九年级数学上册第章一元二次方程教案新人教版

2222十2222

二单要分教内．本单元教学的主要内容．一元二次方程概；解一元二次方程的方法；一二次方程应用题．．本单元在教材中的地位与作．一元二次方程是学习《一元一次方程一次程式程基础之上学习的，它也是一数学建模的方法．学好一元二方程是学好二次函数不可或缺的是学好高中数学的奠工程．应该说，一元二次方程本书的重点内容．教目1．识技了解一元二次方及有关概念；掌握通过配方法公式法、因式分解法降次──解元二次方程；掌依据实际问题建立一元二次方的数学模型的方法；应用熟练掌以上知识解决问题．2．程方（）过丰富的实例，让学生作探讨，老师点评分析，建立数模型根据数学模型恰如其分地出一元二次方程的概念．（）合八册上整式中的有关念介绍一元二次方程的派生概念如二次项等．（）过掌握缺一次项的一元次方程的解法──直接开方法导用方法解一元二次方程，又过大量的练习巩固配方法解一二次方程．（）过用已学的配方法解+bx+c=0（a≠0）导出解一二次方程的求根公式，接着讨论求根公的条件-4ac>0，-4ac=0，-4ac<0．（）过复习八年级上册《整》的第5节因分解进行知识迁移，解决用式分解法解一元二次程，并用练习巩固它．（）出问题、分析问题，建一元二次方程的数学模型并该模型决实际问题．3．感态与价观经历由事实问题抽象出一元二次方程等有关概的过程同学们体会通过一元二次方程也是刻现实世界中的数量关系的一个效数学模型；经历用配方法、公法、分解因式法解一一次方程的过程，使同学们体到转化等数学思想；经历设置丰的问题情景，使学生会到建立数学模型解决实际问的过程，从而更好地理解方程的义和作用，激发学生学习兴趣．教重．一元二次方程及其它有关的念．．用配方法、公式法、因式分法降次──解一元二次方程．．利用实际问题建立一元二次程的数学模型，并解决这个问题教难．一元二次方程配方法解题．．用公式法解一元二次方程时讨论．1

．建立一元二次方程实际问题数学模型；方程解与实际问题解区别．教关．分析实际问题如何建立一元次方程的数学模型．．用配方法解一元二次方程的骤．．解一元二次方程公式法的推．课划本单元教学时间需16课时，体分配如下：22．一元二次方程2课22．降次──解一元二次方7课22．实际问题与一元二次方5课发现一元二次方根与系数的关系2课时1课时221

二教内一元二次方程概及一元二次方程一般式及有关念．教目了解一元二次方的概念；一般式ax+bx+c=0（≠0）及其派生的念•应用元二次方程概念解一些简单题目．．通过设置问题，建立数学模•模仿一元次方程概念给一元二次方程下义．．一元二次方程的一般形式及有关概念．．解决一些概念性的题目．．通过生活学习数学，并用数解决生活中的问题来激发学生的习热情．重点键•重点：一二次方程的概念及其一般形式一元二次方程的有关概念并用这概念解决问题．2．难点关键：通过提出问题，建立一元二次方程的数学模型再由一元一方程的概念迁移到一元次方程的概念．教过一复引学生活动：列方．问题（）算趣题：“执竿进”笨人执竿要进屋无奈门框拦住竹，横多四尺竖二，没法急得放声哭。有个邻居聪明者教他斜竿对两角，笨伯依言试试，不多不少刚抵足。借问竿长多少数谁人算出我佩服。如果假设门的高•尺•那么，•个门的宽为_______尺长_______•尺，•根据题意，得________．整理、化简，得__________．2

222222232222222232问题（）如图，如果

ACABA

，那么点C叫做段AB的黄金分割点．CB如果假设AB=1，AC=x那么BC=________，根题意，得________．整理得_________．问题（）一面积为54的长方形，将它一边剪短，另一边剪短2m，恰好变成一个正方形，么这个正方形的边长是多少？如果假设剪后的方形边长为x那么原来长方形长________宽是_____根据题意，得：_______．整理，得：________．老师点评并分析何建立一元二次方程的数学模，并整理．二探新学生活动：请口下面问题．（）面三个方程整理后含有个未知数？（）照整式中的多项式的规，它们最高次数是几次？（）等号吗？还是与多项式样只有式子？老师点评都只含一个未知数x它们的最高次数都是的都有等号，是方程．因此，像样的程边都整，含有个知数一，并未数的高次是2（次的方，做元二方．一般地一关于x的一元二方程过整理能化成如下形式ax+bx+c=0（≠种形式叫做一元二方程一般形．一个一元二次方经过整理化成ax+bx+c=0（≠0）后，中ax是二次项a是次项系数；是一次项b一次项系数c常数项．例1将方程（=5(x+2)化成一元二次方程的一般形，并写出其中的二次项系数、一次项系及常数项．分一二方程的一般形式是ax+bx+c=a≠程（=5(x+2)必须运用整式运进行整理，包括去括号、移项．解：略注:二项二次系、次项一项系、数都包前的符例2生活动：请二至三位同学上台演练将程（）

2

+x-2）=•1化成一元二次方的一般形式并写出其的二次项二次项系数次项一次项系数常数项．分析：通过完全方公式和平方差公式把）（x-2=1化a+bx+c=0（≠）形式．解：略三巩练教材P练习123

222222222224m-42342m-1222222补充练判断下列方程是否为元二次方程222222222224m-42342m-1222222(1)3x+2=5y-3x=4(3)3x-

=0(4)-4=(x+2)

2

(5)x+bx+c=0四应拓例．求证：关于x的方程（m-8m+17），不m取何值，该方程都是一元二次方程．分析证明不论m取值程都是一元二次方程证明m

2

-8m+17≠0即可．证明：m-8m+17=（）+1∵（m-4）∴（m-4），即m-4）+≠∴不论m取何值该方程都是一元二次方程．•练习:1.方（2a—4）—2bx+a=0,在么条件下此方程为一元二次方？在什么条件下此方为一元一次方程？2.当m为何,方程m+1)x+27mx+5=0是关的一元二次方程五归小（生总结，老师点评）本节课要掌握：（）元二次方程的概念一元次方程的一般形式x+bx+c=0（≠0）和二次项、二次项系，一次项、一次项系数，常数的概念及其它们的运用．六布作．教材P习题22．1(2)(4)(6)、．．选用作业设计．补:x-2x+3=0是于的元二次方程求m的值作设一选题．在下列方程中，一元二次方的个数是（①x+7=0②x+bx+c=0③（x-2）-1④3x1．2个C3个．个

=0方程2x=（x-6化为一形式后二次项系数一次项系数和常数分别．2，，-6．2，-3，C．，-3，．2，，．px-3x+p-q=0是关的一二次方程，则（．p=1B．p>0．≠．p为意实数二填题1．方程3x-3=2x+1二次项系数为，次项系数_________，数项为_________．．一元二次方程的一般形式__________．．关于x的程）x2+3x=0一元二次方程，则a的值范围________．三综提题4

2222222222．a满足什么条件时，于方程a（x）x-x+1）是一元次方程？．关于x的程mm）3x=6可能是一元二次方程吗？为么？．一块矩形铁片，面积为，比宽多，铁片的，小明在做这道题时是这样做的：设铁片的长为，列出的方程为x（），理得x想知道铁片的长底是多少，下面是他的探索过：第一步：

2-3x-1=0．明列出方程后，x

1234x-3x-1-3-3所以，________<x<__________第二步：x3.13.23.33.4x-3x-1-0.96-0.36所以，________<x<__________（）你帮小明填完空格，完他未完成的部分；（）过以上探索，估计出矩铁片的整数部分_______，十分位为______课反2时22．1

二教内．一元二次方程根的概念；．•根据题意判一个数是否是一元二次方程的及其利用它们解决一些具体题目．教目了解一元二次方根的概念会判定一个数是否是一个一元二次方程的根及用它们解决一些具体问．提出问题，根据题列出方程，化为一元二次方的一般形式，列式求解；由解给根的概念；再由的概念判定一个数是否是根．时应用以上的几个知识点解决一具体问题．重点键．重点：判定一个数是否是方的根；•难点关键由实际问题列出的一元二次方解出根后还要考虑这些根是否确是实际问题的根．教过5

222222222222222一复引222222222222222学生活动：请同独立完成下列问题．问题1前面有关“执竿进屋”的问题,我们列得方-8x+20=0列表：x1234567891011„x-8x+20„问题2前面有关长方形的面积的问题,我们列得方x即+7x=44列表：x123456„x+7x

„老师点评（略）二探新提问题1中元二次方程的解多少？问题2中一元二次方程的解是少？（）果抛开实际问题，问题2中还有其它解吗？老师点评中x=2与x=10x-8x+20=0的解2中是x+7x-44=0的解（2）如果开实际问题，问题中还有x=-11的．一元二次方程的也叫一元二方的根回过头来看x-8x+20=0有个，一个，另一个是10，都满足题意；但是，问题2中的x=-11的不满足题意．因此，由实际题列出方程并解得的根，并不定是实际问题的根，还考虑这些根是否确实是实际问的解．例1下面哪些数是方2x+10x+12=0根？-4，，，，0，，，，．分析：要判定一数是否是方程的根，只要把其入等式，使等式两边相等即可．解：将上面的这数代入后，只-2和-满足程的等式，所以x=-2或是元二次方程2x+10x+12=0的根．例2.若x=1是关于x的一二次方程x2007(a+b+c)值

+bx+c=0(a≠0)的个根,求数练习:于x的一元二次方程a-1)x+x+a-1=0的一个根为0,则求的值点拨:如一个数是方程的根,那么把该数代入方程,一能使左右两边相等,这种解决问题的思维方经常用,同们要深刻理.例3你能用以前所学知识求出下列方程的根吗？（）x-64=0（）-6=0（3）-3x=0分析要出方程的根就是要求满足等式的数用直接观察结合平方根的意义．解：略三巩练教材P思考题练2．336

22223412222四应拓22223412222例3．剪一块面积为150cm的方形铁片，它的长比宽多5cm，这块铁片应该怎样剪？设长为xcm则宽为（）cm列方程xx-5）=150即x-5x-150=0请根据列方程回以下问题：（）x可能小于吗可能等于10吗说说你的理由．（）成下表：x1011121314151617„x

2

-5x-150（）知道铁片的长x是多少？分析：-5x-150=0与上两道例题明不同，不能用平方根的意义八年级上册的整式中的分解因的方法去求根，•是我们可以用一种新的方法─“夹逼”方法求出该方程的根．解）不可能小于5．理由如果x<5，则宽（x-5），合题意．x不可等于．理由：如果x=10则面积x-5x-150=-100也不可能．（）x1011121314151617„„x-5x-150-100-84-66-46-240

2654„„（）片长x=15cm五归小（生归纳，老师点评）本节课应掌握：（）元二次方程根的概念；（）会判断一个数是否是一二次方程的根；（）会用一些方法求一元二方程的根(夹逼”方;平方根的意义六布作．教材P复巩固3、综运用56、拓广探索89．．选用课时作业设计．作设一选题．方程x（x-1=2的两为（．x=0，=1．，x=-1C．x=1x=2．x=-1x=21121．方程axx-b）（b-x）的根（．x=b，=a．x=b，x=122

C．x，=

x1

，2．已知x=-1方程x

+bx+c=0的根b≠

acbb

=（．1．-1C．．27

222222222222二填222222222222．如果x-81=0，那x-81=0的两个根分别是x，=__________．12．已知方程5x+mx-6=0的一个根是x=3则m值为_______．．方程）

+

2

x（x+1），那么方程的根xx．1三综提题．如果是方程a

2

+bx+3=0的一根，求（a-b

+4ab的．．如果关于x一元二次方程ax+bx+c=0a≠）的二次项系数与数项之和等于一次项系数，证-1必该方程的一个根．3．在一次数学课外活动中，小明给全班同学演示了一个有趣的变，即在（

x2x

）

-2x

x

+1=0，令=y，则有-2y+1=0，据上述变形数学思想（换元xx小明给出的问题在x-）+（-1=0中，求出（x）+（-1）=0的根．课反3课时22.2.1直平教内运用直接开平方，即根据平方根的意义把一个元二次方程“降次化为两个一元一次方程．教目理解一元二次方“降次”──转化的数学思想并能应用它解决一些具体问题．提出问题，列出一次项的一元二次方程ax+c=0，根据平方根意义解出这个方程，然后知识迁移到（ex+f）2+c=0型的一元二次方程．重点键．重点：运用开平方法解形如x+m）学思想．

2

（≥）方程；领会降次──转化的数2．难点与关键：通过根据平方根的意义解形如x=n知识迁移到根据平根的意义解形如（x+m）（n0）的方程．教过一复引学生活动：请同们完成下列各题问题1填空8

2222222（2222222

-8x+______=（x-______

+12x+_____=（3x+_____

2

px+_____=（x+______）．问题1根据完全平方公式可得）4）2

p）22

．问题2前们都学过哪些方?二元怎样化成一元？一元二次方程于一一次方程有什么不同？二次何转化成一次？怎样降次？以学过哪些降次的方法？二探新上面我们已经讲x=平根的意开方x=3x换为2t+1，即（2t+1）=9，能否也用接开平方的方法求解呢？（学生分组讨论老师点评：回答肯定的，把2t+1变上面的x，那2t+1=±即，2t+1=-3方程的两根为t=1，=--212例1解方程(1)(2x-1)

2=5(2)x

2

+6x+9=2(3)x

2

-2x+4=-1分析：很清楚x+4x+4是一完全平方公式，那么原方程就化为）1．解：(2)由知，得）=2直接开平方，得x+3=

即

，x+3=-

所以，方程的两x=-3+2，=-3-1

例2市政府计划2年内将人均住房面积现在的房面积增长率．

提高到14.4m，每年人均住分析：设每年人住房面积增长率为x．一年后人均住房面就应该是10+•10x=10（年人均住房面积就应该是10（1+x+101+x）（1+x）解：设每年人均房面积增长率为x，则：10（）

2

=14.4（）=1.44直接开平方，得1+x=±即1+x=1.21+x=-1.2所以，方程的两是=0.2=20%，x=-2.21因为每年人均住面积的增长率应为正的，因此x=-2.2应舍．2所以，每年人均房面积增长率应为20%（学生小结）老引导提问：解一元二次方程，们的共同特点是什么？共同特点：把一一元二次方程“降次为个一元一次程•我把这种思想称为“降次转思想三巩练教材P练习．补充题：如图，中∠B=90，点P从B开始，沿AB边点以1cms的9

222222速度移动，点Q点B开始，沿BC向点以2cms速度移动，如果BC=12cm，•P、都从B点时出发，几秒eq\o\ac(△,后)PBQ的积等于m？222222CQAB老师点评：问题2设x后PBQ的面积于8cm则，BQ=2x依题意，得：

12

x²x=8根据平方根的意，得±2

即x1

，2

可以验证，-2都方程

12

x²的两，但是移动时间不能是负．所以2秒PBQ的面积等于8c2四应拓例3某司一月份营业额为1万元，第季度总营业额为3.31元，求该公司二、三月份营业额平增长率是多少？分析：设该公司、三月份营业额平均增长率为x，那么二月份的营额就应该是（月的营业额是在二月份的基础上再长的，应是1+x．解：设该公司二三月份营业额平均增长率为x那么1+（+（1+x）=3.31把（1+x）成一个数，配方得（1+x+

）2.56，即x+）2

=2．x+

33=±1.6，即x+=1.6，=-1.622方程的根为x=10%，=-3.11因为增长率为正，所以该公司二、月份营业额平均增长率为．五归小10

222212212222222212212222本节课应掌握：

由应用直接开平法解形如x

2

pp≥么x=±

转化为应用直接开平方解形（≥0mx+n=±p＜0则方程无解六布作．教材P复巩固1、．．选用作业设计一选题．若x2-4x+p=x+q，那么p、q的分别是（

到次转化之目的．p=4，．，q=-2．p=-4，q=2．，q=-2．方程3x的为（．3．-3．±．无实数根．用配方法解方程x-

x+1=0正确解法是（

12）=，x=±B），方程无解3

25）=，=+，=D93

51）=1x=，-3二填题．若8x-16=0，则x的值_________．．如果方程2（x-3）=72，么，这个一元二次方程的两根________．如果a、实数，满足

3

+b-12b+36=0那么ab的值_______．三综提题．解关于x的方程（x+m）n．．某农场要建一个长方形的养场，鸡场的一边靠墙（墙25m三用木栏围成，木栏长40m（）场的面积能达到180吗？能达到吗？（）场的面积能达到210m吗．在一次手工制作中，某同学备了一根长4米的铁丝，由于需要，现在要制成一个矩形方框，并要使面积尽可能大，你能帮助名同学制成方框，•说明你制作的理由吗？课反11

2222222222222222222222222222224课时22.2.2配(1)教内间接即通过变形用开平方法降次解方程．教目理解间接即通过形运用开平方法降次解方程，能熟练应用它解决一些具体问题通过复习可直接成=pp≥0）或（=pp≥0）的一元二次方程的法•引入不能直接化上面两种形式的解题步骤．重点键．重点：讲清“直接降次有困，如+6x-16=0的元二次方程解题步骤．2•难点与关：不可直接降次解方程化为可直接降次解方程的“化为”的转化法与技巧．教过一复引（学生活动）请学们解下列方程（）-1=5（2）（x-1-9=0（）4x+16x+16=9(4)4x+16x=-7老师点评：上面方程都能化成x=p或）p（0）的式，那么可得x=±

或mx+n=p（≥如：4x+16x+16=（2x+4）

,能把4x

2

+16x=-7化（2x+4

?二探新列出下面问题的程并回答：（）出的经化简为一般形式方程与刚才解题的方程有什么不呢？（）否直接用上面三个方程解法呢？问2使一块矩形场地的长宽多面为16m,场地的长宽各是多少？（）列出的经化简为一般形式的程与前面讲的三道题不同之处：前三个左边是含有x的全平方式而后二个不具有．（）能．既然不能直接降解方程，那么，我们就应该设把它转化为可直接降次解方程的程，下面，我们来讲如何转化：x

2

+6x-16=0移项→

+6x=16两边加62）

2

使左边配成+2bx+b

的形式x

+6x+32

=16+9左边写成平方形→（x+3）=•255即x+3=5或x+3=-5解一次方程x=2x=-81可以验证x=2x都是方程的,但场地的宽不能负值，所以场地的宽为2m，1常为8m.像面解方法通配成全方式来一二次程方，叫方．可以看出，配方是为了降次，把一个一元二次程转化为两个一元一次方程来解12

22B22222222222222例1用方法解下列关于的方程22B22222222222222（）x-8x+1=0（）-2x-

12

=0分析）显方程的左边不是一个完全平方式，因此，要按前面的方法化为完平方式）上解：略三巩练教材P讨改为课堂练，并说明理由．教材P练12四应拓例3如，在RtACB中∠C=90°AC=8m，CB=6m，点Q同时由AB两点出发分别沿ACBC方向向点C速移动，它们的速度都是，•几秒后△的面积为Rt△ACB面的一半．分析：设x秒△PCQ的面积为面积的一半也是角三角形根据已知列出等式．解：设x秒后PCQ的面为eq\o\ac(△,Rt)面积的一半．根据题意，得：

（）³³³整理，得：-14x+24=0（）=25=12，21x=12x是原方程的根，但x合题意，舍去．121所以2秒后△PCQ的积为eq\o\ac(△,Rt)面的一半．五归小本节课应掌握：左边不含有x的全平方形式的一元二次方程化左边是含有x的完全平方形式右边是非负数，可直接降次解方程的方程．六布作．教材P

45

复习巩固2．2．用业计．一选题．将二次三项式x配方得（+3）-3）3D）-3．已知x-8x+15=0，左边成含有x的完全平方形式，其正确的是（．x（）=31．x-8x+（）1．x

=1x

2-4x+4=-1113

2．如果m2

2

+2（3-2m）x+3m-2=0m≠）的左边是一个于的完平方式，则m等于（．1B-11或9．-1或9二填题．方程x2+4x-5=0的是_______．．代数式

x

x2

的值为0，则x的________．．已知x+y）-8=0，x+y的值，设x+y=z，则原方程可变_______，•所以求出z的值即为x+y的值，所以x+y的值______．三综提题．已知三角形两边长分别为和4，第三边是方程-4x+3=0的解，求这个三角形的周长．．如果x-4x++6y+

+13=0求（）的．3．新华商场销售某种冰箱，每台进货价为2500元，•场调研表明：•销售价为2900时，平均每天能出8台；而当销售价每降50元时，平均每天就多售出台商场要想使这种箱的销售利润平均每天达5000元每台冰箱的定价应为多少元？课反5课时22.2.2配(2)教内给出配方法的概，然后运用配方法解一元二次程．教目了解配方法的概，掌握运用配方法解一元二次程的步骤．通过复习上一节的解题方法，给出配方法的概，然后运用配方法解决一些具体目．重点键．重点：讲清配方法的解题步．．难点与关键：把常数项移到程右边后两边加上的常数是一次项系数一的平方．教、具备小黑板14

22222222242222教过22222222242222一复引（学生活动）解列方程：（）x-4x+7=0（2）2x-8x+1=0老师点评：我们一节课，已经学习了如何解左不含有完全平方形式•可以直接开方降次方程的转化问题，那么这两道也可以用上面的方法进行解题．解：略与(有关联?二探新讨论:方法届一元二次方程的般步骤：(1)将已知方程化为一般形式化次项系数为1）常项移到右边；（）程两边都加上一次项系数的半的平方，使左边配成一个全平方式；（）形(的式，如果q0，方的根是x=-p√q；果q0,方无实根．例1解下列方程（）+1=3x2）x-6x+4=03）2（）-4=0分析：我们已经绍了配方法，因此，我们解这方程就可以用配方法来完成，即一个含有的完全平方．解：略三巩练教材P练2四应拓例2用方法解方程6x+7）（3x+4）=6分析：因为如果开6x+7），那么方程就变得很杂，如果把）为个数y，那么6x+）=y，其它的3x+4=

1（）+x+1=（6x+7），此，方程就转化为•的方程，像这的转化，我们把它称为换元法解：设6x+7=y则3x+4=

y+，x+1=y-661依题意，得y（y+y-）=666去分母，得y（）y

（

-1），y

-y=72（-

289）=17y-=±2y=9或y（舍）∴±15

2452222222222224522222222222当y=3时，6x+7=36x=-4x=-

当y=-3时6x+7=-36x=-10x=-

所以，原方程的为1

5，-例3求证无论何值时代数-3y2

+8y-6恒小0.五归小本节课应掌握：1．配方法的概念及用配方法解一元二次方程的步骤．2．配方法是解一元二次方程的通法，它重要性，不仅仅表现在一二次方程的解法中，也可通过配，利用非负数的性质判断代数的正负性（如例3）在后学习二次函数，到高中学习次曲线时，还将经常用到。六布作1.教材复巩固3）补）知x+y+z-2x+4y-6z+14=0则求的值（2）证无论xy取任何实数多项式x-2x-4y+16的总是正数2.作设一选题．配方法解方程2x2-

x-2=0应把先变形为（2）B）=0381）=D）=992．下列方程中，一定有实数解的是（．x+1=0）=0C）+3=0．已知x+y+z-2x+4y-6z+14=0，则x+y+z的是（．1B．C．-1D．二填题．如果x，x=_______．．无论x、任何实数，多项式x+y-2x-4y+16的总_______．．如果16x-y）2+40（）+25=0，么x与关系________．三综提题．用配方法解方程．16

x-a2

222222222222（）9-18y-4=02x+3=23x．已知x

+4x+y

-6y+13=0，求

y

的值．3．某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出2，每件赢利40•了扩大销售，增加盈利，快减少库存，商场决定采取适降价措施，经调查发现，如果每件衬衫每降价一元，场平均每天可多售出件．①若商场平均每赢利1200元，每件衬衫应降价多少元？②每件衬衫降价少元时，商场平均每天赢利最？请你设计销售方案．课反6课时22.2.3公教内．一元二次方程求根公式的推过程；．公式法的概念；．利用公式法解一元二次方程教目理解一元二次方求根公式的推导过程，了解公法的概念，会熟练应用公式法解元二次方程．复习具体数字的元二次方程配方法的解题过程引入ax公式的推导公式并应用公式法解一元二次方程重点键．重点：求根公式的推导和公法的应用．．难点与关键：一元二次方程根公式法的推导．教过一习入

a≠）的根1．前我们学习过解一元二次方程的直接开平方法，方程（）=4=7提问1这种解法的（理论）依据是什么？提问2这解法的局限性是什么？（只对那种“平方式等于非负数”的特殊二次方程有效，能实施于一般形式的二次方程2．面对这种局限性，怎么办？（使配方法，把一般形式的二次程配方成能够“直接开平方的形式（学生活动）用方法解方程2+3=7x17

22222222（老师点评）略22222222总结用配方法解元二次方程的步骤（学生总结老师点评(1)将已知方程化为一般形式化次项系数为1）常项移到右边；（）程两边都加上一次项系数的半的平方，使左边配成一个全平方式；（）形(的式，如果q0，方的根是x=-p√q；果q0,方无实根．二探新用配方法解方程（）ax2－7x+3=0(2)a2+bx+3=0(3)果这个一元二次方程是一般形式x+（≠0能否用上面配方法的步骤求出它们的根，请同学独立完成下面这个题．x=2

问题已知ax（a≠0试推导它的两个根x=1b2ac(这个方程一定有解吗什么况下有解？2

b2ac2

，分析因前面具体数字已做得很多们现在不妨把abc也当成一个具体数字，根据上面的解题骤就可以一直推下去．解：移项，得a

2

+bx=-c二次项系数化为1，得x

x=-abb配方，得：+x+（）=-+（）aa2a

2b即（）=2a2∵

0，4a2＞当b-4ac≥时

aca

≥∴x+

b2

）=(

2a

)2b22直接开平方，得x+±即x=a2∴1

，=22a

ac由上可知，一元次方程a

+bx+c=0（≠的根由方程的系数abc定因：18

222222（）一元二次方程时，可以将方程化为一般形式+bx+c=0，当b222222

2

-4ac≥时•将abc代式子x=

b2

ac

就得到方程的根(公式所出现运算，恰好包括了所学过的六运算减除乘方方这体现了公的统一性与和谐性（）个式子叫做一元二次方的求根公式．（）用求根公式解一元二次方程方法叫公式法．公式的理解（）求根公式可知，一元二方程最多有两个实数根．例1用公式法解下列程．（）2-x-1=0（）x+1.5=-3x(3)x+

12

=0（）4x-3x+2=0分析：用公式法一元二次方程，首先应把它化一般形式，然后代入公式即可．补（5）三巩练教材P练1、(6)四应拓例2．数兴趣小组对关于x的方程（m+1

x

m

（m-2）x-1=0出了下列问题．（）使方程为一元二次方程m否存在？若存在求出m并此方程．（）使方程为一元二次方程m否存在？若存在，请求出．你能解决这个问吗？分：能使它为一元二次方程，必须足m+1=2，同时要满足）0．（）使它为一元一次方程，须满:①或②或(m2)m解1）存．根据题意，得

+1=2m=1m=±1当m=1时，m+1=1+1=2≠当m=-1，m+1=-1+1=0（不合题，舍去）∴当时方程为x-1-x=0a=2，c=-1b

2

-4ac=-1

2

-4³³）=1+8=9x=

912x，x=-12

19

222245222245因此，该方程是元二次方程时，，两根x=1，x-1（）在．根据题意，得：+1=1，=0，因为当m=0时）+（m-2）≠所以m=0满题意．②当m+1=0，m不在．③当m+1=0即m=-1时m-2=-3≠所以m=-1也满足题意．当m=0时一元一次方程是x-2x-1=0，解得：x=-1当m=-1，一元一次方程-解得x=-

．因此，当m=0或-时，该方程是一元一次方程，并且当m=0时，其根为x=-1；当m=-•1，其一一次方程的根为x=-

．五归小本节课应掌握：（）根公式的概念及其推导程；（）式法的概念；（）应用公式法解一元二次方程步骤:1将所给的方程变成一般式，注意移项要变号，尽量让a>0.2)找系数a,b,c,意各项的系数包括符号。计算-4ac，结果为负数，方程解4）若结为非负数，代入求根公式，算结果。（）步了解一元二次方程根情况．六布作1．教材P复巩固4．．选用作业设计一选题．用公式法解方程4x2

-12x=3，到（A．x=

2

．x=

362C．x=

333．x=220

222222222221232222222222222221232222．方程2x+43x+62=0的根是（A．x1

，=2

B．x，=12

C．x1

，=2

Dx=x=-1

3

-n

2

-n

2

-2），m

-n

2

的值是（．4B．4或2．-4或二填题．一元二次方程ax+bx+c=0a≠）求根公式________，条是________．．当x=______，代数式x的是．．若关于x的元二次方程m-1）+2m-3=0有根为0，则m的是____．三综提题．用公式法解关于x的方：x-2ax-

+a

2

=0．2x是元二次方程aa≠根x+x=-12（2）求代数式（+x）+b（）（x+x的值．1122

·x=；a．某电厂规定：该厂家属区的户居民一个月用电量不超过A千时•么这户居民这个月只交10元费果超过A千瓦那么个月除了交10•元用电外超过部分还要按每千瓦时

A

元收费．（）若户2月用电千瓦，超过规定千瓦时，则超过部分电费为少元？（用A示）（）表是这户居民3月、的用电情况和交费情况月份

用电量（千瓦时交电总金额（元）34

8045

2510根据上表数据，电厂规定的值为多少？课反课22.2.4判一方情教内用b-4ac大于、等于0、于0判axbx+c=0（≠0）的根的情及其运用．教目21

22222222222222222221掌握b22222222222222222221

2

-4ac>0，x

+bx+c=0a≠有两个不等的实根反之也成立；b

2

-4ac=0，ax+bx+c=0（≠0）有两个等的实数根，反之也成立；-4ac<0，ax+bx+c=0（≠0）没实根，反之也立；及其它们关系的运用．通过复习用配方解一元二次方程的-4ac>0、-4ac=0-4ac<0各一，分它们根的情况，具体到一般，给出三个结论并用它们解决一些具体题目．重点键1重点b

2

-4ac>0

一元二次方程有个不相等的实根

2

-4ac=0

一元二次方程有两个相等的实b2-4ac<0

一元二次方程没实根．．难点与关键从具体题目来推一元二次方程ax+bx+c=0（≠0）的b-4ac的情况根的情况的关系．教、具备小黑板教过一复引（学生活动）用式法解下列方程．（）2

2

-3x=0（2

-2

x+1=03+x+1=0老师点评位同学到黑板作）老师只要点评b-4ac=9>0有两个不相等的实根

2

-4ac=12-12=0有两个相等的实根b

-4ac=-4³³│=<0，•方程没有实根二探新方程

b-4ac值

b的符号

x、x的关1（填相等、不等不存在）2x-3x=03x-2x+1=04x+x+1=0请观察上表，结的号，归纳出元二次方程的根的情况。证明你猜想。从前面的具体问，我们已经知道b-4ac>0（，）根的情况，现在我们从求根公式的角度分析：求根公式：x=

2

，当b-4ac>0时，据方根的意义，

等于一个具体数，以一元一次方程的x=1

≠=22a

ac

，即有两22

2222222222222222222222222222222222222222个不相等的实根当b2时，根据平方根的意义

=0，以=x=1

，即有两个相等的根；当-4ac<0时根据平根的意义负没有平方根所以有实数解．因此论）当b-4ac>0时，元二次方程axbx+c=0（≠）有个不相等实数根即x1

b2acb，=2a

．（b-4ac=0时二方ax+（≠0个相等实数根即=x=1（）-4ac<0时一元二次方程+bx+c=0（≠）有实数根．例1不方程，判定方程根的情况

．（）16x

+8x=-3（）x

2

+6x+1=0（）2

2

-9x+8=0（）x-7x-18=0分析：不解方程判定根的情况，只需用b的大于、小于0、等于的况进行分析即可．解）化为16+8x+3=0这里，，c=3b2-4ac=64-4³³所以，方程没有数根．三巩练不解方程判定下方程根的情况（x+10x+26=0（-x-

=0（3x+6x-5=0（4x-x+

=0（）x-3x-四应拓

=0（）4x-6x=0（）x（）=5-8x例2若关于x的一元二次程a-2）x（用含的式子示

2-2ax+a+1=0没有实数解，求ax+3>0的集分析：要求ax+3>0的解集，就求ax>-3的集，那么就转化为要判定a的值是正、负或0因为一元二次方程a-2x-2ax+a+1=0没实数根，即-2a-4（a-2）<0就求出a的值范围解：∵关于x的元二次方程（a-2）x-2ax+a+1=0没有实根．∴（-2a）

2

-4（）=4a

-4+4a+8<0a<-2∵即ax>-3∴

∴所求不等式的集为x<-五归小

23

2246222222本节课应掌握：2246222222b-4ac>0

一二次方程ax2（≠两不相等的实根

一元二次方程ax2a≠有两个相等的根-4ac<0一二次方程ax+bx+c=0（≠）有实数及其它的运用．六布作．教材P复巩固6综合运用9拓广探索、2．．选用课时作业设计．第7课作设一选题．以下是方程-2x=-1的解的情，其中正确的有（．∵b-4ac=-8，∴方程有解．∵b-4ac=-8，∴方程无解．∵

2-4ac=8，方程有解．∵

2-4ac=8，方程无解．一元二次方程x-ax+1=0两实数根相等，则a的为（．a=0B．a=2或a=-2．a=2D．a=2或a=0．已知k≠，一元二次方程k-1x有，则的取范围是（．k≠2．．k<2且≠1D．为切实数二填题．已知方程x

2

+px+q=0有个相等的实数，则p与q的关系________．2．不解方程，判定x2-3=4x的根的况是______（填“二个不等实根”或“二个相等实根或没有实．已知b≠，不解方程，试判定关于一元二次方程x-2a+bx+（a+ab-2b）•=0根的情况________．三综提题．不解方程，试判定下列方程的情况．（）2+5x=3x2

（）x2-（）+4=0．当时，判别方程x+bx+c=0的根的情况．．不解方程，判别关于x的方-2kx+（）=0的根情况．．某集团公司为适应市场竞争赶超世界先进水平，每年将销售额的8%作新产品开发研究资金集团2000年入新产品开发研究资金为4000万元2002销售总额为7.2亿，求该集团2000年2002年的年售总额的平均增长率．8时22.2.5因分教内用因式分解法解元二次方程．教目掌握用因式分解解一元二次方程．24

2222221222通过复习用配方、公式法解一元二次方程，体和探寻用更简单的方法──因式解法解一元二次程，并应用因式分解法解决一具体问题．2222221222重点键．重点：用因式分解法解一元次方程．•难点与关：让学生通过比较解一元二次程的多种方法感悟用因式分解法解题简便．教过一复引（学生活动）解列方程．（1）+x=0（用配方法）23x+6x=0用公式法）1老师点评）配方法将方程两边同除以2后x前的系数应为，的半应为21，因此，应加上）2，同时减去（）4

2

）接用公式求解．二探新（学生活动）请学们口答下面各题．（老师提问上面两个方程中有没有常数项？（）式左边的各项有没有共因式？（学生先答，老解答）上面两个方程中都没有数项；左边都可以因式分:因此，上面两个程都可以写成：（）x（=0（）3x（）=0因为两个因式乘要等于0至其中一个因式要等于0也（x=0或2x+1=0，所以x=0，=-1

．（）3x=0x+2=0，所以=0，=-2上法是如何实降次的？）1因此，我们可以现，上述两个方程中，其解法不是用开平方降次，而是先因式解使方程化为两一次式的乘积等于0的式，再使这两个一次式分别等于，从而实现降次，这种解法做因式分解法．例1解方程（）10x-4.9x（x（x-2）x-2-2x-

13-2x+44(4)(x-1)=(3-2x)2思考使用因式分解法解一元二次程的条件是什么？解：略（程一边为0，一边可分解为两个一次因式乘练习：．面一元二次方程解中，正确的是（）=10³x-3=10，，x，712）（5x-2），∴（5x-2），∴=，=+4x=0，∴=2，=-212．x

=两边同除以，得x=125

2222222三巩练2222222教材P练12．例2已a-4b=0，求代数式

22aab

的值．分析：要求

b2aab

的值，首先要对进行化简，然后从已知条件入，求出a与b的关后代入，但也可以直接代入，因计算量比较大，比较容易发错误．解：原=

222b∵=0∴3a+2b）=03a+2b=0或3a-2b=0，a=-

2b或a=b32b当a=-b时原式-=33当a=

b时，式=．四应拓例3我们知x-（a+bx+ab=x-a么x-（a+bx+ab=0就可化为（=0，请你用上面的方法解下列方程．（）x-3x-4=0（2）x-7x+6=0（）x+4x-5=0分析：二次三项x

（a+b）x+ab的大特点x

2

项是由²成，常数项ab是由a（）而成的，而一次项-²²叉相乘而成的．根据上的分析，•我们可以对上面的三题分解因式．解（）∵x-3x-4=x-4∴（x-4）∴或x+1=0∴=4，=-112下略。上这种方法，我们把它称为十字相法．五归小本节课要掌握：（）因式分解法，即用提取因式法•十相乘法等解一元二次方程及其用．（）式分解法要使方程一边两个一次因式相乘，另一边为0•再分使各一次因式等于0．六布作26

4621222222222222222教材P复巩固5综运用8、10拓广探索114621222222222222222第8课作设、择．下面一元二次方程解法中，确的是（）=10³x-3=10，，x，712）（5x-2），∴（5x-2），∴=，=

2

+4x=0，x=2x=-212．xx两同除以x，得x=1．下列命题①方程k-x-2=0是一二次方程；x=1与方x=是解方程；③方程xx与方x=1是同方程；④由（x+1）可得x+1=3或x-1=3，其正确的命题有（0．1个C2个．个．如果不为零的n是关x的程-mx+n=0的，那么m-n的值为（．-

-1C

D1二填题．x-5x因分解结果_______；（x-3-5x-3）式分解的结果是_____．．方程2x-1）=2x-1的根是________．3．二次三项式x+分因式的结果________如果令20x+96=0那么它的两个根是_________．三综提题．用因式分解法解下列方程．（）3-6y=0（）y-16=0（3）-12x-28=0（）-12x+35=0．已知x+y），求x+y的．3．今年初，湖北武穴市发生禽流感，某养鸡专业户在禽流感后，算改建养鸡场，建一个面积为150的长方形养鸡场为了节约材料，鸡场的一边靠着原有的一条墙，墙长am另三边用篱围成果篱笆的长35m问鸡场与宽各为多少其中a20m课反9

二的复习教内习课教目能掌握解一元二方程的四种方法以及各种解法要点。会根据不同的方程特点选恰当的方法，是题过程简单合理，通过揭示各解法的本质联系，渗透降次化归思想27

22222222222222222242222222222222222224重点键1．重点：根据不同的方程特点选恰当的方法，是解题过程简单合理。2．难点：过揭示各种解法的本质系，渗透降次化归的思想。教过1．用不同的方法解一元二次方程x-5x-2=0(配方法，公式法，因式分解)教师点评：三种同的解法体现了同样的解题思——把一元二次方程“降次”转为一元一次方程解。2把下方程的最简洁法选填在括号内。(A)接开平方法(B)配方法(C)公式法因式解法（）x()(2)4(9x-1)=25()-()4x()12.5=0()(6)+2

x-4=0()说明一元二次方程解法的选择顺一般为因式分解法、公式法，没有特殊说明一般不采用配方法其中，公式法是一般方法，适于解所有的一元二次方程，因式解法是特殊方法解符合方程左边易式分解边0的特点的一元二次方程时，非常简便。3．将列方程化成一般式，在选择恰当的方法求解(1)3=x+4(2)(2x+1)(4x-2)=(2x-1)+2(3)(x+3)(x-4)=-6（-2(x-1)=6x-5说明：将一元二方程化成一般形式不仅是解一二次方程的基本技能，而节能为发的选择提供基。4.阅材料，解答问题：材料方(-1)-5(x-1)+4=0,们可以-1个整体设x-1=y,原方程可化为

2

.解y=1,y=4当=1时x

-1=1即x

，x=±

.当y=4时，-1=4即=5,±√。原程的解为x

,x=-

,x=√x=-√解答问题）空：在由原方程得到①的过程中用_______法达了降次的目的，体_______的数学思想解方程xx—6=0.5.小说说你对解一元一方程、二元一次方程组、一元次方程的认识(消元、降次、化归的思)(2)种方法（配方法、公式法、因式分解法）的联系与区别：联系①降次，即的解题的基本思想是：将二次程化为一次方程，即降次．②公式法是由配法推导而得到．③配方法、公式适用于所有一元二次方程，因分解法适用于某些一元二次方程区别：①配方法先配方，再开方求根．②公式法直接利公式求根．③因式分解法要方程一边为两个一次因式相乘一为0•再分别使一次因式等于028

5858作业P复习题221.课22.3实与次(1)教内由“倍数关系”问题建立数学模型，并通过配法或公式法或分解因式法解决实问题．教目掌握用“倍数关”建立数学模型，并利用它解一些具体问题．通过复习二元一方程组等建立数学模型，并利它解决实际问题，引入用“倍数系”建立数学模，并利用它解决实际问题．重点键．重点：用“倍数关系”建立学模型．难点与关键：用“倍数关系建立数学模型教过一复引（学生活动问题1列一元一次方程解应用题的步骤？①审题，②设出知.找等量关.④方程，⑤解方程，⑥答二探新上面这道题大家做得很好，这是一种利用一元次方程的数量关系建立的数学模型，那么还有没利用其它形式，也就是利用我前面所学过的一元二次方程建立学模型解应用题呢？同学们完成下面问题．（学生活动探究1:有人患了流,过两轮传染后共有121人患流,轮传染中平均一个传染了几个?分析:1第轮传染1+x第轮传染后1+x+x(1+x)解:设每轮传染中平均个人传染了x个人,则第一轮共有人患了流感第二轮后共有人患了流感列方程得1+x+x(x+1)=121+2x-120=0解方程得x=-12,x=10根据问题的实际,x=10答每传染中平均一个人传染了10个人思考按照这样的传染速度三轮传染后有多少患流?(121+121³通过对这个问题探,你对类的传播问题中的数量关系有新认识?（后一轮被传染人数前一轮患病人数的倍烈已于四.巩固练1.某植物的主干出若干数目的支干,每个支干又长出同样数目的小支,主干支干和小分支的总数是91,每个支干长出多少分?解设个支干长出x个小分支,则1+x+x.x=91即x2+x-90=0解得x1=9,x2=－10(不合题,去)29

=答每支干长出9个分支=2.要织一场篮球,两队之间都赛2场,计划安排90场比赛,应邀请少个球队参加比赛五归小本课掌：1.利“倍数关系”建立关于一元二方程的数学模型，并利用恰当方解它．2.列一二次方程解一元次方程的一般步骤（）审2设（3）列（）解（）验——检验方程解是否符合题意，将不符合题的解舍去答六布作．教材P58复题226．P34711课

22.3际与一次(2)教内建立一元二次方的数学模型，解决增长率与降率问题。教目掌握建立数学模以解决增长率与降低率问题。重点键．重点：如何解决增长率与降率问题。2．难点与关键：解决增长率与降低率问题的公式±b,中a是有量x增长（或降低）,为增（或降低）的次,b为增（或降低）后的量。教过探2两年前生产吨甲种药品的成本是元生产1吨乙种药品的成本是6000元随着生产技术的,现在生产1吨种品的成本是3000,生产1吨种药品的成本是3600，哪种药品成本的年均下降率较?分:甲种药品成的年平均下降额为(5000-3000)2=1000(元乙种药品成本的平均下降额为(6000-3600)2=1200(元乙种药品成本的平均下降额较但是,年平下降(元不等同于年平均下率解设种药品成本的年平均下降率x,一年后甲种药品成本为5000(1-x)元,两年后甲种药品成本5000(1-x)2元依题意得（1-x）=3000解方程得

..(

舍去)答甲药品成本的年平均下降率约22.5%.算一算乙药品成本的年平均降率是多?比较两种药品成本的年平均下降率(22.5%,相)思：过计算,你能出什么结论成本下降额较大的药品它的成本下降率一定也较大吗?应怎样面地比较对象的变化状况?（

经过计算,成本下降额较大的药品的成本下降率不一定大,比较降前及降后的价格.小：似地种增长率的问题在实际生活普存,有一定模式30

n=22若平均增长或降低百分率为x,长(或降)前的是a,长或降低n次后的量是b,则们的数量关系可表示为a(1±x)b(中增长取+降低取)n=22二固习（）林场现有木材a立米，预计在今后两年内年平均增长p%，那么两年后该林场有木材多少立?（）化工厂今年一月份生产化工料万吨，通过优化管理，产量逐年上，第一季度共生产化原料60万，二、三月份平均增长的百分相同，均x，可列出方程为__________(3)公2001年各项经营中，一月份营业额为200元，一月•二月、三月的营业额共950万元，果平均每月营业额的增长率相，求这个增长率．4.种细菌，一个细菌经过两轮繁殖后，共有256细菌，每轮繁殖中平均个细菌繁殖了多少个细菌三用展例2某人将2000元民币按一年期存入银行，到期后支取1000元用于购物剩下的1000元应得利息又全部按一年定期存入行，若存款的利率不变，到后本金和利息共1320，求这种存款方的年利率．分析：设这种存方式的年利率为x，一次存2000元1000元，下本金和利息是1000+2000x²；第二次存，本就变为1000+2000x²其它依此类推．解：设这种存款式的年利率为x则：1000+2000x²（1000+2000x²x²整理，得：1280x+800x+1600x=320，x+15x-2=0解得：-2（不符，舍去=1

18

=0.125=12.5%答：所求的年利是125%四纳结本节课应掌握：长率与降低率问题五业1P53-72．选用作业设计一选题12005年一份越南发生禽流感的鸡场家后二•三月份新发禽流感的养鸡场共家，设、三月份平均每月禽流感的感率为x，依题意列出方程是（．100（1+x）

2

=2501001+x）+100（1+x）

2

=250．100（1-x）

2

=2501001+x）

22．一台电视机成本价为a元销价比成本价增加，库存积压•以就按销售价的70%售，那么每台售价为（A1+70%）元B70%（1+25%）元C1-70%）元D1+25%+70%）元3．某商场的标价比成本高p%，当该品降价出售时，为了不亏损成本售的折扣（即降低的百分数）得超过d%则d可用p表示为（31

．

B．p．D．二填题1．某农户的粮食产量，平均每年的增长率为x，第一的产量为6万kg第二年的产量为______kg第三年的产量为______，三年产量_______．2糖2002食糖产量为at果在以后两年平均增长的百分率x那预计2004年的产量将________3．•我国政府为解决老百姓看病难的问题•决定下调药品价•某种药品1999年涨价30%•，•2001价70%•至a•元，•这种药品在1999•年涨价前价格是__________．三综提题1．为了响应国家“退耕还林我水流失的严重现状2000年我省某地退耕还林1600亩计到2002年一年退耕还林1936亩问这两年平均每年退耕还林平均增长率2．洛东方红拖拉机厂一月份生产甲乙两种新型拖拉机，其中乙型台，从二月份起，甲型每增产10台乙型每月按同的增长率逐年递增，又知二月份甲、乙两型的产量之比，三月份甲、乙两型产量之和为5台•求乙型拖机每月的增长率及甲型拖拉一月份的产量．2．某商场于第一年初投入50万进行商品经营•以后每年年终将当年获的利润与当年年初投入的资相加所得的总资金，作为下一年初投入的资金继续进行经营．（如第一年的年获利率为那第一年终的总资金是多少万（用数式来表示：年获利=

³）（）果第二年的年获利率多10个分点（第二年的年获利率是第一年的获利率与10%的和二年的总资金为66万元，求第一年的年获利率课反课22.3问元程(教内根据面积与面积间的关系建立一元二次方程的学模型并解决这类问题．教目掌握面积法建立元二次方程的数学模型并运用解决实际问题．32

232利用提问的方法习几种特殊图形的面积公式来入新课，解决新课中的问题．重点键232•重点：根面积与面积之间的等量关系建一元二元方程的数学模型并运用解决实际问题．．•难点与关键根据面积与面积之间的等量关建立一元二次方程的数学模型．教、具备小黑板教过一复引（一）通过上节的学习，大家学到了哪些知识方法？（二）上一节，们学习了解决“平均增(下降率问题”，现在，我们要习解决“面积、体积问。1．直角三角形的面积公式是什么•一般三角的面积公式是什么呢？．正方形的面积公式是什么呢长方形的面积公式又是什么？．梯形的面积公式是什么？．菱形的面积公式是什么？．平行四边形的面积公式是什？．圆的面积公式是什么？（学生口答，老点评）二探新现在，我们根据才所复习的面积公式来建立一数学模型，解决一些实际问题．例1．林场计划修一条长750m断面等腰梯形的渠道面面积为1.6m•上口宽比渠深多，底比渠深多．（）道的上口宽与渠底宽各多少？（）果计划每天挖土48m，需要多少天才能把这条渠道挖完？分：为渠深最小，为了便于计，不妨设渠深为xm则上口宽为，•渠底为x+0.4那么，根据梯形的面积式便可建模．解设渠深为xm则渠底为（x+0.4），上口宽为x+2m依题意，得：

（x+2+x+0.4x=1.6整理，得：5x+6x-8=0解得：1

=0.，=-2（舍）2∴上口宽为2.8m，渠底1.2m（）

1.6

=25天答：渠道的上口与渠底深各是2.8m和1.2m；要25天能挖完渠道．学活：2．图，要计一本书的封面，封面长27cm，宽21cm，正中央是一个与整个封面长比例相同的矩形，•如果要使四周的彩色边衬所占积是封面面积的四33

2222分之一边等宽边衬等如何设计四周边衬的宽确到0.1cm2222九年级数学同步

练习思考：本中有哪些数量关系？（）中央是一个与整个封面宽比例相同的矩形如何理解？（）何利用已知的数量关系取未知数并列出方程？老点：据题意知：央矩形的长宽之比等于封面的长之比＝：7由此可以判定：上下边衬宽左右边衬宽之比为97，设上、下衬的宽均为9xcm，则左右边衬的宽均为，题意，得：中央矩形的长为27-18x），宽为（）cm．因为四周的彩色衬所点面积是封面面积的

，则中央矩形的积是封面面积的．所以（21-14x）整理，得：6x-48x+9=0

³³解方程，得x=

64

，x≈2.8cm，≈0.212所以：9x（舍去9x=1.8cm，=1.4cm1因此，上下边衬宽均为1.8cm，左、边衬的宽均为1.4cm．分:这本书的长之比是9:7,依题知正中央的矩形两边之比也为9:7解法二设正中央的矩形两边分为9xcm，7xcm依题意得解方程，得：

1

392143322

(不合题,舍去)故上下边衬的宽:

33272754322

1.8左右边衬的宽度:

32142322

思考：对比几种法各有什么特点？34

22四应拓22例3某校了美化校,准备在一块长米宽20米的长方形场地上修筑若干条道,余下部分作草坪并请全校同学参与计,现在有两位生各设计了一种方案(如,根据两种设计方案各出方,求图道路的宽分别是多少使(1),(2)的坪面积为540米

.（）

练如图在宽为20m长32m的矩形地面上•修筑同样的两条平行且与另一条相互垂直的道，余下的六个相同的部分作为地，要使得耕地的面积为，道路的宽为多少？解法一设道路的宽为，我们利用“图形经过移动，的面积大小不会改变”的道理把纵、横两条路动一下，使列方程容易些（目是求出路面的宽，至于实际施工仍可按原图的位置修路）则可列方程：（20-x）32-2x）=500整理，得：

2

-36x+70=0解法二20³³=500例4．图（示在ABC中B=90°AB=6cmBC=8cm，点P从•开始沿AB边向点B以1cms的度运动Q从点B开始沿BC边点以2cms的速运动．（1）如果、Q分从A、同出发，经过秒钟，使．（）果PQ别从A、B同时出发，并且P到B后继在BC边上前Q到C•后又继续在CA边前进，经过几秒钟，使PCQ的积等于情提示：过点Q•作DQ⊥CB，垂足为，：

DQAB

）CQ

Q

CDPA

P(a)

B

A(b)

B35

2222分1）设经过x钟，使S2222PBQ便可得到一元二方程的数学模型．

，那么AP=x，QB=2x，由面积式（）设过秒钟，这里的使△PCQ的面积于12.6cm．为AB=6BC=8由勾股定理得AC=10，由于PA=y，CP=（14-y（2y-8由情示，便可得到DQ，么根据三角形的面积公式即可建模．解）设x秒，点PAB上点在BC上且使PBQ的面积为8cm．则：

（²整理，得：-6x+8=0解得：，12∴经过2秒，点到离1³处，Q离B点2³处经过秒，到离A点³处点离B³处，以它们都符合要求．（y秒后点移到BC上有（14-yQ在CA移动使（）cm，点Q作DQ⊥，足为D，则有∵AB=6，BC=8

DQAB∴由勾股定理，AC=

=10∴

6(26(y4)则：

（14-y²=12.65整理，得：-18y+77=0解得：=7y=111即经过7秒，点P在BC上C点7cm处（CP=14-y=7Q在CA上距点6cm处（•2y-8=6△的面积为12.6c．经过11秒，点P在上距点3cm处，点Q在CA上点14cm>10，∴点Q已过CA的范，即此不存在．∴小题只有一y=7．五归小本节课应掌握：用已学的特殊图形的面积公式立一元二次方程的数学模型并运它解决实际问题六布作．教材P综运用5、拓探索全部．．选用作业设计一、选题1．直角三角形两条直角边的和为，面积为6，斜边为（．

．5．

D．72．有两块木板，第一块长是宽的2倍，二块的长比第一块的长2m，是第一块宽的3倍，知第二块木板的面积比第一块大108m2，两块木板的长和宽别是（．第一块木板长18m，宽9m第二块木板长16m，宽36

2222222．第一块木板长12m，宽6m第二块木板长10m，宽2222222．第一块木板长9m宽4.5m，第二块木板长7m，宽．以上都不对3．从正方形铁片，截2cm宽一条长方形，余下的面是48cm，则来的正方形铁片的面积是（．8cmB．64cm．8cmD．cm二填题1．矩形的周长为82，面积为1，则矩形长和宽分别________．2．长方形的长比宽多4cm面积为60cm，则它周长________．3．如图，是长方形鸡场平面示意图，一边靠墙，另外三面用竹篱围成，若竹篱笆总长为35m所围的面积为150m，此长形鸡场的长、宽分别_______．D

C

D

HG

CAEF

B

EFA

B

图22-10三综提题1．如图所示的一防水坝的横截面（梯形顶3m，背水坡度