力法原理与应用

第15章力法15.1超静定结构的概念15.2力法的基本原理15.3超静定次数的确定与基本结构15.4力法典型方程15.5力法计算的应用15.6对称性的利用第15章力法学习目标通过本章的学习，熟悉超静定结构的概念，掌握力法的基本原理、力法典型方程，能够进行力法计算的应用。15.1超静定结构的概念

支座反力和各截面的内力都可以用静力平衡条件唯一确定。是没有多余联系的几何不变体系。

支座反力和各截面的内力不能完全由静力平衡条件唯一确定，是有多余联系的几何不变体系。（1）静定结构

（2）静定结构

静定刚架

超静定刚架

有多余联系是超静定结构区别于静定结构的基本特性15.2力法的基本原理去掉多余联系用多余未知力来代替后得到的静定结构称为：按力法计算的基本结构15.2.1力法的基本结构

现在要设法解出基本结构的多余力X1，一旦求得多余力X1，就可在基本结构上用静力平衡条件求出原结构的所有反力和内力。因此多余力是最基本的未知力，又可称为力法的基本未知量。但是这个基本未知量X1不能用静力平衡条件求出，而必须根据基本结构的受力和变形与原结构相同的原则来确定。15.2.2力法的基本未知量用来确定X1的条件是：基本结构在原有荷载和多余力共同作用下，在去掉多余联系处的位移应与原结构中相应的位移相等为了唯一确定超静定结构的反力和内力，必须同时考虑静力平衡条件和变形协调条件15.2.3力法的基本方程

若以11表示X1为单位力（即1=1）时，基本结构在X1作用点沿X1方向产生的位移，则有11=11X1,于是上式可写成(a)式(a)就是根据原结构的变形条件建立的用以确定X1的变形协调方程，即为力法基本方程。为了具体计算位移11和1p，分别绘出基本结构的单位弯矩图1（由单位力X1=1产生）和荷载弯矩图Mp（由荷载q产生），分别如图(a)(b)所示,用图乘法计算这些位移因此可解出多余力X1

多余力X1求出后，其余所有反力和内力都可用静力平衡条件确定。超静定结构的最后弯矩图M，可利用已经绘出的1和Mp图按叠加原理绘出，即应用上式绘制弯矩图时，可将1图的纵标乘以X1倍，再与Mp图的相应纵标叠加，即可绘出M图如图(c)所示。

综上所述可知,力法是以多余力作为基本未知量，取去掉多余联系后的静定结构为基本结构，并根据去掉多余联系处的已知位移条件建立基本方程，将多余力首先求出，而以后的计算即与静定结构无异。它可用来分析任何类型的超静定结构。15.3超静定次数的确定与基本结构超静定次数：多余联系的数目或多余未知力的数目

确定超静定次数最直接的方法就是在原结构上去掉多余联系，直至超静定结构变成静定结构，所去掉的多余联系的数目，就是原结构的超静定次数。从超静定结构上去掉多余联系的方式有以下几种：

（1）去掉支座处的支杆或切断一根链杆，相当下去掉一个联系，如图(a)(b)所示；（2）撤去一个铰支座或撤去一个单铰，相当于去掉二个联系，如图(c)(d)所示；（3）切断一根梁式杆或去掉一个固定支座，相当于去掉三个联系，如图(e)所示；（4）将一刚结点改为单铰联结成或将一个固定支座改为固定铰支座，相当于去掉一个联系，如图(f)所示。

对于同一个超静定结构，可用各种不同的方式去掉多余联系而得到不同的静定结构。因此在力法计算中，同一结构的基本结构可有各种不同的形式。但应注意，去掉多余联系后，为了保证基本结构的几何不变性，有时结构中的某些联系是不能去掉的。

如下图(a)所示刚架，具有一个多余联系。若将横梁某处改为铰接，即相当于去掉一个联系得到图(b)所示静定结构；

当去掉B支座的水平链杆则得到图(c)所示静定结构，它们都可作为基本结构。

若去掉A支座的竖向链杆或B支座的竖向链杆，即成瞬变体系[图(d)]所示，显然是不允许的，当然也就不能作为基本结构。图(撤a)所残示超静耗定结构用属内部计超静定哭结构，楼因此，悄只能在嫌结构内芒部去掉薄多余联局系得基学本结构祥，如图陷(b件)所示赞。对于值具有巡寿多个与框格犹的结太构，然按框斯格的衔数目锈来确定超抢静定的挨次数是率较方便杂的。一溜个封闭光的无铰框格，狡其超静业定次数崇等于3烈，故当筝一个结钳构有n资个封闭僚无铰衡框格室时，啊其超求静定矮次数泽等于面3n感。如下图(服a)所付示结构卖的超静怒定次数简等于3×8=丈24炕。当零结构庄的某签些结惩点为驱铰接旬时，艳则一汽个单淹铰减锋少一应个超慕静定吩次数针。下图姿(b尖)所食示结鸟构的贤超静址定次粗数等温于：3×8-差5=拢19阵。15.4力法著典型育方程用力法平计算超享静定结堂构的关恩键在于观根据位润移条件建立力楼法的基盾本方程，以求竭解多余标力。对仿于多次鲁超静定内结构，匹其计算任原理与办一次超衔静定结夕构完全午相同。图(们a)所弓示为一膨个三次挤超静定阁结构，攀在荷载丹作用下损结构的驱变形如仰图中虚竭线所示害。用力盗法求解姥时，去掠掉支座摄C的三殃个多余凡联系，柄并以相浙应的多绒余力X1、X2和X3代替送所去拿联系赔的作缝用，亩则得蜜到图筑(姜b)墨所示浙的基汤本结猎构上屿，也俯必须裤与原私结构护变形扑相符所，在贸C点拒处沿汽多余巴力X1、X2和遵X3方向的咳相应位淘移△1瓶、△2和△3都应条等于沸零。根据驶叠加恳原理蚀，可摔将基叠本结局构满台足的俗位移耻条件糠表示叛为：这就是唤求解多暖余力X1、X2和X3所要建巨立的力秆法方程其物醋理意林义是狠：在芬基本兔结构爆中，滋由于厕全部元多余品力和昼已知丑荷载瞒的共看同作壶用，惜在去吨掉多脏余联捧系处堡的位园移应达与原死结构叮中相最应的旧位移盒相等用同样戴的分析惊方法，案我们可遍以建立讯力法的链一般方挺程。对于n胀次超静城定结构掘，用力寺法计算看时，可邮去掉n妄个多余身联系得吊到静定凶的基本盛结构，拆在去掉魄的n个避多余联才系处代馋之以n羡个多余紧未知力进。当原略结构联在去喇掉多术余联次系处羡的位化移为奇零时扶，相类应地乐也就代有n个已知附的位移吐条件：i=0(i=1,2,…,n)

据此可列以建立菌n个关晚于求解政多余力恐的方程…………在上列笼方程中倘，从左虹上方至绝右下方博的主对梅角线（睛自左上骡方的11至右未下方宫的nn）上色的系氏数ii称为主水系数。ij称为副鸟系数，它可互利用i图j图图乘求得。

根据位移互等定理可知副系数ij与ji是相储等，摊即ij=ji。该方紫程称子为力爆法的怨典型末方程按前面鹅求静定禾结构位候移的方醉法求得搂典型方休程中的系数和耻自由项液后，即废可解得渔多余力洞Xi。然后可引按照静伏定结构妈的分析贩方法求欠得原结堵构的全部反游力和内闪力。或按逐下述傲叠加稠公式含求出猾弯矩…再根据移平衡条职件可求忽得其剪遥力和轴炉力。15.5力法的刮计算步铃骤和举氏例力法计滨算超静闲定结构意的步骤去掉执原结介构的摆多余私联系邮得到鼓一个泉静定耐的基云本结冻构，膊并以殖多余储力代类替相轿应多钩余联造系的毕作用误。2.浅建立赴力法撕典型仪方程件。根拔据基战本结尤构在捡多余途力和怎原荷浆载的椒共同嫌作用乓下，渡在去务掉多椒余联蜂系处饼的位早移应周与原魄结构轰中相悔应的悼位移址相同爆的位脸移条蹈件，迅建立夫力法资典型孔方程3.求味系数和贩自由项4.昏解典睡型方惊程，案求出奶多余不未知罚力。5.绘甚出原结荣构最后响内力图。【例15-2】试分尺析图拨(耻a)互所示数刚架枪，E充I=施常数滨。【解】：（1片）确定超威静定次且数，选狸取基本愧结构此刚卧架具坐有一池个多位余联贡系，户是一碑次超副静定搏结构袭，去男掉支吼座链区杆C济即礼为静挠定结针构，连并用钢X1代替粮支座校链杆决C状的作愧用，下得基罩本结摄构如毯图已(b煌)所售示。（2）建立力滚法典型弯方程原结构甚在支座C处的竖顽向位移1=0。根据丽位移条件腔可得力法铸的典型轮方程如下寨：（3）求系机数和真自由桨项(a)残所示，拿再作荷岛载单独续作用于兵基本结手构时的耀弯矩图Mp图奸如图(梨b)所爱示.然矛后利用季图乘法盲求系数昂和自由骗项首先顾作I=1单惰独作用冶于基本肉结构的何弯矩图1图如鄙图（4）求解恩多余君力将11、1p代人旦典型纽奉方程荣有解方程脊得（正惜值说蒸明实暮际方累向与突基本结构上敏假设的殖X1方向惊相同蔽，即苏垂直毛向上妻）。M（5）绘制最浑后弯矩沃图各杆届端弯靠矩可盼按PMXM+=11计算，析最后弯则矩图如门图(男c)所帜示。至于剪纳力图和筹轴力图窑，在多席余力求讲出后，割可直接桶按作静无定结构帮剪力图衫和轴力储图的方鞋法作出昨，如图稍(a咸)(恳b)所坑示。【例1口5-2韵】试分析良图(视a)所螺示刚架袋，EI榆=常数【解】：（1）确定茄超静英定次淡数，流选取劝基本柴结构蒸此刚纹架是物两次出超静棕定的免。去涉掉刚秆架B唐处的储两根除支座忠链杆妨，代莫以多爷余力赶X1摇和X剃2熊，得鬼到图枪(轰b)尼所示外的基宰本结拣构。（2）建立力狡法典型僵方程（3）绘出琴各单舞位弯句矩和莫荷载冻弯矩棍图如图火(故a)昆(敞b)劫(计c)际所示。利用图诱乘法求者得各系迎数和自遍由项（4）求解多票余力将以遮上系存数和烦自由开项代往人典坦型方沫程并乓消去，得解联外立方睬程，僵得（5）作最后纯弯矩图撕及剪力骗图、轴拘力图，揪如图钩(d)全(e欲)(浩f)持所示。15.6对称性务的利用用力步法解捏算超袭静定膜结构圆时，懂结构蚕的超侨静定野次数即愈高波，多客余未常知力酬就愈泰多，笋计算先工作谜量也递就愈明大。祸但在宽实际撞的建爱筑结旁构工尿程中剃，很伙多结涂构是被对称偶的，松我们宇可利用震结构钳的对骑称性午，适借当地却选取董基本饰结构，使力猎法典型蜻方程中矩尽可能满多的副耻系数等芬于零，名从而使塞计算工独作得到绿简化。当结构努的几何菠形状、廊支座情嗓况、杆等件的截隔面及弹友性模量畜等均对膝称于某糟一几何洲轴线时摩，则称弓此结构排为对称雾结构。如图a杀所示刚仪架为对炊称结构撤，可选捏取图b木所示的召基本结起构，即雀在对称秤轴处切号开，以多书余未野知力x1,x2,x3来代喷替所斤去掉沫的三诵个多沾余联叉系。相应捕的单墨位力格弯矩烟图如展图c阴,d陷,e掩所示纷，其中x1和x2为对称未示知力；x3为反对晌称的谣未知赖力，显然1,2图是对称图形；

3是反对称图形。

由图形太相乘可芹知：故力法目典型方自程简化瓜为由此妙可知查，力悟法典松型方胀程将谅分成酷两组暖：一组只幸包含对出称的未席知力，渗即x1,略x2；另一组杯只包含悦反对称大的未知促力x3。因此纹，解戏方程搞组的扮工作针得到神简化惨。非对称查的外荷医载可分兴解为对税称的和涂反对称境的两种革情况的掩叠加档（如图耽f.菊a.b筑）＝＋（1）外订荷载禽对称售时，绞使基骄本结区构产华生的颈弯矩盏图p是对怒称的让，则辨得从而姿得x3=0舌。这时跨只要院计算比对称义多余所未知姨力x1和x2。（2省）外息荷载锦反对止称时使基本繁结构产辉生的弯祝矩图p是反肯对称赶的，则得从而纽奉得X1=X2=0这时背，只厌要计春算反胁对称驾的多尖余未我知力地X3..从上述昌分析可昨得到如和下结论爪：1.蠢在计破算对雀称结屿构时剃，如梢果选缘瑞取的卖多余糊未知买力中熔一部喜分是晕对称洁的，季另一王部分两是反刊对称理的。绘则力逐法方荐程将独分为海两组光：一猜组只博包含矩对称仰未知你力；暖另一汉组只革