山东省威海市民立中学2022-2023学年高三数学理测试题含解析

山东省威海市民立中学2022-2023学年高三数学理测试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.在中，角所对的边分别为，，，，则的值等于

(

)参考答案：C2.下列函数在定义域中既是奇函数又是增函数的是(

)A. B. C. D.参考答案：D3.如图，在三棱锥D﹣ABC中，∠ABC=90°，平面DAB⊥平面ABC，DA=AB=DB=BC，E是DC的中点，则AC与BE所成角的余弦值为（）A． B． C． D．参考答案：B【考点】异面直线及其所成的角．【分析】取AB中点O，以O为原点，过O作BC的平行线为x轴，OB为y轴，OD为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出AC与BE所成角的余弦值．【解答】解：取AB中点O，连结OD，∵在三棱锥D﹣ABC中，∠ABC=90°，平面DAB⊥平面ABC，DA=AB=DB=BC，∴OD⊥平面ABC，以O为原点，过O作BC的平行线为x轴，OB为y轴，OD为z轴，建立空间直角坐标系，设DA=AB=DB=BC=2，又E是DC的中点，∴A（0，﹣1，0），C（2，1，0），B（0，1，0），D（0，0，），E（1，，），=（2，2，0），=（1，﹣，），设AC与BE所成角为θ，则cosθ===．∴AC与BE所成角的余弦值为．故选：B．【点评】本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，考查空间想象能力、运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．4.设点P是函数的图象C的一个对称中心，若点P到图象C的对称轴上的距离的最小值，则的最小正周期是A．2π

B.π

C.

D.参考答案：答案：B解析：设点P是函数的图象C的一个对称中心，若点P到图象C的对称轴上的距离的最小值，∴最小正周期为π，选B.5.若为偶函数，且当时，，则不等式的解集为A． B． C． D． 参考答案：D略6.函数的最小正周期为，且．当时，那么在区间上，函数的零点个数是（

）A. B. C. D.参考答案：D7.函数y=x3－3x的极大值为m,极小值为n,则m+n为A．0

B．1

C．2

D．4参考答案：A8.已知，若函数不存在零点，则c的取值范围是（

）

A．

B．

C．

D．参考答案：C9.设集合，，则=(

)A．[－1,0)

B．(－∞,－1)

C．(－∞,－1]

D．(－∞,0)∪[2,+∞)参考答案：C由题意知，或，，故选C.10.设集合，集合，则等于（

）A．

B．

C．

D．

参考答案：二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知是第二象限角，且sin(，则tan2的值为

；参考答案：略12.已知点P（x，y）的坐标满足条件点O为坐标原点，那么|OP|的最大值等于．参考答案：【考点】简单线性规划．【专题】不等式的解法及应用．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利两点间的距离公式进行求解即可．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如右图所示，则OB的距离最大，由，即，即B（1，3），则．故答案为：．【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用两点间的距离公式是解决本题的关键．13.设m是实数，若x∈R时，不等式|x﹣m|﹣|x﹣1|≤1恒成立，则m的取值范围是．参考答案：[0，2]【考点】绝对值不等式的解法．【专题】不等式的解法及应用．【分析】由绝对值三角不等式，可得|x﹣m|﹣|x﹣1|≤|m﹣1|，再根据|m﹣1|≤1求得m的取值范围．【解答】解：∵|x﹣m|﹣|x﹣1|≤|（x﹣m）﹣（x﹣1）|=|m﹣1|，故由不等式|x﹣m|﹣|x﹣1|≤1恒成立，可得|m﹣1|≤1，∴﹣1≤m﹣1≤1，求得0≤m≤2，故答案为：[0，2]．【点评】本题主要考查绝对值三角不等式，绝对值不等式的解法，函数的恒成立问题，体现了转化的数学思想，属于基础题．14.若目标函数z=kx+2y在约束条件下仅在点（1，1）处取得最小值，则实数k的取值范围是．参考答案：（﹣4，2）【考点】7C：简单线性规划．【分析】作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，确定目标取最优解的条件，即可求出k的取值范围．【解答】解：作出不等式对应的平面区域，由z=kx+2y得y=﹣x+，要使目标函数z=kx+2y仅在点B（1，1）处取得最小值，则阴影部分区域在直线z=kx+2y的右上方，∴目标函数的斜率﹣大于x+y=2的斜率且小于直线2x﹣y=1的斜率即﹣1＜﹣＜2，解得﹣4＜k＜2，即实数k的取值范围为（﹣4，2），故答案为：（﹣4，2）．【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决线性规划题目的常用方法．根据条件目标函数仅在点（1，1）处取得最小值，确定直线的位置是解决本题的关键．15.设函数是奇函数，则=

．参考答案：016.已知函数在区间内任取两个实数，且，不等式恒成立，则实数的取值范围为

．参考答案：，表示点与点连线的斜率，因为，所以，，即函数图象在区间内任意两点连线的斜率大于1，即在内恒成立。由定义域可知，所以，即，所以成立。设，则，当时，函数的最大值为15，所以，即的取值范围为。17.已知a=sinxdx则二项式（1﹣）5的展开式中x﹣3的系数为．参考答案：﹣80【考点】二项式定理；定积分．【分析】利用积分求出a的值，然后求解二项展开式所求项的系数．【解答】解：a=sinxdx=﹣cosx=﹣（cosπ﹣cos0）=2．二项式（1﹣）5的展开式中x﹣3的系数为：，故答案为：﹣80．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（13分）（2013?宿迁一模）已知各项均为正数的数列{an}的前n项和为Sn，数列的前n项和为Tn，且，n∈N*．（1）证明数列{an}是等比数列，并写出通项公式；（2）若对n∈N*恒成立，求λ的最小值；（3）若成等差数列，求正整数x，y的值．参考答案：(1)，n∈N*;(2)λ≥3;(3)x=1，y=2．（1）因为，其中Sn是数列{an}的前n项和，Tn是数列的前n项和，且an＞0，当n=1时，由，解得a1=1，…（2分）当n=2时，由，解得；…（4分）由，知，两式相减得，即，…（5分）亦即2Sn+1﹣Sn=2，从而2Sn﹣Sn﹣1=2，（n≥2），再次相减得，又，所以所以数列{an}是首项为1，公比为的等比数列，…（7分）其通项公式为，n∈N*．…（8分）（2）由（1）可得，，…（10分）若对n∈N*恒成立，只需=3×=3﹣对n∈N*恒成立，∵3﹣＜3对n∈N*恒成立，∴λ≥3．（3）若成等差数列，其中x，y为正整数，则成等差数列，整理，得2x=1+2y﹣2，当y＞2时，等式右边为大于2的奇数，等式左边为偶数或1，等式不能成立，∴满足条件的正整数x，y的值为x=1，y=2．19.（本小题满分14分）已知数列的前项和记为，且满足．求数列的通项公式；设，记，求证：．参考答案：（Ⅰ）当时，，解得，----------------1分

当时，，，-----------------------------------------------------------------------2分两式相减得：，即，

------------------------------------------------------------------------------------------5分所以是以为首项，为公比的等比数列，所以，------------------6分（Ⅱ）证法1：当为偶数时，----------------------------7分

，--------------------------------10分=；-----------11分

当是奇数时，.综上可知.---------------------------------------------------------------------------------14分证法2：当时，，，,不等式显然成立-------8分当时,要证明，只要证明，只要证明.

--------9分又因为当时，，即故而

-----------------------------------------------12分----------------------------------------------------------------------13分.-------------------------------------------------------------------------------14分20.（本题满分14分）如图，在直三棱柱中，,,求二面角的大小。

参考答案：解析:如图，建立空间直角坐标系则A（2，0，0）、

C（0，2，0）

A1（2，0，2），B1（0，0，2）、C1（0，2，2）

……2分设AC的中点为M，∵BM⊥AC,

BM⊥CC1;∴BM⊥平面A1C1C,即=(1,1,0)是平面A1C1C的一个法向量。……5分设平面的一个法向量是 =（x，y，z），

=（-2，2，-2），

=（-2，0，0）

……7分设法向量的夹角为，二面角的大小为，显然为锐角…….14分21.在直角坐标系中，圆C的方程是x2+y2﹣4x=0，圆心为C，在以坐标原点为极点，以x轴的非负半轴为极轴建立的极坐标系中，曲线C1：ρ=﹣4sinθ与圆C相交于A，B两点．（1）求曲线C1和直线AB的直角坐标方程；（2）若过圆心C的直线C2：（t为参数）交直线AB于点D，交y轴于点E，求|CD|：|CE|的值．参考答案：【考点】Q4：简单曲线的极坐标方程；QH：参数方程化成普通方程．【分析】（1）曲线，所以，利用互化公式可得直角坐标方程，与曲线C的方程为联立相减可得直线AB的方程．（2）联立与直线AB的方程可得tD．理联立与y轴方程可得tE，即可得出．【解答】解：（1）曲线，所以，即…（2分）

又曲线C的方程为：x2+y2﹣4x=0．所以直线AB的方程为：，即．…5分（2）联立与直线AB的方程可得所以…（7分）理联立与y轴方程可得，所以…（9分）所以|CD|：|CE|=1：2．…（10分）【点评】本题考查了极坐标方程化为直角坐标方程、直线参数方程的应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．22.即将开工的上海与周边城市的城际列车铁路线将大大缓解交通的压力，加速城市之间的流通。根据测算，如果一列火车每次拖4节车厢，每天能来回16次；如果每次拖