《土木工程力学》第五章 失效分析基础

第五章失效分析基础

第一节应力、应变和构件失效第二节轴向荷载作用下的材料力学性能和材料失效第三节安全储备、强度条件和强度失效判别每章一练教学目标1.熟悉应力、应变、胡克定律等基础概念2.了解材料失效的形式和区别。3.掌握轴向荷载作用下的材料力学性能。4.掌握强度失效判别条件、准则及其应用。5.了解构件失效的种类。第一节应力、应变和构件失效一、应力

如图5-1所示的物体，设其处于弹性平衡状态，如用一假想的平面m-n，将其截开，分成A和B两部分。由于原物体处于平衡状态，所以A部分或者B部分在外力与截面内力的共同作用下也必定处于平衡状态，如图5-1(b)、(c)所示，所以可应用平衡条件计算截面内力。事实上，截面内力是截面各点内力的合效应，下面将讨论截面上一点的内力。1、平均应力根据变形体的基本假设，组成构件的材料是连续的，所以截面上点的内力应该是连续的分布在构件整个截面上。在工程实践中，杆件的承载能力是与内力集度相关的。例如，两根

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材料相同、截面面积不同的等截面直杆，受同样大小的轴向拉力作用，两根杆件横截面的内力是相等的，但是截面面积小的杆件易被拉断，而截面面积大的杆件却不易被拉断。其原因就是因为截面面积小的杆件的横截面上内力分布的密集程度(简称内力集度)大。在截面a点上取一微小面积△A，如图5-2(a)所示，作用在微小面积△A上的总内力为△F,那么比值称为vA上的平均应力。当内力分布不均匀时，平均应力的值随vA的大小而变化，它不能确切地反映vA点处的内力集度。下一页上一页返回第一节应力、应变和构件失效

只有当vA无限趋近于零时，平均应力的极限值n才能准确地代表vA点处的内力集度，用式子表示为

p值称为a点处的应力值2、正应力和切应力一般地，截面一点处的应力与截面既不垂直也不相切，将它分解为垂直于截面和相切于截面的两个分量，如图5-2(b)所示。垂直于截面的应力分量称为正应力，用σ表示;相切于截面的应力分量称为切应力，用τ表示。计算时可将作用在微小面积△A上的总内力分解成垂直与平行于该微面积的力下一页上一页返回第一节应力、应变和构件失效

△Fn与△Ft，从而写出3、切应力互等原理在某构件上绕某点取一微小的正六面体，用平面图表示，如图5-3所示。可以证明τ=τ’（5-1）切应力互等定理：任意两个互相垂直的平面上，切应力总是成对出现，它们大小相等，方向相反，垂直作用于两互相垂直平面的公共棱边。下一页上一页返回第一节应力、应变和构件失效二、应变

在构件上某点处取一微小的正六面体，如图5-4(a)所示。当构件受外力作用时，微小的正六面体将产生变形。其变形分两种情况，第一种情况是正六面体产生简单的伸长与缩短变形，如图5-4(b)所示，与x轴平行的边长，原长为dx，变形后的长度为dx+△dx，将比值称为微小正六面体所在处的点沿x方向的线应变。第二种情况是正六面体的两个面之间原有的直角夹角产生改变，如图5-4(c)所示，这一改变量称为两个方向的面之间的角应变，或

下一页上一页返回第一节应力、应变和构件失效称切应变，记作γ，即以上两式中，线应变ε是量纲为一的量;切应变γ的单位是度(rad)。

下一页上一页返回第一节应力、应变和构件失效三、胡克定律在应力不超过材料的比例极限σp时，杆件的纵向变形△l与轴力Fn及杆件长度l成正比，而与杆件的横截面A成反比，这一规律称为胡克定律。胡克定律可以用公式表示为式中，E为弹性模量;EA为抗拉刚度，反映材料性质及截面形状抵抗变形的能力。胡克定律可变为另一种形式，即在应力不超过材料的比例极限σp时，应力和应变成正比，用公式表示为σ=Eε

下一页上一页返回第一节应力、应变和构件失效应用胡克定律的条件:

•等截面直杆，即A为常量;

•各截面上轴力F、都相等，即F、为常量;

•材料相同，即E为常量。

必须同时符合以上三个条件才可以使用公式

，否则应分别计算，然后再叠加。由应力一应变关系曲线中的直线段可以看出，弹性模量E为直线段的斜率，其值随材料的不同而不同。材料的弹性模量可由试验测得，它不仅是材料本身所具有的力学性质，而且反映材料抵抗弹性变形的能力。E值越大，变形越小，表明材料抵抗变形的能力越强。弹性模量的单位和应力的单位相同。下一页上一页返回第一节应力、应变和构件失效例5-1如图5-5(a)所示的阶梯形钢杆，AB段横截面面积4=500mm2,BC段横截面面积A2=200GPa，材料的弹性模量E=200GPa，试求该钢杆的变形。解：(1)计算A端的约束反力。选取阶梯形钢杆为研究对象，进行受力分析，如图5-5(b)所示。由∑Fx=0可得

FAx+10-30=0，FAx=20kN下一页上一页返回第一节应力、应变和构件失效

(2)由于不同时满足胡克定律的三个应用条件，所以应分别计算AB段和AC段的变形lAB、lAc，然后叠加。计算结果为负值，说明钢杆总长度被压缩0.015mm下一页上一页返回第一节应力、应变和构件失效四、构件失效1、构件失效的概念取两根完全相同的弹簧，一根挂一重量小的重物，另一根挂一重量比较大的重物(超过弹簧的弹性极限)，取下重物后，挂重量较小的弹簧能恢复原状，而挂重物较大的弹簧却不能再继续使用，这就是弹簧的失效。

设计构件或元件时，都要根据设计要求，使它们具有确定的功能。在某些条件下，例如过大的荷载或过高的温度，构件或元件有可能丧失它们应有的功能，此即构件或元件的失效。因此，构件失效是指由于材料的力学行为而使构件丧失正常功能的现象。下一页上一页返回第一节应力、应变和构件失效2、构件失效的种类构件或元件在过高温度、过大荷载作用下的失效，主要表现为强度失效、刚度失效以及失稳或屈曲失效。

(1)强度失效由于材料屈服或断裂引起的失效，称为强度失效。强度是指构件抵抗破坏的能力。如果材料的强度不足，将造成桥梁断裂、房屋中的楼板断裂等现象。

(2)刚度失效由于构件过量的弹性变形引起的失效，称为刚度失效。刚度是指构件抵抗变形的能力。例如，楼板梁在荷载作用下产生过大的变形时，依附于其上的抹灰层就会开裂、剥落;桥梁产生过大变形，汽车在桥面上行驶会产生跳动，引起振动等。下一页上一页返回第一节应力、应变和构件失效

(3)失稳或屈曲失效由于构件形状突然转变而引起的失效，称为失稳或屈曲失效。例如，一细长杆，当压力不大时，杆件可以保持直线形状且平衡;当压力增加到超过其极限值时，杆件不能继续保持直线形状，突然从直线形状变成弯曲形状，如图5-6所示。不同构件对强度、刚度、稳定性的要求是不同的，其中强度条件占主导地位，必须首先满足。3、材料失效的两种形式把材料失去继续承受荷载的能力称为材料的失效。在做低碳钢Q235拉伸实验时，外力F在强化阶段达到最大值此后至拉断过程中外力F逐渐减小，说明试件逐渐失去抵抗能力。下一页上一页返回第一节应力、应变和构件失效从低碳钢Q235和铸铁的拉伸实验可以分析出材料的破坏特征:

•低碳钢的拉伸应力一应变曲线有屈服阶段，说明在破坏之前有很好的塑性变形;

•铸铁的拉伸应力一应变曲线没有屈服阶段，破坏是突然的、瞬间的。从试验还可以看出:低碳钢有很好的塑性变形，这类材料称为塑性材料，例如铝合金、铜等;铸铁的变形很小，而且变形和断裂儿乎同时发生，这类材料称为脆性材料。因此，材料的失效分为塑性破坏和脆性破坏。下一页上一页返回第一节应力、应变和构件失效

•塑性破坏是指材料在破坏之前有明显的变形，从发生到最后的破坏，要持续较长时间，且承受荷载的能力还有所增加。低碳钢Q235拉伸实验进人屈服阶段后，应力-应变曲线尚有上升阶段。

•脆性破坏是指材料在破坏之前既没有明显的变形，也没有明显的预兆，破坏瞬间发生。例如铸铁。上一页返回第二节轴向荷载作用下的材料力学性能和材料失效一、材料的拉伸实验材料的力学性能由试验测定。拉伸试验是研究材料力学性能最基本、最常用的试验。为了使不同材料的试验结果能够互相比较，试验时首先要把待测试的材料加工成试件。试件如

图5-7所示，试件中段用来测量变形的长度l0称为标距，其中圆截面长试件其工作段长度l0=10d0，短试件l0=5d0如

图5-7(a)所示，分别称为10倍试件或5倍试件;矩形截面工作长度l0=1.3

或l0=5.65，A0为横截面面积如图5-7(b)所示。金属材料的压缩实验，一般采用短圆柱形试件，其高度为1.5~3d0倍如图5-7(c)所示。下一页返回第二节轴向荷载作用下的材料力学性能和材料失效二、低碳钢在拉伸时的力学性能常温、静载下的低碳钢单向拉伸试验，可在万能材料试验机上进行。试验时采用国家规定的标准试件，如图5-9所示。标准试件中间部分是工作段，其长度Z称为标距。常用截面有圆形和矩形，规定圆形截面标准试件的标距L与直径d的比值为L=10d或L=5d。而矩形截面标准试件的标距L与截面面积A的比值为l=11.3或l=5.65。1、拉伸图与应力一应变图

将低碳钢的标准试件夹在万能材料试验机上，开动试验机后，试件受到由零缓慢增加的拉力F作用，同时试件逐渐伸长，直至拉断为止。以拉力F为纵坐标，以纵向伸长量△l为下一页上一页返回第二节轴向荷载作用下的材料力学性能和材料失效横坐标，将F和△l的关系按一定的比例绘制的曲线，称为拉伸图(或F-△l图)，如图5-10(a)所示。一般材料试验机上都有自动绘图装置，试件拉伸过程中能自动绘出拉伸图。为了消除试件尺寸的影响，反映材料本身的性质，将纵坐标F除以试件横截面的原始面积A，得到应力σ;将横坐标△l除以原标距l，得到线应变ε，这样绘制的曲线称为应力一应变图，如图5-10(b)所示。2、拉伸过程的四个阶段低碳钢的应力一应变图反映出的试验过程可分为四个阶段，各阶段有其不同的力学性能指标。)下一页上一页返回第二节轴向荷载作用下的材料力学性能和材料失效

(1)弹性阶段

•在试件的应力不超过b点所对应的应力时，材料的变形全部是弹性的，即却除荷载时，试件的变形将全部消失。

•弹性阶段最高点b相对应的应力值σe.称为材料的弹性极限。

•在弹性阶段内，初始一段是直线Oa，它表明应力与应变成正比，材料服从胡克定律。

•过a点后，应力一应变图开始微弯，表示应力与应变不再成正比。

•应力与应变成正比关系最高点a所对应的应力值

σa，称为材料的比例极限。建筑中最常用的Q235钢比例极限约为下一页上一页返回第二节轴向荷载作用下的材料力学性能和材料失效

200MPa图中直线Oa与横坐标ε轴的夹角为α，材料的弹性模量E可由夹角的正切表示，即

(5-2)弹性极限σe和比例极限σa两者意义虽然不同，但数值非常接近，工程上对它们不加严格区分，通常近似地认为在弹性范围内材料服从胡克定律。

(2)屈服阶段

•当应力超过b点所对应的应力后，应变增加很快，应力仅在很小范围内波动，在σ-ε图上呈现出接近于水平的“锯齿”形段bc。下一页上一页返回第二节轴向荷载作用下的材料力学性能和材料失效

•此阶段应力基本不变，应变显著增加，称为屈服阶段(也称流动阶段)。

•屈服阶段中的最低应力称为屈服点，用σs表示。Q235钢的屈服点约为235MPa。材料到达屈服阶段时，如果试件表面光滑，则在试件表面上可以看到大约与试件轴线成45o的斜裂纹线，如图5-11所示，这种斜裂纹线称为滑移线。这是由于在45o面上存在最大切应力，造成材料内部晶粒之间相互滑移所致。

(3)强化阶段

•过了屈服阶段以后，材料重新产生了抵抗变形的能力，体现在σ-ε图中曲线开始向上凸如图5-9(b)中的cd段，它表下一页上一页返回第二节轴向荷载作用下的材料力学性能和材料失效

明若要试件继续变形，必须增加应力，这一阶段称为强化阶段。

•曲线最高点d所对应的应力称为强度极限或抗拉强度，以σb表示。Q235钢的强度极400MPa。

(4)颈缩阶段

•当应力到达强度极限之后，在试件薄弱处将发生急剧的局部收缩，出现“颈缩”现象(图5-12)。

•由于颈缩处截面面积迅速减小，试件继续变形所需的拉力F也相应减少，用原始截面面积A算出的应力值也随之下降，曲线出现了de段形状，至e点试件被拉断。上述低碳钢拉伸的四个阶段中，有两个有关强度性质的指下一页上一页返回第二节轴向荷载作用下的材料力学性能和材料失效标，即屈服点σs和强度极限σb。

•当应力达到

σs时，杆件产生显著的塑性变形，使得杆件无法正常使用;

•当应力达到

σb后，杆件出现颈缩并很快被拉断。3.塑性指标试件在外力的作用下超过屈服点后，试件(图5-12)的变形包含弹性变形和塑性变形两部分。试件断裂后，弹性变形随着荷载的消失而消失了，塑性变形则仍然存在。试件断裂后所遗留下的塑性变形大小，常用来衡量材料的塑性性能。塑性指标有两个:(1)伸长率试件拉断后的标距长度l1减去原来的标距长度l除下一页上一页返回第二节轴向荷载作用下的材料力学性能和材料失效以标距长度l的百分比称为材料的伸长率δ，即

(5-3)Q235钢的伸长率δ约为20%-30%。

(2)截面收缩率试件拉断后断裂处的最小横截面面积用A1表示，则比值

(5-4)

称为截面收缩率。Q235钢的截面收缩率Ψ约为60%-70%.4.冷作硬化在试验过程中，如加载到强化阶段某点f时(图5-13)，将荷载逐渐减小到零，可以看到，卸载直线fO1，基本上与弹性下一页上一页返回第二节轴向荷载作用下的材料力学性能和材料失效阶段直线Oa平行。f点对应的总应变为Og，回到O1时所消失的部分O1g为弹性应变，不能消失的部分001为塑性应变。如果卸载后立刻再加荷载，则σ-ε曲线将基本上沿着卸载时的同一直线O1f上升到f点，f点以后的σ-ε曲线与原来的σ-ε曲线相同如图5-13(b)所示。比较图5-13(a)与图5-13(b)，可见卸载后再加载，材料的比例极限与屈服点都得到了提高，而塑性将下降。这种将材料预拉到强化阶段，然后卸载，当再加载时，比例极限和屈服点得到提高而塑性降低的现象，称为冷作硬化。工程中常利用冷作硬化来提高钢筋的屈服点，达到节约钢材的日的。下一页上一页返回第二节轴向荷载作用下的材料力学性能和材料失效三、铸铁在拉伸时的力学性能图5-14是铸铁拉伸时的σ-ε曲线。它的伸长率约为0.4%是典型的脆性材料。图中没有明显的直线部分，没有屈服阶段，断裂时的应力就是强度极限σb

，它是脆性材料衡量强度的唯一指标。强度极限σb可以看成被拉断时的真实应力，因为脆性材料的试件被拉断时，其横截面的缩减极其微小。脆性材料的弹性模量是用割线代替σ-ε图曲线，以割线的斜率tanα为近似的E值，称为割线弹性模量。铸铁的割线弹性模量E为115~160GPa。下一页上一页返回第二节轴向荷载作用下的材料力学性能和材料失效四、材料在压缩时的力学性能金属材料压缩试验所用的试样为圆柱形的短柱体，高为直径的1.5~3.0倍;非金属材料(如混凝土、石料等)试样为立方块，分别如图5-15(a),(b)所示。试样高度不能太大，这样才能避免试件在试验过程中被压弯失稳。1、低碳钢的压缩试验

图5-16中的虚线为低碳钢压缩试验的σ-ε曲线，实线为低碳钢拉伸时的σ-ε曲线。比较两曲线可以看出：

•在屈服阶段以前，两曲线重合，低碳钢压缩时的比例极限、屈服点、弹性模量均与拉伸时相同

•过了屈服点之后，试件越压越扁，压力增加，其受压面积下一页上一页返回第二节轴向荷载作用下的材料力学性能和材料失效也增加，试件只压扁而不破坏。因此，不能测出低碳钢压缩时的强度极限。可见，低碳钢的力学性能，通过拉伸试验即可测定，一般不需要作压缩试验。2、铸铁的压缩试验图5-17所示是铸铁压缩时的σ-ε曲线，整个图形与拉伸时相似，但压缩时的伸长率比拉伸时大，压缩时的强度极限也比拉伸时大，约为拉伸时的4~5倍。其他脆性材料也具有类似的性质。所以，脆性材料用于受压构件较为适合。铸铁试样受压缩而破坏时，破坏面与轴线大致成45o-55o，这是因为在45o-55o面上存在最大切应力。这也说明铸铁抗剪强度低于抗压强度。上一页返回第三节安全储备、强度条件和强度失效判别一、极限应力和安全储备通过实验可以知道，一承受简单拉伸和压缩的杆件，在截面上的应力到达某一数值时就会发生断裂和过大的变形，这在工程上是不容许的。为了保证杆件的安全性、适用性、耐久性，必须控制最大的应力，使其小于或等于某个容许值。实验结果表明，如果脆性材料的应力达到材料的强度极限，构件就会破坏;而塑性材料到达屈服点，就会产生较大的塑性变形使构件破坏。为了保证结构正常工作，结构中的实际应力必须低于应力值σb或σs但在结构设计中，有很多因素是难以估计的，比如:下一页返回第三节安全储备、强度条件和强度失效判别

•在荷载方面，对处于复杂应力状态的结构，无法全都进行精确计算;

•在制造工艺方面，难以确保同一种材料具有完全相同的性质;

•在内力计算方面，土木工程力学的理论是建立在一系列的基本假定之上的，理论计算与实际的结果很难精确吻合。所以，在σ-ε图中的应力特性点是不能直接作为最大应力的界限值。工程中，称材料到达危险状态时的应力值为极限应力，记作σ0为了保证构件的正常使用，即各构件不发生断裂以及不产生过大的变形，就要求工作应力要小于极限应力σ0。下一页上一页返回第三节安全储备、强度条件和强度失效判别通过材料的力学试验，我们知道，脆性材料没有屈服阶段，并且从加载到破坏变形很小，因此可用强度极限σb作为极限应力σ0，即σb=σ0。而塑性材料在其屈服阶段将产生较大的塑性变形，为r保证构件的正常使用，应取它的屈服点σs作为材料的极限应力σ0，亦即σ0=σs。对于屈服阶段不十分明确而塑性变形又较大的材料，取名义屈服应力σ0.2作为材料的极限应力σ0。名义屈服应力是指材料产生0.2%的塑性变形所对应的应力值。为r保证安全，我们给材料以必要的强度储备，将σ0除以一个大于1的安全因数n，得到材料的许用应力[σ]，即下一页上一页返回第三节安全储备、强度条件和强度失效判别[σ]=σ0/n(n>1)

对于脆性材料σ0=σb

对于塑性材料σ0=σs或σ0=σ0.2

在常温静载下，塑性材料的安全因数一般取1.4~1.8，脆性材料的安全因数取2~3。下一页上一页返回第三节安全储备、强度条件和强度失效判别二、强度条件

为了保证构件正常使用，必须使工作应力满足不等式，即σ≤[σ](5-5)该不等式称为构件的强度条件。式中，σ是工作应力，[σ]是许用应力。在该强度条件下，可进行以下三方面的计算:

•强度校核即σ≤[σ];

•进行截面设计，在满足以上的强度条件下进行截面设计。由于杆的受力不同，其应力的计算公式也不相同，详细内容将在本章后面各节讨论，并给出其计算公式;

•进行荷载设计，在满足以上的强度条件下进行荷载的设计。下一页上一页返回第三节安全储备、强度条件和强度失效判别三、不同强度失效判别的准则和强度条件在常温静载下，材料的破坏大致可分为两大类:一类是脆性断裂(破坏时无明显的塑性变形)。一类是屈服或剪断(破坏时有明显的塑性变形)。由此提出了以下的假说，经过实践的验证，认为是较符合实际的，这些假说称为强度失效的判别准则。1、最大拉应力准则该准则认为:无论材料处于什么样的应力状态，只要是发生脆性断裂，则主拉应力σ1达到了轴向拉压时的最大应力σ0(脆性材料的危险应力为σb)。破坏的条件为σ1=σ0下一页上一页返回第三节安全储备、强度条件和强度失效判别强度条件为σ1≤[σ](5-6)式中，σ1是材料在复杂应力状态下的最大拉应力;[σ]是材料在轴向拉压时的许用应力。实验证明该理论适合于脆性材料。2、最大拉应变准则该准则认为:无论材料处于什么样的应力状态，只要是发生脆性断裂，则危险点的最大拉应变ε1达到了材料在轴向拉压时的最大拉应力ε0。破坏的条件为ε1=ε0下一页上一页返回第三节安全储备、强度条件和强度失效判别由广义胡克定律，复杂应力状态下的应变，由主应力表达为

破坏的条件改为σ1-μ(σ2+σ3)=σ0

强度条件为σ1-μ(σ2+σ3)≤[σ](5-7)

实验证明该理论适合于脆性材料。3、最大切应力理论该准则认为:无论材料处于什么样的应力状态，只要是发生屈服(或剪断)，其原因是由于最大的切应力τmax达到了某下一页上一页返回第三节安全储备、强度条件和强度失效判别个共同的极限值τ0max

，则破坏的条件为

τmax=τ0

材料在复杂应力状态下的最大切应力为材料在轴向拉压破坏时的最大切应力为

破坏条件一般由主应力来表达为

σ1-σ3=σ0下一页上一页返回第三节安全储备、强度条件和强度失效判别强度条件为

σ1-σ3≤[σ](5-8)

实验证明该理论适合于塑性材料。4、形状改变比能准则形状改变比能准则认为:无论材料处于什么样的应力状态，只要是发生屈服(或剪断)，只要最大形状改变比能ux达到了轴向拉压破坏时的最大形状改变比能u0x，即