各类不等式的解法

各类不等式的解法一、不等式的基本性质不等式的基本性质有：(1)对称性或反身性：a>bb<a；(2)传递性：若a>b，b>c，则a>c；(3)可加性：a>ba+c>b+c，此法则又称为移项法则；(4)可乘性：a>b，当c>0时，ac>bc；当c<0时，ac<bc。不等式运算性质：(1)同向相加：若a>b，c>d，则a+c>b+d；(2)正数同向相乘：若a>b>0，c>d>0，则ac>bd。特例：(3)乘方法则：若a>b>0，n∈N+，则；(4)开方法则：若a>b>0，n∈N+，则；(5)倒数法则：若ab>0，a>b，则。例1：1)、的大小关系为.2）、设,且则与的大小关系是.3）已知满足,试求的取值范围.例2.比较与的大小。例3.解关于x的不等式。二、一元二次不等式的解法一元二次不等式或的求解原理：利用二次函数的图象通过二次函数与二次不等式的联系从而推证出任何一元二次不等式的解集。二次函数的图象一元二次方程的根有两相异实根有两相等实根无实根解集R的解集【例题讲解】1.解下列不等式：（1）(2)(3)(4)2.解不等式组（1）（2）3.若不等式的解集为(-2,3),求不等式的解集.4.当为何值时，不等式对于一切实数都成立？三、分式不等式与高次不等式的解法1.分式不等式解法一个零点分两个范围,两个零点分三个零点,依次类推.（1）含有一个绝对值：不等式的解集是;不等式的解集是不等式的解集为;不等式的解集为（2）含有多个绝对值：零点分段法例1解不等式（1）.（2）（3）（4）1|2x-1|<5.（5）|4x-3|>2x+1例2解不等式：（1）|x-3|-|x+1|<1.（2）|x|－|2x＋1||＞1．例3已知函数f(x)=|x-2|-|x-5|．（I）证明：-3≤f(x)≤3；（II）求不等式f(x)≥x2-8x+15的解集．六、指数不等式与对数不等式利用指数函数及对数函数的单调性转化为代数不等式例1.解不等式例2.解不等式.例3.解不等式：例4．时解关于x的不等式七、基本不等式（也叫均值不等式）1．基本不等式基本不等式不等式成立的条件等号成立的条件eq\r(ab)≤eq\f(a＋b,2)a>0，b>0a＝b2.常用的几个重要不等式(1)a2＋b2≥2ab(a，b∈R)(2)ab≤(eq\f(a＋b,2))2(a，b∈R)(3)eq\f(a2＋b2,2)≥(eq\f(a＋b,2))2(a，b∈R)(4)eq\f(b,a)＋eq\f(a,b)≥2(a，b同号且不为零)上述四个不等式等号成立的条件都是a＝b.3．算术平均数与几何平均数设a>0，b>0，则a，b的算术平均数为eq\f(a＋b,2)，几何平均数为eq\r(ab)，基本不等式可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．4．利用基本不等式求最值设x，y都是正数．(1)如果积xy是定值P，那么当x＝y时和x＋y有最小值2eq\r(P).(2)如果和x＋y是定值S，那么当x＝y时积xy有最大值eq\f(1,4)S2.练习1．已知两个正数a，b的等差中项为4，则a，b的等比中项的最大值为()A．2B．4C．8D．162．若a，b∈R，且ab>0，则下列不等式中，恒成立的是()A．a2＋b2>2abB．a＋b≥2eq\r(ab)C.eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)≥eq\f(2,\r(ab))D.eq\f(b,a)＋eq\f(a,b)≥23．若x＋2y＝4，则2x＋4y的最小值是()A．4B．8C．2eq\r(2)D．4eq\r(2)4.当x>1时，求函数f(x)＝x＋eq\f(1,x－1)的最小值________．5．已知x，y>0，且满足eq\f(x,3)＋eq\f(y,4)＝1，则xy的最大值为________．6．某公司一年购买某种货物400吨，每次都购买x吨，运费为4万元/次，一年的总存储费用为4x万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x＝________.7.已知a、b、c为正实数，且a＋b＋c＝1，求证：(eq\f(1,a)－1)(eq\f(1,b)－1)(eq\f(1,c)－1)≥8.八、不等式的证明（一）比较法：1．比较法之一（作差法）步骤：作差——变形——判断与0的关系——结论2．比较法之二（作商法）步骤：作商——变形——判断与1的关系——结论例1求证：x2+3>3x例2a,bR+，且，求证：（二）综合法1．综合法：利用某些已经证明过的不等式（例如算术平均数与几何平均数定理）和不等式的性质推导出所要证明的不等式成立，这种证明方法通常叫做综合法.2．用综合法证明不等式的逻辑关系是：3．综合法的思维特点是：由因导果，即由已知条件出发，利用已知的数学定理、性质和公式，推出结论的一种证明方法。例3已知a，b，c是不全相等的正数，求证：例4已知a，b∈R，证明：log2（2a＋2b）≥.（三）分析法1.分析法：从求证的不等式出发，分析使这个不等式成立的充分条件，把证明不等式转化为判定这些充分条件是否具备的问题。2．用分析法证明不等式的逻辑关系是：3．分析法的思维特点是：执果索因。4．分析法的书写格式：要证明命题B为真，只需要证明命题为真，从而有……这只需要证明命题为真，从而又有…………这只需要证明命题A为真.而已知A为真，故命题B必为真。例5求证例6若a,b,c是不全等的正数，求证（四）反证法1.定义：反证法：一般地，假设原命题不成立，（即在原命题的条件下，结论不成立），经过正确的推理,最后得出矛盾，因此说明假设错误,从而证明了原