2019年北京市东城区高考数学一模试卷-含详细解析

2222019北市东城区高考数一模试卷（科）222副标题题号

一

二

三

总分得分一、选择题（本大题共小，共分已集合A={|2xx0}，={x+1＞0}则∩=（）B.C.D.

在复平⾯面内，若复数（2-i对的点在⼆象，则可为（）

B.C.

i

D.

已知圆：xxy=0，则圆心C到直线=3的离等于（）

B.

C.

D.

设的AC的中点，

，则，的分别为（）

B.C.D.正方体被一个平面截一部分，所得几何体的三视图如图所示，则该截面图形的形状为（）B.C.D.

等腰三角形直角三角形平行四边形梯形

若x，y满，x-y的大值为（）

B.

C.

D.

南北朝时代的伟大数学家祖暅在数学上有突出贡献实践的基础提出祖暅原理：“幂势既同则不容异.含义是夹在两个平行平面之间的个几何体平行于这两个平行平面的任意平面所截果截得的两个截面的面积总相等么这两个几何体的体积相等.

如图，夹在两个平行平面之间的两个几何体的体积分别为被平行于这两个平面的任意平面截得的两个截面的面积分别为则相等是

总相等的第1页，共页

22C.

充分而不必要条件充分必要条件

B.D.

必要而不充分条件既不充分也不必要条件

某校开展我边的榜样”评选活动，现对3名候选人甲、乙、丙进行不记名投票，投票要求详见选票．这3名选人的得票数（不考虑是否有效）分别为总票数的，70%，，则本次投票的有效率（有效票数与总票数的比值）最高可能为（）B.C.D.二、填空题（本大题共小，共分在差数列{

}，a+a，则a．n64抛线C上焦的距离为3物的方程为______．0在ABC中若bcos+c=0，则=______．已函数，若对于闭区间[，b]

中的任意两个不同的数

，x，1都有设数

＜

成立，写出一个满足条件的闭区______若=1，则f（）的最小值_；若f（x）有最小值，则实数取值范围_____设A，B是R中个子集，对R，定义：①若．对任意x，m）；②若对任意x，m+n，则，B关系为______三、解答题（本大题共小，共分已函数．

（Ⅰ）求

的值；（Ⅱ）求f（x）的最小正周期，并画出f）在区[，上图象．第2页，共页

已等比数{n

}首为数{}前项为++，n134Sa．3（Ⅰ）求{}{}通公式；n（Ⅱ）设，求数列{}前和．n改开放年来，体育产业蓬勃发展反映健中”理念的及．下图是我国至年育业年增加值及年增速图．其中条形图表示体育产业年增加值（单位：亿元），折线图为体育产业年增长率%．（Ⅰ从2007年至年这十年中随机选出一年，求该年体育产业年增加值比前一年多亿元以上的概率；（Ⅱ从2007年至年这五年中随机选出两年，求至少有一年体育产业年增长率超过的概率；（Ⅲ由判断从哪年开始连续三年的体育产业年增长率方差最大？从哪年开始连续三年的体育产业年增加值方差最大？（结论不要求证明）如棱-中平面，

∥CD=DC=1，=2为侧棱PA上点．（Ⅰ）若，证：平面EBD；（Ⅱ）求证：平面平面PAC；（Ⅲ）在侧棱上否存在点F，得平？若存在，求出线段PF的长；若不存在，请说明理由．第3页，共页

已

，为圆＞＞上点，过点P且率为k，-（＞0）的两条直线与椭圆M的点分别为，．（Ⅰ）求椭圆M的方程及离心率；（Ⅱ）若四边形PABC为行四边形，求k的．已函数f）=（-2）-ln．（Ⅰ）若函数f（x）在x时得极值，求实数的；（Ⅱ）当0a＜1时求f）零点的个数．第4页，共页

2222221.【答案】C【解析】解：

答案和解析；A∩B={x|x＞0}．故选：C．可求出集合A，B，然后行交集的运算即可．考查描述法的定义，一元二次不等式的解法，以及交集的运算．2.【答案】【解析】解：当，（2-i）z=4-2i，对应的点在第四象限，不合意；当z=-1时，（2-i）z=-2+i对应的点在第二象限，符合题意；当z=i时，（），应的点在第一象限，不合题意；当时（）z=5，对的点在实轴上，不合题意．故选：B．分别取z为个选项中的数逐一分析得答案．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．3.【答案】D【解析】解：圆C：x=0即（x+1）+y=1故（，0，则圆心到直的距离（-1）|=4故选：D．根据圆的标准方程求出圆心坐标，从而求得点到直线的距离．本题主要考查圆的标准方程，点到直线的距离，属于基题．4.【答案】【解析】解：ABC边的中点，∴，

+=-+

，又第5页，共页

则n=，故选：A．由题意利用向量的数乘以及线性运算，求出表达式，求出，n的．

的表达式；再根据所给的本题主要考查向量的数乘以及线性运算，属于基础题．5.【答案】【解析】解：由三视图可得，该几何体是正方体被一个平面截去一个三棱锥，且三棱锥的两条侧棱相等，截面是等腰三角形，如所示；故选：A．根据三视图知该几何体是正方体被一个平面截去一个三棱，其截面是等腰三角形．本题考查了利用三视图判断几何体形状的用问题，是基题．6.【答案】D【解析】解：x，y足

，不等式表示的平面区域如图所示，当直线过点A时取得最小值，0，当直线过点B时，取得最大，4，则x-y|最大值为：4．故选：D．第6页，共页

111212根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值，表示直线y轴上的截距，只需求出可行域直线在y轴上的截距最111212本题主要考查了简单的线性规划，以及利用几何意义求最值，属于基础题．7.【答案】【解析】解：由祖暅原理知，若，总相等，V，V相等成立，即必要性成立，若V，V相等，只需要底面和高相等即可，，S不一定相等，即充分121性不成立，即“V，V相等”是“S，总相等”的必要不充分条件，故选：B．根据充分条件和必要条件的定义，结合祖暅原理进行判断即可．本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合祖暅原理是解决本题的关键．考学生的推理能力．8.【答案】C【解析】解：不妨设共有选票100张，有效票x，无效票有（张，由题意可知同时同意甲，乙，丙三人的票效票，若要有效票率最高，则每张有效票的同意人数均为最大值2（）=（0.88+0.7+0.46）100，解得x=96故有效率最高为96%故选：C．有效票率最高时，每张有效票都选人，不妨共100张选票，有效票x张，列方程求出x即可本题考查了简单逻辑推理，属于中档题．9.【答案】1【解析】解：由a+a=2a=2得a，24故答案为：1第7页，共页

2222根据题意，由等差数列的性质即可求出．2222本题考查等差数列的性质，关键是掌握等差数列的性质，属于基题．【案】y【解析】解：抛物线Cy的准线方程为：x=-，由抛物的定义以及抛物：y=2px上一点（1y）到其焦点的距离30可得1-（

）=3，解得所以抛物方程为：y故答案为：求出抛物线的准线方程，利用已知条件以及抛物线的定义，列出方程，求出即可得到抛物线方程．本题考查抛物线的简单性质以及抛物线的定的应用，是基本知考查．【案】【解析】解：由正弦定理知，sinBcosC+sinCsinB=0，0＜B，＞，于是，即tanC=-1，0＜C＜π，

．故答案为：

．直接利用正弦定理对函数的关系式进行变换，进一步求出的．本题主要考查了正弦定理，同角三角函数基本关系式的综合应用，考查了转化思想，属于基题【案】，【解析】

（答案不唯一）解：若对于闭区间[，b]中的任意两个不同的数，x，都有1立，则fx）[，b]是减函数，

成由2kπ+≤x+≤2kπ+

，kZ第8页，共页

a222a得2kπ+≤x≤2kπ+a222a

，kZ，当k=0，故答案为：[

≤x≤，

，即函数的一个区间为[]

，

]条件

等价为函数fx）在[，b]上是减数，合三角函数的调性进行求解即可．本题主要考查三角函数单调性的应用，将不等式等价转化为单调递减是解决本题的关键．【案】[0+）【解析】解：（1当时，fx）=

，当＜1时f（x）当x＜时f（x）＜，当ln2＜x＜时，（x）＞0f（x）在∞lna）上调递，在（ln21上单调递，f（x）在∞1上的最小值为f=2-2ln2，当≥1时fx）在[1+∞）上调递增，f（x）在[1+∞）的最小为f），＞0f（x）的最小为．（2若0＜≤ln2，fx）在-∞）上单调递减，f（x）＞-2a≥2-2ln2＞0fx）[，+∞）上调递，故fx）（）=a-1而-1＜0，f（x）有最小．若＜，fx）（，+∞）上调递减，f（x）没有最小值，若a=0，f（x）在-∞）上单递减，fx）＞-2a=1在（，∞上fx）=-1故fx）有最小-．第9页，共页

2RR若＞ln2则fx）在-∞）上单调递减，在（，a）上单调递增，在[a，+∞）上单调递增，2RRf（x）有最小f或a-1当a≥0时，fx）有最小．故答案为：0[0，+∞）．（1判断fx）的调，分计算fx）在各段上的最小；（2

讨论a与ln20的关系，得出fx）单调性，判断fx）的有无最小．本题考查了函数的单调性判断，函数的最值计算，考分类讨论思想，属于中档题．【案】【解析】解：①AB．则xA时，m=0m1-n．xA时必有xB，m=n=1m1-n）．综上可得：m1-n）．②对任意，，mn的一个为0，另一为1，即xA时，必有xB或xB时，必有A，A的关系为A=BR故答案为：0A=B①由AB．由xA，，可得（1-n）．xA时，必有B，可得m=n=1②对任意，，mn的一个为0，另一为1，可得：xA时必有B或xB时，必有xA，即可得出AB的关系．本题考查了集合之间的关系、分类讨论方法、简易辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．【案I）

=．…………………分第10页，共15页

（）

======．……………………..9分所以的小正周期分）

…………因为x[0，，以

，

．列表如下：

πxf（x）

π……..

（13分【解析】（Ⅰ）根据公式直接代入求解即可．（Ⅱ）利用辅助角公式进行化简，结合五点法作图进行作图即可．本题主要考查三角函数的图象和性质，利用辅助角公式进行化简是解决本题的关键．【案】解：（）数{}公为q数列{}公差为．nn由a+a，得q=6因为a，所以．111所以．第11页，共15页

由

得

解得所以b=b+（n-1）=3-2．（分n（）由（Ⅰ）知，-2．n所以．从而数列{}前和n

==6×2

n

-2n-6．．（）【解析】（Ⅰ）设数列{}公比q数列{b}公差d利用已知条件列出方程组，n求解即可．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，b求出．然后分求解即可．n本题考查等差数列以及等比数列的应用，数列求和，考计算能力．【案】（共分解：（）设表示事件从年至2016年这十年中随机选出一年，该年体育产业年增加值比前一年多亿元以上．根据题意，．…………………．3分（）从2007年年这五年中有两年体育产业年增长率超过25%，设这两年为，，其它三年设为CD，，从五年中随机选出两年，共有种情况：，，ADAE，BC，，，CD，CE，其中至少有一年体育产业年增长率超过有种况，所以该年体育产业年增加值比前一年多亿元以上的概率为．………．（）（）从2008年年开始连续三年的体育产业年增长率方差最大．从年始连续三年的体育产业年增加值方差最大．…………．（13分）【解析】（Ⅰ）A表示事件“从2007年至年这十年中随机选出一年，该年体育产业年增加值比前一年多500亿元以上”．利用古典概型能求出所求概率（Ⅱ）从年至年五年中有两年体育产业年增长率超过25%设这两年为A，B，它三年为C，D，从五年中随机出两年，利用列举法能求出该年体育产业年增加值比前一年多500亿元以上的概率．（Ⅲ）从年或年开始续三年的体育产业年增长率方差最大．从2014年开始续三年的体育业年增加值方差最大．第12页，共15页

22本题考查概率、方差的求法，考古典概型、列法等基础知识，考查运算求解能力，是基题22【案】解：（）G连结．由已知，DC，，得．由，．，由，EGPC因为平面EBD平面，所以PC平EBD．（）因为平，BC平面ABCD所以．由已知得，，AB，所以+BCAB．所以．又∩AC=A，以平．因为BC平EBC所以平面平PAC（）在平面内AFPD于点，由，DCAD∩=，得平面PAD．因为平PAD，所以CD．又PDCDD，以AF平PCD．由，AD，PAAD得APD

，即，

．【解析】（I）取AC，BD的交点连接，可证PC，故而平面；（II）

证明BCAC，⊥PA即可得出⊥平面PAC故而平面⊥平面PAC（III在平面PAD作AFPD点，可AF⊥平面PCD，利用相似比即可求出长．本题考查了线面平行的判定，线面垂直，面面垂直的判定，属于中档．【案】（共分解：（I）由题意得

，

解得

，第13页，共15页

22212所以椭圆M的方程为．22212又，所以离心率．…..（）（II）直线PB的程为y=kx+mk＞0，，由

消去y，整理得（）xkmx+（-12）．，设B（，）C（，y）则，．将

，代y=kx，理得，所以

．所以

．所以

，

．同理

，

．所以直线的率．又直线PA的率，以．因为四边形为行四边形，所PA|=|BC．所以，解得

或

时，B（-2，）与A重合，不符合题意，舍去．所以四边形为行四边形时，．………………（13分）【解析】（Ⅰ）利用已知条件列出方程组，求解a，b，即可求圆M的方程及离心率；（Ⅱ）设出直线方程与椭圆方程联立，利用韦达定理，求出C、