2017届天津一中高三年级第一次月考数学(理)试卷

天津一中2016-2017-1高三年级第一次月考数学（理）试卷第4页共5页天津一中2016-2017-1高三年级第一次月考数学（理）试卷选择题：1．设全集U=R,集合A={x|x2-2x≥0},B={x|y=log2(x2-1)},则(∁UA)∩B=（B）A.[1,2) B.(1,2) C.(1,2] D.(-∞,-1)∪[0,2]2.在复平面上，复数对应的点在（D）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限3．A.B. C. D.4．下列命题中是假命题的是（C） A.，使是幂函数B.，使 C.，函数都不是偶函数D.，函数有零点5．设变量x，y满足：的最大值为（B）A．3 B．8C． D．6．在如图所示的程序框图中，若输出i的值是3，则输入x的取值范围是（A）A．（4，10] B．（2，+∞） C．（2，4] D．（4，+∞）7．函数f(x)=(x2-2x)ex的大致图象是（A）A.B.C.D.8．已知函数,若,使得成立,则实数的取值范围是（A）A．B．C．D．或二、填空题：9.若（2x+）dx=3+ln2（a＞1），则a的值是．210.已知函数f(x)=若f(2-a2)>f(a),则实数a的取值范围是▲.【答案】(-2,1)11.在直角中，，，，为斜边的中点，则=.-112.如图，PB为△ABC外接圆O的切线，BD平分，交圆O于D，C,D,P共线．若,,，则圆的半径是．-213.已知曲线、的极坐标方程分别为，，则曲线上的点与曲线上的点的最远距离为________.已知函数，方程有四个实数根，则的取值范围为 三、解答题：15.已知函数，.(Ⅰ)求函数的最小正周期；（Ⅱ）求函数在区间上的最大值和最小值.解：(Ⅰ)∵，……4分∴函数的最小正周期。……6分（Ⅱ）∵函数在区间上是增函数，在区间上是减函数，………8分又，……11分∴函数在的最大值为，最小值为－1。……13分16.在一场娱乐晚会上，有5位民间歌手(1至5号)登台演唱，由现场数百名观众投票选出最受欢迎歌手，各位观众须彼此独立地在选票上选3名歌手，其中观众甲是1号歌手的歌迷，他必选1号，不选2号，另在3至5号中随机选2名．观众乙和丙对5位歌手的演唱没有偏爱，因此在1至5号中随机选3名歌手．(1)求观众甲选中3号歌手且观众乙未选中3号歌手的概率；(2)X表示3号歌手得到观众甲、乙、丙的票数之和，求X的分布列和数学期望．解：(1)设A表示事件“观众甲选中3号歌手”，B表示事件“观众乙选中3号歌手”，则P(A)＝eq\f(Ceq\o\al(1,2),Ceq\o\al(2,3))＝eq\f(2,3)，P(B)＝eq\f(Ceq\o\al(2,4),Ceq\o\al(3,5))＝eq\f(3,5).∵事件A与B相互独立，∴观众甲选中3号歌手且观众乙未选中3号歌手的概率为P(A)＝P(A)·P()＝P(A)·[1－P(B)]＝eq\f(2,3)×eq\f(2,5)＝eq\f(4,15).eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(或P（A）＝\f(Ceq\o\al(1,2)·Ceq\o\al(3,4),Ceq\o\al(2,3)·Ceq\o\al(3,5))＝\f(4,15)))(2)设C表示事件“观众丙选中3号歌手”，则P(C)＝eq\f(Ceq\o\al(2,4),Ceq\o\al(3,5))＝eq\f(3,5).∵X可能的取值为0，1，2，3，且取这些值的概率分别为P(X＝0)＝P()＝eq\f(1,3)×eq\f(2,5)×eq\f(2,5)＝eq\f(4,75)，P(X＝1)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝eq\f(2,3)×eq\f(2,5)×eq\f(2,5)＋eq\f(1,3)×eq\f(3,5)×eq\f(2,5)＋eq\f(1,3)×eq\f(2,5)×eq\f(3,5)＝eq\f(20,75)，P(X＝2)＝P(AB)＋P(AC)＋P(BC)＝eq\f(2,3)×eq\f(3,5)×eq\f(2,5)＋eq\f(2,3)×eq\f(2,5)×eq\f(3,5)＋eq\f(1,3)×eq\f(3,5)×eq\f(3,5)＝eq\f(33,75)，P(X＝3)＝P(ABC)＝eq\f(2,3)×eq\f(3,5)×eq\f(3,5)＝eq\f(18,75)，∴X的分布列为X0123Peq\f(4,75)eq\f(20,75)eq\f(33,75)eq\f(18,75)∴X的数学期望E(X)＝0×eq\f(4,75)＋1×eq\f(20,75)＋2×eq\f(33,75)＋3×eq\f(18,75)＝eq\f(140,75)＝eq\f(28,15).17.如图，等腰梯形ABCD中，AB∥CD，DE⊥AB于E，CF⊥AB于F，且AE=BF=EF=2，DE=CF=2．将△AED和△BFC分别沿DE，CF折起，使A，B两点重合，记为点M，得到一个四棱锥M﹣CDEF，点G，N，H分别是MC，MD，EF的中点．（1）求证：GH∥平面DEM；（2）求证：EM⊥CN；（3）求直线GH与平面NFC所成角的大小．【解答】证明：（1）连结NG，EN，∵N，G分别是MD，MC的中点，∴NG∥CD，NG=CD．∵H是EF的中点，EF∥CD，EF=CD，∴EH∥CD，EH=CD，∴NG∥EH，NG=EH，∴四边形ENGH是平行四边形，∴GH∥EN，又GH⊄平面DEM，EN⊂平面DEM，∴GH∥平面DEM．（2）∵ME=EF=MF，∴△MEF是等边三角形，∴MH⊥EF，取CD的中点P，连结PH，则PH∥DE，∵DE⊥ME，DE⊥EF，ME∩EF=E，∴DE⊥平面MEF，∴PH⊥平面MEF．以H为原点，以HM，HF，HP为坐标轴建立空间直角坐标系，如图所示：∈（0，1），则不等式在t∈（0，1）上恒成立．令，求导可得满足条件的λ的范围．【解答】解：（1）f′（x）=1+lnx+m，由题意知，f′（1）=1，即：m+1=1，解得m=0；（2）∵e1+λ＜x1•x2λ等价于1+λ＜lnx1+λlnx2．g（x）=f（x）﹣x2﹣x+a=xlnx﹣x2﹣x+a，由题意可知x1，x2分别是方程g′（x）=0，即：lnx﹣ax=0的两个根，即lnx1=ax1，lnx2=ax2．∴原式等价于1+λ＜ax1+λax2=a（x1+λx2），∵λ＞0，0＜x1＜x2，∴原式等价于．又由lnx1=ax1，lnx2=ax2．作差得，，即．∴原式等价于，∵0＜x1＜x2，原式恒成立，即恒成立．令，t∈（0，1），则不等式在t∈（0，1）上恒成立．令，又h′（t）=，当λ2≥1时，可得t∈（0，1）时，h′（t）＞0，∴h（t）在t∈（0，1）上单调增，又h（1）=0，h（t）＜0在t∈（0，1）恒成立，符