勾股定理习题(含解析)

勾股定理习题“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b，若（a+b）2=21，大正方形的面积为13，则小正方形的面积为（）A．3B．4C．5D．6【解答】解：如图所示：∵（a+b）2=21，∴a2+2ab+b2=21，∵大正方形的面积为13，2ab=21﹣13=8，∴小正方形的面积为13﹣8=5．故选：C．直角三角形有一条直角边为6，另两条边长是连续偶数，则该三角形周长为（）A．20B．22C．24D．26【解答】解：∵两条边长是连续偶数，可设另一直角边为x，则斜边为（x+2），根据勾股定理得：（x+2）2﹣x2=62，解得x=8，∴x+2=10，∴周长为：6+8+10=24．故选C在下列四组数中，不是勾股数的一组数是（）A．a=15，b=8，c=17 B．a=9，b=12，c=15C．a=7，b=24，c=25 D．a=3，b=5，c=7【解答】解：由题意可知，在A组中，152+82=172=289，在B组中，92+122=152=225，在C组中，72+242=252=625，而在D组中，32+52≠72，故选D．下列各组数，可以作为直角三角形的三边长的是（）A．2，3，4B．7，24，25C．8，12，20D．5，13，15【解答】解：A、∵22+32≠42，∴不能构成直角三角形；B、∵72+242=252，∴能构成直角三角形；C、∵82+122≠202，∴不能构成直角三角形；D、∵52+132≠152，∴不能构成直角三角形．故选B．下列各组数中，能构成直角三角形的是（）A．4，5，6B．1，1，2C．6，8，11D．5，12，23【解答】解：A、∵42+52≠62，∴不能构成直角三角形，故A错误；B、∵12+12=，∴能构成直角三角形，故B正确；C、∵62+82≠112，∴不能构成直角三角形，故C错误；D、∵52+122≠232，∴不能构成直角三角形，故D错误．故选：B．分别以下列五组数为一个三角形的边长：①6，8，10②13，5，12③1，2，3④9，40，41⑤3，4，5．其中能构成直角三角形的有（）组．A．2B．3C．4D．5【解答】解：因为①62+82=102，②132=52+122，④92+402=412，符合勾股定理的逆定理，所以能构成直角三角形的有三组．故选B．△ABC的三边长分别为a，b，c，下列条件：①∠A=∠B﹣∠C；②∠A：∠B：∠C=3：4：5；③a2=（b+c）（b﹣c）；④a：b：c=5：12：13，其中能判断△【解答】∵S1=3，S3=9，∴AB=，CD=3，过A作AE∥CD交BC于E，则∠AEB=∠DCB，∵AD∥BC，∴四边形AECD是平行四边形，∴CE=AD，AE=CD=3，∵∠ABC+∠DCB=90°，∴∠AEB+∠ABC=90°，∴∠BAE=90°，∴BE==2，∵BC=2AD，∴BC=2BE=4，∴S2=（4）2=48，故选D．一个三角形的三边的长分别是3，4，5，则这个三角形最长边上的高是_________。已知直角三角形两边的长为3和4，则此三角形的周长为_________。【解答】解：设Rt△ABC的第三边长为x，①当4为直角三角形的直角边时，x为斜边，由勾股定理得，x=5，此时这个三角形的周长=3+4+5=12；②当4为直角三角形的斜边时，x为直角边，由勾股定理得，x=，此时这个三角形的周长=3+4+，如图所示，AB=BC=CD=DE=1，AB⊥BC，AC⊥CD，AD⊥DE，则AE=________。如图，在四边形ABCD中，AB=1，BC=1，CD=2，DA=，且∠ABC=90°，则四边形ABCD的面积是__________。已知一个Rt△的两边长分别为3和4，则第三边长的平方是_______。等腰三角形的腰长为10，底长为12，则其底边上的高为_________。如图字母B所代表的正方形的面积是_______。【解答】解：由题可知，在直角三角形中，斜边的平方=169，一直角边的平方=25，根据勾股定理知，另一直角边平方=169﹣25=144，即字母B所代表的正方形的面积是144．直角三角形的两条直角边的长分别为5，12，则斜边上的高线的长为_________。一直角三角形的三边分别为2、3、x，那么以x为边长的正方形的面积为________。【解答】解：当2和3都是直角边时，则x2=4+9=13；当3是斜边时，则x2=9﹣4=5．故选C．如图，在△ABC中，AD⊥BC于D，AB=17，BD=15，DC=6，则AC的长为_______。A．11B．10C．9D．8【解答】解：如图，∵AD⊥BC，∴∠ADB=∠ADC=90°．又∵AB=17，BD=15，DC=6，∴在直角△ABD中，由勾股定理得到：AD2=AB2﹣BD2=64．在直角△ACD中，由勾股定理得到：AC===10，即AC=10．故选：B．如图，校园内有两棵树，相距8米，一棵树树高13米，另一棵树高7米，一只小鸟从一棵树的顶端飞到另一棵树的顶端，小鸟至少要飞________。如图，正方形ABCD的边长为2，其面积标记为S1，以CD为斜边作等腰直角三角形，以CD为斜边作等腰直角