浙教版九年级数学上册第3章综合素质评价试卷附答案

浙教版九年级数学上册第3章综合素质评价一、单选题(每题3分，共30分)1．已知⊙O的半径为5cm，点A是线段OP的中点，当OP＝8cm时，点A与⊙O的位置关系是()A．点A在⊙O外B．点A在⊙O上C．点A在⊙O内D．不能确定2．圆内接正十边形的外角和为()A．180°B．360°C．720°D．1440°3．下列说法正确的是()A．等弧所对的圆心角相等B．平分弦的直径垂直于这条弦C．经过三点可以作一个圆D．相等的圆心角所对的弧相等4．如图，在4×4的正方形网格中，小正方形的边长为1，若将△ABC绕点A逆时针旋转得到△AB′C′，则eq\o(BB′,\s\up8(︵))的长为()A．πB．eq\f(π,2)C．7πD．6π5．如图，⊙O的半径为5，AB为弦，OC⊥AB，垂足为E，如果CE＝2，那么AB的长是()A．4B．6C．8D．106．如图，四边形ABDC是⊙O的内接四边形，∠BOC＝110°，则∠BDC的度数是()A．110°B．70°C．55°D．125°7．如图，将菱形ABCD绕点A逆时针旋转α得到菱形AB′C′D′，∠B＝β.当AC平分∠B′AC′时，α与β满足的数量关系是()A．α＝2βB．2α＝3βC．4α＋β＝180°D．3α＋2β＝180°8．如图，AB是⊙O的直径，点C，D在⊙O上，且OD经过AC的中点E，连结DC并延长，与AB的延长线相交于点P，若∠CAB＝16°，则∠BPC的度数为()A．16°B．21°C．32°D．37°9．如图，⊙O过点B、C，圆心O在等腰直角三角形ABC的内部，∠BAC＝90°，OA＝1，BC＝6，则⊙O的半径为()A．2eq\r(3)B.eq\r(13)C．4D．3eq\r(2)10．如图，MN是半径为1的⊙O的直径，点A在⊙O上，∠AMN＝30°，点B为劣弧AN的中点，P是直径MN上一动点，则PA＋PB的最小值为()A.eq\r(2)B．1C．2D．2eq\r(2)二、填空题(每题4分，共24分)11．直角三角形的两直角边的长分别为8和6，则此直角三角形的外接圆的半径是________．12．如图，在矩形ABCD中，AB＝1，AD＝2，将边AD绕点A顺时针旋转，当点D落在边BC上的点D′时，∠DAD′＝________°.13．如图，A、B、C为⊙O上的点，若∠ACB＝20°，则∠BAO的度数为________°.14．如图，在5×3的网格图中，每个小正方形的边长均为1，设经过格点A，C，B的圆弧与BD交于点E，则阴影部分的面积为__________．(结果保留π)15．如图，一动点从半径为2的⊙O上的点A0出发，沿着A0O方向运动到⊙O上的点A1处，再向左沿着与A1O夹角为60°的方向运动到⊙O上的点A2处，接着从点A2出发，沿着A2O方向运动到⊙O上的点A3处，再向右沿着与A3O夹角为60°的方向运动到⊙O上的点A4处，…，按该动点此规律运动到点A2023处，则点A2023与点A0之间的距离是________．16．如图，在△ABC中，∠BAC＝60°，∠ABC＝45°，AB＝2eq\r(2)，D是线段BC上的一个动点，以AD为直径画⊙O分别交AB，AC于点E，F，连结EF，则线段EF长度的最小值为________．三、解答题(共66分)17．(6分)如图，AB是⊙O的弦，CD是⊙O的直径，CD⊥AB，垂足为E,CE＝1，ED＝3.(1)求⊙O的半径；(2)求AB的长．18．(6分)如图，在⊙O中，已知AB＝AC，∠APC＝60°.(1)求证：△ABC是等边三角形；(2)求∠APB的度数．19．(6分)如图，⊙M经过原点O，且与两坐标轴分别交于点A和点B，点A的坐标为(4，0)，C是⊙M上一点，∠BCO＝120°，求⊙M的半径和圆心M的坐标．20．(8分)如图，已知AB是⊙O的直径，弦AC与半径OD平行．(1)求证：点D是eq\o(BC,\s\up8(︵))的中点；(2)若AC＝OD＝6，求阴影部分的面积．21．(8分)如图，在⊙O中，eq\o(AB,\s\up8(︵))＝eq\o(BC,\s\up8(︵))＝eq\o(CD,\s\up8(︵))，OC与AD相交于点E，连结BE，BC，CD.求证：(1)AD∥BC；(2)四边形BCDE为菱形．22．(10分)已知在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，在BC边上取一点O，以点O为圆心、OB为半径作圆，且⊙O过A点．(1)如图1，若⊙O的半径为5，求线段OC的长；(2)如图2，过点A作AD∥BC交⊙O于点D，连结BD，求eq\f(BD,AC)的值．23．(10分)我们新定义一种三角形：两边的平方和等于第三边平方的两倍的三角形叫做奇异三角形．(1)根据“奇异三角形”的定义，小华提出命题“等边三角形一定是奇异三角形”，这个命题是真命题还是假命题？(2)在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝c，AC＝b，BC＝a，且b>a，若Rt△ABC是奇异三角形，求a∶b∶c.(3)如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点(不与点A、B重合)，D是半圆的中点，C、D分别在直径AB的两侧，若在⊙O内存在点E，使AE＝AD，CB＝CE.①求证：△ACE是奇异三角形；②当△ACE是直角三角形时，求∠AOC的度数．24．(12分)[问题提出]如图1，AB，AC是⊙O的两条弦，AC＞AB，M是eq\o(BAC,\s\up8(︵))的中点，MD⊥AC，垂足为D，求证：CD＝BA＋AD.小敏在解答此题时，利用了“补短法”进行证明，她的方法如下：证明：如图2，延长CA至E，使AE＝AB，连结MA，MB，MC，ME，BC.∵M是eq\o(BAC,\s\up8(︵))的中点，∴eq\o(BM,\s\up8(︵))＝eq\o(CM,\s\up8(︵))，∴∠MCB＝∠MBC.(请你在下面的空白处完成小敏的证明过程)[推广运用]如图3，等边三角形ABC内接于⊙O，AB＝1，D是eq\o(AC,\s\up8(︵))上一点，∠ABD＝45°，AE⊥BD，垂足为E，则△BDC的周长是________．[拓展研究]如图4，若将[问题提出]中的“M是eq\o(BAC,\s\up8(︵))的中点”改成“M是eq\o(BC,\s\up8(︵))的中点”，其余条件不变，“CD＝BA＋AD”这一结论还成立吗？若成立，请说明理由；若不成立，写出CD，BA，AD三者之间的关系，并说明理由．

答案一、1．C2．B3．A4．A5．C6．D7．C8．B9．B10．A二、11．512．3013．7014．eq\f(13π,16)－eq\f(13,8)15．416．eq\r(3)三、17．解：(1)∵CE＝1，ED＝3，∴CD＝CE＋ED＝4.∴⊙O的半径为2.(2)如图，连结OA，则OA＝OC＝2，∴OE＝OC－CE＝2－1＝1.∵CD⊥AB，∴AB＝2AE，∠OEA＝90°.在Rt△OEA中，由勾股定理，得AE＝eq\r(OA2－OE2)＝eq\r(22－12)＝eq\r(3).∴AB＝2AE＝2eq\r(3).18．(1)证明：∵∠APC＝60°，∴∠ABC＝∠APC＝60°.∵AB＝AC，∴△ABC是等边三角形．(2)解：由(1)知，∠ACB＝∠ABC＝60°.∵四边形APBC是⊙O的内接四边形，∴∠APB＋∠ACB＝180°.∴∠APB＝180°－∠ACB＝180°－60°＝120°.19．解：如图，连结AB.∵BO⊥AO，∴AB过圆心M，即AB是⊙M的直径．∵四边形ABCO是⊙O的内接四边形，且∠BCO＝120°，∴∠BAO＝60°.∴∠ABO＝30°.∴在Rt△ABO中，AB＝2OA＝8.∴⊙M的半径为4.在Rt△ABO中，BO＝eq\r(AB2－OA2)＝eq\r(82－42)＝4eq\r(3).如图，过点M作MN⊥AO，垂足为N.∵M是AB的中点，且MN∥BO，∴MN＝eq\f(1,2)BO＝2eq\r(3)，ON＝eq\f(1,2)OA＝2.∴圆心M的坐标为(2,2eq\r(3))．20．(1)证明：如图，连结CO，∵AC∥OD，∴∠A＝∠DOB，∠ACO＝∠DOC.∵OA＝OC，∴∠A＝∠ACO，∴∠DOB＝∠DOC，∴eq\o(BD,\s\up8(︵))＝eq\o(CD,\s\up8(︵))，∴点D是eq\o(BC,\s\up8(︵))的中点．(2)解：如图，∵AC＝OD＝OC＝OA＝6，∴△AOC是等边三角形，∴∠AOC＝60°，∴S扇形AOC＝eq\f(60π×62,360)＝6π.过点C作CE⊥AB于点E，则∠CEO＝90°，∴∠OCE＝30°，∴OE＝eq\f(1,2)OC＝eq\f(1,2)×6＝3，∴CE＝eq\r(OC2－OE2)＝3eq\r(3)，∴S△AOC＝eq\f(1,2)OA·CE＝eq\f(1,2)×6×3eq\r(3)＝9eq\r(3)，∴S阴影＝S扇形AOC－S△AOC＝6π－9eq\r(3).21．证明：(1)如图，连结BD，∵eq\o(AB,\s\up8(︵))＝eq\o(BC,\s\up8(︵))＝eq\o(CD,\s\up8(︵))，∴∠ADB＝∠CBD，∴AD∥BC.(2)如图，设OC与BD相交于点F.∵eq\o(BC,\s\up8(︵))＝eq\o(CD,\s\up8(︵))，∴BC＝CD.∴易得BF＝DF.又∵∠DFE＝∠BFC，∠EDF＝∠CBF，∴△DEF≌△BCF.∴DE＝BC.∵AD∥BC，∴四边形BCDE是平行四边形．又∵BC＝CD，∴四边形BCDE是菱形．22．解：(1)∵在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，∴∠ABC＝∠ACB＝30°.∵OA＝OB，∴∠BAO＝∠ABO＝30°.∴∠AOC＝∠ABO＋∠BAO＝60°.∴∠OAC＝90°.∵OA＝5，∴OC＝2OA＝10.(2)如图，连结OD.∵∠AOC＝60°，AD∥BC，∴∠DAO＝∠AOC＝60°.∵OD＝OA，∴∠ADO＝60°.∴∠DOB＝∠ADO＝60°.又∵OD＝OB，∴△DOB是等边三角形．∴BD＝OB＝OA.在Rt△OAC中，OC＝2OA，AC＝eq\r(3)OA，即AC＝eq\r(3)BD，∴eq\f(BD,AC)＝eq\f(\r(3),3).23．(1)解：这个命题是真命题．(2)解：易知在Rt△ABC中，有a2＋b2＝c2.∵c>b>a>0，∴2c2>a2＋b2，2a2<b2＋c2.∴若△ABC是奇异三角形，一定有2b2＝a2＋c2.∴2b2＝a2＋(a2＋b2)．∴b2＝2a2，解得b＝eq\r(2)a.∵c2＝b2＋a2＝3a2，∴c＝eq\r(3)a.∴a∶b∶c＝1∶eq\r(2)∶eq\r(3).(3)①证明：∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝∠ADB＝90°.在Rt△ACB中，AC2＋BC2＝AB2，在Rt△ADB中，AD2＋BD2＝AB2.∵D是半圆的中点，∴eq\o(AD,\s\up8(︵))＝eq\o(BD,\s\up8(︵)).∴AD＝BD.∴AB2＝AD2＋BD2＝2AD2.又∵CB＝CE，AE＝AD，∴AC2＋CE2＝2AE2.∴△ACE是奇异三角形．②解：由①可得△ACE是奇异三角形，且AC2＋CE2＝2AE2.当△ACE是直角三角形时，由(2)可得AC∶AE∶CE＝1∶eq\r(2)∶eq\r(3)或AC∶AE∶CE＝eq\r(3)∶eq\r(2)∶1.(Ⅰ)当AC∶AE∶CE＝1∶eq\r(2)∶eq\r(3)时，AC∶CE＝1∶eq\r(3)，即AC∶CB＝1∶eq\r(3).∵∠ACB＝90°，∴∠ABC＝30°.∴∠AOC＝2∠ABC＝60°.(Ⅱ)当AC∶AE∶CE＝eq\r(3)∶eq\r(2)∶1时，AC∶CE＝eq\r(3)∶1，即AC∶CB＝eq\r(3)∶1.∵∠ACB＝90°，∴∠ABC＝60°.∴∠AOC＝2∠ABC＝120°.∴∠AOC的度数为60°或120°.24．解：【问题提出】证明：如图2，延长CA至E，使AE＝AB，连结MA，MB，MC，ME，BC，∵M是eq\o(BAC,\s\up8(︵))的中点，∴eq\o(BM,\s\up8(︵))＝eq\o(CM,\s\up8(︵))，∴∠MCB＝∠MBC.∴MB＝MC.∵∠BAM＝180°－∠MCB，∠EAM＝180°－∠MAC＝180°－∠MBC，∴∠EAM＝∠BAM.在△EAM和△BAM中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(AE＝AB，,∠EAM＝∠BAM，,AM＝AM，))∴△EAM≌△BAM，∴ME＝MB＝MC.又∵MD⊥AC，∴ED＝CD，∴CD＝AD＋AE＝BA＋AD.【推广运用】1＋eq\r(2)【拓展研究】不成立，CD