第四章傅里叶变换和系统的频域分析-考研试卷

第四章傅里叶变换和系统的频域分析-考研试卷

第四章傅里叶变换和系统的频域分析33

第四章傅里叶变换和系统的频域分析

一、单项选择题

X4.1(北京航空航天大学2001年考研题)下列叙述正确的是。

(A)f(t)为周期偶函数，则其傅里叶级数只有偶次谐波。

(B)f(t)为周期偶函数，则其傅里叶级数只有余弦偶次谐波分量。

(C)f(t)为周期奇函数，则其傅里叶级数只有奇次谐波。

(D)f(t)为周期奇函数，则其傅里叶级数只有正弦分量。

X4.2(浙江大学2004年考研题)离散周期信号的傅氏变换(级数)是。

(A)离散的(B)非周期性的(C)连续的(D)与单周期的相同

X4.3(浙江大学2004年考研题)如f(t)是实信号，下列说法不正确的是o

(A)该信号的幅度谱是偶函数

(B)该信号的幅度谱是奇函数

(C)该信号的频谱是实偶函数

(D)该信号的频谱的实部是偶函数，虚部是奇函数

X4.4(浙江大学2004年考研题)已知f(t)2(t1),它的傅氏变换是。

(A)2(B)2ej(C)2e-j(D)-2

X4.5(浙江大学2004年考研题)连续周期信号的傅氏变换(级数)是o

(A)连续的(B)周期性的(C)离散的(D)与单周期的相同X4.6(浙江大学2003

年考研题)已知f(t)=ej2t(t),它的傅氏变换是。

(A)1(B)j(-2)(C)0(D)-j(-2)

X4.7(浙江大学2003年考研题)sin(0t)(t)的傅氏变换为。

(A)

j2(0)(0)

(B)(0)(0)

(C)

j2(0)0)0220第四章傅里叶变换和系统的频域分

析34

(D)0)(0)0202

ljOke的傅氏变换为2X4.8(浙江大学2002年考研题)离散信号

(A)(0)(B)02)

(C)(0)(D)

n(02n)

X4.9(浙江大学2002年考研题)离散时间非周期信号的傅氏变换是—

(A)离散的(B)连续的

(C)非周期性的(D)与连续时间非周期性信号的傅氏变换相同

X4.10(浙江大学2002年考研题)某二阶系统的频率响应为

统具有以下微分方程形式。

(A)y3y2yf2(B)y3y2yf2

(C)y3y2yf2f(D)y3y2yf2j2,则该系

(j)23j2

X4.11(浙江大学2002年考研题)周期信号f(t)

(A)2n(t2n)的傅里叶变换是

n

n)(B)2n)n

(C)

n(n)(D)0.5(n)n

X4.12(北京邮电大学2004年考研题)求信号e

(A)(2j5)t(t)的傅里叶变换ollej5(B)2j(5)2j

Hej2(D)2j(5)5j(C)

X4.13(北京邮电大学2004年考研题)如图X4.13(a)所示的信号fl(t)的傅里叶变换

Fl(j)己知，求如图X4.13(b)所示的信号f2(t)的傅里叶变换为——o

第四章傅里叶变换和系统的频域分析35

(A)Fl(j)e

(C)Fl(j)ejtO(B)Fl(j)ejtO

jtO(D)Fl(j)e

jtO图X4.13

X4.14(北京邮电大学2004年考研题)连续时间信号f(t)的最高频率

m=104rad/s；若

对其取样，并从取样后的信号中恢复原信号f(t),则奈奎斯特间隔和所需低通滤波器的

截止频率分别为。

(A)10-4s,104Hz(B)10-4s,5X103Hz

(C)5X10-3s,5X103Hz(D)5X10-3s,104Hz

X4.15(北京邮电大学2003年考研题)设f(t)的频谱函数为F(j),则f(-0.5t+3)的

频率函数等于。

1j1j(A)F(j)e2(B)F(j)e22222

(C)2F(j2)ej633(D)2F(j2)ej6

X4.16(东南大学2002年考研题)脉冲信号f(t)与2f(2t)之间具有相同的。

(A)频带宽度(B)脉冲宽度(C)直流分量

(D)能量(E)以上全错

X4.17(东南大学2002年考研题)假设信号fl(t)的奈奎斯特取样频率为1,f2(t)的

奈奎

斯特取样频率为2,则信号f(t)=fl(t+2)f2(t+l)的奈奎斯特取样频率为o

(A)1(B)2(C)1+2

(D)12(E)以上全错

X4.18(东南大学2001年考研题)已知f(t)是周期为T的函数，则f(t)-f(t+2.5T)的

傅里

叶级数中o

(A)只可能有正弦分量(B)只可能有余弦分量

(C)只可能有奇次谐波分量(D)只可能有偶次谐波分量(E)以上全错

第四章傅里叶变换和系统的频域分析36

X4.19(东南大学2001年考研题)已知某序列f(k)的离散傅里叶变换F(n)={l,2,3,

4,5,6,7,8},n=0,1,2,3,4,5,6,7,则符f(k)循环位移4位后的序列的离散傅

里叶变换为o

(A){5,6,7,8,1,2,3,4,}

(B){-1,2,-3,4,-5,6,-7,8,}

(C){1,-2,3,-4,5,-6,7,-8}

(D){-1,-2,-3>~4,-5,_61-7,-8)

X4.20(东南大学1999年考研题)已知信号f(t)的波形如图X4.20所示，如其频谱函数

表达式为F(j)F(j)ej(),贝ij等于。

/«)

图X4.20

(A)4(B)2(C)-2(D)以上全错

X4.21(北京航空航天大学2000年考研题)信号f(t)cost，当取样频

率至2

少为下列何值时，f(t)就唯一地由取样值f(kT),k=0,1,2,,确定。

(A)4(B)0.5(C)2(D)

(sin50t)2

X4.22(北京航空航天大学2000年考研题)信号f(t)，现在用取样频率(t)2

s=50对f(t)进行冲激取样，以得一个信号g(t),其傅里叶变换为G(j)。为确保

G(j)=75F(j),0,则0的最大值是。(这里的F(j)是乳1)的傅里

叶变换。)

(A)50(B)100(C)150(D)25

X4.23(北京航空航天大学2000年考研题)判断下列三种说法哪一种是错误的

(A)只要取样周期TV2T0,信号f(t)=(t+TO)-(t-TO)的冲激串取样不会有混叠。

(B)只要取样周期T</0,傅里叶变换为F(j)(0)(0)的

信号f(t)的冲激串取样不会有混叠。

(C)只要取样周期T〈/0,傅里叶变换为F(j)()(0)的信号

f(t)的冲激串取样不会有混叠。

第四章傅里叶变换和系统的频域分析37

X4.24(南京理工大学2000年考研题)图X4.24所示信号f(t),其傅里叶变换为

F(j)R()jX(),其实部R()的表达式为。

图X4.24

(A)3Sa(2)(B)3Sa()(C)3Sa()(D)2Sa()

X4.25(西安电子科技大学2005年考研题)信号f(t)的傅里叶变换为F(j)，则ej4t

f(t-2)的傅里叶变换为。

(A)F(j)e-2(j-4)(B)F[j()]e-j2(-4)

(C)F[j()]ej2(+4)(D)F[j()]e-j2(+4)

X4.26(西安电子科技大学2005年考研题)已知f(t)=Sa2(t),对f(t)进想冲激取样，

则使频谱不发生混叠的奈奎斯特间隔Ts为。

(A)21s(B)s(C)s(D)s24

X4.27(西安电子科技大学2004年考研题)系统的幅频特性H(j)和相频特性

如

图X4.27(a)、(b)所示，则下列信号通过该系统时，不会产生失真的是。

图X4.27

(A)f(t)costcos8t(B)f(t)sin2tcos4t

2(C)f(t)sin(2t)sin(4t)(D)f(t)cos4tX4.28(西安电子科技大学2004年考

研题)信号f(t)F(j)等于

（Ad2（tDe（t）的傅里叶变换dtj2jjjee2ejej（B（C

（D2j2j2j2j

X4.29（浙江大学2004年考研题）已知f（k）如图X4.29所示，则

X（ej）d的值为第四章傅里叶变换和系统的频域分析38

图X4.29

（A）2（B）（C）（D）

X4.30（洽尔滨工业大学2002年考研题）周期信号的频谱一定是。

（A）离散谱（B）连续谱（C）有限连续谱（D）无限离散谱

X4.31（哈尔滨工业大学2002年考研题）周期奇函数的傅里叶级数中，只可能含有。

（A）正弦项（B）直流项和余弦项（C）直流项和正弦项（D）余弦项X4.32（东南

大学2000年考研题）如图X4.32的信号f（t

）通过一截止频率为50rad/s,通带内传输幅值为1,相移为0的理想低通滤波器,

则输出的频率分量为。

图X4.32

(A)(B)aO/2alcos(20t)a2cos(40t)aO/2blsin(20t)b2sin(40t)

(C)aO/2alcos(20t)(D)aO/2blsin(20t)

X4.33(东南大学2000年考研题)信号的频谱是周期的离散谱，则原时间信号为。

(A)连续的周期信号(B)离散的周期信号

(C)连续的非周期信号(D)离散的非周期信号

X4.34(北京交通大学2004年考研题)已知实信号f(t)的傅里叶变换

F(j)=R()+jX()，则信号y(t)l[f(t)f(t)]的傅里叶变换Y(j)等于2

(A)R()(B)2R()(C)2R(2)(D)R(0.5)

X4.35(北京交通大学2004年考研题)如图X4.35所示周期信号f(t),其直流分量等

于。

(A)0(B)2(C)4(D)6第四章傅里叶变换和系统的频域分析39

图X4.35

答案：

X4.1[D]X4.2[A]X4.3[C]X4.4[C]X4,5[C]X4.6[A]X4.7[C]X4.8[D]X4.9[B]

X4.10[C]X4.11[C]X4.12[B]X4.13[A]X4.14[B]X4.15[D]X4.16[C]X4.17[C]

X4.18[C]X4.19[C]X4.20[C]X4.21[D]X4.22[A]X4.23[A]X4.24[B]X4.25[B]

X4.26[A]X4.27[B]X4.28[A]X4.29[C]X4.30[A]X4.31[A]X4.32[B]X4.33M

X4.34[A]X4.35[C]

二、判断和填空题

T4.1(北京邮电大学2004年考研题)两个时间函数fl(t)、f2(t)在[tl,t2]区间内相

互正交的条件是。

T4.2(北京邮电大学2004年考研题)已知冲激序列T(t)

的傅里叶级数为。

T4.3判断以下说法是否正确，正确的打“，错误的打“X”。

(1)(国防科技大学2002年考研题)所有连续的周期信号的频谱都有收敛性。[]

(2)(国防科技大学2002年考研题)没有信号可以既是有限时长的同时又有带限的频

谱。［］

(3)(北京航空航天大学2002年考研题)一个奇的且为纯虚数的信号总是有•个奇的

且为纯虚数的傅里叶变换。［］

T4.4判断下列叙述的正误，正确的在括号内打“，错误的在括号内打“X”。

(1)(华中科技大学2004年考研题)长度为N的有限长序列f(k)的DFT,等于其z变

换F(z)在单位圆上N个等间隔点的取样值［］；等于其傅里叶变换F(ej)在一个周期

(2)内等间距点的取样值［］；序列在单位圆上的z变换即为序列的频谱，频谱与z变换

是一个符号代换［］;单位圆上的z变换即为序列的傅里叶变换［

(2)(华中科技大学2003年考研题)离散信号(序列)的傅里叶变换，就是序列的离

散傅里叶变换一DFT□，快速计算DFT的算法简称FFT［］。n(tnT),其指

数形式第四章傅里叶变换和系统的频域分析40

(3)(华中科技大学2003年考研题)周期连续时间信号的频谱是离散频率的非周期函

数［］;非周期连续时间信号的频谱是连续频率的非周期函数［］。

(4)(华中科技大学2002年考研题)两个有限长序列，第一个序列的长度为5点，第

二个为6点，为使两个序列的线性卷积与循环卷积相等，则第一个序列最少应补6个零点

［］；第二个序列最少应补4个零点［

(5)(北京航空航天大学2001年考研题)f(t)为周期偶函数，则其傅里叶级数只有偶

次谐波［

T4.5(浙江大学2002年考研题)多选题，图T4.5所示信号的傅里叶变换为。

(A)2ejSa()(B)0.5Sa(2)(C)Sa()ej1ej2

(D)

图T4.5

T4.6(北京邮电大学2004年考研题)若连续线性时不变系统的输入为f(t),输出为

y(t),则系统无畸变传输的时域表达式为y(t)=。

T4.7(北京邮电大学2003年考研题)已知冲激序列T(t)

的傅里叶级数an,bn。

T4.8(华南理工大学2004年考研题)连续周期信号f(t)cos(2t)3cos(6t)的三

角形式傅里叶级数anbn

T4.9(华南理工大学2004年考研题)设f(t)为一带限信号，其截止频率m=8rad/s»

现对f(4t)取样，则不发生频谱混叠时的最大间隔max,

T4.10(华南理工大学2000年考研题)n(tnT),其三角形式

sin(4t)*[cos(2t)sin(6t)]。t

T4.11(电子科技大学2000年考研题)对带通信号f(t)Sa(t)cos(4t)进行取样，

要求取样后频谱不发生混叠失真，所有可能的取样频率s的取值为。

T4.12(南京理工大学2000年考研题)图T4.12所示周期矩形脉冲信号f(t)的频谱在

0、150kHz的频率范围内共有根谱线。

第四章傅里叶变换和系统的频域分析41

图T4.12

T4.13(西安电子科技大学2005年考研题)频谱函数F(j)g4()cos()的傅里

叶逆变换f(t)等于。

T4.14(西安电子科技大学2005年考研题)如图T4.14所示信号f(t)的傅里叶变换记

为F(j),试求F(0)=,

0

F(j)d=。

图T4.14T4.15(西安电子科技大学2004年考研题)已知f(t)的频谱函数

1,2rad/sF(j),则对f(2tT)进行均匀取样的奈奎斯特(Nyquist)取样间

隔s0,2rad/s

为。

T4.16(西安电子科技大学2004年考研题)频谱函数F(j)2(1)的傅里叶逆变

换f(t)=»

T4.17(西安电子科技大学2002年考研题)频谱函数F(j)

f(t)=。

T4.18(哈尔滨工业大学2002年考研题)若f(t)的奈奎斯特角频率为0,则f(t)+

f(t-tO)的奈奎斯特角频率为,f(t)cos(0t)的奈奎斯特角频率为

_________O

T4.19(北京交通大学2001年考研题)周期信号f(t)双边频谱Fn如图T4.19所示，

=1rad/s,则f(t)的三角函数表达式为»

jdIFM

[42■

1

】「

—•,--1----1------------------------1----■A

J2J0I23

1的傅里叶逆变换j1图T4.19第四章傅里叶变换和系统的频域分析42

sint的能量为ot

sin(2t)sin(8t)*T4.21(国防科技大学2002年考研题)二。

2t8tT4.20(西安电子科技大学2004年考研题)信号f(t)2

T4.22(北交通大学2004年考研题)已知一连续LTI系统的频率响应H(j)1j.

1j该系统的幅频特性H(j)=相频特性是否无失真

传输系统。

T4.23(北交通大学2002年考研题)某理想低通滤波器的频率特性

jteO,0II(j)，计算其时域特性h(t)=o其它0,

答案：

T4.1

fl(t)f2*(t)dt0

2lTtT4.2eTn

T4.3(1)X(2)J(3)X

T4.4(1)J,V,X,J(2)X,V(3)J,J(4)X,V(5)X

T4.5A,D

T4.6y(t)Kf(ttO)

T4.7an=2/T,bn=0

1,n1T4.8an3,n1,bn=0

0,其它

T4.9Tmax

32

2(t)T4.10lOcos

T4.11s10rad/sT4.1231

第四章傅里叶变换和系统的频域分析43

T4.13f(t)1

Sa2(t)1

Sa2(t)或tsin2(t)22(t)

T4.14F(0)1,

T4.150.25s

T4.16(t)F(j)d0Ijtejnt

T4.17et(t)

T4.180,30

s2cos2(t)T4.19f(t)24cot

T4.204

T4.21sin(2t)16t

T4.221,2arctan()，不是

T4.23h(t)

mSa[m(ttO)]

三、画图、证明与分析计算题

J4.1(浙江大学2004年考研题)已知频谱F(j)如图J4.1-1所示,求f(t)。

解：利用傅里叶变换的频域微分性质:

jtf(t)dF(j)(J4.1-1)d

对F(j)求微分F(j),如图J4.1-2所示。

F(j)dF(j)(3)(3)gl(1.5)gl(1.5)d

对F(j)求傅里叶逆变换，第四章傅里叶变换和系统的频域分析44

F1F(j)cos(3t)Sa(O.5t)cos(l.5t)(J4.1-2)

由式(J4.1-1)和式(J4.1-2)可得

11

jtf⑴

即f(t)

1

cos(3t)

1

Sa(O.5t)cos(l.5t)

1

cos(3t)Sa(0.5t)cos(1.5t)jt

J4.2(浙江大学2004年考研题)图J4.2T所示为一幅度调制系统，f(t)为带限信号,

其

2

最局角频率为m,p(t)为冲激串序列，p(t)

5m

求y(t)。

n

tn

sin(6mt)2

,,h(t)5mt

图J4.2-1

解：设f(设的傅里叶变换F(j)如图J4.2-2(a)所示。令Tm

2

m

,Ts

212

Tm,s5m5m5Ts

2tn5TstnTsTsTs(t)

nnm

2

p(t)

5m

则p(t)傅里叶变换为，

P(j)Tsss()Ts

P(j)如图J4.2-2(b)所示。

n

n2n

s

s

n

第四章傅里叶变换和系统的频域分析45

图J4.2-2

X(j)S(j)F(j)

X(j)如图J4.2-3(a)所示。

nFjnFjnssn11图J4.2-3

h(t)sin(6mt)

t6m

Sa(6mt)

ll(j)gl2m()

II(j)如图J4.2-3(b)所示。据图J4.2-3(a)、(b),则可得图J4.2-3(c),即

Y(j)X(j)H(j)

j(s)F(j(s)

F(j)*s)s)

则y(t)2f(t)cos(st)2f(t)cos(5mt)

J4.3(浙江大学2003年考研题)设f(t)的傅里叶变换F(j)满足以下条件:

(1)f(t)为实值信号,且f(t)0,t0；

(2)1t

2

Re[F(j)]ejtde。

解:

f(t)F(j)R()jX()

因f(t)为实值信号,则

R()R(),X()X()

f(t)F(j)R()jX()

由式(J4.2-1)和式(J4.2-2)可得

f(t)f(t)2R()

即F1R()1

2f(t)f(t)J4.2-1)J4.2-2)J4.2-3)(((第四章傅里叶变换和系统

的频域分析46

由条件(2)可知

12

Re[F(j)]ejtdF1R()e(J4.2-4)

t

由式(J4.2-3)和式(J4.2-4)可得

f(t)f(t)2e

t

2et(t)2et(t)(J4.2-5)

因f(t)O,t0,f(t)和f(-t)分别出现在正负时域，即

f(t)f(t)(t),f(t)f(t)(t)(J4.2-6)

由式(J4.2-5)和式(J4.2-6)可得

f(t)(t)f(t)(t)2et(t)2et(t)

由上式可得

f(t)2et(t)

J4.4（浙江大学2003年考研题）某一系统如图J4.4-1所示，已知

1

f(t)cos(nt),

n02

T为取样周期，取样角频率s

M

n

p(t)

n

(tnT)

2

,cs,问：t2

(1)当T=0.2时:信号x(t)不发生频谱混叠，试确定M的最大值；(2)当T=0.1

时,M=6,y(t)的傅里叶级数表示。

图J4.4-1

jT,c

解：H(j)

c0,

nMM1n1

F(j)Fcos(nt)(n)(n)

n02n02

P(j)s

n

(n)

s

第四章傅里叶变换和系统的频域分析47

x(t)f(t)p(t)

11

X(j)F(j)*P(j)F(j(ns))

2Tn

nMM1nM1n1

Fcos(nt)Fcos(nt)(n)

n)

n02n02n02

s

n

(n)

s

F(j)、X(j)如图J4.4-2(a)、(b)所示。由图可见,f(t)的最高频率分量为

m=M(rad/s)o(1)根据取样定理，要使x(t)中不发生频谱混叠，则要求取样频率

s2m2M

(2)T=0.1时,s

M

si

52T

10(rad/s)

2

20(rad/s),T

c

s

2

M=6时，m6(rad/s),根据取样定理，x(t)中不会发生频谱混叠，由图J4.4-

2(b)、(c),可得

图J4.4-2

Y(j)X(j)H(j)

jF(j)

1

j(n)(n)

n021

j2n(n)n(n)

n02

M

n

Mn

第四章傅里叶变换和系统的频域分析48

j2

由此可知，

2

nM

M

1

n(n)2

n

n

F(n)

n

n

1

jn,nMFn2,2

0,nM

则y(t)的傅里叶级数为

y(t)

n

Fe

n

jnt

J

2nM

M

1

nejnnt

2

n

n

2nM

M

M

1j(nnt2)ne2

n

1

ncos(nnt)

22n1

J4.5(北京邮电大学2004年考研题)周期信号

2

f(t)3costsin5t2cos8t

63

(1)画出单边幅度谱和相位谱；(2)计算并画出信号的功率谱。

解：将f(t)的表示式变换为余弦函数形式，并与其三角形式的傅里叶级数相对比,

2

f(t)3costsin5t2cos8t

63

3costcos5t2cos8t

33

Ancos(ntn)

n0可得

第四章傅里叶变换和系统的频域分析

49

lrad/s,3,1,An

2,0,

n1

n5n8

n10,

,n5

3

n

,n830,其余n

其余n

则f(t)的单边幅度谱和相位谱如图J4.5T(a)、(b)所示。

f(t)的功率谱为

4.5,120.5,PnAn

22,

0,

nIn5n8其余n

f(t)的功率谱如图J4.5T(c)所示。

J4.6(北京邮电大学2004年考研题)图J4.6T所示系统,已知f(北

n

e

jnt

(,)(n

1,1.5

为整数)，s(t)cost(,),系统函数H(j)o试画出A、B、C各点信

0,1.5

号的频谱图。

MU

图J4.6-1

解：据傅氏变换对：e

jnt

2(n),可得

F(j)2

n

(n)

则A点信号f(t)的频谱F(j)如图J4.6-2(a)所示。

第四章傅里叶变换和系统的频域分析50

X(t)f(t)s(t)f(t)costX(j)

1

F(j(1))F(j(1))2

n

(n1)

n

n

(n1)

2

(n)

则B点信号x(t)的频谱X(j)如图J4.6-2(b)所示。

Y(j)X(j)H(j)

2(1)()(1)

则C点信号y(t)的频谱Y(j)如图J4.6-2(d)所示。对Y(j)求傅氏逆变换可得

y(t)1cost

J4.7(北京邮电大学2004年考研题)利用傅里叶变换性质证明：

证明：利用能量等式：

Sa2(t)dt

f2(t)dt

1

2

F(j)d可以证明。

2

因存在傅氏变换对：Sa(t)

2

2

g2(),则

1

Sa(t)dt

2

g2()d

2

1d21

1

J4.8(北京邮电大学2003年考研题)已知上连续因果LTI系统的频响特性为

H(j)R()jX(),证明：如果系统的冲激响应h(t)在原点无冲激，那么R()

和X()1R()

d,X()doX()满足以下方程：R()

1

证明：由于是因果系统，故在t〈0时;h(t)=O„

X()1R()

djd

1

X()jR()1R()jX()1H(j)

djdjd1

第四章傅里叶变换和系统的频域分析51

J1

H(j)*1

12H(j)*2j

2因sgn(t)jFh(t)sgn(t)

Fh(t)H(j)

R(j)jX(j)

即

X()1R()djdR(j)jX(j)1

上式中，等号两边的实部和虚部分别相等，则得

R()

得证。

X()d,1X()R()d1

J4.9(北京邮电大学2002年考研题)已知系统输入信号为f(t),且f(t)F(j)，系

统函数为H(j)2j,分别求下列两种情况的系统响应y(t)。

(1)f(t)ejt⑵F(j)

解:(1)12

f(t)ejtF(j)21)

Y(j)F(j)H(j)2(1)2j