巧用初等变换求解分块矩阵

巧用初等变换求解分块矩阵巧用初等变换求解分块矩阵/NUMXII内容摘要：本文把数字矩阵的初等变换推广到分块矩阵中，并且运用分块初等变换求矩阵的逆、矩阵的行列式、矩阵的秩是高等代数中常见的问题。而对于高阶矩阵而言，这些问题的求解过于困难，因此用分块矩阵的初等变换来解决有关分块矩阵的问题比较方便，本文总结如何使用初等变换求矩阵的逆、矩阵的行列式、矩阵的秩。关键词：分块矩阵初等变换分块初等变换目录TOC\o\h\z\u引言 11矩阵初等变换及矩阵分块的相关概念 11.1矩阵的初等变换 11.2初等变换 1.3分块矩阵 1.4分块初等变换 1.5分块初等矩阵 2应用分块初等变换求解行列式 3应用分块初等变换求矩阵的逆 4应用分块初等变换求矩阵的秩 6结束语 参考文献 致

谢 引言利用分块矩阵处理阶数较高的矩阵，是一种常用的方法，在证明相关问题时能带来很多方便，在矩阵的应用中,矩阵的初等变换起着关键作用.关于矩阵初等变换的应用,本文归纳了初等变换在求分块矩阵的秩,矩阵的逆,矩阵的行列式中的方法。1矩阵的初等变换与分块矩阵的相关概念1.1矩阵的初等变换定义1：对矩阵施行以下三种变换,称为矩阵的初等行（列）变换:(1)对调矩阵的两行(列);(2)以一个常数乘矩阵的某行(列)中的所有元素（）;(3)把某行(列)的元素的倍加上另一行(列）的对应元素上.1.2初等矩阵单位矩阵经过一次初等变换（以上3种）得到的矩阵称为初等矩阵：(1)交换的第行与第行(或第列与第列)得到的初等矩阵，记作：;(2)用非零常数乘的第行(或第列)得到的初等矩阵，记作：（或）;(3)的第行的倍加到第行(或第列的倍加到列)得到的初等矩阵记作：。1.3分块矩阵将一个高阶矩阵用若干条横线和竖线分成许多块，每一块矩阵称为的子矩阵。以子矩阵为元素的矩阵称为分块矩阵。例如，我们将矩阵分块，==是一分块矩阵，其中,,,均表示一个矩阵。交换分块矩阵的两行（或两列）；用一个可逆矩阵乘分块矩阵的某一行（或某一列）；用某一矩阵乘某一行（或列）加到另一行（或列）上去；1.5分块初等矩阵将单位矩阵如下进行分块,对分块后的单位矩阵做一次分块初等变换所得的矩阵称之为分块初等矩阵。根据所做的分块初等变换不同，分块初等矩阵有如下三种类型：；或；或.其中为可逆矩阵。2.运用分块矩阵初等变换求解行列式例1、已知均是阶矩阵且，，.证明：==.设是阶矩阵，为阶单位矩阵，用左乘,得=因为，故存在.令得，代入式,等式两边同时取行列式得：,即得====。所以，命题得证例2、设、均为阶方阵，证明:证明：依据分块矩阵初等变换得：左右两边分别乘一个单位矩阵得：两边同时取行列式得：例3求行列式的值.解将P进行分块，得，其中,,,.由于=.3.分块矩阵初等变换求解分块矩阵的逆将初等变换求逆矩阵的方法推广到分块矩阵中去。例1、求=的逆，其中,可逆。解：所以，=.例2、设、可逆，求分块矩阵的逆矩阵解：所以，例3、已知分块矩阵可逆，其中为块，为块，其中、都可逆，求证：解：所以，=例4、求矩阵=的逆矩阵，其中.解：令=，则=，由知可逆所以，=， =，所以 =.4.分块矩阵初等变换求解分块矩阵的秩秩=秩秩秩特别，秩=秩=秩秩秩秩秩秩秩例1、设是矩阵的可逆顺序主子阵，证明：.证明：由于因为是可逆矩阵，所以=所以，命题得证例2、设是的实矩阵，求证：秩-证明：因为，所以秩秩=秩（1）又因为，所以秩秩=秩（2）由（2）-（1）得：秩秩=所以，结论得证结束语参考文献：[1]王萼芳,石生明.高等代数（第3版），北京：高等教育出版社，2003.9:181-197[2]张禾瑞,郝鈵新.高等代数（第5版），北京：高等教育出版社，2007.6:200-210[3]钱吉林.高等代数题解精粹（第2版）中央民族大学出版版社，2002:161-172[4]吴云，徐小湛.分块矩阵的初等变换，工科数学，1997.8，第13卷第四期[5[6]巫永萍.分块矩阵的初等变换在分块矩阵中的应用[J].龙岩师专学报，2004：5-6[7]应建军.分块矩阵初等变换及其在行列式，逆和秩中的应用.考试周刊，2012年19期.44-45参考文献：[1]王萼芳,石生明.高等代数（第3版），北京：高等教育出版社，2003.9:181-197[2]张禾瑞,郝鈵新.高等代数（第5版），北京：高等教育出版社，2007.6:200-210[3]钱吉林.高等代数题解精粹（第2版）中央民族大学出版版社，2002:161-172[4]陈洪明，宋波.高等代数同步辅导及习题全解，北京：中国水利水电出版社，2009:96-101[5]吴云，徐小湛.分块矩阵的初等变换，工科数学，1997.8，第13卷第四期[6[7]巫永