桥梁地震反应反应谱

第四章桥梁地震反应分析本章教学内容

反应谱分析方法动力时程分析方法(线性/非线性)

静力弹塑性分析方法(Pushover)反应谱分析方法1SDOF体系在地震作用下动力方程绝对位移相对位移地震位移时程地震加速度时程（已知）地震输入（已知）结构响应（待求）外荷载：01SDOF体系在地震作用下动力方程恢复力阻尼力惯性力应用D’Alembert原理1SDOF体系在地震作用下动力方程2SDOF体系地震反应数值计算方法Duhamel积分方法线性加速度法中心差分法

Newmark-β法

Wilson-θ法2.1Duhamel积分求解瞬时冲量引起的自由振动瞬时冲量S=P.dt作用在静止物体上初速度v0=S/m初位移x0=0根据有阻尼自由振动通解，有2.1Duhamel积分求解任一动力荷载加载过程可以看作由一系列的瞬时冲量组成，根据线性微分方程的特性，可以运用叠加原理，把各个瞬时冲量单独作用下的动力反应求出，然后再叠加求得总的动力反应微冲量由于地面运动加速度是极不规则的，上式一般无闭合解，需要借助数值积分方法求解，如Simpson法则（参见《结构动力学》（R.W.Clough&J.Penzien））2.1Duhamel积分求解假设加速度在[t,t+Δt]内线性变化2.2线性加速度法求解上式写为其中2.2线性加速度法求解2.3线性加速度法的数值稳定性

稳定性的含义，当满足稳定性条件时，计算值u为有限值；当不满足稳定性条件时，随着t→∞，u→∞。

稳定性条件2.3Newmark-β法求解2.4Newmark-β法求解2.5Newmark-β法的求解步骤2.6Newmark-β法的数值稳定性2.7编程算例(Newmark-β)计算算例——SDOF系统在ElCentro地震作用下的反应分析结果图形输出计算结毫果2.8投Wi磨lso纱n-θ法2.艳8山Wi苦ls询on窝-θ法2.瞎8态Wi糊ls跨on根-θ法2.9斩Wi裳lso颤n-θ法的求遵解步骤2.9潜Wi惹lso钓n-θ法的当数值扑稳定钓性3.1反应谱抚的概念地震地敏面运动柳具有随飞机性、偿不规则卧性，对刚于工程微抗震设晕计而言谅，更关搜心结构些反应猪的最醒大值非。质点绝窝对加速您度质点最蓝大地震扫作用3.智1反应拼谱的迁概念具有价不同剑周期王（Ti，频傅率为ωi）、阻仿尼比为ζ的一组SD锁OF体系,在给起定的毒地震观动过哈程x’’g(t市)的作用抛下,各质诞点体担系的最大绝乳对加速乘度反应陵记为Sa,以周号期T为横坐搜标、Sa为纵降坐标姑，画雅出的浅曲线萍就是净阻尼陷比ζ的SD谷OF体系貌在为x’’g(t)作用公下的加速度裳反应谱换。周期TT1T2Ti3.捞1反应旗谱的说概念加速朴度反幼应谱速度反蹈应谱位移反陪应谱3.1反应镰谱的攀概念SD舞OF系统地绕震反应Duh阻ame予l积分阔解3.1反应谱博的概念当ζ<<13.技1反应谱挨的概念当ζ<<脖13.1反应谱离的概念3.1反应换谱的终概念若令伪抄速度反搏应谱为则有与一般缎相差彼不大3.披2反应谱嫌的特性1、绝对榆刚性结寨构物(T0)2、无限话柔性结厘构物(T∞)3、高频银段取决犯于地震舒动最大击加速度PGA轧,中频笼段取线决于牛地震菜动最胀大速厦度PGV本,低频阀段取请决于幅地震难动最缺大位陡移PG岂A。4、阻尼腿比对反乓应谱的感影响3.努3规范泽反应贩谱由于介地震纵记录氧具有很强遭的随顷机性，受多隙种因素喊影响，页如场地船条件府、震嘉中距宁、震刺源深妹度、膊震级含、震森源机割制、课传播斥路径等，使权得不同以的地震棵记录得例到反应奴谱也具桶有很强放的随机座性，由大量签地震陶记录输入得倍到的反据应谱曲获线经平均、毯光滑、伸拟合后，克可得幕到工鸟程设西计使躬用的规范顶反应甲谱曲膊线。3.劫3规范反针应谱（1）动王力放吃大系蜡数反瘦应谱列（铁虎路工良程抗塑震设捷计规叫范）（2）地震盼影响系诱数反应监谱（建摘筑抗震葛设计规鹿范）动力涌放大赶系数地震影严响系数地震系渐数3.理3.础1公路桥艺梁抗震箩设计细漏则邮（JTG侵_T腥B02垮-01妙-20向08）反应轧谱水平绞设计欣加速旧反应助谱（历阻尼宽比为0.0缎5）3.3殃.1公路桥涂梁抗震即设计细优则夕（JTG秘_T教B02叠-01且-20遭08）反应录谱Ci-抗震碍重要丝式性系市数Cs-场地魔系数Cd-阻尼未比调骆整系窝数A－水平书向设计围基本地底震动峰另值3.3裙.2加速变度反诊应谱柄特征晨周期Tg3.3呢.3抗震妈重要手性系画数Ci3.3扎.4场地厉系数Cs3.3赢.5阻尼藏调整艰系数Cd3.3斥.6竖向设程计加速挖度反应逼谱3.秒6铁路俭工程盒抗震次设计浇规范赔（GB5讲011汗1-2趁006）反舰应谱3.约6铁路开工程朋抗震显设计馅规范鸣（GB森50属11炼1-饼20存06）反应五谱4多自效由度速体系钳（MDO羡F）的复地震店反应运动方振程自振特侮性（自纵振周期求、自振拜振型）振型梨正交鸣性振型蒸分解务（叠捧加）愿法振型翅分解搞反应筝谱法4.1杀MD少OF体系投的运握动方葵程牛顿第嗓二定律谨；直接平清衡法(d起’如Al笨em碰be唤r)；虚位移报原理；Ha臂mi物lt串on方程峰；运动的Lag听ran竞ge方程4.1抖.1直接姻平衡甘法N个自由仰度体系离吴散成N个质点—弹簧模钢型。4.1痒.1直接平盼衡法应用d’Al凝em华be刻r原理fIi—惯性兆力；fDi—阻尼敲力；fsi—弹性益恢复黎力；pi—外力。共有N个方讽程，浅上式静也可戴以写蚀成矩液阵形恋式。4.阀1.写1直接刷平衡益法结构体拔系的运完动方程提可以用弹矩阵的隙形式表寄示为：[M]—质量矩横阵；[C]—阻尼矩后阵；[K]—刚度本矩阵乒；{p(t)}—外荷斤载向颗量。4.1表.2水平地屈震作用公下MDO智F体系显运动绝方程m1m2m3k1k2k3m1m2m3miu1u2u3ugfIifSifDi4.伸2多自衡由度纳体系宋的自恨振振取型和些自振龙频率振型就是篇结构舍体系打在无悬外荷早载作裂用时迈的自链由振卡动时旁的位吹移形纤态;N个自由堂度体系属有N个不涨同的汁振型克。当结重构按胳某一云振型银振动皱时，丑自振钓频率唉是与贤之相绳对应择的常狐量。燃因此拜对N个自由誉度体系饶，一般俊情况下裂有个N个自振愉频率。结构的锁振型和嫌自振频廊率是结画构的固烟有特性霞，和单寨自由度扎一样是疲反映结毯构动力网特性的骡主要量岔。因此钻在讲到业结构动尺力特性财时，首鼓先想到隙的就是锅结构的惧自振振原型和频军率。4.鸟2多自由鹿度体系彩的自振巡寿振型和腔自振频略率结构的吧自振振所型和频枝率，可番通过分轮析结构秧的无阻灰尼自由仅振动方萄程获得吊。多自巨由度聚体系灰无阻咱尼自坊由振胳动的樱方程桐为：其中[M]、[K]为N×N阶的荐质量音和刚须度矩狐阵，{u}和{ü}是N阶位移愧和加速型度（或菌广义坐闭标）向纸量，{0}是N阶零向爹量。上式殖是体亮系作革自由贱振动傅时必颂须满善足的却控制概方程别，下瞧面分借析当娘位移摧向量{u}是什么定形式时借可以满梳足此式奔要求。4.完2多自深由度弯体系嚼的自拣振振库型和岩自振议频率根据单俯自由度第体系自举由振动宴的经验枪，设多组自由度痒体系在大进行自止由振动衫时也是群在作简非谐振动谷，多自厦由度体洞系的振腰动形式厉可写为垫：{φ}—表示体示系位移霸形状向缸量，它将仅与坐畅标位置床有关，不随时啊间变化缠，称为振型。ω—简谐左振动税的频敏率，θ—相位城角。上式财对时愉间求守两次溜导数滑可得4.2多自由忍度体系揉的自振摆振型和准自振频拔率将位移伏向量{u}和加榴速度香向量{ü}代入无蒸阻尼自驳由振动铅方程：因为si拥n(床ωt+θ)为任较意的俭，可工以消偷去，刚因此壶：上式是圈关于{φ}的N阶齐次象线性方论程组，表征旺了振队型和境自振汉频率耻的关伐系，称猎为运动闸方程班的特俘征方倘程。由特域征方际程可输解得ω和{φ}。4.联2多自宰由度向体系棉的自挺振振县型和炕自振寇频率特征岛方程别存在娃非零伶解的搅充分功必要错条件迈是系育数行管列式腿等于屑零：是一先关于ω的多道项式撤，称肉为频率方放程。将刚眯度阵斑和质凑量阵剥代入秤得频拜率方糊程的破具体石形式粪：4.记2多自避由度矿体系撒的自庸振振即型和挎自振鸭频率对于稳厉定结构炒体系，恋其质量勇阵与刚输度阵具假有实对称载性和正定症性，所以袖相应的西频率方污程的根钟都是正黎实根。址对于N个自丸由度桨的体虑系，傲频率纷方程港是关续于ω2的N次方逃程，由此可挨以解得N个根（ω12<ω22<ω32…<ωN2）。ωn（n=1,撕2,听…,N）即裂为体快系的自振频苹率。其巴中量毅值最笼小的茂频率ω1叫基本葛频率（相应弓的周期T1=2尺π/ω1叫基本月周期）。从以垃上分枯析可眨知，纹多自码由度怀体系诞只能步按一咐些特除定的尾频率朽即按染自振吼频率欢做自筑由振厕动。格按某凭一自线振频史率振缸动时朋，结宝构将侨保持导一固伏定的介形状仪，称境为自狐振振劝型，勺或简进称振乓型。4.2多自挎由度沫体系瞧的自碍振振赔型和拣自振扬频率把相应逮的自振浸频率ωn代入圾运动卷方程络的特蓄征方鸣程得倦到振桥型{φ}n={φ1n，φ2n，…，φNn}T—体系的n阶振驳型群。◆由于止特征酷方程牙的齐绣次性阿（线献性方寇程组避是线剧性相沿关的樱），嗽振型狐向量卵是不议定的租，只损有人县为给看定向外量中景的某塘一值瓶，例唱如令φ1n=1，才能碧确定其厅余的值借。◆实际求许解时就灶是令振寺型向量素中的某游一分量凭取定值炉后才能马求解。棒虽然令船不同的村分量等修于不同侮的量，格得到的柴振型在撑量值上宁会不一选样，但迁其比例关程系是不基变的。◆所谓振体型就是谨结构不办同点（功自由度沉）变化趴时的比超例关系郑。4.锦2多自勾由度津体系疼的自布振振泳型和固自振哥频率在结愈构动撒力分拾析中票，有菌时需创要按易某一湖标准滴将振镇型归一化，或称标准化，给煌出标四准振故型或庆归一宫化振顽型，歼通常轰有三千种方肝法：(1旧)特定坐您标的归勤一化方悠法。指仰定振型号向量中称的某一误坐标值铸为1，其它兼元素值奴按比例蜻确定。(2买)最大位韵移值的坟归一化岸方法，篇将振型弊向量中继各元素盘除以最睡大值。(3)正交拦归一妈化。以后握讲到唉振型迫正交缎性时国可以载发现按(3反)定义汉的振拜型满痕足关征于质锣量矩栋阵[M]的内妹积为1的条件速。4.深2多自由慈度体系驴的自振飘振型和盲自振频怖率以上锡分析陪方法木就是可代数胃方程痰中的特征值喇分析，自振频演率相应西于特征值，而振型即是特征向浆量。得到沸体系妻的N个自振击频率和坟振型后寻，可以吉把振型域和自振蚊频率分摄别写成涉矩阵的兔形式，其中，ωn—n阶自振年频率，{φ}n—n阶振型故。[Φ]和[Ω]也分六别称如为振型绳矩阵和谱矩查阵。4.笑2多自由怜度体系厘的自振溉振型和汉自振频超率算例1如图(a迈)所示火三层俯框架奸结构淡，各杜楼层跨的质王量和惧层间副刚度政示于纸图中稻，确戚定结乖构的票自振活频率春和振扣型（Clo明ugh书中从的例偶题，观为英驻制，碎以下朋计算台中不塑写单佛位，埋但均不满足记统一震的单营位；卷同时消将自您由度ui按楼层费的序号贸排）结构引模型梳及各夫刚度饼元素舰：4.2多自桨由度鸣体系殿的自艰振振掏型和既自振涌频率算例1结构的桂质量阵三、刚度持阵：4.2多自由捷度体系泼的自振稿振型和惊自振频闸率算例1运动童方程姻的特途征方显程：频率方场程：4.庸2多自验由度赴体系秒的自确振振迁型和辅自振欠频率算例1由频粘率方少程得到三减个根：利用社关系变式可得结泽构的三萌个自振起频率：4.抢2多自由晌度体系植的自振笋振型和往自振频惊率算例1根据运疼动方程睛的特征以方程求碌振型：设φ3n=1，则则振型挠方程为脊：4.2多自吃由度象体系食的自津振振皇型和喊自振暑频率算例1振型方手程：以上虫三个肤代数激方程林中仅婶有两臭个是帝独立结的，辞可以碰采用诱任意代两个租方程顶求得φ1n和φ2n，通过牢观察发宣现，用溉第一个鹊方程和园第三个肤方程求换解将避约免求联健立方程体组。由第三爬个方程私：由第一变个方程鞭：一阶振注型：将B1=0益.3准51观5两(复ω1=14兔.52伸2ra钓d/s谊)代入上江式得4.缸2多自抚由度倾体系哨的自悟振振滚型和速自振锋频率算例1二阶皇振型观：B2=1.6仓066(ω2=31.秒048ra勤d/纳s)三阶振宁型：B3=3.倘54唱20(ω3=46.妙10rad票/s)4.2多自由验度体系吼的自振矮振型和纺自振频夜率算例14.按2多自栽由度咐体系颠的自制振振鸭型和拴自振面频率算例1从以开上给书出的哥振型矛图看狭，对净层间旁模型济，振俱型特产点为伍：一杂阶振惜型不究变符眼号，居二阶单振型倡变一控次符步号，售三阶蔑振型信变二耍次符菌号。以上冬给出膜的振疫型的汤求解涉公式尾是解衰耦的清，不佛用求摘联立据方程统组，脊这只捡有当拢结构贞是层暂间模郊型时玩，即程特征备方程谁的系址数矩北阵是剥三对迷角阵绵时才线可以族实现抓，一夏般情册况下岩，当承特征锯方程贱的系科数矩兄阵不皆为三轧对角辞阵时晨，必营须解氧联立惜方程怀组才降可获扒得结予构的重振型浊。4.四2多自羡由度漠体系脖的自碎振振释型和弓自振退频率算例2确定讨由两抽个梁挎单元鸽构成驶的结霸构的善自振拳频率比和自络振周赴期，阶梁的眨弯曲嫩刚度母均为EI。忽略补轴向变纸形，采均用集中址质量法途，梁的摔质量集衰中到梁肌端，而开梁成为万无质量毯梁。结构模闸型及自形由度：4.2多自岸由度狼体系愤的自蒙振振蝴型和忘自振链频率算例2质量偿阵：刚度截阵：特征磁方程妹：4.刘2多自砖由度孙体系存的自炉振振渠型和扔自振址频率算例2频率民方程图：频率社方程继的两贿个根潮为：自振乳频率忧为：4.2多自照由度取体系录的自盈振振高型和乡丰自振稀频率算例2令φ1=1，由特饼征方程其的第一恶式得：将ω1(λ1=0芹.5洋69烦5)代入制上式遥，得分到φ2=2.琴097将ω2(λ2=4.他097示2)代入上株式，得验到φ2=-1.迁43蔽1结构的夕两阶振锄型为：4.扒2多自砖由度邻体系润的自夜振振独型和游自振略频率算例2结构振歪型图：4.花2多自由贤度体系贴的自振夫振型和啦自振频测率求解蹦结构惕体系白的自欧振频案率和质振型沸也称果为结构未的模情态分缎析。在两器个例印题中亲采用四的求味多自松由度抢体系蚀自振旬频率烫和振塞型的免方法严，是跪一种贵严格期的理壤论分腊析方热法，天当体灭系自列由度元较低犹时是摇可行只的。对工程士问题，坝可涉及候成百上总千，甚妹至几万莫个自由澡度，此花时采用筝矩阵行绣列式方锋法很难掘实现结率构的模牙态分析要。目前夸借助于锅计算机浙，已发抬展了多涨种行之岗有效的雄矩阵迭皮代法，狼有现成垫的软件低，关于香这部分晚的内容淘可以自剃学，在虾教学部习分不详击细介绍首。4.2多自由谁度体系赠的自振泊振型和兔自振频俱率在多自颈由度体鞠系自由气振动分贵析中发眯现，与占单自由增度结构晒体系相商比，两歉者之间客相同的吃是都存吴在自振新频率，箭但多自亮由度体价系有多三个自振启频率，N个自欲由度屋，则拾一般持存在N个自跃振频逮率，上新的蜘内容污是出裤现了饲振型诱的概宴念。所谓牵振型撕就是兴结构钥按某影一阶掉自振设频率扭振动鲜时，李结构破各自坑由度俊变化反的比隐例关承系，他多自当由度痛体系递的振示型和绝频率叔一样淹，是蒜结构详的重杀要特桌性。自振频寨率及共燥振当结此构按伍某一蚁自振庄频率撒振动戴时，席与单氧自由于度结挡构完伍全一赶样，疾结构黑体系得的惯躲性力伞和弹济性恢脉复力救在振浇动的富任意鼓时刻蜡相平喷衡。爷如果箱有外夕力作孟用（过作用星频率劳等于蔑结构惧自振属频率挎），座无阻岭尼时奇，结忙构反贯应会族变得貌无穷班大；帝有阻驰尼时厌，仅计靠阻叮尼力窑平衡衫外力染，由响于阻鞋尼力齐都很悬小，该结构垦的振乘动幅孤值会董比不很按自姥振频酷率振据动时着的结贝果大乓得多鼓。例语如，并对一悼个地瞧震动塑输入删，当惯结构枪的自局振频丈率接讯近地线震动算卓越鼓频率载时，桃结构宏动力蚁反应貌大，摸而避捐开此接卓越尾频率书时，画结构且动力丈反应鹅小。结构的淡振型结构梦的振伯型是架结构阳振动游反应狼中最跪容易蹈发生朵的变精形形址态，务而一杰阶振参型又铁是所建有振牌型中腊最易驳于出禽现的安。因而虚人们纳对振营型的致形态跨进行借研究附，确傻定其颈变化啦规律仿，用颠简单亚的、喜最接槐近振郊型的尤形状痕函数丸来描冠述动她力反疫应时录的振刊动形咬态。垃例如体基于Ray龙lei圆gh法等爸对结件构进其行简肯化分旗析。4.3振型的驼正交性在线约弹性纷反应劈燕分析横中，皮振型肝的重阔要作匀用是需提供卖了一炉种结君构动行力反奋应分救析方绢法的恢基础渗。即严提供封了振翁型叠殿加（阴分解膏）法稻的基善础。逮以振遣型为野一种切坐标窗基，种提供纱了一还种坐畜标变汉换，财将多惧自由义度体深系问哭题分须解成秋一系瓶列单拿自由员度问疲题求天解，露大为卖简化富了分肺析。桶这主奶要是岁由于晕振型铸所具界有的妨特性钞：正王交性安。振型握的正特交性欠是指落不同尺振型些向量灵满足暴以下旨条件延：即振型宽关于质键量阵[M]和刚蜓度阵[K]正交跃，也神称为卷加权塘正交庄。4.3振型追的正帽交性振型正过交性的商证明在Cl策ou庸gh书中应范用的是Be印tt塞i互易忆定理挖，就执像d’A笔lem盾ber原理一龄样考虑忆了惯性秀力，是悬运动学督中功的驼互等定坏理。实际呆振型除正交逐性的胆证明色可以恒直接驶从运串动方素程的源特征缠方程名，即村从导毅出自突振频还率和禾振型金的公助式中城直接膝得到胀。4.3振型恶的正箩交性对于两同个频率ωm和ωn，及联其振怕型分昆别满培足：(1)(2)式(1)两边同旁时前乘{φ}mT式(2婚)两边诊同时膛前乘{φ}nT得对上式户等式两年边同时率取转置帆得：[M]和[K]均为对奸称矩阵4.盐3振型咬的正奖交性以上焰两式绩相减扇得：当ωm≠ωn时（桑即m≠碰n）：4.散3振型正滨交性的骨物理意醋义Ani菊lK翻.C糕hop绿ra,样Dy养nam合ics震of缴St驼ruc蓄tur子es1、第n阶振型绿的惯性练力在第r阶振对型位剃移上节做功晶为零4.萌3振型正冈交性的林物理意著义Ani图lK叫.C岂hop说ra,幸Dy阴nam您ics敢of激St尿ruc摔tur拾es2、第n阶振型将的恢复蛙力在第r阶振型仅位移上里做功为散零4.3振型忧的正客交性例题1振型霜正交为性的秩检验结构的晌质量阵锈和刚度择阵分别处为：而振型分为：4.3振型的残正交性关于塑质量圈阵的偏正交饶性：4.3振型民的正粪交性关于并刚度培阵的祝正交撇性：4.含3振型初的正却交性对于径其它呆振型蛋之间龟的正瞒交性迎同理瘦可以蹈检验例如：4.露3振型辛的正盈交性例题2振型案正交脂性的蚁检验结构菌的质卷量阵帝和刚候度阵误分别干为：而振型鸡为：4.妥3振型恋的正伪交性例题2振型正副交性的哗检验关于质蜻量阵的锋正交性营：关于刚患度阵的果正交性住：4.3振型封的正组交性当进筑行结究构振塑型和彩自振塑频率植求解陈时，阶检验贡计算骗结果烤是否俊正确仁的方蓝法之抢一是举检验慰是否烛满足瞧正交翅性。4.3振型的柄正交性如果洪把振轰型和刮自振腰频率呢满足乓的方仪程两边同公时前乘{φ}nT，则有：其中呀：可以犬得到喜表达怒式仇：这与骗单自殊由度厉体系阶自振捎频率膏的计野算公脾式一着样。有时芝称Mn和Kn为振型质信量和振型刚很度。4.3振型的社正交性在振拒型的诱归一霜化方取法中偶，有抹时要攀求归弱一化台以后玩的振熄型满录足（其中雾“―”代表是勒归一化鄙的以后疯的振型）：如果姑求得们的振横型{φ}n不满足脱以上归赔一化条课件，则窑可令：其中斥为归坐一化打振型先，α为一待痛定常数末。可以写荐成上式沾的原因蜂是同一术振型的档不同表栋达仅相挨差一常夏数。4.3振型的般正交性由振橡型质闯量公植式，则归一与化方法点为：即是磨前面袜介绍横的3种振型母归一化舱方法中些的第3种方宏法。4.4位移户的振刑型展宝开和粗振型最（正失规）津坐标对于口任意N个自由叔度的问闹题，任殿意N个独流立的扰向量钟都可孩以用颜来描事述任年何其煤它的N阶向魂量。胳上一妹节已桌证明N个自杜由度律结构盐体系枕的N个振型绕是正交驰的，因真而N个振俯型是蜓相互酿独立抓的，巨结构添在任宏一时谈刻的挠位移页向量陷就可灭以用异结构互的N个振型草来表示国，即位约移可以荣用振型齐来展开踩：其中，分别炊为位然移向年量和傲振型菊，qn(t),纽奉n计=1后,巾2,劫…嗽,N,为广吨义坐阴标，毒是时谈间的名函数度。4.4位移的花振型展兔开和振炮型（正毁规）坐灶标位移环用振顿型展币开：是N维状掀态空巴间中振的坐旨标变此换法吗，把疼物理若空间财中的N个位移绞（分）颠量变换N个广义皱坐标qn(t)空间，毛而振型{φ}n，n=1,遥2,…N是坐标怀变换的绿坐标基鲜，可以除证明对览于保守汽系统（惠无能量氏交换）规，N个独缓立的起振型筝是完惊备的茅，即职任何洋结构历振动朝位移汁的形钥态都桶可以杜用其N个振企型线终性表净示。4.国4位移的娃振型展弱开和振镜型坐标上面言表达痕式表姥示了抗位移深可以浑用振剥型展顿开。广义铁坐标qn(t)，n=1,奇2,…N,也称恳为正规坐攻标，常税称为振型坐雪标。对于祝任意嫂一个雪位移撇向量{u}，当尾用振摆型来痰展开冶时，屡可以仆利用孕振型烂的正积交性燥来获少得振浇型坐宴标的色值。界例如倾对位尚移{u}的振需型展滩开式虎两边哀同时象左乘{φ}nT[M]，得王到根据班振型允的正似交性秘，上染式右满端N项公式杂中，只盲有第n项不等疗于零，姥则：将n从1取到N，则得灶到N个振绸型坐格标qn(t)，n=1绑,2冠,…N的值4.滤4位移的界振型展赛开和振皱型坐标例1—续利用振瞎型展开雄公式将当位移向量{u}=豆{1踏1腐1轻}T用振型听展开解结构期的质疮量阵断和三乒阶振遍型分狮别为爱：振型裂展开孝公式手为：振型坐班标为：4.患4位移的给振型展乐开和振杜型坐标例1—续1阶振型洒坐标宅为：2阶振型框坐标消为：4.烈4位移沙的振标型展蜻开和饭振型伏坐标例1—续3阶振型坐烈标为：验证：4.4位移的恶振型展堡开和振画型坐标从以差上分佣析看樱到，陡结构任一径位移荣反应（状态雨）都可秋以用振技型展桐开。这样，求解多况自由少体系除的位移反捞应问题，抹可以转途化为求振罪型坐赶标问题如。从上面河求振型滚坐标的扰公式，六可以发逃现利用仇振型的痕正交性须，可使龟求振型葡坐标任问题怀解耦，计算要公式各原自独立牢，即将秩耦联的N个自由腥度问题倚化为N个独立驰的单自竖由度问羡题。4.5无阻尼留体系的花振型分票解（叠泪加）法体系泳的运莲动方碗程：其中惨位移开向量受和外将荷载研向量薯分别睬为：设体系目的振型窗和自振笋频率已换预先求邀得，将照位移向菠量用振腿型展开龟：4.都5无阻尼适体系的辅振型分因解（叠丈加）法位移和廉加速度够代入运议动方程也式得，左乘{φ}nT（实彻际上罩应该旷用{φ}mT更明确脊，但为充前后一毕致，以{φ}n代表匠任一案向量代），扛利用是振型多正交容性得糊：4.5无阻尼辱体系的惕振型分箩解（叠病加）法其中浪：分别邮称为n阶振叔型的卵广义抚（振毅型）欠质量刮、广针义（肺振型陡）刚湾度和勾广义孕（振鹊型）弯荷载白。从上丝式面的弃正交妹性证傲明中躲已给若出，Mn和Kn的关系责：ωn—体系第n阶自钉振频蛇率。4.西5无阻违尼体游系的畜振型乌分解职（叠宣加）赚法振型峰坐标解表示连的运屈动方赖程两丧边同轰除Mn得：这是N个单霉自由剃度体搬系的枕强迫组振动邻方程皱，可逮以用欲单自腔由度描受任焦意荷邻载时鞠的分秆析方剑法求僵解。敢例如疮用Duh都ame炉l积分机、Fou厅rie郑r变换等继。若用Duh周ame川l积分孝，可像得：4.5无阻尼直体系的眠振型分遗解（叠佳加）法求得qn(t)后，利脉用式将N个振型武反应叠兽加可以吨得到多柱自由度考体系在竿任一时公刻的位拖移{u(t)}。如果淡外力段是简微谐荷浑载和风周期摘性荷吊载，孟则可才以用衰前面称讲的品有关溉公式戒得到袍解（证包括律动力净放大奶系数Rd等）。以上辉分析奖方法刑叫振型叮叠加师法，有时片也称为振型御分解林法。4.5无阻尼丹体系的蜂振型分攻解（叠兔加）法用Du川ha记me俱l积分得墨到的解阁是满足蔬零初始窜条件时察的特解三，当有珠非零初刺始条件术时，需葬计算初盐始条件孔引起的粮通解，茂即体系跌的自由绩振动。繁此时可寨以把初播始条件阵也用振莫型展开律，即直蛇接利用锐公式：得到怕用振弄型坐勇标表额示的享初始势位移环条件油，和初摔始速存度条杜件，4.躬5无阻尼超体系的各振型分全解（叠限加）法左乘{φ}nT[M胸]，n=1冷,2手,…N，并利塑用振型蛋的正交奸性，得得到以跳振型坐棕标表示会的初始续条件后勇，可直窑接根据梅单自由摧度体系袜自由振条动的解拨式，得吹到由初划始条件撕引起的矿各广义填坐标的窝自由振豆动qn0(t)为：由初始异条件引俊起的体店系的自我由振动{u0(t)}为：4.5无阻锯尼体等系的法振型罗分解廊（叠激加）从法将强迫垫振动引视起的解盐和初始碍条件引漏起的解纲叠加，侄得到结语构反应膜完整的券解{ut(t)}，4.6有阻尼夫体系的刘振型分竟解（叠光加）法当考虑谁结构中蚀的阻尼浅，采用亏振型叠姑加法分旦析时，宝能否将丑联立的收运动方哲程化为蹄解耦的岁（非耦刃合的）系一系列浮单自由草度运动条方程，久将取决贵于阻尼侮矩阵的纲性质，格即结构敲的振型霞是否关完于阻尼抚阵满足腐正交条男件。如果满顶足阻尼艘阵的正捧交条件驴，即：{φ}nT[C如]{φ}m=0，m≠n则采您用振哪型叠欠加法络分析颤时，漆就可垃以把峰多自枯由度涝体系业的动离力反认应问幅题化咬为一偏系列珠单自册由度落问题骨求解间；如姻果不欢满足垫阻尼瞒阵的利正交腔条件识，则梳对位茫移向魔量用奶振型瓶展开屡后，晓关于捐振型元坐标哈的运朵动方亡程成法为耦巡寿联的阔，必购须联惊立求丢解，供与解吼耦方琴程相丙比，尝增加刮了难辰度和台计算陪量。现下面况分别抗针对阵满足里和不棵满足飘阻尼果正交黄条件荷分别圆讨论狂多自傍由度控体系锅的振沾型叠没加法跨。4.牌6有阻尼凳体系的嫂振型分谨解（叠助加）法1、满麦足阻雹尼阵争正交装条件多自匀由度善体系钟有阻扎尼运怎动的喷方程礼为：将位移剥向量用欲振型展枪开，则撕速度向俭量也同澡样可表撒示为振膀型的叠伍加。将欺第n阶振型{φ}nT左乘展本开后的末运动方哄程，即翼：由于块振型愤关于世质量女阵[M]、阻灰尼阵[C]和刚度胁阵[K]均满竹足正什交条称件：4.6有阻尼趟体系的隶振型分纠解（叠迁加）法1、满正足阻妥尼阵是正交不条件运动方互程化为n个解筑耦的默关于谱振型刚坐标构的运登动方币程：其中：称Cn为振呆型阻抵尼系激数。4.6有阻剩尼体饿系的代振型俱分解妹（叠申加）席法1、满登足阻禾尼阵于正交社条件定义萄振型蒸阻尼忧比：而ωn2=Kn/Mn有阻谷尼体偷系振天型坐疗标的构运动坐方程糖可写掉为如秆下形登式：上式即扫为有阻趁尼单自岭由度体弯系在外参荷载作补用下的丙标准运坟动方程蔑，可以芳采用在微单自由呀度动力繁问题反太应分析碰中的有串关方法买进行计积算。4.6有阻尼顷体系的蚕振型分咏解（叠艳加）法1、满足酸阻尼阵疫正交条陶件采用Du生ha王me制l积分求手解而，分别为吵第n阶有确阻尼趴自振踩频率各和单抄位脉明冲反眼应函拳数。4.6有阻尼州体系的沫振型分到解（叠村加）法1、满塑足阻货尼阵附正交职条件若考虑已非零初林始条件{u(0喷)}和，则搅可确定qn(0)和枣，由非零戒初始条忌件引起项的自由棵振动解熔为：问题的某全解为芹：4.6有阻尼玻体系的沟振型分继解（叠边加）法1、满快足阻借尼阵帅正交后条件采用频邪域分析额方法求作解振型荷默载的Fou灭rie椅r谱为复守频反效应函球数如果聪存在若非零荷初始纠条件拍，则锻采用碎与上扮面类弟似的蚂方法矩可以漆得到患由初孝始条段件引支起的惕各广扣义坐搁标表符示的筑自由秋振动塘，再俭利用迫振型兵叠加饺公式退，可担以得数到位警移的止时域州解。5有阻细尼体规系的需振型魄叠加纷法1、满调足阻忧尼阵钳正交帮条件外荷载牲向量{p(t)}为简妻谐荷运载例如臂，其中{p0}为常程向量泪，即习简谐固外力沾的幅朱值向管量。振型坐菠标运动耗方程为:5有阻写尼体弯系的肆振型短叠加取法1、满允足阻困尼阵挣正交室条件振型蜜反应择为：振型坐显标运动梢方程为:Rdn—相应借于n阶自振乐频率的绞动力放皇大系数础，或称营振型反最应的动滩力放大班系数更消合适。5有阻参尼体织系的披振型待叠加极法1、满足宝阻尼阵学正交条感件从以将上分死析可梢以看辱出，变对于票满足受阻尼月正交云条件宗的结链构体炕系,当采露用振除型叠涛加法欣分析似时，其多自虫由度唱体系乓的动念力反冶应问第题即落转化资为一木系列停单自摊由度头体系知的反衣应问爱题，委并可姑以考恰虑初巡寿始条辽件的燃影响蚊。此时坑在单挽自由倡度体霜系分贺析中忙采用液的各笔种分倘析方第法都获可以妇用于稀计算孤分析剑多自腰由体法系的澡动力录反应挺问题逃，使戏问题推的分爽析得安到极仰大简视化，摇因为求解N个独眉立的袖方程魔比求钢解一床个N阶联立吴的方程冈组要简盒便得多。5有阻尼叶体系的蚀振型叠寄加法1、满足薯阻尼阵赔正交条童件对于足自由撇度很探多的傍结构抗，例判如具贩有上爆万个江自由伏度的垦大型租结构万体系于，计退算全厅部的合特征猾值（遮自振概频率呜）和辛特征拼向量届（振宿型）淘是不论需要炊或说雪是不之可能凝的，闲即便午是求鲜解几船万个古独立黄运动固方程泪所需粱的时箭间也卸显得堂太多锁，因迅为每狠个方胖程的夸解都僚对应叙一条烫时间指函数酱。计算中贷发现，稠对多自愿由度体枕系的动比力反应腊问题，赢一般情糠况下,高阶振悼型起的稳作用小锡，而低稀阶振型缺起的作悉用大。记在振型宜叠加法毫分析中北，实际组并不需尼要采用仪所有的猛振型进罢行计算坑，因高广阶振型手的影响锈极小，柏仅取前故有限项丸振型即杠可以取瘦得精度包良好的首计算结厘果。例匙如对于4万个惠自由阶度超理高层卷结构猪的地腹震反恭应，比仅取熄前30阶振型葛就可以诸达到所西需的精模度。抗震糠规范室规定犯，一磁般情叠况下秩，仅失保证杨在一冲个振钓动方棋向上阶有前认三阶篮振型誉就可溪以。毛因此腐振型也叠加械法大介大加帐快了筐计算狠速度克，但腾对于纱一些尾大型饶特殊匹的结发构，堆例如估悬索泽桥，否可能迎需要唐使用称上百坐个振帮型才还可以铃取得径满意叨的计撇算结舰果。5有阻尼寸体系的侍振型叠风加法1、满纵足阻航尼阵率正交句条件虽然光振型悬叠加尿法有闪计算侵速度昼快、战节省吵时间适这些迎突出慢的优宁点，奔但存叉在局盆限性芳。主要局梁限是由手于采用裁了叠加驱原理，权因而原保则上仅脆适用于息分析线呜弹性问阔题，限盒制了使雪用范围蚊；第二下个局麻限是潜由于芒要求参阻尼卵正交伴，对讨实际铁工程泡中存仁在的膏大量倦不满歌足阻熟尼正绩交条个件的需问题框，迫叛使采昨用额握外的祥处理聋方法偶，近柳似处梦理方工法包英括采想用正僵交阻菌尼代捧替非纪正交宰阻尼咬，或钟采用家复模重态方辆法，贸但复蝇模态感分析萄将使吵问题宜维数横扩大章一倍饼。5有阻蜂尼体隆系的婆振型夺叠加肆法1、满足包阻尼阵州正交条录件新成僻果：1、关于举线性裕弹性竞限制目前彻已把朽振型世叠加敬方法士推广本用于舰处理老非线仙性问败题，释例如棋用SA艰P2凤00及0，但泳计算温中要录采用装足够谁多的示振型棍。2、关于丽非正脆交阻黎尼限硬制除对阻摧尼进行丘近似处症理（正锻交化）禽或复模跟态方法哨外，还升发展了尘迭代算案法。6结构赴中的树阻尼铺和阻磨尼矩降阵的墨构造阻尼寺不但逢对结芳构的禁动力欢反应饥有重良要的骆影响峰，而主且对春计算喘方法欠也产伙生影屋响。槐因而奋结构厘动力混学中钻阻尼振是一彻个重巾要的膀研究聚课题泻，发哪展了锋很多仍阻尼孙理论恐和构孕造结厕构阻杨尼矩牌阵的鱼方法轨。由于圣试图滨通过恢从结资构的窃尺度扮、结冤构构遮件尺芒寸、炒结构奋材料煌阻尼咽的性累质来岂像形飞成结慨构刚某度阵刻或质循量阵轮那样瓣直接群构造围阻尼针矩阵遥是不典现实奇的（份虽然贸前面崖给出倘了从扇材料填阻尼侨系数菌开始赴计算职阻尼江阵的此公式午），瘦对连械续介驴质尚没可以妙考虑烂，但裂对建伏筑结帮构问如题较午大耳。结构彼阻尼明除材学料本逐身外画，构羽件间泥摩擦伟是阻简尼的栋重要年来源矿，对残此很盗难用箭理论认方法侮确定斩。6结构有中的耍阻尼雕和阻辛尼矩彻阵的垒构造结构更的阻胆尼一歼般都剂是通目过实弓测得铁到的蚕，通狡过统铸计分亲析得宵到不驴同类捏型结怀构阻励尼值沾。由迈实测盗得到串的阻款尼值灰一般景都是司振型舞阻尼糠比。振型阻轧尼比：mod遍al浪dam掠pin予gr誓ati老os，记为ζn，为对缸应于n阶振割型反舟应的呢阻尼玻比。享从模孔拟精扫度来煌讲，载用振让型阻志尼比南来描纽奉述结唉构线斥弹性石反应题中的仿阻尼翁性质禾是足汽够的盟。下面先带通过一闯个实际抚例子介夏绍一下知结构的革阻尼，允从中可幕以发现煤结构阻冬尼比的括大小并淋不是固截定值，械而是与遣结构振竹动的幅静值有关禁。然后败介绍阻最尼矩阵衣的构造太，主要限是Ra苍yl打ei写gh阻尼，队最后介浪绍经典介阻尼和放非经典亭阻尼的疏概念。6结构池中的秒阻尼圈和阻乎尼矩路阵的茎构造1、阻晃尼实咬测的功例子加州镰理工吸学院两的Mi秧ll隐ik衔a图书馆昼，为九层钩钢筋混堆凝土结芝构，建于19迎66－196乡丰7年，21m舒×23姥m×4周4m高。建筑进将行了起格振机简焰谐振动既试验（采用慨半功率圆点法）怪。经历和了：Ly危tl贴e杆Cr骄ee罢k地震欣（197句0.1捷2），M=5缴.4谈,震中距Δ=6够4km。旧金倚山地警震（19植71牙.9），M=6惰.4，震中抵距Δ=3苗0km。6结构中等的阻尼备和阻尼丛矩阵的暑构造1、阻尼它实测的荷例子由起离振机叼振动姐试验期和两径次实软际地秘震得孙到的骑结构互的阻碍尼比6结构中龙的阻尼价和阻尼米矩阵的雹构造1、阻喷尼实段测的吃例子从以上双实测结匪果可以优发现：结构谊的自料振周痰期和际振型商阻尼颈比随庭振幅依的不厕同而刘变化饲，随戒振动岛强度涂的增纠大：部自振兔周期溜变长访，振泻型阻蚀尼比础变大尽。但宽自振石周期移的变陡化小缴于振帮型阻君尼比遍的变帆化。微振详时，亲阻尼粒比较柿小，愈为1％—2％；微、小懒振（震亿）时，丝式阻尼比与达3％；小、千中振疮（震古）时疮，阻单尼比苏可达5—7％。一般当逮我们做响结构的锐振动反雅应分析运时，除片在机器液基础等碍设计时僚涉及到巩微振外熟，大部瞒分都涉率及小、剪中振（分震）分凝析，因红此一般椅取钢筋播混凝土或阻尼比跪为5％是邀一个御平均思值。6结构中堆的阻尼锈和阻尼连矩阵的枯构造1、阻尼境实测的重例子从以摆上结马果也闸看到孙，不同振艺型阻尼答比是有差别吼的。右伙表给出一般患情况下趴工程中钢筋沿混凝土艺结构和木结艺构阻尼最比的推荐值诞。6结构中筛的阻尼应和阻尼轨矩阵的素构造2、Ra帆yl锈ei前gh阻尼Ray物lei毛gh阻尼是野最简单担、方便替，结构啦动力分日析中得品到广泛程应用的烛一种阻兰尼形式兆。Ray诵lei肌gh阻尼假废设结构姓的阻尼咱矩阵是秤质量矩恼阵和刚器度矩阵色的组合肥，即染：其中a0和a1是两个差比例常瘦数（比揪例系数租），分樱别具有s-1和s的量商纲。以上棉表达穴式是Lor席dR卡ayl刃eig汪h首先建铜议使用秒的，称打为Ray份lei缝gh阻尼形。6结构中衫的阻尼汉和阻尼乞矩阵的堪构造2、Ray骗lei预gh阻尼在前似一节川内容旱中已良讲，忍结构栽的振葬型是仇关于浇质量姿阵和羽刚度何阵正莲交的爱，很轮容易络想到浴，质吸量矩琴阵和作刚度梦矩阵绒的线德性组盟合必犁定满擦足正诉交条打件，厘因此Ra适yl魔ei衣gh阻尼瓶是一只种正批交阻粒尼。满贼足振希型正揪交条蜜件的找阻尼赚也称断为经典阻贪尼。Ra讲yl乳ei寒gh阻尼诸公式战中，a0和a1是待部定的软两个补常数胡，可煌以用反实际筋测量疏得到螺的结薄构阻年尼比扶来确闷定，灵或通勉过给符定的分两个朽振型施阻尼丽比的培值来隙确定候，为符此要乳把Ra算yl胖ei客gh阻尼公佛式化成怕由阻尼任比表示魄的形式雁。6结构驾中的刑阻尼鹿和阻越尼矩让阵的毛构造2、Ray源lei慈gh阻尼将Ray侵lei写gh阻尼雹公式坑分别灭左乘补振型千的转妙置{φ}nT和右议乘振糊型{φ}n得:其中Cn、Mn、Kn分别迁是第n阶振型止阻尼比仪、振型叶质量和擦刚度:利用哪公式:得到廊：6结构瓣中的录阻尼坚和阻肺尼矩请阵的亿构造2、Ray虚lei喊gh阻尼假设ζi和ζj给定俘，可灭写出默计算a0和a1的矩翻阵形泻式可解餐得：当振型无阻尼比ζi=ζj=ζ时，上坛式简化版为：6结构腾中的何阻尼秧和阻堡尼矩围阵的始构造2、Ra络yl级ei胡gh阻尼采用放公式经过简猴单的运恰算就可屈以得到民进行结支构动力飘反应计趟算所需党的阻尼格矩阵为保育证构姑造的灿阻尼贵矩阵损合理辽、可括靠，速在确妙定Ray秀lei猴gh阻尼撇的常腰数a0和a1时，葵必须级遵循貌一定喊的原门则，恩否则送构造很的阻皮尼阵奖可能富导致从计算谁结果商的严殊重失朱真，宴为此统，下疼面分录析Ra榆yl娇ei戏gh阻尼的勉特点。6结构中盟的阻尼嘴和阻尼昼矩阵的乐构造2、Ray倒lei砖gh阻尼将Ra浆yl能ei桨gh阻尼分软成两项闷，一项样与质量谨（阵）邮成正比黑，一项惩与刚度榆（阵）熄成正比白：相应错地，引阻尼译比也共分成论两项输，与冤质量射成正灿比项ζM和与曲刚度神成正裙比项ζ