高斯公式与斯托克斯公式(2)(共30张PPT)

§3高斯公式与斯托克斯公式第1页，共30页。教学目的：学会用高斯公式计算第二型曲面积分，用斯托克斯公式计算第二型曲线积分．教学内容：高斯公式；斯托克斯公式；沿空间曲线的第二型积分与路径无关的条件．基本要求：学会用高斯公式计算第二型曲面积分，用斯托克斯公式计算第二型曲线积分．掌握沿空间曲线的第二型积分与路径无关的条件．第2页，共30页。高斯(Gauss)公式斯托克斯(Stokes)公式第3页，共30页。定理22.3设空间闭区域V由分片光滑的在V上有连续的一阶偏导数,则有闭曲面S所围成,S的方向取外侧,函数P,Q,R

一、高斯公式第4页，共30页。下面先证:证明设为XY型区域,则第5页，共30页。第6页，共30页。所以若

不是XY–型区域,则可引进辅助面将其分割成若干个XY–型区域,

故上式仍成立.正反两侧面积分正负抵消,在辅助面类似可证三式相加,即得所证Gauss公式：第7页，共30页。例1计算其中S是由x=y=z=0,x=y=z=a六个平面所围的正立方体表面并取外侧为正向.解第8页，共30页。例计算所围的空间区域的表面，方向取外侧.解其中S为锥面与平面第9页，共30页。设S1为上半球体的底面，例计算的外侧.解其中S是上半球面取下侧.于是第10页，共30页。设人站在曲面S上的指定一侧，沿边界曲线L行走，所围的空间区域的表面，方向取外侧.三式相加,即得斯托克斯公式;记三角形ABC为S,取上侧,则指定的侧总在人的左方，则人前进的方向为边界曲线所围的空间区域的表面，方向取外侧.曲线方向相反的两个曲线积分相加刚好抵消,(1)对Ω内任一按段光滑闭曲线L,有利用斯托克斯公式计算积分对曲面S的侧与其边界曲线L的方向作如下规定：(4)在Ω内处处有例设S与上例相同，取球面外侧，取逆时针方向为正向如图所示.故格林公式是斯托克斯公式的特例.教学目的：学会用高斯公式计算第二型曲面积分，用斯托克斯公式计算第二型曲线积分．斯托克斯公式建立了沿曲面S的曲面积分与沿S

的边界曲线L的曲线积分之间的联系.对曲面S的侧与其边界曲线L的方向作如下规定：设人站在曲面S上的指定一侧，沿边界曲线L行走，指定的侧总在人的左方，则人前进的方向为边界曲线

L的正向.二、斯托克斯公式这个规定方法也称为右手法则.第11页，共30页。定理22.4设光滑曲面S的边界L

是按段光滑曲线,同L）上具有连续一阶偏导数，则有

S的侧与L

的正向符合右手法则,

在

S（连第12页，共30页。注意:

则斯托克斯公式就是格林公式,故格林公式是斯托克斯公式的特例.如果S是xoy坐标平面上的一块平面区域,第13页，共30页。为便于记忆,斯托克斯公式还可写作:或用第一类曲面积分表示:第14页，共30页。证:情形1

与平行z轴的直线只交于一点,设其方程为为确定起见,不妨设取上侧(如图).则(利用格林公式)第15页，共30页。第16页，共30页。因此同理可证三式相加,即得斯托克斯公式;第17页，共30页。情形2曲面与平行z轴的直线交点多于一个,则可通过作辅助线面把分成与z轴只交于一点的几部分,在每一部分上应用斯托克斯公式,然后相加,由于沿辅助曲线方向相反的两个曲线积分相加刚好抵消,所以对这类曲面斯托克斯公式仍成立.证毕第18页，共30页。例2.

利用斯托克斯公式计算积分

其中

L

为平面x+y+z=1与各坐标面的交线，解取逆时针方向为正向如图所示.记三角形ABC为S,取上侧,则第19页，共30页。第20页，共30页。例.

利用斯托克斯公式计算积分

其中

L

为y2+z2

=1,x=y所交的椭圆正向.解记以L为边界的椭圆面为S,其方向按右手法则确定，于是有第21页，共30页。将其分割成若干个XY–型区域,将其分割成若干个XY–型区域,其中L为平面x+y+z=1与各坐标面的交线，记三角形ABC为S,取上侧,则情形2曲面与平行z轴的直线交点多于一个,类曲面斯托克斯公式仍成立.曲线方向相反的两个曲线积分相加刚好抵消,记三角形ABC为S,取上侧,则所围的空间区域的表面，方向取外侧.(3)在Ω内存在某一函数u,使故格林公式是斯托克斯公式的特例.所围的空间区域的表面，方向取外侧.对曲面S的侧与其边界曲线L的方向作如下规定：第22页，共30页。例.

为柱面

与平面y=z的交线,从z

轴正向看为顺时针,计算解:设为平面z=y上被

所围椭圆域,

且取下侧,利用斯托克斯公式得则其法线方向余弦第23页，共30页。空间曲线积分与路径无关的条件定理22.5设Ω是空间单连通区域,函数P,Q,R

在Ω上具有连续一阶偏导数,则下列四个条件相互等价:(1)对Ω内任一按段光滑闭曲线L,有(2)对Ω内任一按段光滑曲线L,与路径无关第24页，共30页。(4)在Ω内处处有(3)在Ω内存在某一函数u,使第25页，共30页。与路径无关,并求函数解:

令积分与路径无关,因此例3.验证曲线积分第26页，共30页。内容小结1.高斯公式第27页，共30页。2.斯托克斯公式第28页，共30页。例计算其中S为球面在第一卦限部分

例设S与上例相同，取球面外侧，分别计算下列积分

第29页，共30页。德国数学家、天文学家和物理学家,是与阿基米德,牛顿并列的伟大数学家,他的数学成就遍及各个领域,在数论、级数、复变函数及椭圆函数论等方面均有一系列开创性的贡献,他还十分重视