材料力学第三章概要

1材料力学第三章概要22、汽车构件中的扭转33、机器中的传动轴工作时受扭。44、工程构件工作时受扭5变形特征：杆件的各横截面环绕轴线发生相对的转动。受力特征：在杆的两端垂直于杆轴的平面内，作用着一对力偶，其力偶矩相等、方向相反。二、扭转的概念主要发生扭转变形的杆——轴(圆轴)。6一、薄壁圆筒横截面上的应力,r0：为平均半径）(壁厚§2薄壁圆筒的扭转注意红线的含义:圆周线、纵向线1、实验：72、变形规律：圆周线——形状、大小、间距不变，各圆周线只是绕轴线转动了一个角度。纵向线——仍为直线，只是倾斜了同一个角度，小方格变成了平行四边形。结论：横截面上可认为：薄壁圆筒横截面上的应力切应力沿壁厚均匀分布,且方向垂直于其半径方向。根据对称性可知切应力沿圆周均匀分布；8MennnnMeT

扭矩薄壁圆筒横截面上的切应力计算式3、薄壁圆筒的内力分析以及应力计算（截面法分析内力的合力的类型和方向）9做薄壁圆筒的扭转试验可得一方面在弹性范围内切应力与切应变成正比关系剪切虎克定律另一方面：Me正比于切变模量在几何上10右图一、外力偶矩计算设：轴的转速

n转／分(r／min)，其中某一轮传输的功率为：P千瓦(KW

）

实际作用于该轮的外力偶矩

Me，则§3传动轴的外力偶矩-扭矩和扭矩图分清轮子、轮轴、轴承11圆轴受扭时其横截面上的内力偶矩称为扭矩，用符号T表示。11TTMe

Me

AB11BMe

AMe

11x二、扭转杆件的内力——扭矩及扭矩图1、扭转杆件的内力（截面法分析内力的合力的类型和方向）122、扭矩的符号规定：按右手螺旋法则判断右手的四指代表扭矩的旋转方向，大拇指代表其矢量方向，若其矢量方向与截面的外法线方向相同，则扭矩规定为正值，反之为负值。T+T-双矢量表示法133、扭矩图：表示构件各横截面扭矩沿轴线变化的图形。扭矩图作法：类比轴力图图示圆轴中，M1＝6Me,M2＝Me,M3＝2Me,M4＝3Me画扭矩图。M3

M1

M2

M4

ABCD6Me

5Me

3Me

14一计算各轮上的外力偶矩解：M1

M2

M3

M3

ABCD例2一传动轴如图，转速n=300r/min；主动轮输入的功率P1=500kW，三个从动轮输出的功率分别为：P2=150kW，P3=150kW，P4=200kW。试作轴的扭矩图。

15二、分别计算各段的扭矩221133M1

M2

M3

M4

ABCDT111xM2AT2AM2

BM3

22xT333DM4

x16扭矩图Tmax=9.56kN·m在BC段内M1

M2

M3

M4

ABCD4.789.566.37T图(kN·m)17（m－单位长度内的扭转力偶矩）例3试作出图示给定坐标轴的杆件的扭矩图1、求约束反力（?是否必须）2、截面法求扭矩如果让你自己建立坐标系呢？18一、薄壁圆筒横截面上的应力,r0：为平均半径）(壁厚§2薄壁圆筒的扭转注意红线的含义:圆周线、纵向线1、实验：192、变形规律：圆周线——形状、大小、间距不变，各圆周线只是绕轴线转动了一个角度。纵向线——仍为直线，只是倾斜了同一个角度，小方格变成了平行四边形。结论：横截面上可认为：薄壁圆筒横截面上的应力切应力沿壁厚均匀分布,且方向垂直于其半径方向。根据对称性可知切应力沿圆周均匀分布；20MennnnMeT

扭矩薄壁圆筒横截面上的切应力计算式3、薄壁圆筒的内力分析以及应力计算（截面法分析内力的合力的类型和方向）21做薄壁圆筒的扭转试验可得一方面在弹性范围内切应力与切应变成正比关系剪切虎克定律另一方面：Me正比于切变模量在几何上几何上？应力与内力间的关系？22一、等直圆杆（圆轴-实心）扭转时横截面上的应力一）、几何关系：由实验找出变形规律→应变的变化规律1、实验：

§4等直圆杆扭转时的应力.强度条件红线的含义圆周线纵向线23观察变形规律：圆周线——形状、大小、间距不变，圆周线只是绕轴线转动了一个不同的角度。（相对扭转角）纵向线——倾斜了同一个角度，小方格变成了平行四边形。（切应变）等直圆杆的扭转平面假设：变形前的横截面，变形后仍为平面，且形状、大小以及间距不变，半径仍为直线。刚性平面绕轴转动。定性分析横截面上的应力（1）（2）因为同一圆周上剪（切）应变相同，所以同一圆周上切应力大小相等，并且方向垂直于其半径方向。推广到任意半径圆周24几何上：剪（切）应变规律取ｄｘ微段微段扭转变形

djD’圆周线上切应变半径ρ上切应变bcd楔形体O1O2ABCD

为研究对象25二）物理关系：由应变的变化规律→应力的分布规律→同截面切应力大小线性变化方向垂直于半径dj/

dx－相对扭转角沿杆长度的变化率弹性范围内单位长度扭转角→2626判别下面截面上剪应力分布是否正确。√×××27三）静力关系：由横截面上的扭矩与应力的关系→应力的计算公式代入物理关系式得：可求：线弹性（等直圆杆）圆轴扭转时横截面上任一点扭转变形计算式截面的极惯性矩Ip剪（切）应力计算式令28横截面上——（抗扭截面模量）扭转截面系数整个圆轴上——等直杆：Ip—截面的极惯性矩（面积的2次矩），单位：二、等直圆杆（圆轴)中τmax的确定单位：29三、圆截面的极惯性矩Ip和抗扭截面系数Wp实心圆截面：Odrrd30空心圆截面：DdrrOd注意：对于空心圆截面3131解:(a)(b)3-2材料及长度相同的两根圆轴，一根为实心圆轴，直径为d，一根为空心圆轴，内外径比值α＝0.8，外径为D，求它们受扭时，具有相同最大切应力（相同强度时）的重量比及刚度比。重量比刚度比32平衡吗？33从受扭的圆杆表面处截取一微小的正六面体单元体——Me

Me

xyzabOcddxdydzt'ttt'?存在t'得切应力互等定理34切应力互等定理单元体在其两对互相垂直的平面上只有切应力而无正应力的状态称为纯剪切应力状态。dabctt't'txyzabOcddxdydzt'ttt'在相互垂直的两个面上，切应力总是成对出现，并且大小相等，方向同时指向或同时背离两个面的交线。35试根据切应力互等定理，判断图中所示的各单元体上的切应力是否正确。36TT斜截面的应力AτττAτefef37讨论:τττσmaxσminτ低碳钢试件：沿横截面断开。铸铁试件：沿与轴线约成45的螺旋线断开。材料抗拉能力差，构件沿45斜截面因拉应力而破坏（脆性材料）。

材料抗剪切能力差，构件沿横截面因切应力而发生破坏(塑性材料）；381、强度条件：2、强度条件应用：1）校核强度:≤≥2）设计截面尺寸:3）确定外荷载:≤七、强度条件等截面圆轴:变截面圆轴:39例

图示阶梯状圆轴，AB段直径d1=120mm，BC段直径

d2=100mm。扭转力偶矩MA=22kN•m，MB=36kN•m，MC=14kN•m。材料的许用切应力[t]=80MPa

，试校核该轴的强度。解：1、求内力，作出轴的扭矩图2214T图（kN·m）MA

MBⅡⅠMC

ACB40BC段AB段2、计算轴横截面上的最大切应力并校核强度即该轴满足强度条件。2214T图（kN·m）41例

已知

T=1.5kN

.

m，[τ]

=

50MPa，试根据强度条件设计实心圆轴与

a

=

0.9

的空心圆轴。解：1.确定实心圆轴直径422.确定空心圆轴内、外径3.重量比较空心轴远比实心轴轻431、扭转变形扭转角单位：弧度（rad）

GIP——抗扭刚度。——单位长度扭转角一、扭转杆的变形计算扭矩不变的等直轴各段扭矩为不同值的阶梯轴§3-5等直圆杆扭转时的变形刚度条件——相对扭转角-两个端面442、刚度条件：3、刚度条件应用：1)、校核刚度；≤3)、确定外荷载:2)、设计截面尺寸:45例3-5

已知：MA=955N.m，MB=1592N.m，MC=637N.m，Ip=3105mm4，lAB

=300mm，

lBc

=500mm,G=80Gpa，轴的直径为70mm，jAC？46例3-6例题3-1中传动轴由45号钢制成，已知空心轴内外径之比d/D＝1/2，许可单位扭转角为0.3（。）/m,试按强度和刚度条件设计此轴的外径D。G＝80GPa，［τ］＝40MPa。47

§6等直圆杆扭转时的应变能xyz单元体外力作功应变能密度等直圆杆扭转时的应变能48

§7等直非圆杆自由扭转时的应力和变形自由扭转：非圆截面轴扭转时，横截面不再保持平面而发生翘曲。约束扭转：横截面可以自由翘曲。横截面的翘曲受到限制。横截面上只有切应力而无正应力横截面上既有切应力又有正应力49矩形截面轴扭转时切应力的分布特点角点切应力等于零

边缘各点切应力沿切线方向最大切应力发生在长边中点T50分别计算两种截面杆最大切应力圆杆：矩形杆：查表：β＝0.801分别计算两杆截面面积圆杆：矩形杆：矩形截面面积与圆形面积相近，但是