圆的有关概念与性质

北京考题训练（二十八）［圆的有关概念与性质］[2014•北京]如图J28—1,。。的直径AB垂直于弦CD,垂足是E,NA=22.5°,OC=4,CD的长为[2014•北京]A.2\"2 B.C.42 D.1.［2014•西城一模］图J28—2表示一圆柱形输水管的横截面，阴影部分为有水部分，如果输水管的半径为5cm,水面宽AB为8cm,则水的最大深度CD为（）图J图J28—2A.CA.C.2.图J28—34cmB.3cm2cmD.1cm如图J28—3,AB为。O的直径，已知NDCB=20°,则NDBA的度数是（ ）A.3.A.3.J28—4图J28—440° B.50°C.60° D.70°2016•西城一模在数学实践活动课中，小辉利用自己制作的一把“直角角尺”测量、计算一些圆的直径.如图

在直角角尺中，NAOB=90°,将点O放在圆周上，分别确定OA,OB与圆的交点C,D,读得数据OC=8,OD=9,则此圆的直径约为（）A.17B.14C.12D.10［2015•海淀一模］如图J28—5,。。的直径AB垂直于弦CD,垂足为E.若NB=60°,AC=3,则CD的长为（ ）图J28—5A.6B.2\13C.-\门D.3[2015•朝阳一模]如图J28—6,。。的直径CD垂直于弦AB,NA0C=40°,则NCDB的度数为图J28—6[2014•房山期末]如图J28—7,点A是半圆上的一个三等分点，点B是靠的中点，点P是直径MN上一动点.若。0的半径为1,则AP+BP的最小值是[2014-怀柔期末]如图)28—8,圆心8在丫轴的负半轴上，半径为5的。B与y轴的正半轴交于点A(0,1).过点P(0,—7)的直线l与。B相交于C,D两点，则弦CD长的所有可能的整数值有个，它们是.图J28—8[2014•丰台期末]如图J28—9,在。0中，C,D为。0上的两点，AB是。0的直径.已知NA0C=130°,求ND的度数.C图J28—99.2016•西城一模如图J28—10,在4ABC中，AB是。0的直径，AC与。0交于点D.点E在而上，连接DE,AE,

连接CE并延长交AB于点F,NAED=NACF.(1)求证：CF^AB；4(2)若CD=4,CB=4\；5,cos/ACF=1,求EF的长.5图J28—10图J28—10、选择题1.如图J28—11,CD是。O的直径，弦ABLCD于点E,连接BC,BD,下列结论中不一定正确的是（ ）1.， 一^^^^A.AE=BEB.AD=BDC.OE=DEC.OE=DED.ZDBC=902.[2015•东城一模]如图J28—12,AB是。O的直径，点C在。O上，过点C作。O的切线交AB的延长线于点D,2.连接OC,AC.若ND=50°,则NA的度数是（）A.20° B.25°C.40° D.50°3.从下列直角三角尺与圆弧的位置关系中，可判断圆弧为半圆的是（）图J28—134.如图J28—14,在平面直角坐标系中，点P的坐标为（一2,3）,以点O为圆心，以OP的长为半径画弧，交x轴的负半轴于点A,则点A的横坐标介于（）A.一4和一3之间B.3和4之间C.一5和一4之间D.4和5之间5.如图J28-15,是地面的距离（即CD）为5.如图J28-15,是地面的距离（即CD）为8米A.6米B.7米个隧道的横截面，。。的半径0人为（图J28-14若它的形状是以0为圆心的圆的一部分，已知48=12米，隧道最高处与）6.如图J28-16,A,B,C,D四个点均在。0上，NA0D=70°,A0〃DC,则NB的度数为（ ）图J28—16A.40° B.45°C.50° D.55°.如图J28—17是张老师晚上出门散步时离家的距离y与时间x之间的函数关系的图象，若用黑点表示张老师家的位置，则张老师散步行走的路线可能是（）图J28-17图J28-17A BCD图J28-18.如图J28-19,半圆O的直径AB=10cm,弦AC=6cm,AD平分NBAC,则AD的长为（ ）图J28—19A.45cmB.3\15cmC.5'/5cmD.4cm二、填空题.若在直径为10cm的。O中，弦AB=5cm,则弦AB所对的圆周角是..如图J28—20,有一圆形展厅，在其圆形边缘上的点A处安装了一台监视器，它的监控角度是65°.为了监控整个展厅，最少需在圆形边缘上共安装这样的监视器台.・・・.如图J28—21,AB是。O的直径，BD,CD分别是过。O上点B,C的切线，且NBDC=110°.连接AC,则NA的度数是°.图J28—22.如图J28—22,将4ABC放在每个小正方形的边长为1的网格中，点A,B,C均落在格点上，用一个圆面去覆盖^ABC,能够完全覆盖这个三角形的最小圆面的半径是.三、解答题.[2015-朝阳期末]如图J28—23,在平面直角坐标系xOy中，以点A(2,3)为圆心的。A交x轴于点B,C,BC=8,求。A的半径.图J图J28—2314.如图J28—24,AB是半圆O的直径，C,D是半圆O上的两点，且OD14.如图J28—24,AB是半圆O的直径，(1)若NB=70°,求NCAD的度数;(2)若AB=4,AC=3,求DE的长.图J28—24图J28—24.如图J28—25,四边形ABCD内接于。O,点E在对角线AC上，EC=BC=DC.⑴若NCBD=39°,求NBAD的度数；⑵求证：N1=N2.图J28—25.[2015•西城期末]如图J28—26,在。O中，弦BC,BD关于直径AB所在的直线对称.E为半径OC上的一点，OC=3OE,连接AE并延长交。O于点F,连接DF交BC于点M.(1)请依题意补全图形；(2)求证：NAOC=NDBC；/、_^BM^…(3)求的值.BC图J28—26.先阅读材料，再解答问题:图J28—27小明同学在学习与圆有关的角时了解到：在同圆或等圆中，同弧(或等弧)所对的圆周角相等.如图J28—27,点A,B,C,D均为。O上的点，则有NC=ND.小明还发现，若点E在。O外，且与点D在直线AB同侧，则有ND>NE.请你参考小明得出的结论，解答下列问题：(1)如图J28—28①，在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为(0,7),点B的坐标为(0,3),点C的坐标为(3,0).①在图①中作出^ABC的外接圆(保留必要的作图痕迹，不写作法)；②若在x轴的正半轴上有一点D,且NACB=NADB,则点D的坐标为(2)如图J28—28②，在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为(0,m),点B的坐标为(0,n),其中m>n>0.点P为x轴正半轴上的一个动点，当NAPB达到最大时，直接写出此时点P的坐标.图J28—28参考答案北京真题演练C［解析］,••NA=22.5°,，NBOC=2NA=45°.:。。的直径AB垂直于弦CD,，CE=DE,4OCE为等腰直角三2角形，.・.CE=^OC=2\12,ACD=2CE=4\22北京模拟训练C［解析］二•输水管的半径为5cm,水面宽AB为8cm,水的最大深度为CD,，DO，AB,AO=5cm,AC=4cm,••.CO=Y52—42=3(cm),・•.水的最大深度CD为5—3=2(cm).故选C.D3.C4.D20°\,'2［解析］作点A关于MN的对称点A',连接A’B,交MN于点P,则此时PA+PB最小，连接OA,,OB.•・•点A与点A,关于MN对称，点A是半圆上的一个三等分点，.ZAZON=ZAON=60°,PA=PA'.^^点B是AN的中点，.ZBON=30°,.ZAZOB=ZAzON+ZBON=9O°.又•.•OA=OA/=1,.A’B=\'2,/.PA+PB=PA/+PB=A/B=\,2.38,9,10［解析］当CD过圆心8时，此时CD为。B的直径，CD=10；当CD，y轴时，CD为过点P的最短弦.・•点A(0,1),BA=5,・•.点B的坐标为(0,—4).・•点P的坐标为(0,—7),，BP=—4—(—7)=3.VBP±CD,.PC=PD.在Rt△PBC中，BC=5,BP=3,/.PC=\'BC2—BP2=4,.CD=2PC=8,.过点P的最短弦长为8,最长弦长为10,•.弦CD长的所有可能的整数值有3个，为8,9,10.解：由NAOC=130°,得NBOC=50°.立，1, , 1 。 。XVZD=-ZBOC,.ZD=-X50°=25°.乙 乙解：(1)证明：如图①，连接BD.「AB是。O的直径，.ZADB=90°..ZDAB+Z1=90°.VZ1=Z2,Z2=Z3,.Z1=Z3,.ZDAB+Z3=90°,.ZCFA=180°—(ZDAB+Z3)=90°,.CF±AB.

⑵如图②，连接OE.⑵如图②，连接OE.VZADB=90°,.\ZCDB=180°-ZADB=90°.・•在RtACDB中,CD=4,CB=4\'5,.\DB=\'CB2-CD2=8.VZ1=Z3,4.\cosZ1=cosZ3=-5DB4・•在Rt^ABD中，cos/1==-,AB5.•・AB=10,.\OA=OE=5,AD=\'AB2-DB2=6.VCD=4,AAC=AD+CD=10,二在RtAACF中,CF=AC・cosZ3=8,.\AF=AC2-CF2=6,.•・OF=AF—OA=1,.•.在Rt^OEF中，EF=\.''oE2-OF2=2\'6.北京自测训练1.C2.AB［解析］\•直径所对的圆周角是直角，，从直角三角尺与圆弧的位置关系中，可判断弧为半圆的是选项B.故选B.A［解析］•・•，点P的坐标为（-2,3）,.\OP=\''22+32=\；73.•・•点A,P均在以点O为圆心，以OP的长为半径的圆上，.\OA=OP=\'l3. _V9<13<16,A3<v'13<4.又\•点A在x轴的负半轴上，・••点A的横坐标介于一4和一3之间.CD［解析］如图，连接OC.VAQ#DC,AZD=ZAQD=70°.V0D=0C,AZ0CD=ZD=70°,ZD0C=40°,AZA0C=110°,1ZB=-ZA0C=55°.乙故选D.D［解析］根据函数图象可知，张老师离家先逐渐远去，有一段时间离家距离不变说明他走的是一段弧线，之后离家越来越近直至回家，分析四个选项只有D符合题意.A9.30°或150°3［解析］•••NA=65°,・••该圆周角所对的弧所对的圆心角是130°,・••共需安装360°：130°心3（台）.35［解析］连接0C.：BD,CD分别是过。0上点B,C的切线，.-0C，CD,0B±BD,AZ0CD=Z0BD=90°.VZBDC=110°,.ZB0C=360°-Z0CD-ZBDC-Z0BD=70°,.ZA=1ZB0C=35°乙\'5［解析］如图，，作AB,AC的垂直平分线，交于点0,则点0为4ABC外接圆圆心,A0为外接圆半径.在区14400中，A0=v'aD2+0D2=22+12=^,'5,所以能够完全覆盖这个三角形的最小圆面的半径是，\：1解：如图，过点A作ADLBC于点D,连接AB.由题意知BD=；BC=4.乙10

•・•点A的坐标是(2,3),.•・AD=3,.•.在RtAABD中，AB=\'bD2+AD2=5,AOA的半径为5.解：(1)：0D〃BC,NB=70°,.\ZD0A=ZB=70°.又•:0A=0D,AZDA0=ZAD0=55°.•「AB是直径，...NACB=90°,AZCAB=90°-ZB=20°,AZCAD=ZDA0-ZCAB=35°.(2)在Rt^ACB中，BC=\'AB2-AC2=--,'7.V0D#BC,AZAE0=ZACB=90°,A0D±AC,AAE=CE.V0A=0B,1 7.,.0e=2Bc=rADE=0D-0E=2-\：'74-\斤

2=2，•一，、 ^^^^15.解：(1);BC=DC,ABC=DC,AZBAC=ZCAD=ZCBD.VZCBD=39°,AZBAC=