结构动力计算

11月：结构动力计算§1-1

概述§1-2

结构的振动自由度§1-3

单自由度结构的自由振动§1-4

单自由度结构在简谐荷载作用下的强迫振动§1-5

单自由度结构在任意荷载作用下的强迫振动§1-6

多自由度结构的自由振动第一章结构动力学§1-7

振型分解法§1-8计算频率的近似方法

静力荷载：大小、方向和作用位置不随时间变化，或变化非常缓慢，不会促使结构产生显著的运动状态的变化，结构将处于平衡状态。计算平衡状态下结构的内力和变形问题称为静力计算。

注意：区分静力荷载与动力荷载，不是单纯从荷载本身性质来看，要看其对结构产生的影响。一、结构动力计算的特点和任务1.动力荷载与静力荷载的区别：

随时间变化的结构的位移和内力，称为动位移和动内力，并称为动力反应。计算动力荷载作用下结构的动力反应问题，称为动力计算。动力荷载（干扰力）：随时间迅速变化的荷载§1-1

概述结构动力计算的特点：在动力荷载作用下，结构将产生振动，其位移和内力都是随时间变化的。在运动过程中，结构的质量具有加速度，必须考虑惯性力的作用。考虑惯性力的作用是结构动力计算的最主要特征。

结构静力计算的特点：结构的位移和内力只取决于静力荷载的大小及其分布规律，与时间无关。2.结构动力计算的特点3.结构动力计算可分为两大类：自由振动：结构受到外部因素干扰发生振动，而在以后的振动过程中不再受外部干扰力作用。强迫振动：如果结构在振动过程中还不断受到外部干扰力作用，则称为强迫振动。

4.结构动力计算的任务：(2)分析计算动力荷载作用下结构的动力反应，确定动力荷载作用下结构的位移、内力等量值随时间而变化的规律，从而找出其最大值以作为设计的依据。(1)分析计算自由振动，得到的结构的动力特性(自振频率、振型和阻尼参数)；§1-1

概述

周期荷载——

随时间周期地变化的荷载。其中最简单、最重要的是简谐荷载(按弦或余弦函数规律变化)。二、动力荷载的分类简谐荷载1.周期荷载非简谐性周期荷载

例：打桩时落锤撞击所产生的荷载。

§1-1

概述在很短的时间内，荷载值急剧减小(或增加)，如爆炸时所产生的荷载。2.冲击荷载

3.突加常量荷载突然作用于结构上、荷载值在较长时间内保持不变。例：起重机起吊重物时所产生的荷载。上述荷载是时间的确定函数，称之为确定性动力荷载。

§1-1

概述

随机荷载（非确定性荷载）——荷载的变化极不规则，在任—时刻的数值无法预测。地震荷载和风荷载都是随机荷载。随机荷载（非确定性荷载）4.随机荷载§1-1

概述结构振动的自由度:结构在弹性变形过程中确定全部质点位置所需的独立参数的数目单自由度结构多自由度结构（自由度大于1的结构）§1-2

结构振动的自由度当梁本身的质量远小于电动机的质量时，可以不计梁本身的质量，同时不考虑梁的轴向变形和质点的转动，则梁上质点的位置只需由挠度y(t)就可确定。由质点竖向挠度为独立参数的单自由度结构确定绝对刚性杆件上三个质点的位置只需杆件转角(t)便可，故为单自由度结构。§1-2

结构振动的自由度

虽然只有一个集中质点，但其位置需由水平位移x和竖向位移y两个独立参数才能确定，因此振动自由度等于2，为多自由度体系。三层平面刚架横梁的刚度可看作无穷大，结构振动时横梁不能竖向移动和转动而只能作水平移动，故振动自由度等于3，多自由度体系。§1-2

结构振动的自由度

分析刚架的振动自由度时，仍可引用受弯直杆任意两点之间的距离保持不变的假定，即略去杆件的轴向变形。因此，可采用施加刚性链杆法来确定结构的振动自由度。刚性链杆法：在结构上施加最少数量的刚性链杆以限制刚架上所有质点的位置，则该刚架的自由度数即等于所加链杆数目。具有两个集中质量，加入三根链杆即能使各质量固定不动其振动自由度为3。

注意：体系振动自由度的数目不完全取决于质点的数目，也与体系是否静定或超静定无关。体系的自由度数目与计算假定和计算精度有关。如果考虑质点的转动惯性，还应增加控制转动的约束，才能确定结构的振动自由度数目。§1-2

结构振动的自由度

实际结构中，除有较大的集中质量外，还有连续分布的质量。对此，需要采用一定的简化措施，把无限多自由度的问题简化为单自由度或者有限多自由度的问题进行计算集中质量法：把体系的连续分布质量集中为有限个集中质量(实际上是质点)，把原来是无限自由度的问题简化成为有限自由度的问题。

简化方法有多种，如集中质量法、广义坐标法和有限元法等。本章重点讨论集中质量法。

水塔的质量大部分集中在塔顶上，可简化成以x(t)为位移参数的单自由度结构。§1-2

结构振动的自由度凡属需要考虑杆件本身质量（称为质量杆）的结构都是无限自由度体系。

例：用集中质量法将连续分布质量的简支梁简化为有限自由度体系。将梁二等分，集中成三个集中质量，单自由度体系。

将梁三等分，质量集中成四个集中质量的两个自由度体系。§1-2

结构振动的自由度自由振动：结构在振动进程中不受外部干扰力作用的振动形式。产生自由振动的原因：结构在振动初始时刻受到干扰。初始干扰的形式:（1）结构具有初始位移（2）结构具有初始速度（3）上述二者同时存在1.不考虑阻尼时的自由振动

对于各种单自由度体系的振动状态,都可以用一个简单的质点弹簧模型来描述。梁在质点重量W作用下的挠曲线称为“静平衡位置”。§1-3

单自由度结构的自由振动取图示质点弹簧体系中质点的静力平衡位置为计算位移的原点，并规定位移y和质点所受的力都以向下为正。设弹簧发生单位位移时所需加的力为k11，称为弹簧的刚度；单位力作用下弹簧产生的位移为δ11

，称为弹簧的柔度，k11与δ11二者之间满足：无重悬臂梁、无重简支梁简化单弹簧体系时，弹簧的刚度系数k11各等于多少？思考：简支梁：悬臂梁：答：§1-3

单自由度结构的自由振动

为了寻求结构振动时其位移以及各种量值随时间变化的规律，需要先建立其振动微分方程，然后求解。振动微分方程的建立方法：（1）刚度法。即列动力平衡方程。设质点m在振动的任一时刻位移为y，取质点

m为隔离体，不考虑质点运动时受到的阻力，则作用于质点m上的力有：(a)

弹簧恢复力该力有将质点拉回静力平衡位置的趋势，负号表示其方向恒与位移y的方向相反，即永远指向静力平衡位置。(b)

惯性力负号表示其方向恒与加速度的方向相反对于弹簧处于静力平衡位置时的初拉力，恒与质点的重量mg向平衡而抵消，故振动过程中这两个力都毋须考虑。§1-3

单自由度结构的自由振动质点在惯性力F1和恢复力Fc作用下维持平衡，则有：或将F1和Fc的表达式代入令（1-1）有（1-2）单自由度结构自由振动微分方程§1-3

单自由度结构的自由振动（2）柔度法。即列位移方程。当质点m振动时，把惯性力看作静力荷载作用在体系的质量上，则在其作用下结构在质点处的位移y应当为：即同刚度法所得方程此二阶线性常系数齐次微分方程的通解为：(a)(b)由初始条件t=0时，有可得到有(1-3)§1-3

单自由度结构的自由振动可见:单自由度体系无阻尼的自由振动是简谐振动。

令,有（1-4）

（1-6）其中（1-5）

位移满足周期运动的下列条件：a表示质量m的最大动位移，称为振幅。其由常数ω

、初始条件y0和v0决定的。φ是初始位置的相位角，称为初相角。它也取决于常数ω

、初始条件y0

和v0

。

T

称为结构的自振周期，其常用的单位为秒(s)。自振周期的倒数代表每秒钟内的振动次数，称为工程频率，记作f，其单位为1／秒(s-1)，或称为赫兹(Hz)。(1-7)§1-3

单自由度结构的自由振动表示2π秒内的错振动次城数，是洋结构动页力性能宣的一个芝很重要罗的标志。ω的单位得为弧度公／秒(r范ad／s)，亦常简悬写为1／s筒(s-1)。从圆祸周运动惑的角度虎来看，宪称它为圆频蒸率，一般绢称ω为自振频折率。根据式(1-茅1)，可忽给出逐结构晌自振析频率ω的计站算公智式如竟下：相应晕地，址结构运的自床振周扛期T的计弯算公围式为烫：式中g表示重许力加速惰度，Δst表示争由于利重量mg所产咱生的备静力中位移诵。结构的织自振频奸率和周胀期只取歼决于它吊自身的图质量和世刚度，番与初始码条件及缓外界的火干扰因迈素无关催，它反恋映着结恶构固有宾的动力码特性。（1-8）§1-自3单自矩由度淘结构循的自市由振擦动解：三执种支承界情况的垫梁均为娱单自由疯度体系麻。例1-冤1图示为验三种不晴同支承康情况的毙单跨梁鼓，EI＝常数久，在梁遥中点有粮一集中俗质量m，当不于考虑梁味的质量葛时，试弄比较三庆者的自袖振频率层。据此可得随着债结构话刚度艺的加启大，缺其自必振频详率也韵相应虫地增泼高。§1-3单自犁由度纠结构呜的自弟由振杆动2.考虑阻钓尼时的列自由振便动物体千的自棵由振恐动由煎于各称种阻恢力的蔽作用市将逐言渐衰周减下缓去而本不能零无限高延续牙。阻力减可分局为两消种：眠一种安是外婆部介腹质的计阻力深；另扬一种园来源但于物脑体内助部的母作用膜。这侦些统议称为姨阻尼缺力。些通常高引用临福格滤第假象定，图即近庙似认暮为振狠动中颤物体吗所受消阻尼种力与映其振字动速艰度成今正比顶，称赏为粘柜滞阻得尼力澡，即景：其中：β为阻绞尼系淋数，缎负号置表示袭阻尼需力的狭方向碑恒与断速度犯方向集相反考虑阻涝尼时，乡丰质点m的动力嗽平衡方罗程为即：令有(1-9)§1-3单自由党度结构评的自由颗振动这是一彼个常系币数齐次刮线性微阳分方程凤，设其允解的形贝式为解得其特征耕方程为滚：根据赠阻尼虑大小跪不同称，现今分以展下3种情况崭讨论：(1额)k<ω，即小友阻尼筛情况，此升时r1和r2为两个惰共轭复姿数，式(1-钓9)通解浙为：(1-9)（1-滚10）（1-1乡丰1）有阻逝尼自期振频签率（1-捕12）式（1-烟10）可样改写宵为：§1-3单自由挪度结构盲的自由市振动式中（1-念12）

小阻尼情况自由振动时的y-t曲线小阻绿尼时很自由胶振动斗曲线屯为衰太减的蓬正弦稼曲线龄，其着振幅情按e-kt的规律迎减小，淘故k为衰寸减系碧数。§1-3单自由叹度结构凝的自由傲振动由式(1-11)有工程榴中ξ的值很翅小（对穷于钢筋甚混凝土提结构ξ大约摇为5%，钢芬结构猫的大份约为1%六-2梳%）。选于是笑有ω=ω'相隔帝一周齐期后听的两刷个振粪幅之添比为夏一常欣数，虹振幅鹿是按耽等比脂级数逆递减济的。若用yn表示某附一时刻tn的振妥幅，yn+1表示代经过柄一个晒周期T'后的振郑幅，则冷有上式两时边取对牛数，得振幅的发对数递案减量同理泄，经倡过j个周胀期后镰，有由实测额各周期拢的振幅吃可求出狸阻尼比混。§1-3单自由爆度结构绍的自由主振动(2拼)k>ω，即大阻屋尼情况，此时r1和r2为两胸个负格实数烟，式(1收-9粗)通喘解为极：y(t)不是两一个患周期混函数,即在大浩阻尼情撤况下不熟会发生津振动。（1-磁13）（1-碍1）(3)

k=ω，即临界阻尼情况此时r1,2=-k

，方程(1-9)的解为y-t

曲线以上两拨种情况底均不属轰振动，弦位移时东程曲线朱（y-t曲线）表示体薯系从初膛始位移荐出发，企逐渐返律回到静饺平衡位牲置而无久振动发猎生。y(t)不是周期函数，亦即在临界阻尼情况下不会发生振动。此时，临界阻尼系数§1-特3单自由申度结构贿的自由穿振动强迫振善动：结构在溪动力荷肌载即外潜来干扰骡力作用垄下产生员的振动铅。设质聪点m受干启扰力F（t）作历用，户则质朝点m的动力拆平衡方曲程为：即：或(1-18)§1-饱4单自裙由度种结构奏在简折谐荷遥载作拣用下碍的强株迫振联动方程约的解信包括纺两部锤分：凉对应摧齐次纳方程蹦的通挨解和开对应欠干扰很力F(阶t)的特背解(1-18)通解

特解随干扰力的不同而异。本节讨论干扰力为简谐周期荷载时的情况，如具有转动部件的机器匀速转动时，由于不平衡质量产生的离心力的竖直或水平分力等，表达为：(1-19)

其中为干扰力的频率，F为干扰力最大值。此时式(1-18)写为：(1-20)设方程的特解为：（b）（a）§1-4单自喘由度贼结构雅在简缝谐荷耍载作乳用下拒的强派迫振苍动式(b针)代入式(1怪-20饺)，得跃到式(a)枪+式(b第)，并锤引入途初始墨条件扔，得监到(1扎-2本1)由初猎始条限件决运定的狮自由共振动伴生桶自由抵振动按干扰晌力频率θ振动的袭纯强迫胸振动或喝稳态强萄迫振动由初插始条滩件决斯定的给自由然振动赞阶段前和伴股生自资由振春动阶茎段会肃随时扁间很嚼快衰萄减掉浊，故理称为枪过渡螺阶段款；最沉后只编剩下吐按干答扰力滴频率猴振动膊的纯蛾强迫墓振动微，故办称为搞平稳盗阶段只。实碑际问程题中扶，一棋般只孔讨论迅纯强点迫振狂动。§1-中4单自由今度结构旷在简谐楚荷载作挑用下的幼强迫振博动1.不考剧虑阻存尼的崇纯强腹迫振考动(1-睛22)因此埋，最猜大动馆力位劫移（烦振幅膀）为(1-覆23)其中:代表将究干扰力谋最大值F作为静逢载作用趴于结构悼上时引龄起的静膛力位移位移愿动力疤系数，代表采最大动暖力位移洪与静力独位移之休比当θ<键ω时，μ值为灵正，炸动力煌位移何与动拢力荷棋载同会向；债当θ>格ω时，μ值为金负，舒表示仪动力贫位移苍与动毒力荷肥载的器指向柴相反,这种现准象仅在李不计阻渣尼时出疗现。§1-4单自由攀度结构哨在简谐讯荷载作增用下的粘强迫振悦动

动力反应谱（动力放大系数μ随频比θ/ω变化的关系曲线）动力纲放大衔系数μ的大小犬反映了臭结构动汉力反应逆的强弱胸。单自填由度结另构，当按干扰力吵与惯性谁力的作斤用点重装合时，匀位移动跪力系数狮与内力异动力系卸数是完呈全一样饥的。当，通常,当动力夏荷载(即干劫扰力)的周期大于结矩构自振之周期的五、六束倍以上纠时，母可将架其视为饲静力裙荷载。(1)当θ<<ω时，棋即θ/ω→0，这扎时μ→1。这灯种情驶况相雷当于胃静力今作用窑。§1-4单自由伴度结构扑在简谐孔荷载作饮用下的围强迫振屑动

动力反应谱(2历)当θ≈ω时，诱即θ/横ω≈1，这萍时μ→∞。即伟振幅挑趋于显无限燃大,这种貌现象券称为共振叉。2)实际上饥由于阻委尼的存槐在共振提时振幅段不会无拾限增大遵。1)共振现界象的形远成有一童个过程屯，振幅蛇是由小摩逐渐变叮大的。注意:3)应避茂开0.7悬5<θ/为ω<1.抛25共振嫁区。(3)当θ>棚>ω时，秘即θ/匪ω>>1，这翻时μ值为负值,并且冤趋近墓于零切。这表明均高频简服谐荷载壤作用下口，振幅废趋近于爆零，体葡系处于得静止烦状态。工程弯设计京中，滩要求琴的是授振幅积绝对狗值,动力扫反应件谱中θ/霉ω>1部分遍的μ画在知横坐逼标的刚上方软。注意:§1-4单自帝由度叹结构尤在简俭谐荷持载作源用下僵的强决迫振症动在单自悲由度体圆系上，胜当干扰胳力作用音在质量权上、扰均力作用牧线与质桃体的振括动位移弓方向重狂合时，落其位移贷动力系棍数与内狗力动力佩系数是洋完全相滩同的，锈结构的缝最大动殖内力可废以采用介动力系类数法求海得。如果拦干扰毒力不青作用于在质僵量上魂，体亩系的妇位移屡和内茫力没形有一福个统趣一的伴动力流系数队。这估种情演况下赴的结厉构动缝内力旁、动汗位移毕的计处算，已可用建立裕动力够微分幅方程屠的方法计洋算。§1-优4单自由糊度结构体在简谐右荷载作块用下的决强迫振颗动解：戚在发陈电机直重量泥作用烛下，裁梁中点的最哭大静力类位移为叉：故自冠振频拖率为例1-锹2简支跨梁中炸点装贼有一录台电荐动机终，电位动机丧重量G=35牛kN。已疾知梁亚的惯千性矩I=8傻.8×10-5m4，E=2秃10至GP润a。发富电机勉转动均时离上心力逐的垂掩直分台力为F=吨si遇nθt，雕且F=1亏0KN。不计咏阻尼，投求当发群电机每温分钟转吊数为n=5虾00r硬/mi午n时，俗梁的预最大公弯矩伤和挠羊度。干扰盾力频臂率:动力虹系数:梁中为点的汪最大习弯矩型为梁中澡点的工最大讲挠度针为§1-皇4单自由躁度结构巩在简谐拍荷载作坐用下的握强迫振跪动质体利的动恨位移y(t)是以辫静力断平衡桂位置宫为零穴点来魂计算救的，奸因此y(t)中不侦包括鬼质体乳的重随力影附响，访但在后确定呀质体长的最彩大竖回向位暗移时剑，应易加上其这部想分（Δst=δ11G）的摔影响忠。注意：§1-六4单自由嫁度结构责在简谐疲荷载作边用下的债强迫振初动运用图乘法可求得

(a)

(1敢)设惯性伴力和动喊力荷载茎分别为担单位力通和单位货力偶作病用在体爆系上，羞并绘出临相应的坚弯矩图.例1-粱3图示简美支梁跨储中有一日集中质退量m，支协座A处受缝动力离矩Msi址nθt的作候用，不计梁赠的质量铃，试求港质点的钟动位移米和支座A处的动尿转角的狼幅值。解：令该体则系不趁能直暂接用项放大粉系数高求动乎位移跑，可虑由建遍立体坛系的卵振动杂方程多来求鸡解。§1-钩4单自停由度追结构哑在简匹谐荷她载作枝用下粉的强砖迫振元动式中

代δij入上式，经整理后得(b)解式(b)得稳态解为(c)(2)根据叠加天原理列出动榴位移质点的极动位移纱是惯性谎力FI(t)和动力摇荷载共与同作用刚下产生慢的，按照叠加原难理可表筋示为§1-4单自偏由度向结构丘在简进谐荷捧载作眼用下陪的强巾迫振纷动这说明轧质体动质位移尚穷可应用兴放大系辆数计算。

质点的动位移幅值为，其中为动荷载幅值M所引起的质点静位移yst，μ动力系数。支座A处的动绩转角也琴是由惯除性力FI(t)和动力销荷载共杀同作用剩下产生令的，按既叠加原纹理可表米示为由稳竖态解尽式(c)可知§1-4单自由拌度结构京在简谐蜘荷载作枯用下的庙强迫振宴动对式(c摩)求导两拢次后代蜡入上式予，可得将式(a)和F*=3M/l代入蛛上式,得(c)§1-扩4单自由涨度结构键在简谐加荷载作油用下的花强迫振纱动可见,质点位异移的动庆力系数μ和支剧座处逃动转戒角的捞动力玩系数μφ是不云同的薯。

支座A处的动转角幅值为,

为动荷载幅值M所引起的静转角，μφ为该动力系数。其中而动荷载染不作用鸣在质量瘦上时，喉体系不葱能用一品个统一缎的动力旱系数来坊表示。§1-扮4单自址由度姥结构序在简佛谐荷叨载作张用下么的强恐迫振宾动由式(1-21)的第三项，有：命（1-27）（1-28）令梯和哗，则附振幅A可写蒙为（1-29）2.有阻付尼的第强迫清振动§1-4单自就由度起结构股在简拿谐荷揉载作食用下仪的强液迫振矛动动力系顽数μ不仅与究频比β有关，紫而且还目与阻尼瘦比ξ有关。动力系数μ与频比β和阻尼比ξ的关系图在0.稀75翼<β<1.骄25共振士区范围围内见，阻俱尼力颜大大丸地减啄小了μ的峰旅值。但拣在这导范围醋以外谦，阻凝尼对μ的影督响较唱小，先可按监无阻锅尼来始计算泉。当θ>>ω时，点则μ很小晋，表电明质浸量m接近必于不膊动或希只作信极微陈小的涂振动联。(1协)阻尼柔对简役谐荷衡载的炒动力悟系数μ影响启较大简谐狱荷载消作用金下有治阻尼领稳态毙振动越的主树要特合点：§1-4单自润由度讲结构唇在简饮谐荷顿载作承用下旅的强懒迫振街动(2盾)在β=1的共昂振情检况下,动力务系数目为动力系数μ与频比β和阻尼比ξ的关系图在考虑否阻尼的朗影响时勤，共振谅时动力兆系数不翼是无穷穗大,而是一假个有限耽值。在衡研究共切振时的询动力反漂应时，巧阻尼的拿影响是谷不容忽架略的。§1-4单自君由度歪结构冈在简塘谐荷私载作徒用下单的强户迫振窄动

用求极值的方法确定μ的最大值发生在处,因ξ的值通常都很小，近似地将β=1时的值作为最大值。(3悉)μ最大值困并不发容生在β=1处。动力系数μ与频比β和阻尼比ξ的关系图§1-处4单自由捆度结构激在简谐腥荷载作稻用下的驰强迫振缝动当β<1时，0<φ<π/2；当β>1时，π/2<φ<π；当β=1时，φ=π/2。(4皱)阻尼穴体系违的位陷移y(t)=A扑sin当(θt-φ)和干壁扰力F(t)=创si桌nθt不同步踩，其相位皮角为φ。只要校有阻侨尼存乎在,位移谢总是倚滞后请于振堂动荷娘载。§1-4单自由锻度结构运在简谐丧荷载作第用下的躁强迫振扯动共振时,φ=π/2,位移方鞠程式为y(t)=–ystμcosθtμ=愿1/说(2ξ)，θ=ω，c=ξcc=2ξm枝ω阻尼邪力为注意盆到共缘瑞振时可见共骨振时干罚扰力与屋阻尼力塔互相平胡衡。共振颈时受省力特请点讨而论:§1-凡4单自由顺度结构沙在简谐娘荷载作洋用下的幻玉强迫振欣动为了减筑小动力粘放大系围数μ，晴当β=θ/ω<1时（称叼为共振犯前区）云，应设番法加大子结构的柿自振频候率ω。这汤种方女法称础为“班刚性专方案呼”。尿当β=θ/ω>1时称剑为(共振株后区)，这府时，桥应设掏法减烦小结石构的株自振给频率ω。这塘种方吓法称逆为“办柔性盏方案锦”。动力系数μ与频比β和阻尼比ξ的关系图讨论：§1-4单自求由度员结构弦在简让谐荷竿载作赌用下扩的强披迫振盗动采用源冲量愈方法牵首先晨讨论榴瞬时恭冲量设的动或力反街应，灾在此拿基础爹上讨雁论一月般动厌力荷允载下腿的动丸力反柳应。1.强迫麻力为解一般瓜动力副荷载--无阻尼(1够)瞬时冲既量的动押力反应假定导冲击休荷载笑作用剂之前等体系悲的初以位移故及初室速度沿均为岭零。由于仔荷载忙作用暑时间展极短旗，可焰以认急为在思冲击摇荷载趴作用完毕的态瞬间，铜体系的绘位移仍浇为零。汽但冲击潜荷载有余冲量，混可以使鹿处于静姑止状态颠的质点忙获得速拒度而引孟起自由冤振动。思考：体系在启冲击荷沿载作用煮下获得绘的是位政移还是诵速度？§1-5单自由臭度结构叠在任意致荷载作剖用下的标强迫振壳动根据宁动量思定律版，质逃点在击瞬时傻冲量F·忧Δt作用兔下的茅动量湾变化瓜为由于v0=0,所以有

原来初位移、初速度为零的体系,在冲击荷载作用后的瞬间,变成了初位移为零,初速度为的自由振动问题。由(1-30)得§1-嗽5单自由尘度结构蓝在任意茎荷载作由用下的快强迫振禽动若冲丸击荷条载不胀是在t＝0，而是薄在t＝τ时作寄用，晶则上南式中扒的t应改为(t凉-τ)。(1-31)

由式(1府-3术0)可得在t＝τ时作用膀瞬时冲戴量S引起的宏动力反捷应。(1-30)§1-注5单自辩由度描结构兔在任全意荷及载作鲜用下牧的强约迫振姜动(2)一般起动力略荷载F(t)的动力艰反应。把整召个加被载过停程看副成是菠由一捉系列台瞬时冻冲量晓所组床成的贯。在哨时刻t＝τ作用的减荷载为F(t)，此严荷载躲在微志分时怀段dτ内产遭生的爆冲量幸为dS=F(t)·dτ。根据奏式(1-安31)，此抢微分振冲量厘引起笛的动猎力反绩应为酬：(g)对加润载过死程中坊产生劳的微庄分反浸应进盛行叠耳加，胀得出以总反菜应如锋下：——称为杜哈颜梅(Du程ha捆me凝l)积分。

(1-32)§1-筒5单自由消度结构漂在任意梅荷载作出用下的细强迫振碰动——翼(1棋-3找3)式中啄第一革、二庆项代幕表自甲由振凉动部掉分，城第三叫项代详表强猛迫振推动部攀分。(1-32)如果初异始位移y0和初始柳速度v0不为零慈，则总堡位移应践为：§1-5单自由爹度结构晕在任意靠荷载作焰用下的独强迫振帐动2.几种文动荷纹载的屡动力女反应(1)突加鼻长期晃荷载o

F(t)t0F突加互长期最荷载荐就是忍指突圆然施预加于卖结构苗并继斜续作承用在睡结构冤上的仁荷载亩，它仗可表乡丰示为罢：如果原裙结构的尽初始位四移和初透始速度遣都等于勺零，将吸式（h）代平入式(9霸-3切2)并进行算积分后场，可得赵动力位博移如下透：（h）

(1-34)

(1-32)§1-5单自胳由度解结构闪在任置意荷狐载作叮用下脑的强谈迫振若动当t=T/2时，[y(t)]ma齿x=2yst，动力咐系数为μ=2。位移时程曲线图

(1-34)

式中表示在静力荷载F0作用下所产生的静力位移。当突加网荷载作敢用在系垂统上的偿时间超斤过t=T/2时就算剧作长期旗荷载,这时咳引起闲的最顿大动酸力位趣移为释相应截静力甲位移夕的两赢倍。§1-森5单自由吐度结构贩在任意嗓荷载作算用下的执强迫振格动其特点棚是当t=0时，撇在质上体上躲突然在施加枝常量熟荷裁F0，而且于一直保踏持不变救，直到t=t1时突然争卸去。(2洞)突加短姐期荷载体系挖在这选种荷面载作畏用下搁的位匪移反胞应，农可按评两个胀阶段拴分别续计算愁再叠捉加。第一阶修段（0≤t≤t1）：此炉阶段与芹突加长罪期荷载巡寿相同，膊因此动届力位移赴反应仍汇按公式(9朽-3勒4)计算。荷载可奔以看作免突加长伤期荷载F0(图中坐救标上方洲实线及茄所续虚迫线部分)叠加局上t=t1时突佳加上疏来的悄负长胸期荷沸载(－F0)(图坐礼标下管方虚找线部寒分)。§1-刚5单自由叙度结构减在任意有荷载作圈用下的搭强迫振底动(1-35)第二阶正段(t≥t1)：荷竹载可挪以看胶作突极加长双期荷扑载F0(图中坚坐标啄上方懂实线幼所续拼虚线芳部分)叠加上t=t1时的密负突夺加长夫期荷裕载(-F0)(图9中坐标睡下方虚补线部分)。当t≥t1时，有第一恒阶段储（0≤t≤t1）与堡突加厨长期她荷载菌相同毕，动勾力位趟移反秋应为§1-桐5单自由涉度结构您在任意执荷载作猜用下的垮强迫振悉动质点位添移反应象可分为题两个阶汪段按式局（1-3局3）积分部求得。(3)爆炸冲耳击荷载变化细规律妄为第一锅阶段（0≤t≤t1）§1-5单自增由度服结构牵在任况意荷戴载作逗用下悲的强做迫振源动——(1-摇37)第二阶定段（t≥t1）当(t1／T)>0.垃4时，最大奏位移端反应驴在第警一阶继段出醒现，否则避就出书现在毕第二俯阶段涝出。从前丢面几改种动腔力荷捐载作表用下欺单自紧由度仰体系年的位他移反选应可知，最蔬大位移叙反应与与t1／T有关。最大位奏移反应卷可用速纲度为零尘（即位章移的导炸数）这搜个条件照下的时聋间值来捐计算。§1-成5单自运由度民结构逮在任稻意荷各载作湖用下塌的强僵迫振烂动3.当强迫忧力为一欢般动力跑荷载情健况--有阻旺尼有阻洽尼体塔系在进一般轿动力图荷载F(t)作用插时，玩其动步力位夕移也曲可表叉示为秘杜哈骆梅积练分。由于冲励量S=mv0，故在纪初始时加刻由冲杀量S引起设的振蔑动为（9-46）单独由初始速度v0(初始位移为零)所引起的振动为§1-祖5单自咐由度肉结构鞭在任钱意荷暴载作蓝用下庙的强电迫振押动把一悟般动仁力荷时载F的加载播过程看爪作是由泳无限多术个瞬时痕冲量所作组成，适对t=τ到t=τ+dτ的时间熔分段上腔的微分浅冲量dS=F(τ)dτ来说，腿它所引涌起的动签位移为(t>τ)积分妈后即资得开曲始处网于静斑止状许态的重单自搜由度闲体系腐有阻惑尼的裳受迫吹振动汪方程然为(1扰-4被7)§1-5单自由伪度结构孕在任意舒荷载作眨用下的离强迫振记动如果搞还有良初始眉位移y0和初疯始速核度v0，则辞总位海移为(1去-4帆7)(1做-4梅8)这就是状有阻尼堆情况下贿的杜哈笼梅积分双。§1-浇5单自孕由度窃结构艘在任窃意荷沾载作佳用下运的强荡迫振银动工程州实际迟中有项很多芦结构速是不杆宜简工化为呀单自认由度断体系幼计算利的。物例如鹊多层茶房屋有、多竹跨不元等高虑工业凉厂房许以及伴烟囱馒等,都必须票按多自鼻由度体艺系来处解理。图示悲等截撒面烟池囱，腥将其鬼分为泡八段裙，从疏上到稻下将故每两轰段的战质量香集中关于其鞋中点掘，将六一个修无限骄自由银度的荡体系碍简化妄为四企个自鼠由度库体系泳。§1-熄6多自笑由度雾结构硬的自饥由振爪动图示简圆支梁的槽自重略题去不计,体系框有n个振回动自均由度沸，y1、y2、…、yi…、yn分别似代表资这些泼质点稍自静妈平衡摇位置赶量起叹的位累移。1.振动驱微分邀方程任的建贸立（安刚度家法、教柔度纪法）刚度神法（1）首动先加久入附倦加链索杆阻世止所寸有质敌点的葵位移,则在止各质皮点的谜惯性翁力作用牢下，仅各链笼杆产朴生和础惯性培力大肤小相择等、抗方向帝相反害的反盗力；可按汗照位愚移法移的步凶骤来冰处理§1-6多自由黄度结构持的自由血振动（2）其次犯令各链勉杆发生惹与各质熊点实际网位置相戏同的位眠移，此那时各链剂杆上所由需施加的力为FRi(i=1,秀2,…,n烫)。（3）不考慕虑阻尼猾时，将鸣上述两秘种情况阴叠加，葛各附加截链杆上花的总反磁力为零焦，由此可列出秘各质点景的动力自平衡方烈程。以皮质点mi为例尚：即：§1-6多自由滨度结构乡丰的自由较振动

(1-46)同理，薯体系中主的每一泪个质点困都可以诵列出相吓应的动限力平衡斯方程式焰，有写成矩注阵形式妈：(1-48)简写为：§1-6多自毅由度籍结构浮的自嚷由振分动Y和Ÿ分别仔是位绿移向霸量和丽加速击度向视量：M和K分别储是质秒量矩饭阵和制刚度级矩阵呆：§1-6多自由猎度结构障的自由乡丰振动体系踏中某写质点i产生信位移yi可看嫁成是门系统沙内各孕质点抛运动鬼时的择惯性鲁力共巴同引香起的判。即柔度法考虑羊每一明个质庙点的舍位移刷，可咸得一该组运旅动微愿分方袄程式戏：FI1，FI2，…，FIn为质丘点1，2，……n的惯裤性力巷。体系的迎柔度系殿数δij为作披用在搁质点j上的单摇位力引饺起质点i的位动移。§1-6多自溉由度正结构脖的自症由振刺动写成矩愤阵形式窗：δ称为亿体系眠的柔晓度矩忆阵,I—单位阅矩阵寄。或(1-51)所以，那由刚度测法建立领的公式飞（1-匪48）与公桌式（1-5供1）是完将全相躺通的血。因为授：§1-6多自由司度结构仿的自由俊振动设公式（1-5烟1）的特皇解为腹：2.按柔度蚂法求解(1-51)即所有驳质点按沸同一频符率同一妈相位作撇同步简标谐振动爸，但各舒质点的窃振幅值诞各不相某同(1秤-5靠3)(1-54)有(f)柔度法稼的振幅剪方程§1-6多自由剂度结构达的自由冈振动柔度匙法的占频率雹方程振幅旱向量A存在非坛零解的瓦条件为(1-境56)(1-55)

根据频率方程可得到n个自振频率，将它们由小到大排列，分别称为第一，第二，…，第n频率，并总称为结构自振的频谱。注意:体系臭自振圆频率班的个财数和投它的董自由脸度数廉目相耳同。§1-坡6多自由酬度结构刺的自由铺振动此时各质点按同一频率作同步简谐振动，但各质点的位移相互间的比值并不随时间而变化，也就是说在任何时刻结构的振动都保持同一形状，整个结构就像一个单自由度结构一样在振动。这种多自由度结构按任一自振频率进行的简谐振动称为主振动，与其相应的特定振动形式称为主振型(振型)将代回式(1-53)，得到：(1-59)将n个自振频率中的任一个代入式(f)，得到特解为(1斜-5女7)§1-6多自由举度结构笋的自由静振动n个主专振动仁的线富性组尾合，煮构成芒振动屡微分妨方程羽的一委般解播：(1边-6岔0)

和取决于初始条件。然而自振频率和振型与外因干扰无关，只取决于结构的质量分布和柔度系数，因而反映着结构本身固有的动力特性。由于此时系数行列式为零，因此n个方程中只有（n-1）个是独立的，因而不能求得的确定值，但可确定各质点振幅间的相对比值，便确定了振型。振型向邻量规准宪化振帝型向醋量§1-6多自由尿度结构孔的自由套振动对于两劳个自由锈度结构赶，振幅沫方程（1-5若3）为：令歌，将洪上式展炼开得：频率市方程输为：(1-少61)§1-康6多自便由度糠结构插的自趟由振民动两个辽自振割频率绣为：(1蛮-6肚2)两个主黎振型为酬：(1征-6悔3)(1无-6竖4)§1-6多自由贿度结构涨的自由腹振动例1-户3图示绸简支淋梁在朱跨度姓的三切分之捧一处金有两务个大燃小相虎等的哨集中勺质量m，试祥分析钓其自既由振溉动。逼设梁闭的自馆重略智去不壤计，EI＝常数唤。解:己(1妖)计算柔犯度系数δij§1-6多自异由度曲结构烘的自柱由振欣动求得

将δij和m值代人上式(2朱)求频于率：§1-做6多自钻由度洽结构斥的自箱由振假动将ωi和δij值代灵上入鄙式得第沟一主功振型拥为第二猫主振寺型为(3)分析振柄型§1-6多自关由度棚结构用的自芒由振熟动可以厨看出匆，如铁果结急构本帜身和较质量疾分布犹都是睬对称熔的，负则其嚷振型气不是荣正对受称的做便是寄反对辫称的静。第一主翠振型第二迷主振龟型§1-倚6多自哭由度渔结构威的自所由振钓动例1-4图示刚住架，在附梁跨中D处和块柱顶A处有械大小婶相等诵的集舒中质疾量m，支录座C处为弹异性支承时，弹簧拜的刚性葵系数k=(券3EI)/l3。试求自振频述率和振肚型。1.求柔认度系舟数解：饺体系非有两誉自由非度，A处质饭点的戏水平蝴位移互和D处质巩的竖害向位博移。绘制M1、M2图,由图乘能及弹簧替内力虚岔功计算滩得§1-肿6多自肺由度宁结构吊的自糕由振篇动2.写出蒜振型踩方程（a）3.写出昼频率嘴方程碰，求软频率展开式为解得相应的兆频率为§1-纳6多自服由度鸟结构斩的自隐由振查动当λ=扫λ1=27.荒083时，护设A1(1弃)=1,得第一坝主振型为第二局主振杰型为当λ=λ2=2.勺91莲7时，设A1(2)=1，得4.求振型嫩并绘出巩振型图由所得作结果绘兽出振型§1-6多自由尾度结构订的自由量振动3.按刚贪度法础求解(1-66)

(1-65)振幅方闲程频率方逢程将得到的n个自振频率代回振幅方程，得：(1-67)同样酸可确刃定n个主螺振型留。对于轻两个剥自由偷度结扇构，倍频率后方程糊为：§1-绸6多自行由度亲结构货的自挡由振施动展开滔得：两个于主振煎型为旺：§1-6多自渴由度逝结构抹的自壁由振等动例1-5三层纤刚架亿如图铅所示遍。设首自上药到下永，各歉层楼敲面的火质量(包括柱则子质量)分别为m1=18语000盗0kg，m2=27惨000敞0kg，m3=27珍000柱0kg；各层葡的层间即侧移刚呆度(即该疑层柱种子上家、下妹两端凉发生舌单位植相对次位移咸时，饺该层若各柱涝剪力这之和)分别为k1=98痛MN/贷m，k2=1瓣96形MN挠/m，k3=2居45嗽MN奥/m。求刚眠架的自吼振频率吓和振型。号设横白梁的开刚度EI＝∞。解:恨(1)求频率条。体系的茶自由度颂数为3。振型方先程为频率方慰程为§1-滔6多自由晚度结构拣的自由震振动建立刚猴度矩阵侄和质量凳矩阵由图b可得：

由图c可得：

由图d可得：

§1-慌6多自剖由度骑结构敌的自棋由振贡动得刚度炎矩阵：质量固矩阵培为：§1-北6多自由模度结构际的自由爱振动频率竞方程赔：引入符号η

,则展开式酿为§1-6多自肚由度雅结构泽的自眼由振愤动解方程得：由求得三个自振频率为：§1-6多自由踪蝶度结构肝的自由迹振动将代入式(K-ω2M)φ=0，为求标准化振型，规定φ1(j)=1

。2.求振型充：第三振型第二振型第一振型§1-茄6多自由故度结构招的自由黑振动(4凯)与单自勇由度体桐系相同塌，多自恰由度体屯系的自分振频率班和主振浅型也是脊体系本采身的固物有性质驴。对于多恭自由度需体系:(1)在多抓自由活度体席系自得由振失动问缺题中搜，主身要问他题是锈确定仇体系夏的全翅部自兄振频佛率及渐其相摩应的筛主振笋型。(2厕)多自由硬度体系海自振频钞率不止四一个，与其个数忆与体系扔自由度替的个数拖相等。触自振频珍率可由赖特征方达程求出帐。(3基)每个自刃振频率弯有自己拐相应的慌主振型蚊。主振墙型是多汽自由度截体系能屠够按单铁自由度室振动时劣所具有丑的特定帽形式。§1-阔6多自坛由度校结构您的自亭由振到动对上述叔两式分剃别两边筹同时左剃乘秤和馋，有对其旗中任圾两个并不同押的主药振型滋向量Xi和Xj，有4.主振型新的正交宪性n个自由丑度结构壁具有n个自振婚频率及n个主振席型，每迹一频率桐及其相脚应主振忧型都满脱足(1-67)(b困)(a尖)(d事)(c呀)（d）式两垂边转置遗，有(e随)（c）式-（e）式列，有§1-肝6多自由鹊度结构鼻的自由劝振动当(i≠j)时，喂有这说陵明，确对于判质量匠矩阵M，不同伟频率的窗两个主骄振型是端彼此正签交的。同理夸可以瓶证明川，对联于质岂量矩锦阵K，不密同频壮率的卸两个肯主振疲型彼箱此也尊是正侄交的母。对于标米准化的块振型向椒量，也上同样具分有正交骡性，即振型屋正交桂性的翻物理愚意义:体系按犹某一振食型振动掠时，它备的惯性肉力不会员在其它罢振型上请作功。门也就是鸟说它的熟能量不筹会转移洪到其它君振型上对去，说坡明各个谢主振型译都能够爹单独出驻现，彼炕此线形处无关。主振蜘型的长正交铜性是馅结构滑本身适的固携有特祥性，护它不笋仅可宫以用胀来简神化结积构的总动力充计算斯，而贡且还缠可以泡用来阿检验愧所求滨的主瓶振型鲁是否呜正确淡。§1-托6多自由杯度结构仍的自由澡振动振型分解法的计算步骤：（1）求自振频率和振型（2）计算广义质量和广义荷载

（3）求解正则坐标的振动微分方程，得到αi（i=1,2,…,n）（4）计算几何坐标，求出各质点位移，然后即可计算其它动力反应（加速度、惯性力等）§1-茄7振型狼分解纵法结构亮自振肝频率聚的计须算是拔结构未动力恒计算他的一竭个重效要内辣容。挡从实注用的漏要求哀来说,有必要飞采用近火似的计泡算方法猎求解。享能量法岭就是用炎来计算阔基本领抚率ω1的近编似方门法。实际结予构振动倘时,由于辱阻尼狮作用悲的影局响,高振型发分量很快就会耍消失。裙基本频刃率的计倘算很重创要。在魄我国有塞关设计弓规范中取往往可佩以根据奇与基本决频率对金应的最肌大周期筒，便可权从规范轧中选取条各种有奏关的计瓶算参数且。§1-8计算抵频率家的近芽似方李法结构在味振动中沫，具有种两种形咱式的能权量，一毕种是由堵于具有享质量和宵速度而难构成的烫动能V(t)，另治一种炭则是雅由于恒结构嘴变形税而存态储的寄应变乒能U(t)。根据踢能量吊守恒耐定律乖，结叛构在快无阻维尼自段由振娘动中裙的任而何时全刻，弄其动平能和嫁应变被能之绕和应坛等于门常数棍，即§1-纸8计算频居率的近鲁似方法当结构质处于最先大振幅拥位置时辞，其动鄙能V等于零黎，而应湾变能具钉有最大溉值Umax。当结构赶处于静悉力平衡晌位置的据瞬间，趋其动能V具翅有最因大值Vmax，而应百变能则例为零。据此铅，有Umax+0=帖Vmax+0=常数亦即Uma检x=秘Vma贴x利用右这一雀关系垃式即没可得偷到确磁定频格率的太方程清。§1-8计算频自率的近拒似方法设图示出单跨梁锋以某一幼频率作弓自由振凶动,其位移轮可表示灾为y(x,美t)=y(x)s沿in榨(ωt+φ)y(x)为各点口的位移柜幅值，代表失振型胖，故动又称融为振动型函轻数。则梁速度为微段dx质量添的动懂能为整个卧梁的找动能姑为当动辰能为霜最大绞值时厚，co崭s(ωt+φ)=武1,有(1-津93)§1-8计算频恰率的近透似方法应变数能(只考虑你弯曲变性形能)为：当应豪变能搭为最辱大值查时，sin逮(ωt+φ)=1，有由Uma锐x=谦Vmax得：（1-94）（1-9宿5）§1-哭8计算频差率的近格似方法如果结愁构上除脱分布质嫁量m(x)外，还鸭有集中吴质量mi(i=1,新2,…腊,n)，设贡以yi表示勒集中觉质量i点处相蚕应的振服幅，则玻有（1-96）

（1-97）若结构掘上只有匠集中质皂量而不融计分布瞒质量时熔，则有§1-岭8计算频托率的近贩似方法1.利用上消述公式挎计算自速振频率崇时，必偿须知道慎振型曲岁线y(x),但实舒际上y(x)事先往乡丰往是不谎知道的第，因此碎必须先落假定y(x)来进勤行计与算，舌这就纯使得求得耽的自雹振频剃率高峡于精熊确值富。注意筑：2.通常第柿一频率豆所对应躁的振型假易于估弹计，易裕于用简亩单的函款数表达灾，因此苦瑞利法功主要是创用于求是第一频歉率的近罗似值。§1-矮8计算优频率珠的近淋似方伐法在假定击振型曲樱线时，野应该使桑它满足宪位移的喊边界条爪件，通连常多采面用某一扭静力荷迎载作用额下的弹倚性曲线葱来作为胖振型曲增线y(x)。此时，健应变能Uma嘱x可以匠更简酷便地距用相腊应的渔外力征功Wma售x来代决替。由Umax与Vmax相等，相即得确跌定频率模的另一捷计算公遭式：（1-98巡寿)§1-骑8计算频库率的近好似方法对于单格跨梁，像通常假促设其自嫂重作用响下的弹付性曲线闪作为振灰型曲线障，就可予以得到茄基本频准率ω1的良烫好近帜似解挎。计算声经验糠表明议，基矛频的木计算它对振定型曲苗线是凤不敏跃感的允，只努要所荒设振峰型曲今线满匙足位肢移边独界条籍件，库且与扑真实号振型刑曲线浩接近献，就厕能得篮出相止当精咸确的饱解答爱。对于交其他池结构纱，当似用能笋量法袜求基替本频电率时联，则烂首先淡要判风断基洁本振染型的喘大致厉形状顷，它厦应该花是结票构在尽振动窑时容宝易出谷现的予较为傻简单雷的变涉形形言式，半然后促假设艺一与旁它接庭近的邮曲线抄方程y(x)，这涌样算谅得的揭频率册也就坝是对贺应于忽基本因频率乏的近斯似解贵。§1-桥8计算来频率四的近盼似方穴法

例1-8均质等截面简支梁，粱长为l，单位梁长的质量为,其抗弯刚度EI为常数，若取振型曲线为：m(1输)图b所示的氧正弦曲丘线；(2)梁在自冻重作用疯下的挠范曲线,分别执计算暴自振况频率堵，并熊将所龟得结刻果进辩行比缺较。解(1)振型为香正弦曲钳线得§1-8计算京频率爹的近故似方叠法

正弦曲线是准确的第一阶主振型，

πx

y(x)=asin─

l(2)设振灶型为锯梁在中自重仆作用图下的起挠曲搁线：所以因此由灰它求得璃的是第过一频率帅的精确戚解。根兰据自重丈作用下众的挠曲艺线求得兆的结果攀也具有佣很高的延精确度怒。讨论：§1-重8计算频义率的近均似方法一、几绣个值得造注意的偏问题1.弹性体谢系的振都动自由戒度描述朗体系混的振竭动，凝需要温确定溜体系书中全曾部质佳量在言任一绵瞬时波的位陵置，然为此漏所需竞要的乓独立底坐标搏数就肚是弹授性体猜系振交动的衬自由迹度。疑值得咏注意正的是款：体枕系中希集中男质量厌的个沿数不梢一定乓等于棒体系粒振动滋的自验由度小，自尼由度室数目化与计弄算假诞定有克关，钢而与荷集中辱质量扩数目尼和超加静定魂次数首无关减。三个宵集中腰质量发，一向个自医由度一个集铃中质量领，两个奋自由度第一章器结构动竿力学总肺结2.确定体精系振动副自由度剧的方法方法一可以苗运用徒附加歇链杆墓法，并使质去量不挂发生较线位著移所锯施加弄的附刻加链吗杆数攻即为革体系厘的计蓬算自瓣由度夺。例欣如图a中，卫需要誉两个青链杆羞才能任阻止象集中到质量妨的线绪位移(图b)，故哭体系刊有两养个振融动自接由度乞。方法房诚二当忽袍略杆柜件的呈轴向汤变形织时，肿可以艇运用早几何乞构造