2022-2023学年浙江省杭州市萧山第二高中高二数学理上学期期末试题含解析

2022-2023学年浙江省杭州市萧山第二高中高二数学理上学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.从装有5个红球和3个白球的口袋内任取3个球，那么互斥而不对立的事件是() A．至少有一个红球与都是红球 B．至少有一个红球与都是白球 C．至少有一个红球与至少有一个白球 D．恰有一个红球与恰有二个红球参考答案：D2.已知对任意x∈R，恒有f（﹣x）=﹣f（x），g（﹣x）=g（x），且当x＞0时，f′（x）＞0，g′（x）＞0，则当x＜0时有（）A．f′（x）＞0，g′（x）＞0B．f′（x）＞0，g′（x）＜0C．f′（x）＜0，g′（x）＞0D．f′（x）＜0，g′（x）＜0参考答案：B【考点】函数奇偶性的性质；导数的几何意义．【分析】由已知对任意x∈R，恒有f（﹣x）=﹣f（x），g（﹣x）=g（x），知f（x）为奇函数，g（x）为偶函数，又由当x＞0时，f′（x）＞0，g′（x）＞0，可得在区间（0，+∞）上f（x），g（x）均为增函数，然后结合奇函数、偶函数的性质不难得到答案．【解答】解：由f（﹣x）=﹣f（x），g（﹣x）=g（x），知f（x）为奇函数，g（x）为偶函数．又x＞0时，f′（x）＞0，g′（x）＞0，知在区间（0，+∞）上f（x），g（x）均为增函数由奇、偶函数的性质知，在区间（﹣∞，0）上f（x）为增函数，g（x）为减函数则当x＜0时，f′（x）＞0，g′（x）＜0．故选B3.已知点M是直线l：2x－y－4＝0与x轴的交点，过M点作直线l的垂线，得到的直线方程是()A．x－2y－2＝0

B．x－2y＋2＝0

C．x＋2y－2＝0

D．x＋2y＋2＝0

参考答案：C略4.在等差数列{an}中，已知，则数列{an}的前11项和（

）A.58 B.88 C.143 D.176参考答案：B【分析】由等差中项的性质可得，再根据前n项和的公式得，可得解.【详解】由等差中项的性质可得，故，那么.故选B.【点睛】本题主要考查等差数列中的等差中项和前n项公式，属于基础题．5.若在上是减函数，则的取值范围是(

)A． B． C．

D.参考答案：C6.已知复数z=1+2i，则等于（）A．5+4i B．1﹣2i C．1 D．2参考答案：B【考点】A2：复数的基本概念．【专题】35：转化思想；4A：数学模型法；5N：数系的扩充和复数．【分析】直接由复数z=1+2i即可求出．【解答】解：由z=1+2i，得．故选：B．【点评】本题考查了复数的基本概念，是基础题．7.如图,在平行六面体中，为与的交点。若，，则下列向量中与相等的向量是（

）

A.

B.

C.

D.参考答案：A8.某农场给某种农作物的施肥量x(单位：吨)与其产量y(单位：吨)的统计数据如表：施肥量x(吨)2345产量y(吨)26394954由于表中的数据，得到回归直线方程为，当施肥量时，该农作物的预报产量是()A.72.0 B.67.7 C.65.5 D.63.6参考答案：C【分析】根据回归直线方程过样本的中心点，先求出中心点的坐标，然后求出的值，最后把代入回归直线方程呆，可以求出该农作物的预报产量.【详解】，因为回归直线方程过样本的中心点，所以有，因此，当时，，故本题选C.【点睛】本题考查了回归直线方程的性质，考查了数学运算能力.9.已知函数的图象如图所示，下面四个图象中的图象大致是（

）A. B.C. D.参考答案：C【分析】根据函数y＝xf′（x）的图象，依次判断f（x）在区间（﹣∞，﹣1），（﹣1，0），（0，1），（1，+∞）上的单调性即可【详解】由函数y＝xf′（x）的图象可知：当x＜﹣1时，xf′（x）＜0，f′（x）＞0，此时f（x）增，当﹣1＜x＜0时，xf′（x）＞0，f′（x）＜0，此时f（x）减，当0＜x＜1时，xf′（x）＜0，f′（x）＜0，此时f（x）减，当x＞1时，xf′（x）＞0，f′（x）＞0，此时f（x）增．故选：C．【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性，考查函数的图象问题．属于基础题．10.的定义域为A．

B．

C．

D．参考答案：D二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.不等式（x﹣1）（2﹣x）＞0的解集是．参考答案：（1，2）【考点】二次函数的性质；一元二次不等式的解法．【分析】分析二次函数y=（x﹣1）（2﹣x）的图象和性质，可得不等式（x﹣1）（2﹣x）＞0的解集．【解答】解：二次函数y=（x﹣1）（2﹣x）的图象是开口朝上，且与x轴交于点（1，0），（2，0），故当1＜x＜2时，y=（x﹣1）（2﹣x）＞0，故不等式（x﹣1）（2﹣x）＞0的解集是（1，2），故答案为：（1，2）12.给出下列命题： ①函数f（x）=x3+ax2+ax﹣a既有极大值又有极小值，则a＜0或a＞3； ②若f（x）=（x2﹣8）ex，则f（x）的单调递减区间为（﹣4，2）； ③过点A（a，a）可作圆x2+y2﹣2ax+a2+2a﹣3=0的两条切线，则实数a的取值范围为a＜﹣3或a＞1； ④双曲线=1（a＞0，b＞0）的离心率为e1，双曲线=1的离心率为e2，则e1+e2的最小值为2． 其中为真命题的序号是． 参考答案：①②④【考点】命题的真假判断与应用． 【专题】对应思想；转化法；简易逻辑． 【分析】①根据函数极值和导数之间的关系进行判断． ②令f′（x）=（x+4）（x﹣2）ex＜0，解得即可得出f（x）的单调递减区间； ③根据点与圆的位置关系进行判断． ④由于e1+e2=+=≥即可判断出． 【解答】解：①∵f（x）=x3+ax2+ax﹣a，∴f′（x）=3x2+2ax+a 若函数f（x）=x3+ax2+ax﹣a既有极大值又有极小值 ∴△=（2a）2﹣4×3×a＞0，∴a＞3或a＜0，故①正确， ②若f（x）=（x2﹣8）ex，则f′（x）=（x2+2x﹣8）ex，由f′（x）＜0， 得x2+2x﹣8＜0．即﹣4＜x＜2，即f（x）的单调递减区间为（﹣4，2）；故②正确， ③过点A（a，a）可作圆x2+y2﹣2ax+a2+2a﹣3=0的两条切线， 则点A在圆的外部，圆的标准方程为（x﹣a）2+y2=3﹣2a， 可得圆心P坐标为（a，0），半径r=，且3﹣2a＞0，即a＜， ∵点A在圆外，是|AP|=＞r=， 即有a2＞3﹣2a，整理得：a2+2a﹣3＞0，即（a+3）（a﹣1）＞0， 解得：a＜﹣3或a＞1，又a＜， 可得a＜﹣3或1＜a＜，故③错误； ④双曲线=1的离心率为e1，双曲线=1的离心率为e2， 则e1+e2=+=≥=2，当且仅当a=b时取等号．其最小值为2，正确． 故答案为：①②④． 【点评】本题考查了命题的真假判断，涉及利用导数研究函数的单调性极值、圆锥曲线的标准方程及其性质，点与圆的位置关系，考查了推理能力与计算能力，涉及的指数点交点，综合性较强． 13.已知不等式组所表示的平面区域为，若直线与平面区域有公共点，则的取值范围为

参考答案：14.计算_________参考答案：

15.若某几何体的三视图（单位：）如图所示，则此几何体的体积是

▲

；参考答案：18略16.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为DD1的中点，则BD1与平面AEC的位置关系为

。

参考答案：平行17.集合A＝{}，B＝{}．若A∩B有且只有一个元素，则实数a的值为______参考答案：0或－2略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.有5个男生和3个女生，从中选出5人担任5门不同学科的科代表，求分别符合下列条件的选法数：（写出必要的解题步骤）（1）有女生但人数必须少于男生；（2）某女生一定担任语文科代表；（3）某男生必须包括在内，但不担任数学科代表；（4）某女生一定担任语文课代表，某男生必须担任科代表，但不担任数学科代表。参考答案：（1）5400（2）（3）（4）360试题分析：解：(1)先取后排,有种,后排有种,共有＝5400种．3(2)除去该女生后先取后排：种．6(3)先取后排,但先安排该男生：种．9(4)先从除去该男生该女生的6人中选3人有种,再安排该男生有种,其余3人全排有种,共=360种．12考点：排列组合的运用点评：解决的关键是根据排列组合结合计数原理来的分情况得到结论，属于中档题。19.（文科学生做）设函数，记不等式的解集为.（1）当时，求集合；（2）若，求实数的取值范围.参考答案：（1）当时，，解不等式，得，……5分.

…………6分（2），，又，，.

…………9分又，，解得，实数的取值范围是.

……14分20.是否存在常数c，使得不等式对任意正数x,y恒成立？参考答案：解析：令x=y得，故猜想c=,下证不等式恒成立。要证不等式，因为x,y是正数，即证3x(x+2y)+3y(2x+y)≤2（2x+y）(x+2y),也即证,即2xy≤，而此不等式恒成立，同理不等式也成立，故存在c=使原不等式恒成立。21.设函数，曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程为7x﹣4y﹣12=0．（1）求y=f（x）的解析式；（2）证明：曲线y=f（x）上任一点处的切线与直线x=0和直线y=x所围成的三角形面积为定值，并求此定值．参考答案：【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；导数的几何意义；直线的一般式方程．【分析】（1）已知曲线上的点，并且知道过此点的切线方程，容易求出斜率，又知点（2，f（2））在曲线上，利用方程联立解出a，b（2）可以设P（x0，y0）为曲线上任一点，得到切线方程，再利用切线方程分别与直线x=0和直线y=x联立，得到交点坐标，接着利用三角形面积公式即可．【解答】解析：（1）方程7x﹣4y﹣12=0可化为，当x=2时，，又，于是，解得，故．（2）设P（x0，y0）为曲线上任一点，由知曲线在点P（x0，y0）处的切线方程为，即令x=0，得，从而得切线与直线x=0的交点坐标为；令y=x，得y=x=2x0，从而得切线与直线y=x的交点坐标为（2x0，2x0）；所以点P（x0，y0）处的切线与直线x=0，y=x所围成的三角形面积为．故曲线y=f（x）上任一点处的切线与直线x=0，y=x所围成的三角形面积为定值，此定值为6．22.某中学为了提升同学们的课余生活质量，开展了丰富多彩的