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文档简介

电力应用数学数学教学部王玲

导数的应用（1）一、拉格郎日中值定理二、函数的单调性

C，在该点处曲线的切线平行于弦AB

.定理1：（拉格朗日中值定理）如果函数

f

(x)

满足⑴

在闭区间

[

a

,

b

]

上连续；则在

(

a

,

b

)

内至少存

在一点ξ使

定理的几何意义：⑵

在开区间

(

a

,

b

)

内可导，如果连续曲线

的弧

AB

上除端点外处处有不垂直于x轴的切线，则

弧

上至少

有

一点xoy

abABξC一、拉格朗日中值定理二、拉格朗日中值定理二、函数单调性的判别法定理2：设函数

f(x)

在闭区间

[a,b]

上连续，在

证：就的情形进行证明，

可类似证明。任意

，由拉格朗日中值定理，有

，使

故

所以函数在

[

a

,

b

]

上单调增加。

⑴定理

2

中的闭区间换成

其

它区间（

包

括无

穷区间

），结论也成立。证明与定理

2

的证明类似。必须说明：⑵定理

2

中的条件：“

在开区间(

a

,

b

)内

”

可以改为：

在开区间(

a

,

b

)内除个别点导数不存在或导数为零外，都有

其它条件不变，则原来的结论仍

成立。例如

，

说明...有限或可列无限个点增减区间的可能分界点问题：

函数

f

(x)

单调增加与单调减

少区间的分界点具有什么性质？xo

yx

0

xo

yx

0

（1）使

的点（

驻点

）可

能

是

增减区间的

分界点

.（2）使

不

存在

的点

也

有

可

能

是

增减区间的

分界点

.ox

y

三、函数增减区间的求法及解题步骤：⑴求出函数的定义域；⑵

求出使

或不存在的点；⑶将上述

各点

按

从小到大

的顺序插入

到定义域中，

把定义域划分成若干个子区间；⑷在每个子区间上确定

的符号，从而判定函数在该子区间上的单调性

.为了便于查看，通常列表讨论

.例8例1

求函数的单调区间

.解

定义域令，解得↘↗↗↗

单调增加单调减少利用函数的单调性证明不等式）例

2

证明：当

时，证：设，则

f

(x)

在上连续。在

内，由函数单调性的判定定理知，

f

(x)

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