．（5分）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M，N分别为BC，CC1的中点，则直线A1B和MN夹角的余弦值为．【分析】连接BC1，A1C1，由MN∥BC1，所以∠A1BC1为异面直线A1B和MN的夹角，△A1BC1为等边三角形，可得∠A1BC1＝60°，可得直线A1B和MN夹角的余弦值．【解答】解：如图，连接BC1，A1C1，因为M，N分别为BC，CC1的中点，所以MN∥BC1，所以∠A1BC1为异面直线A1B和MN的夹角，又正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，A1B＝BC1＝A1C1，所以△A1BC1为等边三角形，所以∠A1BC1＝60°，所以直线A1B和MN夹角的余弦值为．故答案为：．【点评】本题考查了空间线线关系，考查空间角中的线线角的计算，属于基础题．16．（5分）已知点F（1，0），直线l1：x＝﹣1．动圆P过点F且与直线l1相切，其圆心P的轨迹为曲线C，C上的动点Q到y轴的距离为d1，到直线l2：x﹣y+2＝0的距离为d2，则d1+d2的最小值为﹣1．【分析】首先设动点坐，列关于x，y的方程，然后化简求出曲线C的方程，其次根据距离公式及二次函数性质求解即可．【解答】解：设P（x，y），由题意得|x﹣（﹣1）|＝⇒（x+1）2＝（x﹣1）2+（y﹣0）2⇒y2＝4x；设Q（，y），由题意得d1＝，d2＝＝，所以d1+d2＝+＝＝≥，则d1+d2的最小值为．故答案为：．【点评】本题考查了动点轨迹方程的求法，考查了点到直线距离公式，考查了最值问题，属中档题．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）在等差数列{an}中，已知公差d＜0，a1＝10，且a2，a5，a7成等比数列．（1）求数列{an}的通项公式an；（2）求|a1|+|a2|+…+|a30|的值．【分析】（1）根据条件列出关于d的方程，求得d，代入等差数列通项公式可得结果；（2）判断等差数列{an}中的正数项与负数项，去掉绝对值求解．【解答】解（1）a2＝10+d，a5＝10+4d，a7＝10+6d，又a2，a5，a7成等比数列，所以（10+d）（10+6d）＝（10+4d）2，化简得d2+d＝0，解得d＝﹣1或d＝0，又d＜0，所以d＝﹣1，可得数列{an}的通项公式an＝10﹣（n﹣1）＝11﹣n；（2）由（1）得an＝11﹣n，由an＝11﹣n≥0，得1≤n≤11，由an＝11﹣n＜0，得n＞11，所以|a1|+|a2|+⋯+|a30|＝（a1+a2+⋯+a11）﹣（a12+a13+⋯+a30）＝，所以|a1|+|a2|+⋯+|a30|＝245．【点评】本题考查了等差数列与等比数列的综合，属于基础题．18．（12分）已知圆C的圆心在直线y＝2x+4上，且经过点M（0，2）和N（2，4）．（1）求圆C的标准方程；（2）若过点P（1，0）的直线l与圆C交于A，B两点，且，求直线l的方程．【分析】（1）设圆心C（a，2a+4），由题意得，|CM|＝|CN|，结合两点间的距离公式求解a值，则圆心与半径可求，圆的方程可求；（2）若直线l的斜率不存在，直线l的方程为x＝1，符合题意；若直线l的斜率存在，设直线l的方程为y＝k（x﹣1），即kx﹣y﹣k＝0，由圆心到直线的距离等于半径求得k，则切线方程可求．【解答】解：（1）设圆心C（a，2a+4），由题意得，|CM|＝|CN|，∴，解得a＝0．∴圆心坐标为C（0，4），半径r＝|CM|＝2．则圆C的方程为x2+（y﹣4）2＝4；（2）若直线l的斜率不存在，直线l的方程为x＝1，此时|AB|＝，符合题意；若直线l的斜率存在，设直线l的方程为y＝k（x﹣1），即kx﹣y﹣k＝0，∵|AB|＝2，∴圆心C到直线l的距离d＝，即，解得k＝，得直线l的方程为15x+8y﹣15＝0．综上所述，直线l的方程为x＝1或15x+8y﹣15＝0．【点评】本题考查圆的方程的求法，考查直线与圆位置关系的应用，考查运算求解能力，是中档题．19．（12分）已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝2an﹣2（n∈N*）．（1）求数列{an}的通项公式；（2）从下面两个条件中选择一个填在横线上，并完成下面的问题．①b2＝4，b4＝8；②b2是b1和b4的等比中项，T8＝72．若公差不为0的等差数列{bn}的前n项和为Tn，且____，求数列的前n项和An．【分析】（1）根据公式an＝代入进行计算即可发现数列{an}是以2为首项，2为公比的等比数列，从而可计算出数列{an}的通项公式；（2）先设等差数列{bn}的公差为d（d≠0），然后根据已知条件列出关于首项b1与公差d的方程组，解出b1与d的值，根据等差数列的求和公式即可计算出Tn的表达式，进一步计算出数列的通项公式，最后运用错位相减法计算出前n项和An．【解答】解：（1）由题意，当n＝1时，a1＝S1＝2a1﹣2，解得a1＝2，当n≥2时，an＝Sn﹣Sn﹣1＝2an﹣2﹣2an﹣1+2，化简整理，得an＝2an﹣1，∴数列{an}是以2为首项，2为公比的等比数列，∴an＝2•2n﹣1＝2n，n∈N*，（2）方案一：选条件①，设等差数列{bn}的公差为d（d≠0），则，解得，∴Tn＝2n+×2＝n（n+1），∴＝＝（n+1）×，∴An＝2×+3×+4×+…+n×+（n+1）×，An＝2×+3×+…+n×+（n+1）×，两式相减，可得：An＝2×+++…+﹣（n+1）×＝1+﹣（n+1）×＝﹣•，∴An＝3﹣．方案二：选条件②，设等差数列{bn}的公差为d（d≠0），则由b2是b1和b4的等比中项，可得＝b1b4，即（b1+d）2＝b1（b1+3d），化简整理，得（b1﹣d）d＝0，∵d≠0，∴b1﹣d＝0，即b1＝d，∴T8＝8b1+d＝72，化简整理，得2b1+7d＝18，联立，解得，∴Tn＝2n+×2＝n（n+1），∴＝＝（n+1）×，∴An＝2×+3×+4×+…+n×+（n+1）×，An＝2×+3×+…+n×+（n+1）×，两式相减，可得：An＝2×+++…+﹣（n+1）×＝1+﹣（n+1）×＝﹣•，∴An＝3﹣．【点评】本题主要考查等差数列和等比数列的基本量的运算，以及运用错位相减法求前n项和．考查了分类讨论思想，方程思想，转化与化归思想，定义法，以及逻辑推理能力和数学运算能力，属中档题．20．（12分）如图，AB是过抛物线y2＝2px（p＞0）焦点F的弦，M是AB的中点，l是抛物线的准线，MN⊥l，N为垂足，点N坐标为（﹣2，﹣3）．（1）求抛物线的方程；（2）求△AOB的面积（O为坐标系原点）．【分析】（1）点N（﹣2，﹣3）在准线l上，求出准线l方程，推出p，然后求解抛物线方程．（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），利用平方差法求解，得到直线AB的方程，联立抛物线方程；解法1：直接解得y＝2或y＝﹣8，推出结果；解法2：由韦达定理求解，S△AOB即可．【解答】解：（1）点N（﹣2，﹣3）在准线l上，所以准线l方程为：x＝﹣2，……（1分）则，解得p＝4所以抛物线的方程为：y2＝8x．……（4分）（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），由A、B在抛物线y2＝8x上，所以，则（y1﹣y2）（y1+y2）＝8（x1﹣x2），……（6分）又MN⊥l，可知点M纵坐标为﹣3，M是AB的中点，所以y1+y2＝﹣6，……（7分）所以，又知焦点F坐标为（2，0），则直线AB的方程为：4x+3y﹣8＝0，……（9分）联立抛物线的方程y2＝8x，可得y2+6y﹣16＝0，……（10分）解法1：直接解得y＝2或y＝﹣8，所以|y1﹣y2|＝10；所以S△AOB＝S△AOF+S△BOF＝|y1﹣y2|＝10．……（11分）解法2：由韦达定理得．……（11分）所以S△AOB＝S△AOF+S△BOF＝|y1﹣y2|＝10．……（12分）【点评】本题考查抛物线的简单性质的应用，直线与抛物线的位置关系的应用，考查分析问题解决问题的能力，是中档题．21．（12分）图1是由等边三角形ABD和等腰直角三角形BDC组成的一个平面图形，其中BD＝2，∠BDC＝．将△ABD沿BD折起，若AC＝2，连接AC，如图2．（1）求证：平面ABD⊥平面BCD；（2）求二面角C﹣AB﹣D的余弦值．【分析】（1）只要证明平面ABD内直线AE垂直于平面BCD即可；（2）用向量数量积计算二面角的余弦值．【解答】（