结构力学李廉锟矩阵位移法

第十章矩阵位移法§10-1

概述§10-2单元刚度矩阵§10-3单元刚度矩阵的坐标转换§10-4结构的原始刚度矩阵§10-5支承条件的引入§10-6非结点荷载的处理§10-7矩阵位移法的计算步骤及示例§10-8几点补充说明手算：小型、简单问题，讲究技巧。一、手算与电算比较：电算：大型、复杂问题，要求方法具有系统性、通用性。结构力学中的电算方法—结构矩阵分析方法(杆件有限元法)结构矩阵分析方法是以传统结构力学理论为基础、以矩阵作为数学表述形式、以电子计算机作为计算手段大规模的计算方法。

超静定结构分析：力法，位移法，力矩分配法。§10-1概述二、结构矩阵分析方法特点与分类：(1)公式推导书写简明,导出公式紧凑,形式规格化。

矩阵力法(或称柔度法)——以力作为基本未知量。

矩阵位移法(或称刚度法）——采用结点位移作为基本未知量。借助矩阵进行分析，并用计算机解决各种杆系结构受力、变形等计算的方法。

(2)各种情况可统一处理，通用性强。

(3)计算过程规范化，适合计算机进行自动化解算。

理论基础：位移法；分析工具：矩阵；计算手段：计算机

对于杆系结构，矩阵位移法因易于编制通用的计算程序。§10-1概述三、矩阵位移法的思路：1）离散，进行单元分析，建立单元杆端力和杆端位移的关系。2）集合，进行整体分析，建立结点力与结点位移的关系。任务意义单元分析建立杆端力与杆端位移间的刚度方程，形成单元刚度矩阵用矩阵形式表示杆件的转角位移方程整体分析由变形条件和平衡条件建立结点力与结点位移间的刚度方程，形成整体刚度矩阵用矩阵形式表示位移法基本方程§10-1概述

构造结点:杆件的转折点、汇交点、支承点和截面突变点。

非构造结点:一根等截面直杆内的单元与单元之间的结点。1.结点和单元单元与单元之间通过结点联结，结点一经确定，则单元也就全部确定了。

单元——最基本的分析部件，最简单的单元是等截面直杆。梁单元——受轴力、还受剪力和弯矩作用则称为梁单元（梁、刚架）。

轴力单元——只受轴力作用的单元（桁架）。四、基本概念

§10-1概述2.坐标系

结构整体坐标系xoy用于描述结构整体的量——结点的坐标、结点的位移、作用在结构上的外力等。

单元局部坐标系固定在单元上，轴与杆轴重合,自轴逆时针旋转900时的方向为轴正向。用于描述单元的杆端力和杆端位移等。

§10-1概述离散化将结构离散成单元的分割点称作结点.634512135642结点的选择:转折点、汇交点、支承点、刚度变化、荷载作用点等整体编码：单元编码、结点编码、结点位移编码。（1,2,3）（4,5,6）（7,8,9）（10,11,12）（13,14,15）（16,17,18）坐标系:整体(结构)坐标系;XY局部(单元)坐标系.曲杆结构:以直代曲.变截面杆结构:以等截面杆代变截面杆§10-1概述不忽略单元的轴向变形时，平面结构中每个刚结点都有3个独立的位移（2个独立线位移、1个角位移），每一个铰结点则有2个独立线位移。平面刚架单元的杆力列向量为(10-1)平面刚架单元的杆端位移列向量为(10-2）

注意：杆端力与杆端位移必定是一一对应的，即有几个杆端位移分量就有几个杆端力分量。

3.杆端位移和杆端力§10-1概述平面桁架铰结点只有两个独立的线位移，与此对应，桁架单元的杆端力只有轴力和剪力与其对应，但实际上桁架单元的剪力总是为零的，所以有(10-3)

杆端位移向量(10-4)

其他任何单元都存在杆端力与杆端位移一一对应的关系。

杆端力向量§10-1概述作用于结点上的所有的力的合力,沿坐标轴方向分解为三个分量,构成该结点的结点力向量。4.结点力和结点位移与结点力向量对应的是结点位移向量，是矩阵位移法的基本未知量。注意：结点力和结点位移都是相对于整体坐标系的。

§10-1概述杆端位移和杆端力的正负号：作用在结点上的外力和结点位移的正负号：

5.正负号规定（强调）凡是与单元坐标轴方向一致的位移和力均为正值，反之为负值。力矩和转角以逆时针方向为正，反之为负。与整体坐标系方向一致的结点力和结点位移为正，反之为负。以逆时针转的结点力矩和结点转角为正值,反之为负值。§10-1概述矩阵位移法基本思想:化整为零

------结构离散化将结构拆成杆件，杆件称作单元。单元的连接点称作结点。单元分析

对单元和结点编码.634512135642e单元杆端力集零为整------整体分析单元杆端力结点外力单元杆端位移结点外力单元杆端位移(杆端位移=结点位移)结点外力结点位移基本未知量:结点位移§10-1概述1.建立单元杆端力与杆端位移之间的关系截面直杆单元e,其杆端位移列向量与杆端力列向量分别为

§10-2单元刚度矩阵当杆端轴向位移为、时，，由胡克定律得杆件轴向变形的刚度方程为

（a）在线性小位移范围内，忽略轴向受力状态与弯曲向受力状态之间的影响。§10-2单元刚度矩阵杆端横向位移△ij正负号规定:使杆的j端绕i

端作顺时针转时为正值。由两端固定等截面直杆的转角位移方程有（b）

§10-2单元刚度矩阵将上述（a）和（b）两式合在一起，写成矩阵形式，有

=——单元在局部坐标系中的单元刚度方程。它可记为

（10-6a）§10-2单元刚度矩阵其中

（10-7）称为局部坐标系中的单元刚度矩阵（简称单刚）。的行数等于杆端力向量的分量数,列数等于杆端位移向量的分量数，的每一个元素称为单元刚度系数，其表示了一个力。§10-2单元刚度矩阵任一元素表示当j号位移为一单位时引起杆端沿i号位移方向的反力。§10-2单元刚度矩阵单刚阵中某一列的六个元素表示当某个秆端位移分量等于1时所引起的六个杆端力分量。第1列的六个元素就是当(即端点i沿正方向发生单位位移)时，单元的六个杆端力分量。§10-2单元刚度矩阵从单刚元素的物理意义出发得到单刚阵图示量均是正的单元杆端位移示意§10-2单元刚度矩阵单元计杆端秩力示队意图示肆量均螺是正却的§10姜-2单元刚陕度矩阵单一裁位移陆时的亿单元向杆端胞力§10-变2单元坚刚度吊矩阵单一位泛移时的田单元杆静端力§10匀-2单元露刚度铁矩阵单一贺位移梨时的辨单元璃杆端钞力§10辩-2单元加刚度睛矩阵单一位闻移时的摘单元杆丝式端力§10验-2单元刚元度矩阵2.单元刚创度矩阵毕的特性（反棚力互图等定旬理）（1）是对称矩阵。§10-底2单元刚触度矩阵表达的寒杆端力总和杆端盒位移的赌关系，对应揉于一帅个完菠全的危自由项单元训，没有任底何支承浊约束，疲可以有碰任意的汪刚体位摸移。(2)是奇异矩阵。即，其逆矩阵不存在.可以由杆端位移确定杆端力。反之，若已知杆端力，却不能由式反求杆端位移。物理避概念糟为：局部坐逝标系中互的单元阵刚度矩奸阵敏，只与娘单元的巨几何形敞状、尺幸寸和物呜理常数凤有关，裳与单元墨在结构堆中的位纳置无关模。(3搂)位置锐无关河性矩阵位呼移法的垂单元体治现了更遵强的通坚用性。§10晨-2单元刚铺度矩阵单元刚京度矩阵爽为:3.其他单丝式元的单与元刚度殖矩阵（10顽-9）(1)平面访桁架封单元§10板-2单元热刚度弄矩阵若把连续梁两支座间的一跨取作单元，杆端位移条件为：，，，。单元释刚度屠方程嘱为(10-11)单元刚激度矩阵弱为（10-疏12）（10-语13）(2仁)连续梁烟单元杆端位学移向量第与单元根杆端力劣向量为:§10靠-2单元序刚度丈矩阵注意：矩阵况中只森列出荣弯矩爪没列尾出剪患力。责这并圆不是队说连差续梁伤单元捡中没龄有剪着力,只不馋过是垒只把衫杆端丈转角胁作为饰基本糟未知稼量来芽考虑虫而己民。求叼出杆基端弯遇矩,便可争求出诊剪力冻。§10-勒2单元丽刚度葬矩阵整体分己析时必克须建立懒一个统洒一的坐旺标系，府称为整艳体坐标慕系，其滩作用是捎把各单顺元上不桐同方向夕的量值派统一到暮整体坐宿标系方裳向上来监。整体举坐标系太中，单比元杆端乘位移向腐量记为{δe},单元区杆端牢力向勺量记烂为{Fe}问题的腰提出§10-痕3单元访刚度惩矩阵宋的坐殊标变汗换局部坐标系下的杆端力整体坐标系下的杆端力1.单元坐森标转换雨矩阵局部坐标系

与整体坐标系为xoy的夹角α以x轴逆时针转到与局部坐标系为正。

§10枯-3单元恐刚度卡矩阵待的坐巾标变送换j端点禽杆端累力转丘换关这系端点i处的杆赠端力分快量，有栽下列转虽换关系订：（10-10a）（10-10b）整体坐钱标系下锄的杆端滔力与局牙部坐标答系下的名杆端力寨之间的炕关系§10页-3单元么刚度嚼矩阵脉的坐码标变部换简记为将（10俯-1鞋0a）和（10酱-1锁0b）联合起支来写成盈矩阵形覆式§10-动3单元暖刚度形矩阵菊的坐值标变吗换[T]称为槽单元已坐标扮转换丧矩阵,[T体]是一伸正交军矩阵诱。[I]为与[T]同阶烦的单腥位矩匪阵。或§10腾-3单元末刚度税矩阵切的坐辛标变悲换同理由可得坐标转葛换矩阵黑为：对平面桁架单元

，。§10笼-3单元刚桂度矩阵凭的坐标找变换整体创坐标脱系中食的单斧元刚替度方奶程写俯为局部坐凯标系中和的单元严刚度方虾程写为由，

，得等式两边左乘，得2.整体半坐标赚系中氧的单右元刚挨度矩启阵从而可作得两种吗坐标系恳中单元员刚度矩臣阵转换偷关系式:§10-土3单元刚伶度矩阵总的坐标意变换对于平棚面刚架盗单元，整体熊坐标暑系中健的单穿元刚昂度矩害阵为式中：§10攻-3单元榴刚度乓矩阵际的坐她标变泰换平面桁立架单元哀在整体蚁坐标系役中的单狱元刚度兆矩阵为:整体坐标系中的单元刚度矩阵具有与类似的性质(对称性和奇异性)。§10-烤3单元右刚度军矩阵孤的坐躲标变型换表示单元j端产生单位位移时引起

i

端的杆端力。对于只平面驻刚架麦单元整体分拥析中，碑对每一别个结点罚分别建陆立平衡钥方程，烫为了讨焰论方便翼，将单外元刚度桌方程按悉两端的花结点i、j进行分喝块，写封为对于平隆面刚架星单元，炉它们都拨是3×3阶方阵警。对于平累面桁架库单元，禾它们都晚是2×2阶方阵廊。§10-爷3单元祖刚度厦矩阵鹊的坐蛇标变扔换例:整体单宝刚的计还算21已知:求:各单元律整体单旅刚解:§10-说3单元麻刚度批矩阵哑的坐辣标变唇换§10-蒙3单元刚他度矩阵专的坐标化变换本节开抵始对结挡构进行绞整体分乖析(后处理上法)分析任睬务:建立结绑点力与航结点位德移的关接系-结构的尺刚度方暗程例:第一步:编号，前建坐标符号：凶与整体剃坐标正水向为正惰。结点摊力列豆向量结点位季移列向贱量其中：§10藏-4结构的映原始刚煤度矩阵、

—

支座反力、

—

结点外力{F}=名[K]{Δ}——表示杨整个坡结构聋在整蜡体坐袋标系惕中的旷结点言位移寇与结饺点力董之间险的变企换关傻系。--明确任猛务有n个结盛点的建平面誉刚架监，Δ是3n阶向志量。有n个结登点的平面桁锹架,Δ是2n阶向量哨。{F}——结构潮的结睡点力材向量洁。它连是由林作用办在每露个结璃点上宏的外阻力(包括樱已知稼的荷育载和铃未知旨的支勺座反究力)构成的鸭。注意川：{F府}与{Δ}的阶数拘相同,而且障是一毯一对佳应的血。{Δ趣}——结构夹的结矛点位任移向撞量。欣矩阵松位移究法的脖基本四未知半量。[K]——结构汽的整捧体刚再度矩焦阵（折总刚鸟）。民其行京、列坑数等缓于结步构结侦点的服位移某数。§10童-4结构排的原冷始刚望度矩律阵第二步旷：单元内分析§10即-4结构的满原始刚塞度矩阵第三步，利用变形条件和平衡条件建立与的关系。分别把对结糠点1，2，3，4进行血分析§10性-4结构桌的原先始刚络度矩膜阵由变形疤条件：由平衡呼条件：如结钢点2：即：即：§10螺-4结构出的原刃始刚续度矩省阵同理，范对结点1、3、4的平衡忍条件为焦：写成衣矩阵靠形式洁：§10抹-4结构的捞原始刚蜘度矩阵上式痛称为浩结构风的原度始刚煎度方枪程，旁简写嫩为：称为结构的原始刚度矩阵，简称总刚。总刚厌度矩亭阵特花性：（1）[K]是对称砌方阵；kij=kji（反力中互等闯定理香），眠贮存锹总刚屑度矩烤阵时捕，只阔需贮迅存它帖的一埋半就潜行了秩。（2）[K]是稀疏暮矩阵；非零元虚素只分渴布在主梢对角线们两侧的错带状区与域内。表示钟结点盾位移{}和结达点力{F}之间查的关垄系，鸡反映慨了结片构的仁刚度拖性质邀，而热不涉葱及原垂结构逐上作浆用的实际荷部载，并不是原结重构的杀位移粘法基杂本方芳程。§10-争4结构作的原怪始刚弃度矩鹿阵当尚未船引进支惠座条件强的情况嗽下，结蹦构刚度惭方程是萌无法求款解的（靠未引进补支座条司件时，液结构存助在刚体担位移）挣。（3）K是一流个奇富异矩死阵。特称龟没有贡引进省支座花条件少的总预刚度景矩阵牵称为原始央总刚中度矩存阵。建立总众刚度矩钞阵有两灯种方法:1）理计论推佩导,即刚度些法。2）直接瓦由单刚堪阵按一炊定的规态律集成讨总刚度士矩阵，轧称为直接刚融度法§10-上4结构的俭原始刚档度矩阵由总刚搏中元素肠的物理茂意义形丸成：2(4,5,6)1(1,2,3)3(7,8,9)12则有:若令:其他Ki1为0，这窜种方牛法太刷麻烦宏。§10-亦4结构的奖原始刚睁度矩阵桁架的炒指示矩匪阵为：任何一椒个杆端闯都与一艇个结点夏对应。台图示桁籍架，其猛单元杆摔端与结莫点号可透用一个疏矩阵来任表示。到矩阵的票行数为锻单元数乘，列数舱为2。每一垒行的两山个数分去别表示折该单元i、j端对应程的结点获号。这庭个矩阵遗称为指荒示矩阵趴。指示矩闪阵实际缺上也给木出了各晶单元坐庙标系。ij直接蓬刚度轻法形苗成总歉刚度连矩阵直接级刚度若法——直接留由各烟单元罢刚度禁矩阵企装配昂形成锻总刚匪度矩概阵。货是目必前编苦制计傲算机太程序娱最常婆用的盈方法寒。1.首先应彩将结构雅的结点昆和单元脖编号。蚂编号可玩以任意田编，并纺不影响遮计算结扩果。§10止-4结构的挣原始刚牙度矩阵2.首先茂列出必整体职坐标培表示丽的单司元刚小度矩煤阵。3.将单证元刚瞒度矩宋阵划姓分为4个子铲块：4.按“子役块搬家犁，对号爆入座”金的原则怒将单元惜刚度矩齿阵中的触子块，晶一块块斧地搬入样总刚度掏矩阵中渣，而搬撕入的位谦置则根参据指示饥矩阵G的规晓定来窄确定报。一般复的规芳律是集：第e单元i端对螺应结年点号究为g,j端对尝应结句点号钓为h。“搬家”片时将该狡单元单愉元刚度免矩阵中想的子块Kij搬到品总刚昨度矩垦阵中来的子促块位砌置Kgh，即搬呼到总最刚度现矩阵钻中第g子块行酷，第h子块覆列中常去。§10-飞4结构的于原始刚项度矩阵→K11

→K13→K31→K33例如,图示桁恭架第⑤号单威元的4个子块摇，根据匆指示矩日阵G的指示寸，分别由搬到：§10饭-4结构的谷原始刚闲度矩阵2）用上秧述“子块你搬家，柄对号入走座”扛装配总巾刚度矩魂阵的方旨法也适用箱于其他曾任何杆陈件结构珍。各单元丧都按此轨原则“东搬家”临后，桁姜架的总特刚度矩况阵为：

1234

注意：1）总估刚的一个子浅块位置鱼中搬入碌几个子肚块时，设这几个刃子块应忘叠加。§10秧-4结构刚的原细始刚恰度矩趟阵总刚度胞矩阵的娇构造图示萌桁架方有4个结点革，有8个位茧移分任量。Δ=｛u1v1u2v2u3v3u4v4｝T总刚志度矩欣阵则观为8阶方阵：子块行元素行子块列

1234

元素列

12345678

将其分枯成4个子猫块。萍平面派桁架新，每扰一结拴点具菠有两龙个位骗移分虹量，贸每一慎子块湾中就托有两衣行两投列共4个元扒素。1.K32的物游理意厕义是减什么筐？思考耐：2.k35的物理社意义是浓什么？§10-睡4结构的物原始刚脂度矩阵1.子块K32表示结爷点2产生单稼位位移凉时引起羞的结点3的结点昏力。2.k35表示第5号位庭移（锹结点3沿X方向的芬位移）岭为一单陆位时引杏起沿第3号位移蓝（结点2沿y方向的召位移）调方向的欠力。这犹个力应陡该理解亲为相当谨于按位兽移法的骑基本结坊构所规激定的结揉点2的竖遣向附篮加约诱束的光约束登反力讯。4.总刚度长矩阵中馋某一元汽素的物役理意义廊是什么雅？3.对于空处间桁架姥和平面头刚架，天每个子艇块中含鸣多少个拿元素？思考抄：答：§10秆-4结构亩的原络始刚胶度矩贴阵1）首先参对其结施点和单农元进行伸编号如贪图示。每个子浙块都是酸由3×访3阶的9个元素奏构成的枣。3）列今出刚雾架的泥指示毫矩阵

ij2）列出各单元的用整体坐标表示的单元刚度矩阵为：平面观刚架§10泰-4结构的隆原始刚绢度矩阵对号入句座装配戒总刚度疯矩阵为漫：

12345§10糖-4结构的弄原始刚堪度矩阵主子具块：主对角态线上的煌子块，副子块匪：非主对罗角线上示的子块丹，，相关单元：连接结点，单元。相关结点：与结点相邻的结点。

相关单元：与结点相连的单元。总刚的似特点：1）（为结点的相关单元）

2）若，非相关，则，若为相关，则（为结点,的相关单元）

总刚的倚形成：寻对号入布座，同怎号相加豪。单刚盖子块性在总堪刚中圣的分弯布规牌律总堵结：§10-宗4结构拔的原鹅始刚胡度矩绩阵解：浸有关蛮参数单刚妻见教捞材（桌略）例：试求图示刚架的原始刚度矩阵。已知各杆§10-技4结构英的原中始刚吹度矩桃阵§10久-4结构的汗原始刚掘度矩阵作业:求图示结构总刚度矩阵中元素1342（1,2,3）（4,5,6）（7,8,9）（10,11,12）EI、EA为常数，各杆长度相同。§10-深4结构辰的原贼始刚扒度矩毫阵图示刚墙架原始敏刚度方面程未知未知未知未知已知已知已知已知§10来-5支承条棍件的引悼入未知未知未知未知已知已知已知已知由于结办点1、4为固定爆端，故阔支承约什束条件嚼为代入结折构原始逢刚度方呀程，有和§10体-5支承窝条件既的引耕入其中为引入番支承条绘件后的者结构刚蝇度方程圾，可写组为：式中：只包括已知结点荷载，只包括未知结点位移，此时的矩阵即为从结构的原始刚度矩阵中删去与已知为零的结点位移对应的行和列而得到，称为结构的刚度矩阵或缩减的总刚。此时，由于引入支承条件，消除了结构的任意刚体位移，故结构刚度矩阵为非奇异矩阵，可得到未知结点位移的唯一解。（若此时结构刚度矩阵仍奇异，说明原结构为几何可变或瞬变体系）。§10-仿5支承威条件炸的引均入求出未验知结点隐位移后证，可由昼单元刚爹度方程认计算各续单元的赞内力。芝整体坐休标系下阔，单元碗杆端力睁为：可求得泳局部坐漆标系下至单元杆免端力或：局预部坐标弦系下单领元杆端渴结点位箭移同样斑可求今得局习部坐置标系吃下单半元杆速端力§10辞-5支承镜条件仁的引百入求出未知结点位移后，由式可计算支座反力。但是茄，当堤全部辱杆件水的内肿力都纤求出抢后，升一般什可由抄结点刮平衡更条件平求支后座反母力更梅方便乳。§10-融5支承筛条件逗的引联入24图示谦刚架帆的原仆始刚确度矩和阵舍弃与招约束所挣对应的欲行和列蹈，得到交引进了彻支座条浮件后的号总刚度锤矩阵：这就是后处锯理法，即先集成今总刚度魄矩阵，然后巡寿再引区进约断束条。还有先处串理法，即先引树进支格座条乖件，然后集花成总刚益度矩阵富。(暂略)§10焰-5支承条诉件的引荐入

1234引进约裳束条件搂后的刚湾度方程说：通过求拼解线性剑代数方剃程组的泽方法求锦出未知离的结点客位移向猜量。图示平富面桁架筹结构，哲结构的册原始刚歪度方程词为：§10-均5支承条驻件的引英入123431241234②③①(a)(b)(c)对于诉平面敌刚架奶单元摔，若卷单元岸上作呀用着晌非结衣点荷汗载，标则单倾元的杆端膛力将由晌两部分横构成。灶一部分甜是由结誉点位移摸所引起的，另全一部分叫是非结协点荷载裙作用而供直接引今起的杆丛端力,即固凑端内萝力。§10-疮6非结点键荷载的蓬处理3124(b建)同位锤移法搅，刚迈结点少处施优加附停加链符杆和铸附加哀刚臂胡阻止掩所有尘结点霞的线杨位移槐和角从位移克，此皇时各迁单元裂有固绣端力龄，附辛加链疑杆和晨附加壳刚臂增上有滤附加仔反力园和附泽加反烛力矩膨。由点结点扯平衡法条件容可知乞，附紫加联艇系上壮的附兆加反治力等副于汇贯交于各该结御点的刻各固尘端力戒的代锋数和牛。某单元e受非结舟点荷载界作用，裹单元局膨部坐标已系中的补固端力衣为：固端大里小可受由固达端内殊力表玻查得卸，P25峡2表10-竟3。§10-枣6非结点胃荷载的絮处理1234（c）取消附点加联系着，相当土于在结希点上施杨加了与用上述附往加反力步和附加茫反力矩帜反号的末荷载，干此荷载池成为原明结构上测非结点究荷载的等效结鄙点荷载迈。注意盈：这呼里“伟等效疲”指电图（a）和朱图（c）的结总点位移伏相等整体刊坐标航系中助的固状端力立为：将各俯分量话反号仰并对柄号入毕座送纤到荷脖载列生阵中狂去，挺即为帖等效野结点学荷载羡。§10-掩6非结裤点荷脱载的炕处理任一殿结点i上的等吊效结点财荷载FEi为：如果除呜了非结伴点荷载搬的等效壳结点荷泻载FEi外，结锤点i上还红作用棕有直顿接结确点荷最载FDi，则i点总的缓结点荷烟载为：结点i的综合结点荷载整个结构的综合结点荷载§10-愤6非结点国荷载的你处理各单元搭最后的胆杆端力壮是固端弓力和综核合结点抛荷载作浊用下产扁生的杆脾端力之伤和，即和或§10捆-6非结倘点荷眠载的益处理表:

单元固端约束力（局部坐标系）

荷载简图

始

端1末

端21

2

122abFP-§10-妖6非结点辨荷载的筋处理表:

单元固端约束力（局部坐标系）

§10-尺6非结点意荷载的翼处理3

4

表:

单元固端约束力（局部坐标系）

§10-每6非结兄点荷似载的斯处理5

6

表:

单元固端约束力（局部坐标系）

§10-悼6非结点跳荷载的良处理7计算诉步骤胆：（1）对结纲点和单志元进行唐编号，棋选定整乱体坐标耳系和局搁部坐标岭系；（2）计亲算各尤杆的潜单元悬刚度胁矩阵曲；（3）形成奴结构原汽始刚度宵矩阵；（4）计益算固等端力道、等猴效结臣点荷软载和渠综合言结点黎荷载茶；（5）引缘瑞入支卵承条脾件，摧修改苦结构宾原始寄刚度盆方程退，得琴到缩涨减总嫩刚；（6）结算炕结构刚拾度方程攻，求出蜂结点位忠移；（7）计算睬各单元朋杆端力框。§10垃-7矩阵吧位移号法的引计算灿步骤剂和示与例[K]求单元秘常数[T]{F}原始泄数据身、局超部码谊、总卷码解方牌程{F}=[K]{}求出结荷点位移{}开始单元刚度矩阵ke单元固端力e结束[K]{}={F}{FP}+=程序设计框图求杆端力eeee§10数-7矩阵尝位移委法的舌计算助步骤衰和示俗例123430KN/m100KN50KN2m2m4mxy②①③10柴-1求图示乎刚架的泛内力。哈已知各估杆材料然及截面总相同。（1）将单窜元、结河点编号鱼，确定棚坐标系绒，如图所炎示。（2）求工出各油单元爽在整膨体坐旦标系组中的斤单元刚度后矩阵，多见书P2斜47。（3）将尸各单宵刚子昌块对厨号入盯座，讯形成业结构标原始暑刚度磨矩阵捧，见崖书P24鼠8。（4）计算观非结点玩荷载作锐用下的汤各单元猜固端力浴、等效守结点荷控载及综合结点足荷载。对局部屯坐标和堆整体坐鼠标不一量致的单紫元，要埋对刚度丝式、荷载找进行坐玩标转换毅。§10-铲7矩阵额位移私法的梁计算付步骤衔和示岁例各单元帅在其局牺部坐标净系下的霞固端力晨为：§10-喝7矩阵肠位移反法的雅计算饼步骤师和示友例经过坐锋标转换赵，得到矩各单元饰在整体顾坐标系饮下的固悉端力为垫：§10-粥7矩阵位婚移法的彩计算步幻玉骤和示景例结点2、3上的等朝效结点逼荷载为督：结点2、3上的综浓合结点难荷载为粉：123430KN/m100KN50KN2m2m4mxy②①③§10-网7矩阵位蹲移法的也计算步艇骤和示双例结构的样结点外乔力列向途量为这里，F1和F4应为综龄合结点小荷载和权支座反湖力的代帅数和，隐其中支规座反力膝仍为未洗知量；都引入支袄承条件架时，F1和F4将被境划掉阿，因请此不歇必计震算其列等效店结点盗荷载句和综尿合结估点荷独载。结构亡原始佳刚度较方程颜见书P2肌56§10-许7矩阵位比移法的白计算步饶骤和示准例（5）引入酷支承条奖件，修桶改原始穷刚度方届程。结点1、4为固定啄端，位错移已知寒：代入原郊始刚度拖方程，怜得到修坏改后的叛结构刚彩度方程贯为§10型-7矩阵音位移杯法的吵计算委步骤泳和示暴例（6）解方坊程，求里得未知沟结点位袖移为：（7）计旋算各散单元胃杆端歌力，判见书P25帽8。§10谷-7矩阵冒位移接法的怀计算旅步骤岂和示摸例10胃-2平面门桁架克如图疫所示奇，各罩杆截声面EA均为见常数讲。已碰知F1=1捧5kN,F2=20kN,试求桁椒架各杆精轴力。解:(1稿)对结点之和单元锈编号cosαsinαα即Cy即Cx单元单元坐标x轴方向（即指示矩阵）单元长度(m)1→2①30°101.732②3→20°0.8660.52.00各单元参数表§10余-7矩阵位乓移法的冬计算步依骤和示添例(2熔)列出各付单元刚曲度矩阵整体坐困标表示敬的单元葛刚度矩乱阵§10愿-7矩阵责位移调法的乱计算远步骤陵和示塞例即

§10-蚀7矩阵位洽移法的含计算步织骤和示逝例(3)集合虾总刚产度矩业阵原始灭总刚守度矩像阵为嫂：

123取出不总刚味度矩论阵中聪与自按由结上点2相对粮应的打元素担（第2子块行途、第2子块凡列中语的元网素）,舍弃悄约束士结点悄所对互应的仰元素篇，得乖考虑锁约束割条件为后的倚总刚骆度矩盈阵变围成：§10-金7矩阵已位移闯法的狐计算珍步骤株和示药例(4步)建立刚甚度方程圈并求解F=KΔ解得结点中位移爆列向返量为(5)求杆否端力§10-辈7矩阵男位移萝法的叮计算居步骤传和示刘例单元①的单元缘瑞结点位服移向量豪为单元①的杆端力为§10锈-7矩阵铺位移艺法的毯计算柔步骤谎和示蒙例单元②的单元方结点位庸移向量素为结果妄的正导确性坏很容翅易从男结点2的平环衡条惕件判气断出农来。单元②的杆端妄力为§10球-7矩阵位扒移法的吉计算步民骤和示吃例解:(1)对应皮结点呜及各骄单元掏编号侧。例10-申3平面升刚架诸如图绘所示谁，各萄杆截暮面相绪同。A=0柄.2伞4正m2,E=1宇×1盆07kN刮/m2,I=0屡.0梁07香2撇m4，试求怨各杆端扛力，并雷画出内偿力图。§10向-7矩阵责位移粪法的符计算激步骤多和示升例Cx单元单元坐标x轴αCy1→3①45°14×105

0.12×105

②2→30°2.8285×105

0.0849×105

0°lEAB=lEIi=3→410.707110.7070.12×105

4×105

(2)列出单系元参数表§10-砖7矩阵许位移稼法的捐计算晃步骤鹿和示浮例整体塔坐标栏表示丽的单后元刚骂度矩喝阵公崇式(3)列出钻单元顾刚度灿矩阵§10-猎7矩阵位推移法的壳计算步乌骤和示泻例单元①，言③为：单元②为：§10-满7矩阵启位移旷法的让计算章步骤搭和示丙例(4雀)集合总碌刚123

4

§10赛-7矩阵相位移桐法的停计算贼步骤蕉和示德例(5恶)引入刷支座萍条件取出自抵由结点3所对得应的宵子块,构成考圆虑约束毁条件后冷的总刚醋度矩阵123

4

§10-卧7矩阵位耐移法的杠计算步菊骤和示垄例(6鄙)计算绸荷载返向量先求鸦出单财元3的非结物点荷载文引起的车固端内耕力，然毛后将固轻端内力姐反向加含到结点道上去。荷载向锤量为§10返-7矩阵位赤移法的中计算步比骤和示蒸例(7矩)建立结砌构刚度规方程并陷求解结构刚拖度方程铁为F=晓KΔ即由此解出u3=7.428×105v3=－48.285×10-5θ3=47.995×10-5所以舌结点担位移坡向量笨为：§10体-7矩阵位捎移法的旷计算步霸骤和示誉例(8挽)计算踏杆端缝力Δ(e)可根据吴单元两杏端结点弓号直接孟由结点截位移向启量Δ中取出§10完-7矩阵位承移法的测计算步石骤和示野例1)计算单叉元坐标益变换矩卖阵T(e)§10轿-7矩阵逆位移枝法的剥计算京步骤赖和示厨例2)计算各尾单元的甲单元坐性标表示于的单元前刚度矩护阵§10-苍7矩阵载位移舰法的我计算耳步骤均和示适例3)计算各权单元杆然端力向授量单元①§10-销7矩阵纠位移园法的沃计算谈步骤王和示持例单元②§10-克7矩阵位嚼移法的杆计算步妻骤和示即例单元③作用非哀结点荷罩载,固端蒙内力灯向量仇为§10-般7矩阵位遇移法的灶计算步徐骤和示用例(9驱)画出结危构内力粪图§10砌-7矩阵紫位移引法的影计算平步骤参和示朵例解:铲(1饱)整理荡原始饰数据猛并编丽号。腹各跨滤的线掉刚度希相等,i=EI／12。进行国结点猴编号图、位哗移编率号、咳单元兵编号郑。例10-昨4用矩截阵位正移法越计算盗图所满示的旋连续沫梁的诊内力左。EI=常数。(2供)建立许结点央位移越向量Δ§10海-7矩阵主位移遇法的悬计算况步骤状和示召例(3)建立臭各单哑元的昆定位芹向量各单元怪的单元烛定位向皱量分别裤由该单开元两端侍的位移咐编号组浅成:(4)计算单元刚度矩阵。连续梁购的单元嫁局部坐茅标系与想结构整谢体坐标大系平行托，0

1

12

23有§10闹-7矩阵关位移文法的脸计算夹步骤瓜和示爷例(5啊)集成整压体刚度宴矩阵K(注意翠定位茎与累奥加)011223；；；§10丑-7矩阵土位移套法的款计算龄步骤款和示隐例(6鸦)形成荷梦载向量F计算诸单元凳固端谁内力蕉；将菊固端急内力懂反向砍加到帖结点帽上去县；同一结授点上费同向晶的力摆叠加么而成喝。荷载向量为:§10陷-7矩阵位工移法的魔计算步畜骤和示冰例(7)建立结休构整体曲刚度方咸程，并购求解起结点葬位移通向Δ解得候结点文位移伙向量Δ为整体刚稀度方程K⊿=F§10-手7矩阵指位移斯法的错计算海步骤邪和示亩例(8)计算各搞杆的杆扶端内力由算得各毁杆的杆摄端内力热（弯矩晶）为§10畜-7矩阵位弃移法的殿计算步育骤和示锄例由各杆燥的杆端痒内力（士弯矩）轮，则可聪绘出弯跪矩图。允其结果昏与用力窝矩分父配法迅计算宅的结岗果相竿同。§10-宋7矩阵位摄移法的迹计算步沫骤和示增例例10燃-5平面桁阀架如图监所示，赢各杆截椒面EA均为常堆数。已摸知F1=20kN,F2=30kN,F3=40kN，试用第先处傲理法催求各抓杆轴黎力。解(1)对结袜点和咐单元芦编号疤。(2)列表表锈示各单沸元参数§10-点7矩阵位似移法的饶计算步迈骤和示酒例→→→→→→单元劳参数浇表§10-大7矩阵晒位移蜜法的淋计算忘步骤开和示槽例(3呢)列出各聪单元的她定位向车量

(4)列出橡各单兽元刚锅度矩敌阵(整体药坐标)并配以反定位向戏量。§10贺-7矩阵位苦移法的伴计算步辣骤和示挂例

0

0010123§10-归7矩阵位共移法的帆计算步就骤和示惭例23000000§10-昏7矩阵流位移殿法的姓计算稳步骤扒和示钞例0粥0摸2皇3§10-料7矩阵骆位移荷法的龙计算班步骤扎和示垦例0100§10啊-7矩阵物位移谷法的躁计算荣步骤瓜和示汇例(5稿)集成赔总刚更度矩圣阵按照默单元尤刚度桂矩阵纺各行词列对柔应的厘定位袖向量廉中的怕数值将该盘元素辞搬入税总刚脊阵中樱。得比：

123

§10-峡7矩阵俗位移筒法的胜计算遭步骤择和示扩例(6)建立汪刚度南方程升并求析解刚度方摄程为：即解出§10-鄙7矩阵席位移特法的肃计算薄步骤衣和示拼例结点缠位移淡向量迎为(7)计算单章元杆端适力（拉）由公式F(e)=K(e)

T(e)

Δ(e)，得§10-匹7矩阵沃位移仿法的较计算勺步骤棒和示或例单元②（拉）§10-巩7矩阵饺位移音法的扩计算弱步骤厉和示欢例单元⑤(压)

§10软-7矩阵吼位移峡法的暂计算缓步骤竟和示劳例其他给单元醋计算泻过程疫从略晃，结斤果为

④单元⑥单元

(拉)

单元③单元(压）§10量-7矩阵位销移法的闪计算步派骤和示叉例对于挑平面清刚架牌单元爸，若跑单元支上作捧用着烤非结鉴点荷约载，辰则单袋元的杆雅端力涂将由律两部仙分构言成。唯一部早分是叼由结碑点位认移所领引起的，月另一闪部分泥是非配结点棵荷载傻作用警而直乖接引发起的稻杆端山力,即固芳端内铅力。单元的杆端力将是两部分之和,即这就是及计算杆闷端力的喊完整的灭公式。固端恼内力洪向量可由固货端内力窜表查得妄。§10舍-7矩阵位锄移法的戚计算步服骤和示料例1、结关点位谈移分仗量的贿编号亚，单柏元定掀位向丈量(2)对位遇移编梢号时这，按暮结点完的顺予序进裳行，今一个葡结点扭内的叉编号篇又按x方向得、y方向脉的线牲位移贤和转虚角顺疑序进副行。(1)对每一母个结点抛编号，损还要对璃每一个杏位移也丙编号。恨凡是约病束对应猎的位移裕编为零展号。结点位架移编号脱数组中毒的最后尘一个数采就表示厚了该结左构未知应数的数叨目。编号:§10旷-8几点补赠充说明建立各痰单元的定位向邪量单元捏的定吃位向撤量λ(e)：把某继一单摊元两像端结博点所拥对应味的位移号屈按照由扛始端尤到末叠端的里次序欺所列羊成的忙列向蛙量称两为该粥单元员的定焦位向触量。图示刚旦架各单挨元的定删位向量蓄为：§10-换8几点补吐充说明形成总善刚度矩五阵思考:定位向车量中“办零”所镰对应的葛单元刚污度矩阵垃中的元径素搬入剧总刚度孕矩阵中惠何位置厚？按定位橡向量所择指示的疫位置把足单元刚刮度矩阵药中的各掏元素搬惧入总刚川度矩阵§10仰-8几点利补充城说明2、总刚遮的带宽茧与存储贷方式结构垄的总驶刚度首矩阵蜂具有喷大量员的零元素，这垮种矩掏阵称质为稀疏舞矩阵。同时抬，那些贵非零元库素通常请集中在约主对角瓣线附近班的斜带剧形区域远内，成咬为带状究矩阵在带鞭状矩拾阵中寺，每睁行(列)从主灯对角渡线元造素起脸至该层行(列)最外废一个忙非零叙元素帐止所届包含予的元双素个羊数，抱成为阁该行(列)的带宽。某行(列)带宽=该行(列)结点位滔移分量涨号-最小相旧关结点进位移分蒜量号+1所有各凤行(列)带宽中柏的最大岩值称为你矩阵的最大带注宽最大访带宽=相关时结点点位移汁分量姐号的陆最大披差值+1等带友宽存沙贮满阵存慎贮§10屯-8几点则补充悬说明634512135642（1,2,3）（4,5,6）（7,8,9）（13,14,15）（10,11,12）（16,17,18）§10-盛8几点补字充说明等半带片宽与结逼点编睡码有孤关19层12343940总刚占怪用存贮盏单元:122021401922总刚占种用存贮培单元:39最大带臂宽=(相关虎结点掉编号扮的最阻大差蠢值+1)×3即:最大带腐宽＝［ma句x(化j-妥i)林+1］×3§10盲-8几点螺补充绸说明3、关于昨支承条挺件的引疼入(1)置大浴数法盾（N为一托个充那分大趴的数惯）做法:取大数N,总刚中元素乘以N;并用替换§10-握8几点补不充说明(2喝)化零置抄一法（倍精确方早法）做法:(1)用[中的第i列]代替(2)将总屡刚中践第i行第i列的非假主对角露元素置0;(3)将总刚中主对角元素置为1,总荷中元素置成c经边界番条件处若理后的挂总刚称疯为结构配刚度业矩阵§10蚕-8几点流补充滋说明★关于贞斜边罪界的斩处理如图示胡意的斜屠支座情芽况，有既多种处掩理方案洲。1)通过锄单元广的坐饭标转远换来岸处理xyr2)通过增笼加一个胜单元来包处理3)对整体滚刚度矩巩阵进行衫处理(参见砍有关透教材)图示大有斜闯支座请单元载，r结点峡处以忙倾角-斧来进栗行坐斯标转定换，塔也即劳在r结点晒处整嘴体坐体标为忽图示xy。图示有网斜支座活单元，r结点恋处沿y方向脆增加准一个驴刚结杂的单鸽元，此单诵元有“无侦穷大劫”的袍抗拉段刚度区、但没有葵抗弯刚虑度。单仰元长度鸣可任意战。§10宜-8几点补晴充说明4、铰结矩点的处汁理(1)传统艳位移窑法:不把铰杂结端的坡转角作渴为未知渡量(2)引用失具有幕铰结根端的共单元奖刚度爱矩阵(3弄)将各铰霞结端的械转角均衣作为基限本未知效量求解(4)主从呼关系§10书-8几点忙补充婆说明5、先佣处理咸支承俊条件税及忽送略轴慌向变洗形影止响先处理痒法：将约束切已经消桨除的结尺点位移锹排除在吵刚度方状程之外涝。集成患总刚度接矩阵时洁根本不幅需考虑践约束结喉点的存岸在。目脆的是减膀少未知摸数的数趣目，缩漂小总刚素度矩阵块的体积滴，减少杜计算工霜作量。§10旺-8几点补备充说明集成丸总刚耐阵时袍必须杆使用矩整体暮坐标报表示你的单剧元刚句度矩济阵。用先处扭理法集惕成总刚趁阵时必但须先建移立各单换元的定潜位向量λ根据定订位向量懂的指引卡将单刚方阵中的枕元素逐饲个搬入公总刚度线矩阵中羡。用后处轧理法集拒成总刚胞阵时必毒须先集盾成原始椅总刚度薪矩阵。厚集成原塑始总刚珠阵时应恭根据结野点编号催情况指梳示矩阵G以子新块搬接家的猴方式坛将单敲刚阵链中的趴子块详逐个竟搬入枯总刚裂度矩院阵中键。§10-勇8几点补戒充说明如不丹考虑婚轴向券变形捎的单匠元由6×6刚度矩仪阵划去1、4行和通列后深可得§10-奔8几点冈补充骑说明平面刚船架程序虾的扩大衡功能:1.平面势桁架2.桁梁吨组合解体系3.斜向支侦座4.弹性支牙座5.弹性菊地基6.带铰无结点缎的刚头架§10伙-8几点补方充说明总夏结矩阵位愁移法与烂位移法谈在理论软上并无摇区别，只是冶在表恐达方购式上艳有所岸不同填。(1趣)矩阵帽位移家法的害理论遇基础锡与一而般位晚移法叔完全撕相同惯，只鲁是表达方式晚不同。隔用矩阵回形式表蓬示具有迈更强的贱概括性堡。(2触)总刚度巾矩阵是忍由各单袖元刚度缺矩阵装嘴配成的果，只要喊找出了装配逮的规落律，棒总刚窜度矩洒阵不瓜必计隶算而念可直汇接由例单元伸刚度尤矩阵伙装配膊而成惧。(3)矩阵律位移歌法与侍一般盒位移绍法解蒜题步音骤的隶对应蔬关系洲可以贩由下表表条示：总粱结一、龙基本宽概念结构矩料阵分析绿是采用乔矩阵方佛法分析觉结构力竿学问题冻的一种愤方法。湿与传统闸的力法卵、位移眼法相对沃应，在隆结构矩荐阵分析卡中也有落矩阵力恳法和矩眠阵位移转法，或积柔度法蕉与刚度夜法。矩层阵位移启法易于卫实现计坐算过程音程序化援而被广发泛应用危。矩阵位伯移法是他结构力喉学中的诱位移法悟加上矩垃阵方法据。矩阵条位移法界的基本经未知量宁也是结神点位移——独立危的线注位移傻和转偿角。热但由轧于有翻时考晨虑杆腹件的哄轴向谨变形轿，且恒把杆秤件铰豪结端淡的转商角也们作为狐基本刺未知筛量，浅因此汇，基霸本未施知量搬数目肥比传分统位朝移法木的基尼本未中知量凭多一泊些。总脚结矩阵音位移瓶法的业基本鉴思路萝是:(1旱)先把粮结构赞离散龟成单文元，述进行兵单元粉分析,建立单蛾元杆端浅力与杆沟端位移夹之间的太关系；(2)在单懂元分仁析的稼基础旋上，外考虑酬结构斑的几她何条杆件和价平衡异条件眨，将跟这些巷离散忆单元琴组合凑成原穿来的隐结构颂，进吸行整敢体分梳析，流建立织结构帆的结顶点力聚与结遭点位挽移之成间的廉关系奖，即娱结构处的总战刚度笨方程滔，进委而求爱解结贯构的随结点膀位移柿和单处元杆肤端力源。在从愁单元色分析众到整照体分拴析的荣计算付过程忠中，她全部奸采用扯矩阵觉运算个。总扭结集成睬总刚邻度矩秩阵最砌常用费的方裙法是员直接说刚度篇法，擦即由冈单元墓刚度宣矩阵遗直接领集成怕结构梯刚度划矩阵协，又麦可分虫为后棕处理抢法和茂先处铃理法资。1.后处理血法(1煌)集成扰。对所其有单芝元不锅做边供界条亡件处份理，肺均采较用自氏由式狂的单供元刚对度矩误阵，弟按单情元的拴结点饿编号躺将单尚元刚公度矩拢阵分闲为四峰个子陶块（眨阶数槽相同赵），氏逐块啦地将碎结点梁所对些应的子块在结迫构的裙原始蝇刚度称矩阵坡中对细号入侧座，排形成棒结构惯的原进始刚辈度矩斜阵。认由于皂结点起位移鸡分量亚中包馆括了阳非自株由结住点的扔已知均位移椅，原勿始刚喇度矩棵阵为纽奉奇异侨的，谋需进宣行边壶界条筋件处互理，广才能抬求解声自由哈结点困位移闭。由辆于原纵始刚斗度矩餐阵的待阶数守较高丝式，所士以后功处理善法的浊主要倒缺点粒是占悟用较伏多的以计算歇机内筝存。二、总丈刚度矩律阵的集毅成及约丽束处理总取结对于每湖个结点抄位移分承量数相观同的结丝式构，原社始刚度绣矩阵的摄阶数为限结构的努总结点困数乘以屠结点位假移分量蚂的数目终，例如买，每个换结点位尚移分量盐数为3的平面请刚架，方结构原勺始刚度附矩阵的个阶数为3n×3n。总寻结对于典刚性哥支座辛，用有划行抽划列庄法处驰理刚钥性支稿座，备即直植接划迅去原饭始刚判度方利程中劳与零嘱位移镇对应造的行置和列列。这森样做椅有时景要改挤变原香方程误的排柜列顺乳序,会给编至程带来锹麻烦。挣为了不抹改变原柿方程的翠排列顺歇序，同萌时又要概引入边吩界条件,采用替“主锐一副享零”偏法。（2）边界条锹件处理设结倡点位葵移向体量中占第r个位移泡等于零,即r=0，则在册结构的街原始刚劫度矩阵k中的惜第r行第r列中片主对缴角元橡素krr改为1其余元禽素改为例零。同款时将结希点结点墙荷载列严向量P中的隙第r个分饱量也帐改为量零。培即总悟结对于扇支座凯位移左等于谈给定匆值时县，采逮用“技乘大袖数法庸”。器设结托点位钥移向驱量中师第r个位移款等于d0，在矩驴阵K与向周量P中，主检对角元语素krr改为Gkrr，将Pr改为d0Gkrr，其川中G为一裁大数仙通常哗取108～1010。，总岁结单元卡定位仍向量穴：按单雾元连彻接结拼点编坏号顺肉序由艺结点羞未知选位移常编号迷组成炮的向削量。2.先处踪蝶理法(1)集成内。将单台元刚现度矩承阵先尊按边抛界条乡丰件进粒行处聪理,然后按墓照单元袜连接结芝点的总籍位移编塞号将单娱元刚度蹈矩阵的毒元素在芳结构的与刚度矩帆阵中对厦号入座汗，形成责总刚后忘即可进外行求解岁。上述洋过程可扰通过引从入定位蒙向量来痕实现。沟在单元赵定位向颗量中考遮虑边界蹈条件，衫凡给定俩的结点毒位移分俩量，其织位移总薪码均编险为零，腿