中考数学综合题专练圆的问题

中考综题七季圆的问）（共季）1.如图，直线y=﹣x+2分别与x、y轴交于B、，点A（﹣2，0是直线BC上的动点．（1）求∠ABC的大小；（2）求点P的坐标，使∠APO=30°；（3在坐标平面内平移直线试探索当BC在不同位置时使∠APO=30°的点P的个数是否保持不变？若不变指出点的个数有几个？若改变指出点P的个数情况，并简要说明理由．考一次函数综合题点：分（1）求得B、C的坐标，在直角△BOC，利用三角函数即可求解；析：2）取中点Q，以点Q为圆心，为半径长画圆⊙Q，⊙Q与直线BC的两个交点，即为所求；（3）当BC在不同位置时，点的个数会发生改变，使∠APO=30°的点的个数情况有四种：1个、2、3个、4个．如答图2所示．解解）在y=﹣x+2中，令x=0，得y=2；答：y=0，得x=2，∴C（0，2（2，0∴OC=2，OB=2．tan∠ABC===，∴∠ABC=60°．（2）如答图1所示，连接AC-1-

由（1）知∠ABC=60°，∴BC=2OB=4．又∵AB=4，∴AB=BC，∴△ABC为等边三角形，AB=BC=AC=4取AC中点Q，以点Q为圆心，为半径长画圆，与直线交于点P，P．12∵QP=2，QO=2，∴点P点C重合，且⊙Q经过点O．11∴P（0，21∵QA=QO，∠CAB=60°，∴△AOQ等边三角形．∴在⊙Q中，AO所对的圆心角∠OQA=60°，由圆周角定理可知，AO所对的圆周角∠APO=30°，故点、P合条件．12∵QC=QP，∠ACB=60°，∴△P为等边三角形．∴P，∴点P2222BC的中点．∵B（2，0（0，2（1，2综上所述，符合条件的点P坐标为（，2（3）当BC在不同位置时，点的个数会发生改变，使∠APO=30°的点的个数情况有四种：1个、2、3个、4个．如答图2所示，-2-

以AO为弦，AO所对的圆心角等于的圆共有2个，记为⊙Q，⊙Q′，点Q，Q′关于x轴对称．∵直线BC与⊙Q，⊙Q′的公共P都满足∠APO=∠AQO=∠AQ′O=30°，∴点P的个数情况如下：①有1个：直线BC与⊙Q（或⊙Q′）相切；②有2个：直线BC与⊙Q（或⊙Q′）相交；③有3个：直线BC与⊙Q（或⊙Q′）相切，同时与⊙Q（或⊙Q′）相交；直线BC过⊙Q与⊙Q′的一个交点，同时与两圆都相交；④有4个：直线BC同时与两圆都相交，且不过两圆的交点．2.如图12平面直角坐标系中与

轴相切于点C(0,4)轴相交于A、B两点，且AB=6.（1）则D点的坐标是（，），圆的半径为；（2ACB=过C三点的抛物线的解析式；（3）设抛物线的顶点为F,证明直线与圆D相切；（4）x

轴下方的抛物线上，是否存在一N，使面积最大，最大值是多少，并求出点坐标.解：（1）（5，4）------------1分5------------2分1（2）sinACB=，22

--------------4分

图12PN（3）证明：因为D为圆心，A在圆周上，故只需证-3-

221222129抛物线顶点坐标：(5,,DF4,AF2)，（5分）4444所以

22

625164

2DAF所以AF切于圆D。（6分）（4）存在点N，CBN面积最小。设N点坐标（

15a24

）,过点N作NP与y轴平行，交BC于点。可得P点坐标为（

12

a

）----------------7分N∴NP=

111a-a）=224

2

a∴S

△BCN

=S

△BPN

+S

△PCN

=

1×BO×PN=×8×（2

1aa4

）=16-(a-4)2-----------8当a=4时，S最大，最大值为16。此时，N（4，-2）分部分小方不一，不做法可酌情分，参如下：（4）、存在点N，做一条与BC平行的直线，平移，当它与抛物线有一个交点时，此时以为底的三角形高度最大。抛物线与该直线的交点，就是所求的点。易求BC的K值，所以设动直线为：，与抛物线联立：1y1y2x4

1消去yx0,4

（1分）因为有一个交点，所以，0,4所以

12524

N

（1分）-4-

过N做y轴的平行线，交BC于一点，求此点坐标1BC：,令解得∴三角形BCN面积的最大值=2（1分）若（3）问用高中点到直线距离公式也给分。3.如图6-1，过点A（，4）的圆的圆心坐标为C（，0）B是第一象限圆弧上的一点，BC⊥AC，抛物x

bx经过CB点，轴的另一交点为D。（1）点B的坐标为（，），抛物线的表达式为（2）如图6-2，求证：BD//AC（3）如图，点为线段BC一点，且AQ=5，直线AQ交⊙C于点P，求AP的长。解析：-5-

4.已知抛物线的顶点且与轴交(2,0)(2,0).（1）直接写出抛物线解析式；（2）如图，将抛物线向右平k个单位，设平移后抛物线的顶点D，x轴的交点为A、，与原抛物线的交点为P①当直线OD以AB直径的圆相切于E，求此k值；②是否存在这样的k值，使得、D点恰好在同一条直线上？若存在，求出

k

值；若不存在，请说明理由.

DPE

O

A

C

B

x

A

x-6-

，，解分（2）连接CE,，∵OD是⊙切线CE⊥OD分

在eq\o\ac(△,Rt)中，∠CED=

，

CE=AC=2，=4，∴∠=

．．４分∴在eq\o\ac(△,Rt)中，∠=CD=，∠=

43

分∴当直线OD与以AB直径的圆相切时，kOC

43

．7分(3)设平移k个单位后的抛物线的解析式是

yx)

4它与y交于点P，可得点P的坐标是

kk(,4)

分（也可根据对称性直接写点P的横坐标是

，再求纵坐标

）方法设直线OD解析式ax，把Dk,4)代入，x．．．．．9分若点P

kk(在直线y上,4k2

，解k

，分∴当

k2

时D三点在同一条直线上．12分方法假设O、P、在同一直线上时；过点D、P别作⊥x轴于F、⊥轴于G,则DF∥PG．．．．．9分-7-

OGPGkOGPGk∴△OPGeq\o\ac(△,∽)ODF

，

∴．．．．．．．10分OF∴∴

OGOFk，k2

，

分∴当

k

点OD同一条直线上．．．．分

D

DE

P

A

B

O

A

GF

B

5.

分2013衡）如图，在平面角坐标系中，已A（（06M经过原点O点A、B．（1求M半径及圆心的标；（2过点B作M的线l求直线l的解析式；（3∠BOA的分线交AB于N，⊙M于，求点N坐标和线段OE的．解答解）∠∴AB为M的直径，∵A（8B0∴OA=8，OB=6∴AB==10，∴⊙M的径为；心M的坐标为（4，3（2点B作⊙M的线l交x轴如图，∵BC与⊙M切，为径，∴ABBC-8-

∴∠ABC=90，∴∠CBO+°，而∠BAO=，∴∠∠CBO∴eq\o\ac(△,)∽eq\o\ac(△,)，∴

=

，即

=，得，∴点标为（﹣，设直线BC的析式为y=kx+b，把B，6点﹣，0）别代入，解得，∴直线l的析式为y=；（3作ND⊥轴，连结AE如图，∵∠BOA的分交AB于，∴△为等腰直角三角形，∴ND=OD，∴∥OB，∴△∽AOB，∴：OB=AD：AO，∴：（8﹣，得ND=

，∴OD=

，ON=ND=

，，∴点标为（∵△∽△AOB∴：OB=AN：，即

：6=AN：，解得

，∴BN=10﹣

=

，∵∠，∠∠，∴△BON∽△，∴：NE=ON：AN即∴OE=ON+NE=+

：NE=．=7

：，得NE=

，-9-

6.如图，在坐标系中，已知D(5，4)，B(－3，0)，过D分别作DA、垂直于x轴，y轴，垂足分别为、C两点，动点P从O点出发，沿轴以每秒1个单位长度的速度向右运动，运动时间为秒。（1）当t何值时，∥DB；（3分）（2）当t何值时，⊥BC；（4分）（3）以点P为圆心PO长为半径的⊙P随点P的运动而变化，当⊙P与△BCD的边（或边所在的直线）相切时，求t的值。（3分）D

yYCABOPx解答解）（﹣5，B﹣3D点别作、DC垂直于轴，轴垂足分别为A、C两，∴，，OB=3，∵DCy轴x⊥轴∴DC∥BP∵∥，∴四边形DBPC平行四边形，∴，∴OP=5﹣3=2，，即当t为秒∥；（2⊥BCx轴y轴-10-

∴∠∠COB=BCP=90∴，∴∠PCO+∠BCO=90，CPO+∠PCO=90，∴∠∠BCO，∴△∽△，∴

=

，∴=∴OP=÷1=

，，，即当t为

秒时，PC⊥BC（3设⊙的径是R，分为三种情况：①当与线DC相切时，如图，过作⊥DC交DC延线于M则PM=OC=4=OP，÷1=4，即t=4；②如图，当⊙与BC相时，-11-

∵∠°，BO=3，由勾股定理得BC=5∵∠PMB=COB=90，∠PBM∴△∽△PBM∴∴=

=

，，R=12÷，即t=12秒③根据勾股定理得：如图，当⊙与DB切时，

=2

，∵∠PMB=°，∠ABD=∠PBM，∴△ADB∽△MPB，-12-

∴∴=

=

，，R=6；（6）+12，即（）．7．在平面直角坐标系xOy中，已知A（6，（0，动点C在以半径为3的⊙O上，连接，过点作OD⊥OCOD与⊙O相交于点D（其中点C、O、D按逆时针方向排列连接AB．（1）当OC∥AB时，∠BOC的度数为45°或135°；（2）连接AC，BC，当点C在⊙O上运动到什么位置时，△ABC的面积最大？并求出△ABC的面积的最大值．（3）连接AD，当OC∥AD时，①求出点C的坐标；②直线BC是否为⊙的切线？请作出判断，并说明理由．考圆的综合题．点：专综合题．题：分（1）根据点A和点B坐标易得△为等腰直角三角形，则∠OBA=45°，析：于OC∥AB，所以当C点在y轴左侧时，有∠BOC=∠OBA=45°；当C点在y轴右侧时，有∠BOC=180°﹣∠OBA=135°；（2由△为等腰直角三角形得AB=OA=6根据三角形面积公式得到当点C到AB的距离最大时，△的面积最大，过O点作OE⊥AB于，OE的反向延长线交⊙O于C，此时C点到AB的距离的最大值为的长然后利用等腰直角三角形的性质计算出OE，然后计算△ABC的面积；（3过C点作CF⊥x轴于F证Rt△∽Rt△AOD

==，解得CF=，再利用勾股定理计算出OF=

，则可得到C点坐标；-13-

②由于OC=3OF=所以∠COF=30°则可得到∴BOC=60°∠AOD=60°，然后根据“SAS”判断△BOC≌△所以∠BCO=再根据切线的判定定理可确定直线BC为⊙O的切线．解解）∵点A（6，0B（0，6答：OA=OB=6，∴△OAB为等腰直角三角形，∴∠OBA=45°，∵OC∥AB，∴当C点在y轴左侧时，∠BOC=；当C点在y轴右侧时，∠BOC=180°﹣∠OBA=135°；（2）∵△OAB为等腰直角三角形，∴AB=OA=6，∴当点C到AB的距离最大时，△的面积最大，过O点作OE⊥AB于E，OE反向延长线交⊙O于，如图，此时C点到AB的距离的最大值为CE的长，∵△OAB为等腰直角三角形，∴AB=OA=6，∴OE=AB=3，∴CE=OC+CE=3+3

，ABC面积=CE•AB=×3+3）×6=9+18∴当点C在⊙O上运动到第三象限的角平分线与圆的交点位置时eq\o\ac(△,，)ABC的面积最大，最大值为9+18．（3）①如图，过C点作CF⊥轴于F，∵OC∥AD，∴∠ADO=∠COD=90°，∴∠DOA+∠DAO=90°而∠DOA+∠COF=90°，∴∠COF=∠DAO，∴Rt△OCF∽Rt△AOD，∴=，即=，解得CF=，在Rt△OCF中，OF=

=

，∴C点坐标为（﹣

，②直线BC是⊙O的切线．理由如下：在Rt△OCF中，OC=3，OF=，∴∠COF=30°，-14-

∴∠OAD=30°，∴∠BOC=60°，∠AOD=60°，∵在△BOC和△AOD中，∴△BOC≌△AOD（SAS∴∠BCO=∠ADC=90°，∴OC⊥BC，∴直线BC为⊙O的切线．8.如图，在平面直角坐标系中，四边形是边长为2的正方形，二次函数y=ax+bx+c的图象经过点与x轴分别交于点E且点E的坐标（﹣，00C为直径作半圆，圆心为．（1）求二次函数的解析式；（2）求证：直线BE是⊙D的切线；（3）若直线BE与抛物线的对称轴交点为，M是线段CB上的一个动点（点与点B，C不重合点M作MN∥BE交x轴与点N，连PM，PN，设CM的长为t，△PMN的面积为S，求S与t的函数关系式，并写出自变量t的取值范围．S是否存在着最大值？若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由．-15-

考点次函数综合题．分析1）根据题意易得点、B的坐标，然后把点A、、E的坐标分别代入二次函数解析式，列出关于a、b、c的方程组，利用三元一次方程组来求得系数的值；（2）如图，过点D作DG⊥BE点G，构建相似三角形△EGD∽△ECB，根据它的对应边成比例得到=，由此求得（圆的半径是则易证得结论；（3）利用待定系数法可求得直线的方程．则易求P点坐标．然后由相似三角形△MNC∽△BEC的对应边成比例，线段间的和差关系得到CN=t，DN=t1．所以S=S

△PND

+S

梯形

﹣S

△MNC

=﹣+t（0＜t＜2抛物线的性质可以求得S的最值．解答：2解）由题意，得A（0，2（2，2的坐标为（﹣，0则，解得，，∴该二次函数的解析式为：y=x2+x+2；（2）如图，过点D作DG⊥BE点G．由题意，得ED=+1=，EC=2+=，BC=2，∴BE==．∵∠BEC=∠DEG，∠EGD=∠ECB=90°，∴△EGD∽△ECB，∴=，-16-

△PND△MNC梯形△PND△MNC梯形∴DG=1．∵⊙D的半径是1，且DG⊥BE∴BE是⊙D的切线；（3）由题意，得E（﹣，0（2，2设直线BE为y=kx+h（k≠0则，解得，，∴直线BE为：y=

x+．2∵直线BE与抛物线的对称轴交点为P，对称轴直线为x=1，5∴点P的纵坐标y=，即P（1，4∵MN∥BE，∴∠MNC=∠BEC．∵∠C=∠C=90°，∴△MNC∽△BEC，∴

=

，∴

t=，则CN=t，2∴DN=t﹣1，5∴S=DN•PD=t．62S=CN•CM=t3

2

．51S=（PD+CM）•CD=t．82∵S=S

△PND

+S

梯形

﹣S

△MNC

=﹣

+t（0＜t＜2∵抛物线S=﹣

+t（0＜t＜2）的开口方向向下，∴S存在最大值．当t=1时，S

最大

=

．-17-

9.如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点的坐标为（0，4B的坐标为（，0C的坐标为（﹣4，P在射线AB上运动，连结与y轴交于点D，连结．过PD，三点作⊙Q与y轴的另一个交点为，延长交⊙Q于点F，连结EF，BF．（1）求直线AB的函数解析式；（2）当点P在线段AB（不包括A，两点）上时．①求证：∠BDE=∠ADP；②设DE=x，DF=y．请求出y关于x函数解析式；（3）请你探究：P在运动过程中，是否存在以B，DF为顶点的直角三角形，满足两条直角边之比为2：1？如果存在，求出此时点的坐标：如果不存在，请说明理由．考一次函数综合题．点：分（1）设直线AB的函数解析式为，把（4，0）代入即可；析：2）①先证出△BOD≌△COD，得出BOD=∠CDO，再根据∠CDO=∠ADP，即可得出∠BDE=∠ADP，②先连结PE据∠ADP=∠DEP+∠DPEBDE=ABD+∠ADP=∠BDE，∠DEP=∠ABD，得出∠DPE=∠，再证出∠DFE=∠DPE=45°，最后根据∠DEF=90°，得出△是等腰直角三角形，从而求出DE，即y=x；（3）当∽△FHB，

=2时，过点F作FH⊥OB于点H，则∠DBO=BFH，再证出△BOD===2，得出FH=2，OD=2BH，再根据∠∠EOH=∠-18-

OEF=90°得出四边形OEFH是矩形OE=FH=2EF=OH=4OD根据DE=EF，求出OD的长从而得出直线CD的解析式为最后根据

求出点P的坐标即可；当=时，连结EB，先证出△是等腰直角三角形，过点作FG⊥OB于点G，同理可得△BOD∽△FGB，

===，得出，OD=BG，再证出四边形OEFG是矩形，求出OD的值，再求出直线的解析式，最后根据即可求出点P的坐标．解解）设直线AB的函数解析式为，答：入（4，0）得：4k+4=0，解得：k=﹣