河北省衡水中学高考试卷1高三上学期第二次调研考试理数试题解析（解析版）

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1.设全集，集合，，则()A．B．C．D．【答案】D考点：集合的运算性质2.正项等比数列中，存在两项.，使得，且，则的最小值是()A．B．C．D．【答案】A【解析】试题分析：由题根据所给条件求得数列的公比，然后根据得到，进而运用均值不等式求解即可.设数列的公比为q,则由可得或-1(舍去)，因为存在两项.，使得，所以，(当且仅当时取等号)，则的最小值是.考点：等比数列性质；基本不等式3.设向量与满足，在方向上的投影为，若存在实数，使得与垂直，则()A．B．C．D．【答案】C考点：平面向量的数量积运算4.已知函数的最大值为，最小值为．两个对称轴间最短距离为，直线是其图象的一条对称轴，则符合条件的解析式为()A．B．C．D．【答案】B【解析】试题分析：由题意可得A+m=4，A-m=0，解得A和m的值，再根据周期求出ω，根据函数图象的对称轴及φ的范围求出φ，从而得到符合条件的函数解析式．由题意m=2．A=±2，再由两个对称轴间的最短距离为可得函数的最小正周期为π可得,，是其图象的一条对称轴，故可取，故符合条件的函数解析式是，故选B.考点：函数图象与性质5.在中，三个内角，，所对的边为，，，若，，，则()A．B．C．D．【答案】B考点：正弦定理、余弦定理和面积公式的运用6.设是所在平面上的一点，且，是的中点，则的值为()A．B．C．D．【答案】A【解析】试题分析：结合题意，画出图形，利用图形，延长MD至E，使DE=MD，得到平行四边形MAEC，求出与的关系，即可得出正确的结论．如图所示，∵D是AC之中点，延长MD至E，使得DE=MD，∴四边形MAEC为平行四边形，，故选A．考点：平面向量基本定理7.已知锐角是的一个内角，，，是三角形中各角的对应边，若，则下列各式正确的是()A．B．C．D．【答案】C考点：余弦定理；基本不等式8.已知函数（，为自然对数的底数）与的图象上存在关于轴对称的点，则实数的取值范围是()A．B．C．D．【答案】B【解析】试题分析：由已知，得到方程a-x2=-2lnx⇔-a=2lnx-x2在上有解，构造函数，求出它的值域，得到-a的范围即可．由已知，得到方程在上有解，设，在x=1有唯一的极值点，故方程在上有解等价于从而a的取值范围为．故选B．考点：对数函数的图像与性质9.已知是数列的前项和，，，，数列是公差为的等差数列，则()A．B．C．D．【答案】B考点：等差数列的性质【名师点睛】本题属于创新题目，比较灵活的考查了等差数列的性质的推广问题，解决问题的关键是将所求数列转化为求等间距的等差数列的项组成新的等差数列问题进行计算即可，属于较好的创新题目，能够从正反两个方面考查等差数列性质的运用.10.函数与的图象所有交点的横坐标之和为()A．B．C．D．【答案】C【解析】试题分析：由图象变化的法则和余弦函数的特点作出函数的图象，由对称性可得答案．由图象变化的法则可知：的图象作关于y轴的对称后和原来的一起构成的图象，在向右平移1个单位得到的图象，再把x轴上方的不动，下方的对折上去,可得的图象；又的周期为2，如图所示：两图象都关于直线x=1对称，且共有A、B、C、D，4个交点，由中点坐标公式可得：，故所有交点的横坐标之和为4，故选C.考点：函数零点；函数图像11.已知向量是单位向量，，若，且，则的取值范围是()A．B．C．D．【答案】D考点：平面向量的坐标运算、两点之间的距离公式，点到直线的距离【名师点睛】本题考查了以平面向量模长为背景下的函数最值的求解，属于较难题；关键是根据点(x,y)的几何意义得到其轨迹为点（1，0）和（0，2）之间的线段，然后根据表示点到线段上的连线的范围，结合其几何关系不难解决问题.12.定义在上的单调函数，，，则方程的解所在区间是()A．B．C．D．【答案】C【解析】试题分析：根据题意，由单调函数的性质，可得为定值，可以设，则考点：根的存在性及根的个数判断；对数函数图象与性质的综合应用．【名师点睛】本题注意考查利用零点存在性定理判断函数的零点及函数零点与方程根的关系的应用，解题的关键点和难点是求出的解析式，根据迭代的方法求得的解析式，结合及零点有关知识得到的个所在的范围即可.第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）13.若，，则的值为．【答案】0【解析】试题分析：把已知条件的等式两边都乘以，得到关于的方程，求出方程的解，根据的范围即可得到满足题意的值，然后把所求的式子利用两角和的正弦函数公式及特殊角的三角函数值化简后，再利用同角三角函数间的基本关系把分母中“1”化为正弦与余弦函数的平方和的形式，分子利用二倍角的正弦、余弦函数公式化简，然后给分子分母都除以，变为关于的关系式，把求出的的值，然后根据条件计算即可．或，，.考点：两角和的正弦函数公式；同角三角函数间的基本关系化简求值；二倍角14.已知函数（）满足，且的导数，则不等式的解集为．【答案】考点：导数的运算；其它不等式的解法15.已知是等差数列的前项和，且，给出下列五个命题：①；②；③；④数列中的最大项为；⑥．其中正确命题的个数是．【答案】3考点：等差数列的性质【名师点睛】本题考查等差数列的前n项和的最值．在等差数列中存在最大值的条件是：．主要是对数列函数特性的考查，属于今常考的命题方向，一定要认真思考，总结该类型题目的解决方法.16.已知函数为偶函数且，又，函数，若恰好有个零点，则的取值范围是．【答案】【解析】试题分析：由题作出函数f(x)与g(x)的图像，然后根据函数周期性与奇偶性研究第一象限交点问题即可解决问题.由题为偶函数且，不难得到其第一象限局部图像如图所示，易知g(x)为偶函数，所以只要两者在第一象限交点个数为2个的a的范围即为所求实数a的范围，易知当g(x)分别经过A,B两点时的a值分别为时所给函数F(x)的零点个数为4个.考点：分段函数的通项与性质；函数的奇偶性与周期性；函数的零点问题【名师点睛】有关分段函数的图像与性质的考查题目往往与函数的零点及函数的基本性质及单调性，奇偶性的考查结合在一起，解决问题的关键是根据函数解析式分析其图像特征，通过数形结合思想解决有关问题即可，有一定难度，需要认真练习，通过作图能力、计算能力及分析能力.三、解答题（本大题共6小题，17题10分，其余每题12分，共70分.解答应写出文字说明.证明过程或演算步骤.）17.（本小题满分10分）设数列满足，．求的通项公式；记，求数列的前项和．【答案】(1)；(2)考点：数列的求和；数列递推式．18.（本小题满分12分）已知角，，是的三个内角，，，是各角的对边，若向量，，且．求的值；求的最大值．【答案】(1)；(2)考点：三角函数的化简求值；平面向量数量积的运算．19.（本小题满分12分）已知函数（）的最小正周期为．求函数在区间上的最大值和最小值；在中，，，分别为角，，所对的边，且，，求角的大小；在的条件下，若，求的值．【答案】(1)时，f（x）的最小值是-3，时，f（x）的最大值是1；(2)；(3)【解析】试题分析：(1)由三角函数中的恒等变换应用化简函数解析式，利用周期公式可求ω，由时，可得，根据正弦函数的图象和性质即可得解；(2)由已知，由正弦定理结合，可得，结合，即可求C的值；(3)由得，由(2)可求，从而利用两角和与差的余弦函数公式即可求值．试题解析：(1)……………..(2分)，所以时，f（x）的最小值是-3，时，f（x）的最大值是1；………..(4分)(2)由已知由正弦定理，有；……………..(8分)(3)由得,，……..(12分)考点：三角函数中的恒等变换应用；正弦定理；三角函数的最值．【名师点睛】本题主要考查了三角函数中的恒等变换应用，正弦定理，正弦函数的图象和性质，属于基本知识的考查．有关三角函数图像与性质问题结合解三角形问题主要是根据所给三角函数的性质结合有关运算公式及正弦定理、余弦定理进行边角关系的分析计算解决有关问题，难度往往不大，多为中档题目.20.（本小题满分12分）已知函数，其中，为自然对数底数．讨论函数的单调性，并写出相应的单调区间；设，若函数对任意都成立，求的最大值．【答案】(1)当时，函数在单调递增区间为；当时，函数的单调递减区间为，单调递增区间为；(2)（2）由（1）知，当时，函数在R上单调递增且当时，不可能恒成立；……………..(6分)当a=0时，此时ab=0；……………..(7分)当a>0时，由函数对任意x∈R都成立，可得，∵，……..(9分)设，则，由于，令，得时，单调递增；时，单调递减.，即当时，ab的最大值为.…..(12分)考点：利用导数研究函数的单调性；导数在最大值、最小值问题中的应用．21.（本小题满分12分）设函数，．当时，在上恒成立，求实数的取值范围；当时，若函数在上恰有两个不同的零点，求实数的取值范围；是否存在常数，使函数和函数在公共定义域上具有相同的单调性？若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由．【答案】(1)；(2)；(3)（3）存在满足题意，函数的定义域是，对m分类讨论即可得出单调性，而函数g（x）在上的单调递减区间是，单调递增区间是，解出即可．（3）存在满足题意．，函数的定义域是，若，意．，函数f（x）在上单调递增，不合题意；当时，由，得，解得或（舍去），故时，函数的增区间是，单调递减区间是，而函数g（x）在上的单调递减区间是，单调递增区间是，故只需.……………..(12分)考点：导数在最大值、最小值问题中的应用；函数的零点；利用导数研究函数的单调性．22.（本小题满分12分）已知函数（）．当时，求函数的单调区间；若对任意实数，当时，函数的最大值为，求的取值范围．【答案】(1)在上单调递增，在上单调递减(2)试题解析：(1)当时，，………………..(1分)列表如下：∴函数在上单调递增，在上单调递减；………………..(4分)(2)由题意，（1）当时，函数在上单调递增，在上单调递减，此时，不存在实数，使得当时，函数）的最大值为；……………..(6分)代入化简得，令恒成立，故恒有，时，恒成立；综上，实数a的