已知三角形三点坐标求三角形的面积的各种方法

------------------------------------------------------------------------已知三角形三点坐标求三角形的面积的各种方法已知三角形三点坐标,求三角形的面积先介绍一下三维中的两点之间距离之式，和二维的几乎一样：d=sqrt((x0-x1)^2+(y0-y1)^2+(z0-z1)^2)再介绍叉乘，中心内容！叉乘在定义上有：两个向量进行叉乘得到的是一个向量，方向垂直于这两个向量构成的平面，大小等于这两个向量组成的平行四边形的面积。在直角座标系[O;i,j,k]中，i、j、k分别为X轴、Y轴、Z轴上向量的单位向量。设P0(0,0,0)，P1(x1,y1,z1)，P2(x2,y2,z2)。因为是从原点出发，所以向量P0P1可简记为P1，向量P0P2可简记为P2。依定义有：|i

j

k|

P1×P2=|x1y1z1|

|x2y2z2|展开，得到：上式=iy1z2+jz1x2+kx1y2-ky1x2-jx1z2-iz1y2=(y1z2-y2z1)i+(x2z1-x1z2)j+(x1y2-x2y1)k按规定，有：单位向量的模为1。可得叉积的模为：|P1×P2|=y1z2-y2z1+x2z1-x1z2+x1y2-x2y1=(y1z2+x2z1+x1y2)-(y2z1+x1z2+x2y1)开始正式内容。我们设三角形的三个顶点为A(x0,y0,z0)，B(x1,y1,z1)，C(x2,y2,z2)。我们将三角形的两条边AB和AC看成是向量。然后，我们以A为原点，进行坐标平移，得到向量B(x1-x0,y1-y0,z1-z0)，向量C(x2-x0,y2-y0,z2-z0)。①在三维的情况下，直接代入公式，可得向量B和向量C叉乘结果的模为：|B×C|=((y1-y0)*(z2-z0)+(z1-z0)*(x2-x0)+(x1-x0)*(y2-y0))-

((y2-y0)*(z1-z0)+(z2-z0)*(x1-x0)+(x2-x0)*(y1-y0))|

1

1

1

|

=|x1-x0y1-y0z1-z0|

|x2-x0y2-y0z2-z0|它的一半即为所要求的三角形面积S。还有一种比较简单的写法。将向量AB和AC平移至原点后，设向量B为(x1,y1,z1)，向量C为(x2,y2,z2)，则他们的叉乘所得向量P为(x,y,z)，其中：

|y1z1|

|z1x1|

|x1y1|

x=|

|y=|

|z=|

|

|y2z2|

|z2x2|

|x2y2|然后用三维中的两点之间距离公式，求出(x,y,z)与(0,0,0)的距离，即为向量P的模，它的一半就是所要求的面积了。以上公式都很好记：x分量由y，z分量组成，y分量由z，x分量组成，z分量由x，y分量组成，恰好是循环的。坐标平移一下就好了。②在二维的情况下，我们可以取z=0这个平面，即令z1=z2=0，且|P1×P2|=x1y2-x2y1|x1y1|

=|

|

|x2y2|所以：

|B×C|=(x1-x0)*(y2-y0)-(x2-x0)*(y1-y0)|x1-x0y1-y0|

=|

|

|x2-x0y2-y0|它的一半即为所要求的三角形的面积S。注意，用行列式求出来的面积是带符号的。如果A，B，C是按顺时针方向给出，则S为负；按逆时针方向给出，则S为正。以二维的情况为例，三维亦同：A(0,0)B(0,1)C(1,0)(A，B，C按顺时针方向给出)S=((x1-x0)*(y2-y0)-(x2-x0)*(y1-y0))/2;

=((0-0)*(0-0)-(1-0)*(1-0))/2

=-0.5A(1,0)B(0,1)C(0,0)(A，B，C按逆时针方向给出)S=((x1-x0)*(y2-y0)-(x2-x0)*(y1-y0))/2;

=((0-1)*(0-0)-(0-1)*(1-0))/2

=0.5如果你不需要符号的话，再求一下绝对值就好了。这样也不用去管给出的点的顺序了。以上是利用叉乘。其实还有一招，那就是海伦公式：利用两点之间距离公式，求出三角形的三边长a，b，c后，令p=(a+b+c)/2。再套入以下公式就可以求出三角形的面积S:S=sqrt(p*