造价员基础投影的基础知识

模块二投影的基础知识2.1投影概念2.3点的投影2.2正投影特性2.4直线的投影2.5平面的投影ScdbBCDAH2.1

投影概念2.1.1投影的形成

形体各轮廓线的影所组成的图形，称为该形体的投影图，简称投影。投影形成的三个要素：投射线（光线）空间形体（物体）投影面（落影面）2.1.2投影的分类1.中心投影所有的投射线都交汇于投射中心S。2.平行投影（斜投影、正投影）斜投影：投射线相互平行且倾斜于投影面正投影：投射线相互平行且垂直于投影面2.1.3常用的投影图1.透视投影图：是用中心投影法绘制的单面投影图,有很强的立体感，但作图方法复杂，度量性差。2.轴测投影图：为单面平行投影图,同样具有较强的立体感，作图方法较复杂，度量性差。3.正投影图:通常采用多面正投影。直观性差，但作图简单，能很好地反映形体的形状和大小，度量性好，是工程图的主要图示方法。4.标高投影图:是一种带有高程数字标记的水平正投影图，为单面投影图。主要用于表达地面的形状，绘制地形图。

2.2正投影特性2.2.1点、直线、平面的正投影特性1.类似性点的正投影仍然是点，直线的正投影一般仍然是直线，平面的正投影仍然保留其空间几何形状，这种性质称为正投影的类似性。HHH（b）ABCDd（c）ABAbcb2．全等性空间直线、平面平行于投影面，其正投影分别反映实长和实形，这种性质称为正投影的全等性。HHABCD（b）ABbdcbab//ABab=ABabcd//ABCDabcd=ABCD3.积聚性空间直线、平面垂直于投影面时，在该投影面上的正投影分别成为一个点和一条直线，这种性质称为正投影的积聚性。（b）HAHB(b)BCDA(b)d(c)4.重合性两个或两个以上的点、线、面具有同一投影时，称为重影，这种投影性质称为正投影的重合性。（b）（c）HBAHHC(b,c)ABCDPp(q)d(c)(b)WYWVHYH

2.2.2三面正投影图

WZYXOH

1.三面正投影图的形成

1)建立三个投影面：

V面——正立投影面（简称正面）

H面——水平投影面（简称水平面）

W面——侧立投影面（简称侧面）

H、V、W三个投影面互相垂直相交，其交线0X、0Y、0Z

称为投影轴，分别代表长、宽、高方向。

2)把形体放在三投影面体系中，分别向V面、H面、W面进行投射，可得到形体的三面正投影图。2.三面正投影图的展开

展开的三面正投影图

YWZWVHYHXO侧面投影图正面投影图水平投影图投影连线45°辅助线去掉投影面边框和投影轴后的三面正投影图VXWZYOH3.三面正投影图的投影规律（对应关系）前上左后右下前后上下右左上下前后右左

（1）三面正投影图中的方位关系：

V投影反映左右和上下；

H投影反映左右和前后；

W投影反映前后和上下。

3.三面正投影图的投影规律(续)上上下左右前后下前后左右

3.三面正投影图的投影规律（续）长高宽宽投影关系(三等关系)：V、H投影长对正；V、W投影高平齐；H、W投影宽相等。长宽高物体的长、宽、高：长—左右距离（X方向）宽—前后距离（Y方向）高—上下距离（Z方向）（2）三面正投影图的三等关系V投影方向H投影方向W投影方向例1（教材例1.1）用投影关系，画出形体的三面正投影图画图步骤：1.分析形体、布置图面，确定投影方向2.用H铅笔画底稿线（细线），按1:1从立体图上沿轴向量取尺寸3.整理、加深加粗（用B或2B），检查验证

2.3点的投影2.3.1点的投影1.点的单面投影如图所示，H面为一水平投影面。过空间点A向H面引一条垂线，该垂线与H面产生交点a，a点称为空间点A在H面上的正投影。如果已知A点的空间位置，则其正投影a唯一可求；反过来，已知A点的正投影a，却不能唯一确定A点在空间的位置。

2.aaz=aayH

=Aa=x=A→W

aax

=

aaz=Aa=y=A→V

aax=aayW

=Aa=z

=A→H

2.3.2点的三面投影规律

1.aaoX，aaoZ点的投影规律

一点的两投影之间的连线垂直于投影轴；点的一个投影到某投影轴的距离等于空间点到与该投影轴相邻的另一投影面之间的距离。

因此在求作点A的V面投影a′时，应保证做到:点的V面投影与H面投影之间的连线垂直于0X轴，即a′a⊥0X

；点的V面投影与W面投影之间的连线垂直0Z轴，即a′a″⊥0Z；点的H面投影到0X轴的距离，与点的W面投影到0Z

轴的距离两者相等，都反映点到V面的距离,即a

aX=

a″

aZ

。点的投影与直角坐标的关系

若把三个投影面当作空间直角坐标面，投影轴当作直角坐标轴，则点的空间位置可用其（X、Y、Z）三个坐标来确定，点的投影就反映了点的坐标值，其投影与坐标值之间存在着对应关系。

点的每一个投影反映了点的两个坐标（H投影反映了x和y，V投影反映了x和z，w投影反映了y和z）。已知点的两个投影，则点的X、Y、Z三个坐标就可确定，即空间点是唯一确定的。因此已知一个点的任意两个投影即可求出其第三投影。ZXYHaOb'a'YWb"a"b例2（图1-1共5）已知编A、B撇两点的省两面投群影图，腿求作其撤第三投喊影。XHVZYWOCcca

bb″特殊锯点的盾投影A属于H投影面B属于V投影储面C属于OX投影轴a″c″AaBb

HVWOZYWYHbb″a

a″Cccc″A属于H投影祖面B属于V投影劫面C属于OX投影被轴特殊点陪的投影户（续）AaBb

XHVZYWOCcca

bb″a″c″AaBb

XOZY2.3袄.3妻两顿点的嘱相对株位置两点侵中X值大的僚点雕在左两点中Y值大植的点概在前两点中Z值大的回点赠在上a

a

ab

b

bXZYWYHOaa

ab

bb

BAA点在B点之纺右A点在B点之黑前A点在B点之私上重影点时及投影涉的可见查性如果侨空间勿两点幼的某发两个效坐标啊相同据，两夕点就枕位于短某一责投影恭面的秃同一序条投艺射线浊上，延两点搞在该躲投影好面上停的投酒影重悟合为胳一点饭，这计两点臣就称拳为该洞投影虎面的重影点。重影菜点中篮不可避见点躁的符衬号应廉加括亏号表勇示。(a)H面的重速影点(b)V面的拘重影徐点(c)W面的赶重影单点例3已知铜A、抓B、小C三与点的潮各一吴个投刚影a厅、b合′、词c〞温，且晋：A驼a=盖10坝，B令点距路V面壶20权，C取点在授A点脊的右唤方1路5，熊完成杰三个事点的服三面油投影胳。aXZYHYWb′c〞10a〞20bb〞15c′ca′例4已知A点在B点之纺前5量毫米槐，之觉上9假毫米辛，之济右8规毫米厉，C粮点在歪A点昂的正组后方魂5毫扬米,鞋求A、C点的仁投影胸。a

a

aXZYWYHOb

bb

985cc(c′烛)利用抵点的授相对越位置抬求点阅的投妄影2.4嘴直线的约投影2.4.猴1业直线帝的单面昆投影投影特肌性：直线紫倾斜麦投影亲面，开投影掩为缩穴短的戒直线(类似性)。直线刘垂直肚投影际面，达投影叠积聚为一点(积聚性)。直线事平行讯投影康面，隆投影炸反映鹅实长络（全坐等性烧）。abDCc(d)AB直线塔的投郊影可柄以由岁属于嚷直线刃的任亭意两酬点的同面讯投影来确怖定。2.4.银2一架般位置瓶直线的涉三面投辣影一般位斥置直线AB高与三个绳投影面固都倾斜任，直线局的三面贴投影帽ab、妙a′告b′、免a″b亲″相对粒于各投偶影轴而广言，均向为斜线柴，直线留的投影份长度均蚊小于直标线实长键，且没腔有积聚乐性，直怒线的投算影不反阿映直线币对投影盯面倾角希的真实盛大小。2.4团.3脉投兄影面韵垂直奥线的谢三面它投影2.4.4投影陕面平欧行线婶的三损面投载影例5（图1-搞19）如图1-伏19绪a，已览知铅推垂线AB的一常个端捡点A的两面悟投影a、a′，直蓬线实凉长为AB（长度处如图）叔，并知B点在A点的正叙上方，拍求作AB的三面遍投影图牧。例6（图1-犯20）已知正幻玉平线A纯B的端僵点A的许投影a斩、a′稠a″，菠直线实胀长为A妥B（长塞度如图已），A持B与H菊面的倾聚角α=扬30°司，B点附在A点唐的右上热方。求微作AB寺的三面未投影图芹。2.4.蔽2御直线上滔的点1.直璃线上点屿的投影法规律：株点C在痒直线A盟B上，滩点C的化三面投辱影在直秒线AB国的各同丈面投影影上并符狠合点的瘦投影规责律。2.赵定比搜性：尊若点光C在孤直线茂AB泉上，举则有镰AC仙∶C这B=内ac桐∶c让b=跑a′租c′躺∶c稍′b溜′=馆a″思c″崖∶c仗″b橡″c例7牙已知宜线段岸AB甩的投喜影图励，试暖将A经B分颗成1半：2趟两段厌，东求牧分点聪C的铺投影龄。b′Xa′abOc例8已知点条C在线张段AB脖上，求唱点C的拴正面投恳影。b′Xa′bacOc′2.4.酸3歪一般位逢置直线缴的实长撞和倾角一般肃位置恒直线鬼的实惑长和标倾角树不能胶在投葬影图狮中直乳接定兵出，斜应根委据投抚影图诉作图窗求得康，常框用的套作图蓬方法躬是直角三哀角形法。1.求警线段的湖实长及跨倾角α在直角迎三角形AA1B中，斜寺边AB是线段啄的实长，直耍角边BA1为水平投拨影ab之长，另一坡条直角盾边AA1是AB两点吼的z坐标之就差△z，斜裳边AB与直角忌边BA1的夹角号为直线屋段对H面的倾角α。2.求线将段的清实长贿及倾还角β直角斩三角次形法血小结拨：直角舞三角券形法裙是用围来解脑决一心些空湿间问拐题的糟一种谈方法探，如翁求空鞋间直矮线的字实长卫、倾害角、方以及水通过切求坐院标差踩来求拳空间低直线胀的投填影等箭等。在我洪们所席讨论尖的直新角三之角形摘中，至有四勇个要墓素：戒实长立、倾境角、走投影愿、坐溜标差兵。四后个要罗素中锄任意才知道恩两个伏要素危，都配可以惧求到仰另两嚷个要牧素。月但必太须弄碑清楚堵这些师要素稳的关自系。筑在解页题的览时候蒸搞清阔楚每顺一个稠三角地形的床含义仪及目碌的。坐标差△X△夏Y△Z实长投影W面投影a″胖b″V面投影a′奸b′H面投邮影ab倾角例9（图1-2愚6）已稿知AB的正袜面投双影a′b温′和a，线喘段的则实长强为AB（长度末如图）毯，点B在点A的前村边。蛇求作ab及倾申角β。例10（图1-2炮7）已骄知直毛线AB的投氧影ab、a′及α=峡30°，B点高笋于A点。求闯作a′倚b′及AB的实长闲。2.4谈.4邪两怒直线骗的相密对位烤置在空间绣，两条值直线的役相对位剩置有以立下三种谁情况：1）两直驻线平弃行2）蒸两直宗线相咏交3）河两直筋线交羽叉（誉既不报平行血，也易不相肃交）两直线第平行和浅两直线搂相交称冻为共面直咱线，两直躁线交叉丘称为异面直框线。1.两叼直线平召行（1扒）投宿影特掌性：如果两齿直线在液空间平杰行，则哨各同面腿投影除殊了积聚里和重影启外，仍着然平行本。如果沟AB克∥C郊D，庙则有护：ab恳∥浇cd湾、a搜′b冶′∥出c′然d′止、a振″b鸭″∥努c″蕉d″蛮。（2）两倚直线平目行的判础断：1)若两直闯线的三压组同面扣投影都萝平行，睬则两直笔线在空碍间为平逢行关系凑；2)若两直病线为一软般线，紫只要有沿两组同央面投影引互相平乒行，即肯可判定劈燕两直线逗在空间皮是平行祸关系；3）若两昆直线是降某一投专影面的淹平行线狸，同时跟，两直若线在该姿投影面勇上的投岗影仍为身平行关御系，则艰两直线偏在空间曾是平行辈关系。2.两直线似相交（1）投抚影特扬性：两直线刑在空间嘉相交，序则各同馋面投影价除了积腹聚和重止影外必纠相交，珠且交点痰符合点独的投影香规律。如果AB与CD相交笨，交游点为K，则指有ab与cd相交再于k，a′b侦′与c′蹲d′相交析于k′，且kk冶′⊥扑OX。（2）两直梁线相交坦的判断紫：1)若两聚直线步的各糟同面寇投影切都相谋交，荡且交呀点符扒合点方的投喷影规懒律，遇则两灶直线絮相交私；2)对一寺般线懒而言订，只冷要有惜两组否同面去投影夺相交愉，且众交点半符合让点的谁投影详规律透，则糟两直共线相央交；3)两直线法中有某口一投影洋面的平既行线时肺，必须榴验证两爸直线在弄该投影嫩面上的倘投影是庆否满足忙相交的拍条件，惭才能判钩定两直封线是否辅相交，宴或者在矮二面投巧影中用啊定比性违作图来辆判断交雅点是否捐符合点秩的投影受规律，历判定两饲直线是袖否相交都。3.两直线主交叉（1）投影殖特性：两直线闻在空间挡既不平努行，也吹不相交世，叫做征交叉。其投看影特规性是德，同较面投后影可代能有拨平行宁的，危但不辞会全屯都平沉行，穷其同略面投翁影可蹄能有钱相交标的，钟但交现点不刷符合踪蝶点的帖投影蛇规律抗。（2尸）交猪叉直柱线上轨重影珍点可强见性扁的判押别：交叉直污线同面咬投影的扩交点是段该投影典面上重舰影点的擦投影，棵应根据感投影图每中的投华影关系改可以判评别出重向影点的吴可见性晒。如前堆图Ⅰ、哪Ⅱ两点积是H面宪的重影机点，从态V面投洗影图中吃可看出叙Ⅰ点在支上为可顿见点，鼻Ⅱ点在循下为不叨可见点煮，Ⅲ、压Ⅳ两点握为V面涂的重影舒点，从附H面投宜影图中餐可看出坚Ⅲ点在脂前为可惧见点，袜Ⅳ点在乱后为不诉可见点垦。不可见弓点得投趁影符号滩加括号晚表示。例11（图1-3等1）判别梅两直线朋是否平葛行。解：因辈为AB、CD是侧平蕉线，方法一，可番以补除出AB、CD的W投影来补判定两销直线是倍否平行训。方法唉二，由于垒AB、曾CD两侄侧平线鲜端点的泪顺序V投牧影同兴向，而H面妻投影谎反向，故可滑直接判明断两直虹线不平树行。两直戏线交昆叉例12（图1-3撞2）直线A柳B与C拍D相交悬，求作眯c′d泡′。例13（图1-废33）已绑知AB、CD的两聚面投巧影，很判断帜两直缩慧线是育否相冬交。用定比详性作图灵，作图宏知，因着kk1不平亭行d拍d1，故c粮k∶k慕d≠c穗′k′币∶k′畏d′，贴说明交丸点不符湾合点的慰投影规链律，两牢直线不果相交，马为交叉属直线。补画W投影抖，作想图知存，因阁投影全图中岛的交舒点不名符合研点的令投影暴规律爷，故煤两直蹄线不槐相交缸。为情交叉蜜直线优。2.4.箭5辜一边平妹行于投晚影面的失直角的狠投影两条粉直线碗在空猴间相飞互垂侍直，府其中宋的一隐条直草线平贝行于猴某一相投影祥面，切这两浓条直接线在旁该投那影面假上的软投影屋仍然丝式相互贱垂直蒸。反民过来汉，两酱条直去线在肆某一驱投影眼面上喉的投漂影是拍垂直坚关系驼，其跳中的配一条哨直线烟又平缘瑞行于嗽该投悦影面苏，则蛛两直筐线在团空间窄为垂兼直关示系。这一肯性质巡寿称为直角定证理。若A孕B⊥痰BC锯，A件B∥装H，掀则有沉ab乏⊥b夫c。茂反过裳来，殊若a步b⊥标bc灵，A判B∥旺H，杂则有唱AB吴⊥B辅C。空间聋两直溜线交撑叉垂捕直时倦，直坏角定棒理同陶样成切立，若AB捞⊥BC调，AB宿∥H，取则有a见b⊥b筐c。反树过来，血若ab敲⊥bc换，AB嘉∥H，盛则有A进B⊥B狸C。利告用直角王定理可椒解决两幼直线间录的垂直低关系问相题，如雾作一条站直线与拆另一条蒸直线垂事直或判残定两直桂线在空排间是否夺垂直。例14（图1-3像6）已知直弃线AB升和点C巩的两面星投影，班AB为明水平线秧，求点肥C到A亩B的距哭离。dd'D0距离例15（图1-3雪7）补全钱矩形屋AB狱CD驳的两叶面投贸影，闹如图特1-垦37床所示瘦，图晌中a搅′b扣′∥岗OX贡。dcc'2.5平面的纠投影2.5映.1平面的百表示方铺法图a用不统在同尿一直脑线上驼的三呀个点府表示藏一个厚平面庸。图b用一悲条直盛线和恼直线览外一恢点来阶表示梳一个培平面脊。图c用两喷条相辞交直逆线表切示一朋个平善面。图d用两取条平嗓行直页线表韵示一裤个平葬面。图e用平著面图眉形（粒如三尊角形宫）表粮示一兼个平项面。1.用几夺何元阿素表罪示平萌面2.构用迹框线表覆示平柿面空间平扰面P与晴H、V纯、W三郑个投影捕面相交械，交线榜分别是菜PH、事PV、葛PW，氧PH称晨为平面蓄P的水平层迹线，PV槽称为平京面P的正面迹沙线，PW摆称为平傅面P的侧面忆迹线。平程面P逃可用吓其三玻条迹储线来睁表示股。2.5煤.2根各种库位置僚平面景的投见影平面对吩投影面现的相对乎位置可立分为一得般位置斯平面、景投影面垫平行面枪和投影及面垂直续面三种馋。1.宫一般犯位置饿平面一般残位置奖平面葱与三曾个投呼影面西都倾吊斜，报三面看投影咐都不羞反映租平面谁的实急形，执投影湿没有祖积聚足性，分投影付也不宿反映签平面腿对投门影面腔倾角挡的真驱实大尤小，超三面壮投影躲均为谷类似似形。革一般旷位置露平面蹄简称摄一般性面。2.薪投影货面平凑行面投影勒面平或行面用与一畅个投俭影面篮平行老，与缎另两孤投影新面垂帐直。3.投影面秧垂直面投影面吵垂直面冰与一个絮投影面投垂直，粱与另两答个投影削面倾斜王。2.5忽.3律平面闸上的想点和扎直线1.貌平面序上的叛点和焦直线若点在喜平面上接的一条茄直线上括，则点虾在平面脾上。直线通捡过平面絮上两点系，或者索直线通巩过平面符上的一稼个点，晕且与平细面内另花一条直浓线平行芬，则直剧线在平杜面上。EF∥访AB例16已知点D在ABC上，试柄求点D的水构平投迷影。ddabcabcee例17求五细边形哗平面她AB闭CD百E的稼H投些影此，其宁中A报B∥扛V面维。dabcaee1'b1c2'2d例18（图1-厚44）补全藏带缺口秃的三角究形的另版两个投俩影图。解：做由已菌知的V投影志和H投影盐可先臭补出岸平面喷的W投影饥。利乖用在答平面卖上取塘点、芹取线敞的方浮法可舒在平痒面上慢定出筑缺口肉的投击影。2.平锯面上的届特殊位三置直线一般妥位置阴平面主上的包特殊显位置羡直线减有：邪平面稻上的滤水平旗线、届平面卡上的僻正平盐线和画平面晶上的蜡侧平姥线。弄作投灯影图令时，篇常用灾平面领上的层特殊孟位置思直线怖作为钉辅助殖线来虑帮助沸解题滩。abcbac例19已知ABC给定一角平面，抽试过点C作属横于该驾平面诉的正统平线割，过织点A作属桑于该零平面逆的仓水平址线。mnnm注意同一僻平面锯的水颂平线裤和正幅平线宾是一予对相猜交直允线3.哲平面脂上的虽最大笨斜度卷线平面臂上对坟投影蛮面倾眨角最僻大的置直线森称为伸平面恒上对后该投洒影面爹的最大跳