奥数典型问题专项训练

.z.行程问题1.甲、乙、丙三人进展200米赛跑，当甲到终点时，乙离终点还有20米，丙离终点还有25米，如果甲、乙、丙赛跑的速度都不变，则当乙到达终点时，丙离终点还有多少米？

2.甲、乙、丙三人行路，甲每分钟走60米，乙每分钟走50米，丙每分钟走40米.甲从A地，乙和丙从B地同时出发相向而行，甲和乙相遇后，过了15分钟又与丙相遇，求A、B两地间的距离。

3.甲、乙、丙是一条路上的三个车站，乙站到甲、丙两站的距离相等，小强和小明同时分别从甲、丙两站出发相向而行，小强经过乙站100米时与小明相遇，然后两人又继续前进，小强走到丙站立即返回，经过乙站300米时又追上小明，问：甲、乙两站的距离是多少米？

4.周长为400米的圆形跑道上，有相距100米的A、B两点，甲、乙两人分别从A、B两点同时相背而跑，两人相遇后，乙即转身与甲同向而跑，当甲跑到A时，乙恰好跑到B.如果以后甲、乙跑的速度和方向都不变，则追上乙时，甲共跑了多少米〔从出发时算起〕？

5.一条公路上，有一个骑车人和一个步行人，骑车人速度是步行人速度的3倍，每隔6分钟有一辆公共汽车超过步行人，每隔10分钟有一辆公共汽车超过骑车人，如果公共汽车始发站发车的时间间隔保持不变，则间隔几分钟发一辆公共汽车？

参考答案：1.

5又5/9米2.

16.5千米3.

300米4.

1000米5.

5分钟工程问题1.一项工程，甲单独完成需12天，乙单独完成需9天．假设甲先做假设干天后乙接着做，共用10天完成，问甲做了几天？

2.师徒三人合作承包一项工程，8天能够全部完成.师傅单独做所需的天数与两个徒弟合作所需天数一样.师傅与徒弟甲合作所需的天数的4倍与徒弟乙单独完成这项工程所需的天数一样.问：两徒弟单独完成这项工程各需多少天？3.一件工作甲先做6小时，乙接着做12小时可以完成．甲先做8小时，乙接着做6小时也可以完成．如果甲做3小时后由乙接着做，还需要多少小时完成？4.一项工程，甲单独做要12小时完成，乙单独做要18小时完成．假设甲先做1小时，然后乙接替甲做1小时，再由甲接替乙做1小时，…，两人如此交替工作，问完成任务时，共用了多少小时？5.一个水池有两个排水管甲和乙，一个进水管丙.假设同时开放甲、丙两管，20小时可将满池水排空；假设同时开放乙、丙两水管，30小时可将满池水排空，假设单独开丙管，60小时可将空池注满.假设同时翻开甲、乙、丙三水管，要排空水池中的满池水，需几小时？

参考答案1.

42.

甲26又2/3天，乙40天

3.

21

4.

14又1/3

5.

10数字问题1.一本小说的页码，在印刷时必须用1989个铅字，在这一本书的页码中数字1出现多少次？2.把23个数：3，33，333，…，33…3〔23个3〕相加，则所得的和的末四位数是多少？3.将1、1、2、2、3、3、4、4这八个数字排成一个八位数，使得两个1之间有一个数字，两个2之间有二个数字，两个3之间有三个数字，两个4之间有四个数字，则这样的八位数中最小的是？4.从1，2，3，…，2004，2005这些自然数中，最多可以取几个数，才能使其中每两个数的差不等于4？5.有一个号码是六位数，其中左边三个数字一样，右边三个数字是按由大到或由小到大顺序排列的三个连续的自然数，六个数字之和恰好等于末尾的两位数，这个号码是多少？参考答案：

1.

240

2.

7029

3.

23421314

4.

1004

5.

555321或333012分数、百分数应用题1.一列火车从甲地开往乙地，如果将车速提高20％，可以比原方案提前1小时到达；如果先以原速度行驶240千米后，再将速度提高25％，则可提前40分钟到达.求甲、乙两地之间的距离及火车原来的速度。2.甲、乙、丙三人合作生产一批机器零件，甲生产的零件数量的一半与乙生产的零件数量的五分之三相等，又等于丙生产的零件数量的四分之三，乙比丙多生产50个零件，问：这批零件共有多少个？3.菜园里西红柿获得丰收，收下全部的3/8时，装满3筐还多24千克，收完其余局部时，又刚好装满6筐，求共收西红柿多少千克？4.服装厂一车间人数占全厂的25％，二车间人数比一车间少1/5，三车间人数比二车间多3/10，三车间是156人，这个服装厂全厂共有多少人？5.二年级两个班共有学生90人，其中少先队员有71人，又知一班少先队员占本班人数的3/4，二班少先队员占本班人数的5/6，求两个班各有多少人？

参考答案：

1.甲、乙两地相距540千米，原来火车的速度为每小时90千米。

2.750

3.384

4.600

5.一班48人，二班42人同余问题假设a为自然数，证明10│〔a2005－a1949〕．2.给出12个彼此不同的两位数，证明：由它们中一定可以选出两个数，它们的差是两个一样数字组成的两位数．3.求被3除余2，被5除余3，被7除余5的最小三位数．4.设2n＋1是质数，证明：12，22，…，n2被2n＋1除所得的余数各不一样．5.试证不小于5的质数的平方与1的差必能被24整除．参考答案：1.提示：对于任何自然数a，a5与a的个位数字一样．2.提示：有两个数的差能被11整除

3.173

4.分析这道题肯定不可能通过各数被2n＋1除去求余数．则我们可以考虑从反面入手，假设存在两个一样的余数的话，就会发生矛盾．而中间的推导是步步有根据的，所以发生矛盾的原因是假设不合理．从而说明假设不成立，因此原来的结论是正确的．证明：假设有两个数a、b，〔a≠b，设b<a，且1≤a≤n，1≤b≤n〕，它们的平方a2，b2被2n＋1除余数一样则，由同余定义得a2－b2≡0〔mod〔2n＋1〕〕即〔a＋b〕〔a－b〕≡0〔mod〔2n＋1〕〕，由于2n＋1是质数．∴a＋b≡0〔mod〔2n＋1〕〕或a－b≡0〔mod〔2n＋1〕〕．

由于a＋b，a－b均小于2n＋1且大于零，可知，a＋b与2n＋1互质，a－b也与2n＋1互质．即a＋b与a－b都不能被2n＋1整除．产生矛盾，∴原题得证．

说明：这里用到一个重要的事实：如果A·B≡0〔modp〕，p是质数，则A或B中至少有一个模p为零．p是质数这一条件不能少，否则不能成立。例如2·3≡0〔mod6〕，但2、3被6除余数不为0。5.证明：∵质数中仅有一个偶数2，∴不小于5的质数是奇数．又不小于5的自然数按除以6所得的余数可分为6类：6n，6n＋1，6n＋2，6n＋3，6n＋4，6n＋5，〔n是自然数〕，其中6n，6n＋2，6n＋4都是偶数，又3│6n＋3．∴不小于5的质数只可能是6n＋1，6n＋5．又自然数除以6余数是5的这类数换一记法是：6n－1∴〔不小于5的质数〕2－1＝〔6n±1〕2－1＝36n2±12n＝12n〔3n±1〕，这里n与〔3n±1〕奇偶性不同，其中定有一个偶数，∴2│n〔3n±1〕，∴24│12n〔3n±1〕．∴结论成立．说明：按同余类造抽屉是解竞赛题的常用方法．最值问题1.一个两位数被它的各位数字之和去除，所得的余数最大是多少？2.有4袋糖块，其中任意3袋的总和都超过60块。则这4袋糖块的总和最少是多少？3.将6，7，8，9，10按任意次序写在一圆周上，每相邻两数相乘，并将所得的5个乘积相加，则所得和数的最小值是多少？4.有13个不同的非零自然数，他们的和是100，问其中偶数最少有多少个，最多有多少个"

5.用1，2，3，4，5，6，7，8，9这9个数字各一次，组成一个被减数，减数，差都是三位数的正确的减法算式，则这个算式的差最大是多少？

参考答案：

1.

15

2.

82

3.

312

4.

最少5个，最多7个

5.

784浓度问题1.有甲乙两种糖水，甲含糖270克，含水30克，乙含糖400克，含水100克，现要得到浓度是82.5%的糖水100克，问每种应取多少克？2.一个容器里装有10升纯酒精,倒出1升后,用水加满,再倒出1升,用水加满,再倒出1升,用水加满,这时容器内的酒精溶液的浓度是"

3.有假设干千克4%的盐水,蒸发了一些水分后变成了10%的盐水,在加300克4%的盐水,混合后变成6.4%的盐水,问最初的盐水是多少千克"

4.盐水假设干克，第一次参加一定量的水后，盐水浓度变为3％，第二次参加同样多的水后，盐水浓度变为2％。求第三次参加同样多的水后盐水的浓度。5.有A、B、C三种盐水，按A与B的数量之比为2：1混合，得到浓度为13％的盐水；按A与B的数量之比为1：2混合，得到浓度为14％的盐水；按A、B、C的数量之比为1：1：3混合，得到浓度为10.2％的盐水，问盐水C的浓度是多少？

参考答案：

1.

甲25，乙75

2.

80.1%

3.

0.5

4.

1.5％

5.

8％设数解题1.*班一次考试，平均分为85分，其中7/8及格，及格的同学平均分为90分，则不及格的同学平均分是多少？2.小明上山的速度是每分钟150米，下山的速度是每分钟300米，求上山后又沿原路下山的平均速度。3.*班同学的平均身高为138厘米，其中男生比女生多1/5，女生平均身高比男生高10%，这个班男生平均身高是多少？4.阅览室看书的学生中，男生占25%，有来了一些学生后，学生总人数增加20%，男生占总数的40%，男生增加百分之几？5.六年级三个班人数相等，一班的男生人数和二班的女生人数相等，三班的男生人数是全部男生人数的3/8，全部女生人数占全年级人数的几分之几？注：也可称为赋值法。设数时，最好不要将单位名称写出，自己心里知道就可以了。

参考答案：

1.

50

2.

200米每分钟

3.

132厘米

4.

92％

5.

7/15不定方程1.小华买圆珠笔假设干支，正好付出10元钱，他所买的圆珠笔有两种，有1元1支的，也有1元5角一支的，每种都多于4支，他两种圆珠笔各买了多少支？2.有甲乙两种卡车，甲车的载重量为6吨，乙车的载重量为8吨。现有煤144吨，要求一次运完，每种车都不少于4辆，而且每一辆卡车都要满载，问甲乙两种卡车各需多少辆？3.一次数学测验，采用5级计分制〔5分最高，4分次之，……〕。男生的平均成绩为4分，女生的平均成绩为3.25分，而全班的平均成绩为3.6分。如果该班的人数多于30人，少于50人，问有多少男生和多少女生参加了测验？4.*地水费，不超过10吨时，每吨0.45元；超过10吨时，每吨0.8元，张家比李家多交水费3.3元，如果两家的用水量都是整数吨。问两家各交水费多少元？5.有甲乙丙三种货物，假设购甲3件，乙7件，丙1件共需315元。假设购甲4件，乙10件，丙1件共需420元。现购甲乙丙各一件共需多少元？最大公约数与最小公倍数1.两个数的最大公约数是4，最小公倍数是252，其中一个数是28，另一个数是多少？2.两个自然数的积是5766，它们的最大公约数是31.求这两个自然数。3.两个自然数的和是54，并且它们的最小公倍数与最大公约数之间的差为114，求这两个数。4.将一块长3.57米、宽1.05米、高0.84米的长方体木料，锯成同样大小的正方体小木块.问当正方体的边长是多少时，用料最省且小木块的体积总和最大？〔不计锯时的损耗，锯完后木料不许有剩余〕5.写出小于20的三个自然数，使它们的最大公约数是1，但其中任意两个数都不互质。

参考答案：

1.

36

2.

31，186或62，93

3.

24,30

4.

21厘米

5.

6，10，15或10，12，15或10，15，18整除问题1.任一个三位数连续写两次得到一个六位数.试证：这个六位数能同时被7、11、13整除.

2.证明：任何两个自然数的和、差、积中，至少有一个数能被3整除.

3.*个七位数2000□□□能同时被1、2、3、4、5、6、7、8、9整除，则最后三位是什么？4.在865后面补上三个数字，组成一个六位数，使它能分别被3、4、5整除，且使这个数值尽可能的小。5.求能被26整除的所有六位数(*1991y)。

参考答案：

1.

提示：该数能被1001整除

2.

略

3.

8，8，0

4.

865020

5.

819910、119912、719914和619918奇偶分析1.能否在下式中填入适当的"+〞，"-〞，使等式成立？

9□8□7□6□5□4□3□2□1=28

2.在a、b、c三个数中，有一个是2003，一个是2004，一个是2005。问〔a－1〕〔b－2〕〔c－3〕是奇数还是偶数。3.用代表整数的字母a、b、c、d写成等式组：

a×b×c×d-a=1991

a×b×c×d-b=1993

a×b×c×d-c=1995

a×b×c×d-d=1997

试说明：符合条件的整数a、b、c、d是否存在。4.有一串数，最前面的四个数依次是1、9、8、7.从第五个数起，每一个数都是它前面相邻四个数之和的个位数字.问：在这一串数中，会依次出现1、9、8、8这四个数吗？5.任意改变*一个三位数的各位数字的顺序得到一个新数.试证新数与原数之和不能等于999。

参考答案：

1.不能

2.偶数

3.不存在

4.提示：先按规律写出一些数来，再找其奇、偶性的排列规律，便可得到答案：不会依次出现1、9、8、8这四个数。

5.略时钟问题1.在10点与11点之间，钟面上时针和分针在什么时刻垂直？2.现在是2点15分，再过几分钟，时针和分针第一次重合？3.在7点与8点之间〔包含7点与8点〕的什么时刻，两针之间的夹角为120°？4.小明在7点与8点之间解了一道题，开场时分针与时针正好成一条直线，解完题时两针正好重合，小明解题的起始时间？小明解题共用了多少时间？5.一只旧钟的分钟和时针每65分钟〔标准时间的65分钟〕重合一次.问这只旧钟一天〔标准时间24小时〕慢或快几分钟？

参考答案：

1.

10点5又5/11分钟和10点38又2/11分钟

2.

61又4/11分钟

3.

7点16又4/11分钟和8点整

4.

32又2/11分钟

5.

快10又10/143分钟〔按旧钟上的时间〕

奇偶分析1.能否在下式中填入适当的"+〞，"-〞，使等式成立？

9□8□7□6□5□4□3□2□1=28

2.在a、b、c三个数中，有一个是2003，一个是2004，一个是2005。问〔a－1〕〔b－2〕〔c－3〕是奇数还是偶数。3.用代表整数的字母a、b、c、d写成等式组：

a×b×c×d-a=1991

a×b×c×d-b=1993

a×b×c×d-c=1995

a×b×c×d-d=1997

试说明：符合条件的整数a、b、c、d是否存在。4.有一串数，最前面的四个数依次是1、9、8、7.从第五个数起，每一个数都是它前面相邻四个数之和的个位数字.问：在这一串数中，会依次出现1、9、8、8这四个数吗？5.任意改变*一个三位数的各位数字的顺序得到一个新数.试证新数与原数之和不能等于999。

参考答案：

1.不能

2.偶数

3.不存在

4.提示：先按规律写出一些数来，再找其奇、偶性的排列规律，便可得到答案：不会依次出现1、9、8、8这四个数。

5.略简单的枚〔列〕举法1.用0，1，2，3四个数字组成一个三位数，可以组成多少个偶数〔每个数字最多用一次〕？2.在一个长方形中划6条直线，最多能把它分成多少份？3.从1到100的