小波分析全章节讲解(与“信号”有关的文档共88张)

小波分析全章节讲解第一页，共88页。第二页，共88页。小波分析是当前数学中一个迅速发展的新领域，它同时具有理论深刻和应用十分广泛的双重意义。

小波变换的概念是由法国从事石油信号处理的工程师J.Morlet在1974年首先提出的，通过物理的直观和信号处理的实际需要经验的建立了反演公式，当时未能得到数学家的认可。小波分析的应用是与小波分析的理论研究紧密地结合在一起地。一、小波的发展第三页，共88页。

小波分析的应用领域十分广泛，它包括：数学领域的许多学科；信号分析、图象处理；量子力学、理论物理；军事电子对抗与武器的智能化；计算机分类与识别；音乐与语言的人工合成；医学成像与诊断；地震勘探数据处理；大型机械的故障诊断等方面；例如：在数学方面，它已用于数值分析、构造快速数值方法、曲线曲面构造、微分方程求解、控制论等。在信号分析方面的滤波、去噪声、压缩、传递等。在图象处理方面的图象压缩、分类、识别与诊断，去污等。在医学成像方面的减少B超、CT、核磁共振成像的时间，提高分辨率等。第四页，共88页。傅里叶（Fourier)分析是数字信号处理的基础，也是现代信号处理的出发点。它将信号分析从时间域变换到了频率域。泛函分析是20世纪初开始发展起来的一个重要的数学分支，它是以集合论为基础的现代分析手段，它用更加抽象的概念来描述熟知的对象。第五页，共88页。小波理论是建立在傅里叶分析和泛函分析基础之上的视频分析工具之一。小波变换是对傅里叶变换与短时傅里叶变换的发展，为信号分析、图像处理、量子物理及其他非线性科学的研究域带来革命的影响。第六页，共88页。1、傅里叶变换（1）傅里叶（FT）定义

其中，式（1.2）称为傅里叶反变换（IFT)

（1.1）

（1.2）

二、傅里叶分析(连续)第七页，共88页。(2)FT的性质1.对偶性利用对偶性可以方便地得到一些函数的傅里叶变换或反变换公式，即

第八页，共88页。2.位移时域位移将导致信号频谱增加一个附加相位，但是幅频特性不变，即第九页，共88页。3.卷积卷积特性分为时域卷积和频域卷积，即第十页，共88页。4.Parseval定理（内积定理）它表明两个信号在时域和频域中的内积之间的关系，即

特别当时，有

上式实际上给出了信号的能量关系。在时域和频域的总能量是相等的，故也称为能量守恒定理。

第十一页，共88页。信号在一个域内的伸缩会导致在

另一个域的相反方向上的伸缩。5.尺度伸缩在小波分析中，有着大量涉及信号在时域和频域的伸缩和变尺度分析。第十二页，共88页。傅里叶变换(离散)时域离散信号也可以根据是否为周期性，分为离散时间序列傅里叶变换（DTFT）和离散傅里叶变换（DFT）。1.DTFT

第十三页，共88页。2.DFT第十四页，共88页。三、泛函分析1.函数空间（1）线性空间例：平方可积函数空间

（2）赋范线性空间例：

第十五页，共88页。（3）巴拿赫（Banach)空间（4）希尔伯特（Hilbert）空间例1：对于线性空间，定义内积为例2：在n维欧氏空间中，，定义内积为

第十六页，共88页。2.基底及展开（1）由函数序列张成的空间设为函数序列，令集合为即为函数序列的所有可能的线性组合构成的集合，则称为序列张成的线性空间，简记为第十七页，共88页。（2）基底若序列线性无关，则，式中的系数的取值是惟一的。此时，就称为空间的一组基底。（3）正交（直交）设x,y为内积空间中的两个元素，若内积，则称x,y相互正交，简记为。第十八页，共88页。（4）规范正交基若内积空间中的基底满足则称为中的规范正交基（标准正交基）。故都可以展开成为

并且有Parseval等式，即第十九页，共88页。（5）双正交基对于不满足规范正交条件的基底来说，如果存在另一组对偶基底使得对应的傅里叶展开式为

规范正交性存在于原基底与对偶基底之间，展开式也相应的由原基底和对偶基底构成，这种基称为双正交基，与互为对偶基底。第二十页，共88页。（6）框架设H为Hilbert空间，为H中的一个函数序列，若，都存在实数A,B使得则称为框架，其中A,B分别称为框架的上、下界。当A=B时，此框架称为紧框架；尤其当A=B=1时，此紧框架就变为规范正交基。第二十一页，共88页。3.从泛函角度描述傅里叶变换（1）用内积表示傅里叶变换内积空间中的函数，其傅里叶变换可用内积表示为

（2）用基底表示函数的展开第二十二页，共88页。三、窗口傅里叶变换（傅里叶→小波）由于传统傅里叶分析只适用于平稳信号，在进行非平稳信号的分析时通常采用时频处理方法，它将一维时域信号分解为二维时域—频域联合分布表示。传统傅里叶分析不适用于时变信号的分析，但是可以在时域和频域内进行加窗处理，窗内的信号认为是准平稳的，对它们可以采用平稳信号的分析方法，如频谱分析和功率谱分析。这就是窗口傅里叶变换。第二十三页，共88页。为了弥补Fourier变换不能时空定位的不足，工程技术领域长期以来一直采用D.Gabor开发的窗口Fourier变换（短时Fourier变换），来对时空信号进行分段或分块的时空-频谱分析（时频分析）。窗口Fourier变换：其中，g为窗口函数（参见图10-3）。第二十四页，共88页。第二十五页，共88页。虽然窗口Fourier变换能部分解决Fourier变换时空定位问题，但由于窗口的大小是固定的，对频率波动不大的平稳信号还可以，但对音频、图像等突变定信号就成问题了。本来对高频信号应该用较小窗口，以提高分析精度；而对低频信号应该用较大窗口，以避免丢失低频信息；而窗口Fourier变换则不论频率的高低，都统一用同样宽度的窗口来进行变换，所以分析结果的精度不够或效果不好。迫切需要一种更好的时频分析方法。第二十六页，共88页。窗口傅里叶变换的方法时频分析时域-频域联合分加窗时频分析第二十七页，共88页。（1)传统傅里叶分析的局限性传统的傅里叶分析在平稳信号的分析和处理中具有重要作用。它将时间域内复杂信号的分析转换为频率域内的具有简单参数的频谱密度的分析，或者分解为频域内的具有简单形状的信号之和。这种从一个分析域转换到另一个分析域的方法是信号分析中的常用方法。但是现实世界中的很多信号，例如，脑电波信号、地震信号、语音信号等，都是非平稳的。这些信号的频率是时变的。对于这种信号的准确描述，必须使用具有局部性能的时域和频域的二维联合表示，或者说必须提取特定时间段和频率段内的信号特性。这时，传统的傅里叶分析就显得无能为力了。傅里叶变换所描述的是整个时间段内频率的特性，或者说它是一种全局的变换而没有刻画出特定时间段或频率段的特性。（一）时频分析第二十八页，共88页。对于非平稳信号的分析，一种有效的方法是时域-频域二维联合分析。信号从一维时域表示分解为时域和频域的二维联合表示，用以描述信号在不同时刻的频率分布情况。常用的时频分析手段有窗口傅里叶变换、小波变换和Wigner-Ville分布等。(2)时域-频域联合分析第二十九页，共88页。虽然时变信号的频率特性随着时间而改变，但是这种改变是渐变的而非突变的，也就是说，在一个特定的足够小的区间（窗）内，可以认为信号的特性是不变的，信号是局部稳定的或准平稳的。第三十页，共88页。（二）加窗时频分析1.时窗处理将信号在时域内进行分段，等效于用位置不同的窗函数与原信号相乘的结果，如下图所示。在时域内，时间函数一般选取具有能量局部化的函数。先选定一个基本窗函数，然后将沿时间轴平移得到一组窗函数，其中为时间位移。平移后的窗函数分别与原信号相乘，其结果就等效于提取了原信号的不同时间段内的信息而屏蔽了段外的信号。第三十一页，共88页。0ttt00第三十二页，共88页。最简单的时间窗是矩形窗函数，如上图所示。但是也可以根据需要选择其他的窗函数，如Gauss窗、Hanning窗、Blackman窗等。其中，矩形窗函数具有非常良好的时域局部化性质：（1）具有时域紧支集。（2）窗内信号保持原样。（3）窗外信号完全衰减为0，完全地屏蔽了窗外信号。（4）窗的过渡带为“陡”的阶跃跳变，因此，没有平滑的衰减过渡带和窗拖尾。根据常用傅里叶变换，矩形窗函数的频谱为sinc函数，它有着很长的拖尾。这就引入了带外频谱干扰，或者说在频域内的局部化特性不够好，给带内信号的分析带来了干扰。第三十三页，共88页。2.频窗处理加频窗处理实际上是将信号通过滤波器组，或者说将信号分别与多个频窗相乘。频窗是由低通滤波器在频率轴上的平移而形成的一系列带通滤波器，其中为频率位移。带通滤波器组的作用就是提取信号在特定频率段（频带）内的信息而屏蔽频带外信号。第三十四页，共88页。（三）窗口傅里叶变换的基本思想1946年，Gabor提出了窗口傅里叶:变换在传统的傅里叶分析之前，对信号进行了加窗处理。这里的窗函数的选择有些特殊：首先，它时实对称函数；其次，它在某个小区间内衰减很小，而在区间外迅速衰减为0。Gabor在最初的处理中采用的时Gauss窗作为基本窗函数，通过在时间轴上平移得到一组窗函数。第三十五页，共88页。Gabor变换的定义如下：设，即，且为实对称函数，则信号的窗口傅里叶变换（Gabor)变换定义为其中，称为基本窗函数，其能量集中于附近，在远离区域，它迅速衰减为0。第三十六页，共88页。保留了信号在附近的信息而屏蔽了远区信息。是将窗函数平移到，因此，保留的是附近的信号信息。故，实际上分析了附近的频率特性。第三十七页，共88页。（四）时窗、频窗和时频窗窗函数的中心和宽度，分别表征窗函数的位置和集中程度的度量信息。1.时窗与其度量（1）基本定义在窗函数满足，即下，定义时窗中心为第三十八页，共88页。定义时窗宽度为通常情况下，要求窗函数具有归一化能量，即故有：第三十九页，共88页。2.数学和物理解释将认为是一种概率分布，那么和实际上就是对自变量的期望和方差，或者说是一阶和二阶矩，即根据定义，时窗函数的窗口定义为第四十页，共88页。根据矩的性质，一阶矩表征了信号的集中位置，二阶矩表征了信号的扩展程度。因此，可以理解为信号的平均时间或中心位置的定义；可以作为信号在时间轴上所占有的有效宽度的度量。从这个意义上讲，Gabor变换表征了信号在以为中心、左右各为的局部时间内的频率特性。窗口宽度为，它决定了时域分辨率。从物理意义上讲，可以看成是重心，看成是转动惯量。第四十一页，共88页。三、小波变换第四十二页，共88页。小波变换

在前面我们谈到，对于非平稳信号的分析不能依靠傅里叶变换，但可以采用时频分析的方法，其中加窗傅里叶变换是最简单的一种。但是，它有很大的局限性：当基本窗函数一旦取定，窗口的时窗宽度和频窗宽度就固定了，不会随时域和频域的位移而变化。在实际应用中，这种固定的时频窗结构往往不是最佳的，而希望在低频部分的频窗比较窄，在高频部分的频窗比较宽。为了适应这种需求，提出了一种

“自适应变化”的时频窗结构，便产生了小波变换理论。第四十三页，共88页。小波的基本概念小波：指小的波，即是小波，满足小波特点：由于在整个实直线R上是可积的，所以在无穷远点定等于0，也就是说，当t→±∞时，衰减到0，由，可看出的图像与X轴所夹的上半平面中的面积和下半平面积是相等的也就是说t变动时候，它是上下波动的，这就是小波的来源。第四十四页，共88页。小波函数小波变换与傅立叶变换比较，它们的变换核不同：傅立叶变换的变换核为固定的虚指数函数（复三角函数）e-jwx,而小波变换的变换核为任意的母小波。前者是固定的，而后者是可选的，实际上母小波有无穷多种，只要满足下列条件即可。绝对可积且平方可积，即正负部分相抵，即（）满足允许条件，即为的傅立叶变换第四十五页，共88页。常见的小波函数有：Haar小波(AlfredHaar，1910年)：

Haar小波函数及其Fourier变换第四十六页，共88页。墨西哥草帽(Mexicanhat)小波：

墨西哥草帽小波函数及其Fourier变换第四十七页，共88页。Morlet小波(JeanMorlet，1984年)：

Morlet小波函数(C=5)及其Fourier变换那小波到底怎么构成的呢？第四十八页，共88页。一、连续小波变换1、母小波（基本小波或小波母函数）

1.1数学定义设，其傅里叶变换为，如果满足则称为基本小波或母小波。（1.1.1）式（1.1.1）称为小波的容许条件，它表明了函数成为小波的首要条件。第四十九页，共88页。在工程应用中利用小波分析具体信号时，往往优先采用现成的性质较好的经典小波（例如，Morlet小波、Meyer小波和样条小波等）作为母小波，也可以通过特定的构造算法（例如，紧支集正交小波构造算法）生成小波基函数。小波母函数特性

（1）带通性质（2）零均值和波动性（3）“小”特性—时频局部化

第五十页，共88页。2.连续小波基函数将母小波进行某种伸缩和平移，就可以得到很多个与母小波形状相似但“胖瘦”和“位置”不同的副本，比如按下列式的方式进行伸缩和平移，即通常，称为小波基函数，其中称为尺度因子或伸缩因子，称为平移因子，它们都是连续变化的量。因此也称为连续小波基函数。第五十一页，共88页。

系数的作用是使拉伸变形后函数的能量保持不变，即或第五十二页，共88页。除了Haar小波外，其他紧支集小波都不是初等函数，有的小波函数是用导数/积分或微分方程/积分方程来定义，有的小波用其傅立叶变换定义，有的小波甚至没有解析表达式，而只是一些数字解，很多小波为复函数，所以不太直观。第五十三页，共88页。3.连续小波变换的定义有了连续小波基函数，就可以将这些函数作用于能量有限信号，或者说将在这些小波基函数下进行投影分解，这就是连续小波变换。定义：，函数的内积为定义为函数的连续小波变换，简称CWT。变换结果称为小波变换系数。第五十四页，共88页。4.连续小波变换的性质假设信号矢量和为能量有限信号，即，其连续小波变换（CWT）分别表示为和，令，为任意常数。（1）线性叠加性（2）时不变性（3）尺度变换（4）内积定理（Moyal定理）（5）能量关系第五十五页，共88页。5.连续小波变换第五十六页，共88页。连续小波变换的过程第五十七页，共88页。二、离散小波变换连续小波变换必须进行离散化最主要原因在于：连续小波变换系数是高度冗余的，要试图通过离散化，最大程度上消除和降低冗余性。离散小波变换（DWT）是相对于连续小波变换（CWT）的变换方法，本质上是对自变量和进行离散化处理。1.尺度-位移参数的离散化（1）将尺度因子按幂级数进行离散化，即第五十八页，共88页。（2）在同一尺度下，位移因子均匀离散化，即。其中，为大于0的实常数，为整数。离散化后的小波基函数和小波变换分别为第五十九页，共88页。实际应用中，通常取常数为并简记为则离散后的小波变换可以表示为这是一种性质较好的二进离散方案，其机理：当时，。小波基函数均匀地覆盖了整个时间轴，相邻的小波基函数之间间隔为1。第六十页，共88页。为了不丢失信息，要求此时的采样间隔必须满足Nyquist采样定理。每当m增加1，尺度增加1倍，对应的频带减小1/2，根据Nyquist采样定理，此时的采样频率可以降低1/2而不丢失任何信息，对应时域就是采样间隔可以大1倍。因此，当m=1时，采样间隔可以取为{0，2，4，6，8，…}；当m=2时，采样间隔可以取为{0，4，8，12，…}；采样间隔的通式为。这种离散方案的采样间隔示意图如下图所示。第六十一页，共88页。

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第六十二页，共88页。2.小波框架如果函数族满足如下性质，即则称小波基函数族构成了一个小波框架。上式称为小波框架条件，它可以表示为等价的频域形式，即关于小波框架，需要说明几点：（1）由小波框架的定义可以知道，并非任何函数族都能构成一个小波框架。比如当尺度-位移因子的乘积时，就不能构成小波框架。（2）小波函数的对偶函数也构成了另一个框架，且上、下界分别为和.第六十三页，共88页。（3）离散小波变换仍然具有冗余度，但是与连续小波变换相比，这种冗余度大大降低。3.离散小波逆变换将连续小波变换进行离散化处理后，会很自然地引申出两个问题：（1）离散小波变换系数是否完全表征了原信号的全部信息，或者说，能否从离散小波变换系数精确地恢复原信号。（2）是否任何信号都可以分解表示为离散小波基的线性组合，而且其中的组合系数如何求取。第六十四页，共88页。上式两个问题可以归结为一个问题。离散小波变换相比于连续小波变换，其中逆变换要稍微复杂些，需要借助小波框架和对偶小波的概念。（I）对偶小波用于信号重构如果上述第（1）个问题能满足，通过适当选择小波母函数并对和进行适当地离散处理得到，那么一定存在与相对应的一个序列，它使得反变换（重建）公式可以表示为此时，称为的对偶。相应地，称为母小波的对偶母小波。通过伸缩和平移可以得到对偶小波基，即第六十五页，共88页。（II）小波框架如果离散小波基函数满足框架定义，根据框架理论，可以分为以下4种情况进行重构：（1）当A=B=1，框架退化为规范正交基，对偶小波与原小波恰好相等，即此时，离散小波变换的逆变换可以表示为（2）当，即为紧框架时，其对偶小波与原小波仅相差一个比例参数，表示为第六十六页，共88页。则离散小波变换的逆变换可以表示为（3）当，但A与B比较接近时，可以取一阶近似为这种框架称为几乎紧框架，则离散小波变换的逆变换可以表示为第六十七页，共88页。（4）当，但A与B相差甚远时，反变换一般不能直接应用，而必须先求出才能代入标准公式，即但是对偶小波的求取方法比较复杂，因此，这种处理方法在实际应用中不常见。第六十八页，共88页。三、多分辨率分析（多尺度分析）作用：将信号分解成不同空间的部分，另外，它也提供了