广西壮族自治区桂林市新世纪高级中学2022年高三数学理下学期期末试题含解析

广西壮族自治区桂林市新世纪高级中学2022年高三数学理下学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知x=，y=log52，z=ln3，则(

)A．x＜y＜z B．z＜x＜y C．y＜z＜x D．y＜x＜z参考答案：D【考点】对数值大小的比较．【专题】函数的性质及应用．【分析】利用指数函数和对数函数的单调性即可得出．【解答】解：∵，=，z=ln3＞lne=1．∴z＞x＞y．故选：D．【点评】本题考查了指数函数和对数函数的单调性，属于基础题．2.设函数（，为自然对数的底数）,定义在R上的函数满足，且当时，．若存在，且为函数的一个零点，则实数a的取值范围为（

）A. B. C. D.参考答案：D【分析】先构造函数，由题意判断出函数的奇偶性，再对函数求导，判断其单调性，进而可求出结果.【详解】构造函数，因为，所以，所以为奇函数，当时，，所以在上单调递减，所以R上单调递减.因为存在，所以，所以，化简得，所以，即令，因为为函数的一个零点，所以在时有一个零点因为当时，，所以函数在时单调递减，由选项知，，又因为，所以要使在时有一个零点，只需使，解得，所以a的取值范围为，故选D.【点睛】本题主要考查函数与方程的综合问题，难度较大.3.已知集合，，则A.

B.

C.

D.参考答案：D略4.一个棱锥的三视图如图所示，则这个棱锥的体积是（A）（B）（C）（D）参考答案：B略5.设为锐角，，若与共线，则角（

）A．15°

B．30°

C．45°

D．60°参考答案：B6.已知全集是实数集R，M＝{x|x<1}，N＝{1,2,3,4}，则等于(

)

A．{4}

B．{3,4}

C．{2,3,4}

D．{1,2,3,4}参考答案：D略7.在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，若垂直且，当△ABC面积为时，则b等于（

）A．1

B．4

C．

D．2参考答案：D8.已知函数f（x）=﹣log2x，在下列区间中，包含f（x）零点的区间是(

)A．（0，1） B．（1，2） C．（2，4） D．（4，+∞）参考答案：C【考点】函数零点的判定定理．【专题】函数的性质及应用．【分析】可得f（2）=2＞0，f（4）=﹣＜0，由零点的判定定理可得．【解答】解：∵f（x）=﹣log2x，∴f（2）=2＞0，f（4）=﹣＜0，满足f（2）f（4）＜0，∴f（x）在区间（2，4）内必有零点，故选：C【点评】本题考查还是零点的判断，属基础题．9.函数在定义域R内可导，若，且当时，。设则（

）A

B

C

D

10、参考答案：B10.记不等式组表示的区域为，点的坐标为.有下面四个命题：，； ，；，； ，.其中的真命题是（

）A．，

B．，

C.，

D．，参考答案：A二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知命题：，．则命题的否定：

．参考答案：（3分），略12.点M（x，y）是不等式组表示的平面区域Ω内的一动点，且不等式2x﹣y+m≤0恒成立，则m的取值范围是．参考答案：【考点】7C：简单线性规划．【分析】由约束条件作出可行域，把m≤﹣2x+y恒成立转化为m≤（y﹣2x）min，设z=y﹣2x，利用线性规划知识求出z的最小值得答案．【解答】解：由约束条件作出可行域如图，由m≤﹣2x+y恒成立，则m≤（y﹣2x）min，设z=y﹣2x，则直线y=2x+z在点A处纵截距最小为，∴．故答案为：．13.某程序框图如上（右）图所示，该程序运行后输出的的值是

．

参考答案：14.若函数对定义域的每一个值，在其定义域内都存在唯一的，使成立，则称该函数为“依赖函数”．给出以下命题：①是“依赖函数”；②（）是“依赖函数”；③是“依赖函数”；④是“依赖函数”；⑤，都是“依赖函数”，且定义域相同，则是“依赖函数”．其中所有真命题的序号是_____________．参考答案：②③略15.极坐标与参数方程）以直角坐标系的原点为极点，轴的正半轴为极轴，已知直线、的极坐标方程分别为，，直线的参数方程为（为参数），则直线、、所围成的面积为____________.参考答案：略16.已知正项等比数列{an}的前n项和为Sn，且a1a2a3=216，a4=24，若不等式λ≤1+Sn对一切n∈N*恒成立，则实数λ的最大值为

．参考答案：4【考点】数列的应用；数列与不等式的综合．【分析】求出数列的公比，求出前n项和，利用不等式求解最值即可．【解答】解：正项等比数列{an}的前n项和为Sn，且a1a2a3=216，a4=24，可得a23=216．可得a2=6．q=2．a1=3．Sn==3×2n﹣3．不等式λ≤1+Sn=3×2n﹣2对一切n∈N*恒成立，可得λ≤4．则实数λ的最大值为：4．故答案为：4．17.设f(x)是定义在R上且周期为2的函数，在区间[?1,1)上，

其中a∈R，若，则f(5a)的值是

．参考答案：由题意得，，

由可得，则，

则．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.设函数f（x）=lnx+m（x2﹣x），m∈R．（Ⅰ）当m=﹣1时，求函数f（x）的最值；（Ⅱ）若函数f（x）有极值点，求m的取值范围．参考答案：【考点】6D：利用导数研究函数的极值；6K：导数在最大值、最小值问题中的应用．【分析】（Ⅰ）当m=﹣1时，求出函数的导数判断导函数的符号，然后求解函数的最值．（Ⅱ）令，x∈（0，+∞），通过当m=0时，当m＞0时，①若0＜m≤8，②若m＞8时分别判断导函数的符号，求出函数的极值求解a的范围即可．【解答】解：（Ⅰ）当m=﹣1时，，x∈（0，+∞），当x∈（0，1）时，f'（x）＞0，f（x）单调递增；当x∈（1，+∞）时，f'（x）＜0，f（x）单调递减，所以函数f（x）在x=1处取得极大值，也是最大值，且f（x）max=f（1）=0．（Ⅱ）令，x∈（0，+∞），当m=0时，，函数f（x）在x∈（0，+∞）上递增，无极值点；当m＞0时，设g（x）=2mx2﹣mx+1，△=m2﹣8m．①若0＜m≤8，△≤0，f'（x）≥0，函数f（x）在x∈（0，+∞）上递增，无极值点；②若m＞8时，△＞0，设方程2mx2﹣mx+1=0的两个根为x1，x2（不妨设x1＜x2），因为，g（0）=1＞0，所以，，所以当x∈（0，x1），f'（x）＞0，函数f（x）递增；当x∈（x1，x2），f'（x）＜0，函数f（x）递减；当x∈（x2，+∞），f'（x）＞0，函数f（x）递增；因此函数有两个极值点．当m＜0时，△＞0，由g（0）=1＞0，可得x1＜0，所以当x∈（0，x2），f'（x）＞0，函数f（x）递增；当x∈（x2，+∞）时，f'（x）＜0，函数f（x）递减；因此函数有一个极值点．综上，函数有一个极值时m＜0；函数有两个极值点时m＞8．19.（13分）已知抛物线C:，过定点，作直线交抛物线于（点在第一象限）.（Ⅰ）当点A是抛物线C的焦点，且弦长时，求直线的方程；（Ⅱ）设点关于轴的对称点为，直线交轴于点，且.求证：点B的坐标是并求点到直线的距离的取值范围.参考答案：解析：（Ⅰ）由抛物线C:得抛物线的焦点坐标为，设直线的方程为：，. ………………1分由得.所以，.因为，…3分所以.所以.即.所以直线的方程为：或.

………5分（Ⅱ）设，，则.由得.因为，所以，.……7分

（ⅰ）设，则.

由题意知：∥，.即.

显然

…9分（ⅱ）由题意知：为等腰直角三角形，，即，即....，. ………………11分

.即的取值范围是.

………13分20.(本小题满分13分）已知点D为ΔABC的边BC上一点.且BD=2DC,=750，=30°,AD=.(I)求CD的长；(II)求ΔABC的面积参考答案：解：（I）因为，所以在中，，根据正弦定理有

……4分所以

……6分

（II）所以

……7分又在中，

，

……9分

所以

……12分所以

……13分同理，根据根据正弦定理有

而

……8分所以

……10分又，

……11分21.已知中心在原点，对称轴为坐标轴的椭圆C的一个焦点在抛物线的准线上，且椭圆C过点.（I）求椭圆C的方程；（II）点A为椭圆C的右顶点，过点作直线与椭圆C相交于E，F两点，直线AE,AF与直线分别交于不同的两点M,N，求的取值范围.参考答案：解：（Ⅰ）抛物线的准线方程为：……………1分设椭圆的方程为，则依题意得，解得，.所以椭圆的方程为.

………………3分（Ⅱ）显然点.（1）当直线的斜率不存在时，不妨设点在轴上方，易得，，所以.

………………5分（2）当直线的斜率存在时，由题意可设直线的方程为，,显然时，不符合题意.由得.…6分则.……………7分直线，的方程分别为：，令，则.所以，.

………9分所以.

…11分

因为，所以，所以，即.

综上所述，的取值范围是.

………13分

略22.（13分）已知集合A={x|（x﹣2）[x﹣（3a+1）]＜0}，B={x|2a＜x＜a2+1}．（Ⅰ）当a=﹣2时，求A∪B；（Ⅱ）求使B?A的实数a的取值范围．参考答案：【考点】集合的包含关系判断及应用；并集及其运算．【专题】分类讨论；分类法；集合．【分析】由已知中集合A={x|（x﹣2）（x﹣3a﹣1）＜0}，集合B={x|（x﹣2a）（x﹣a2﹣1）＜0}，我们先对a进行分类讨论后，求出集合A，B，再由B?A，我们易构造出一个关于a的不等式组，解不等式组，即可得到实数a的取值范围【解答】（Ⅰ）解：当a=﹣2时，A={x|﹣5＜x＜2}，B={x|﹣4＜x＜5}，∴A∪B={x|﹣5＜x＜5}．（Ⅱ）∵B={x|2a＜x＜a2+1}当时，2＞3a+1，A={