重庆松树桥中学高三数学理期末试卷含解析

重庆松树桥中学高三数学理期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.椭圆C：的左、右顶点分别为A1、A2，点P在C上且直线PA2斜率的取值范围是[－2，－1]，那么直线PA1斜率的取值范围是（

）参考答案：B略2.公差不为零的等差数列中，成等比数列，则其公比为（

）A．1

B．2

C．3

D．4参考答案：C略3.已知集合，则等于A．

B．

C．

D．参考答案：B略4.若x∈A，则∈A，就称A是伙伴关系集合，集合M=的所有非空子集中具有伙伴关系的集合的个数是（）A．31 B．7 C．3 D．1参考答案：B【考点】12：元素与集合关系的判断．【专题】49：综合法；4R：转化法；5J：集合．【分析】利用x∈A，则∈A，即可判断出集合A的伙伴关系集合个数．【解答】解：集合M=的所有非空子集中具有伙伴关系的集合为：{﹣1}，{，2}，{，3}，{﹣1，，2}，{﹣1，，3}，{，2，，3}，{﹣1，，2，，3}，故选：B．5.已知函数，下列说法正确的是（

）A．，在上是增函数B．，在上是减函数C．，是上的常函数D．，是上的单调函数参考答案：D函数的定义域为。当时，。当时，函数为奇函数。，若，则，所以函数在区间和上，函数递增。若，则，所以函数在区间和上，函数递减。所以D正确，选D.6.将函数的图象向左平移0＜2的单位后，得到函数y=sin的图象，则等于(

)A．

B．

C．

D．参考答案：C7.在锐角三角形ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，已知，，，则△ABC的面积为（

）A． B．

C.

D．参考答案：A∵，，∴，即，，又∴,∵，∴,∴∴，∴由正弦定理可得：，解得：.故选：A

8.已知向量，，且与的夹角为锐角，则的取值范围是（

）

（A）

（B）

（C）

（D）参考答案：B当共线时，，，此时方向相同夹角为，所以要使与的夹角为锐角，则有且不共线。由得，且，即实数的取值范围是，选B.9.对于平面和共面的两直线、，下列命题中是真命题的为A．若，，则B．若，，则C．若，，则D．若、与所成的角相等，则参考答案：C10.已知函数的图象如图所示，则该函数的解析式可能是（

）A．

B．

C．

D．参考答案：A二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.与直线x+y-1=0垂直的直线的倾斜角为________参考答案：12.在△ABC中，∠BAC=135°，BC边上的高为1，则|BC|的最小值为．参考答案：2+2【考点】解三角形．【专题】综合题；解三角形．【分析】在△ABC中，由余弦定理有：BC2=AB2+AC2﹣2AB?ACcos135°=AB2+AC2+AB?AC=（AB﹣AC）2+AB?AC（2+）因此：当AB=AC时，BC2有最小值，即BC有最小值，最小值是AB?，求出AB，即可得出结论．【解答】解：在△ABC中，由余弦定理有：BC2=AB2+AC2﹣2AB?ACcos135°=AB2+AC2+AB?AC=（AB﹣AC）2+AB?AC（2+）因此：当AB=AC时，BC2有最小值，即BC有最小值，最小值是AB?．所以：此时根据勾股定理有AB2=1+（AB?）2求得：AB=，所以：BC=2+2．故答案为：2+2．【点评】本题考查余弦定理的运用，考查学生的计算能力，正确运用余弦定理是关键．13.已知三棱锥P—ABC的所有棱长都相等，现沿PA，PB，PC三条侧棱剪开，将其表面展开成一个平面图形，若这个平面图形外接圆的半径为2，则三棱锥P—ABC的内切球的体积为

▲

．参考答案：π【知识点】多面体与球G8三棱锥P-ABC展开后为一等边三角形，设边长为a，则4=，∴a=6，

∴三棱锥P-ABC棱长为3，三棱锥P-ABC的高为2，

设内切球的半径为r，则4×r×S△ABC=S△ABC×2，

∴r=，∴三棱锥P-ABC的内切球的表面积为=π．【思路点拨】根据平面图形外接圆的半径求出三棱锥的棱长，再根据棱长求出高，然后根据体积公式计算即可．14.下图展示了一个由区间到实数集的映射过程：区间中的实数对应数轴上的点，如图①：将线段围成一个圆，使两端点恰好重合，如图②：再将这个圆放在平面直角坐标系中，使其圆心在轴上，点的坐标为，如图③，图③中直线与轴交于点，则的象就是，记作．下列说法中正确命题的序号是

（填出所有正确命题的序号）①②是奇函数③在定义域上单调递增④是图像关于点对称．参考答案：③④试题分析：解：如图，因为在以为圆心，为半径的圆上运动，对于①当时，的坐标为，直线的方程，所以点的坐标为，故，即①错；对于②，因为实数所在的区间不关于原点对称，所以不存在奇偶性，故②错；对于③，当实数越来越大时，如图直线与轴的交点也越来越往右，即越来越大，所以在定义域上单调递增，即③对；对于④当实数时，对应的点在点的正下方，此时点，所以，再由图形可知的图象关于点对称，即④对，故答案为③④．考点：在新定义下解决函数问题．15.有下列四个命题：

①函数的图象关于点（－1，1）对称；

②设，是两角，则“”是“”的必要不充分条件；

③在△ABC中，内角A、B、C的对边分别是、、，且，，则；

④已知命题：对任意的，都有，则是：存在，使得。其中所有真命题的序号是

。参考答案：③④①错，函数，对称中心应为（1，1）；②也错，由，由，因此“”是“”的充分不必要条件；③正确，由，根据正弦定理得，代入，得，。不妨设，则，，根据余弦定理，得，因为，所以；④正确，若：，则：。千万要记住这个结论。16.某儿童玩具生产厂一车间计划每天生产遥控小车模型、遥控飞机模型、遥控火车模型这三种玩具共30个，生产一个遥控小车模型需10分钟，生产一个遥控飞机模型需12分钟，生产一个遥控火车模型需8分钟已知总生产时间不超过320分钟，若生产一个遥控小车模型可获利160元，生产一个遥控飞机模型可获利180元，生产一个遥控火车模型可获利120元，该公司合理分配生产任务可使每天的利润最大，则最大利润是

元参考答案：5000设每天安排生产个遥控小车模型，个遥控飞机模型，则生产个遥控火车模型，依题得，实数满足线性约束条件目标函数为，化简得，作出不等式组表示的可行域(如图所示)：作直线，将直线向右上方平移过点时，直线在y轴上的截距最大，由得所以，此时（元）.17.过点P的直线交圆C：于A,B两点，C为圆心，则的最小值为_______．参考答案：答案：-4三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知数列满足.（Ⅰ）证明：是等比数列；（Ⅱ）求.参考答案：（Ⅰ）由得：，因为，所以，从而由得，所以是以2为首项，2为公比的等比数列.（Ⅱ）由（1）得，所以.19.(本题满分15分)函数,,其中a为正常数,且函数和的图像在其与坐标轴的交点处的切线互相平行．(1)求的值；(2)若存在x使不等式成立，求实数m的取值范围；(3)对于函数和公共定义域中的任意实数，我们把的值称为两函数在处的偏差.求证:函数和在其公共定义域内的所有偏差都大于2．参考答案：简答：

设,

(i)当x≥1时,,有

(ii)当0<x<1时,设,则[此时

所以综上有函数和在其公共定义域内的所有偏差都大于2．20.交强险是车主必须为机动车购买的险种．若普通6座以下私家车投保交强险第一年的费用（基准保费）统一为a元，在下一年续保时，实行的是费率浮动机制，保费与上一年度车辆发生道路交通事故的情况相联系，发生交通事故的次数越多，费率也就越高，具体浮动情况如表：交强险浮动因素和浮动费率比率表

浮动因素浮动比率A1上一个年度未发生有责任道路交通事故下浮10%A2上两个年度未发生有责任道路交通事故下浮20%A3上三个及以上年度未发生有责任道路交通事故下浮30%A4上一个年度发生一次有责任不涉及死亡的道路交通事故0%A5上一个年度发生两次及两次以上有责任道路交通事故上浮10%A6上一个年度发生有责任道路交通死亡事故上浮30%某机构为了研究某一品牌普通6座以下私家车的投保情况，随机抽取了60辆车龄已满三年的该品牌同型号私家车的下一年续保时的情况，统计得到了下面的表格：类型A1A2A3A4A5A6数量105520155以这60辆该品牌车的投保类型的频率代替一辆车投保类型的概率，完成下列问题：（Ⅰ）按照我国《机动车交通事故责任强制保险条例》汽车交强险价格的规定a=950．记X为某同学家的一辆该品牌车在第四年续保时的费用，求X的分布列与数学期望值；（数学期望值保留到个位数字）（Ⅱ）某二手车销售商专门销售这一品牌的二手车，且将下一年的交强险保费高于基本保费的车辆记为事故车．假设购进一辆事故车亏损5000元，一辆非事故车盈利10000元：①若该销售商购进三辆（车龄已满三年）该品牌二手车，求这三辆车中至多有一辆事故车的概率；②若该销售商一次购进100辆（车龄已满三年）该品牌二手车，求他获得利润的期望值．参考答案：【考点】离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列．【分析】（Ⅰ）由题意可知X的可能取值为0.9a，0.8a，0.7a，a，1.1a，1.3a．由统计数据可知其概率及其分布列．（II）①由统计数据可知任意一辆该品牌车龄已满三年的二手车为事故车的概率为，三辆车中至多有一辆事故车的概率为P=+．②设Y为该销售商购进并销售一辆二手车的利润，Y的可能取值为﹣5000，10000．即可得出分布列与数学期望．【解答】解：（Ⅰ）由题意可知X的可能取值为0.9a，0.8a，0.7a，a，1.1a，1.3a．…（2分）由统计数据可知：P（X=0.9a）=，P（X=0.8a）=，P（X=0.7a）=，P（X=a）=，P（X=1.1a）=，P（X=1.3a）=．所以X的分布列为：X0.9a0.8a0.7aa1.1a1.3aP…（4分）所以EX=0.9a×+0.8a×+0.7a×+a×+1.1a×+1.3a×==≈942．（Ⅱ）①由统计数据可知任意一辆该品牌车龄已满三年的二手车为事故车的概率为，三辆车中至多有一辆事故车的概率为P=+=．…（8分）②设Y为该销售商购进并销售一辆二手车的利润，Y的可能取值为﹣5000，10000．所以Y的分布列为：Y﹣500010000P所以EY=﹣5000×+10000×=5000．…（10分）所以该销售商一次购进100辆该品牌车龄已满三年的二手车获得利润的期望值为100EY=50万元．…（12分）【点评】本题考查了随机变量的分布列与数学期望、相互独立与互斥事件的概率计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．21.设数列{an}前n项的和为．（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）设，求数列{bn}前n项的和Tn．参考答案：【考点】数列的求和；数列递推式．【分析】（I）=an﹣n+1，Sn=nan﹣n（n﹣1），当n≥2时，Sn﹣1=（n﹣1）an﹣1﹣（n﹣1）（n﹣2），化为an﹣an﹣1=2，利用等差数列的通项公式即可得出．（II）=（2n﹣1）?32n﹣1=，利用“错位相减法”与等比数列的前n项和公式即可得出．【解答】解：（I）∵=an﹣n+1，∴Sn=nan﹣n（n﹣1），当n≥2时，Sn﹣1=（n﹣1）an﹣1﹣（n﹣1）（n﹣2），两式相减可得：an=nan﹣（n﹣1）an﹣1﹣2（n﹣1），化为an﹣an﹣1=2，∴数列{an}是等差数列，首项为1，公差为2．∴an=1+2（n﹣1）=2n﹣1．（II）=（2n﹣1）?32n﹣1=，∴数列{bn}前n项的和Tn=+5×93+…+（2n﹣1）?9n]，9Tn=+…+（2n﹣3）?9n+（2n﹣1）?9n+1]，∴﹣8Tn===，∴Tn=+．22.已知点是直角坐标平面内的动点，点到直线的距离为，到点的距离为，且．(1)求动点P所在曲线C的方程；(2)直线过点F且与曲线C交于不同两点A、B(点A或B不在x轴上)，分别过A、B点作直线的垂线，对应的垂足分别为，试判断点F与以线段为直径的圆的位置关系(指在圆内、圆上、圆外等情况)；(3)记，，(A、B、是(2)中的点)，问是否存在实数，使成立．若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．(理）若上述问题中直线、点、曲线C：，则使等式成立的的值仍保持不变．请给出你的判断

(填写“不正确”或“正确”)(限于时间，这里不需要举反例，或