流函数势函数-第一章

节速度势函数和流函数

速度势函数速度流函数二维流动的表示2021/5/91一、速度势函数①定义（速度势函数的引入及存在条件）流体运动无旋流动涡旋流动否则，则称之为涡旋流动：如果在流体域内涡度为零，即:

无旋流动；2021/5/92据矢量分析知识，任意一函数的梯度，取旋度恒等于零：对于无旋流动，必定存在一个函数满足如：

或无旋流动，其速度矢总可以用函数的梯度来表示，把函数叫做速度的（位）势函数，可以用这个函数来表示无旋流动的流场。

通常将无旋流动称为有势流动或势流。2021/5/93而引进了势函数后：②引入势函数的优点流速矢描述流体运动含有三个变量；需要给定三个变量刻画流体的运动情况。只要一个变量（势函数）就可以来描述流体运动，大大地减少了描写流体运动所需的变量，简化了问题。2021/5/94由流速场与势函数的关系可知：流速矢与等位势面相垂直，由高位势流向低位势，等位势面紧密处，位势梯度大，相应的流速大；等位势面稀疏处，位势梯度小，相应的流速小。③用势函数来描述流体运动对于某一固定时刻=常数为一空间曲面，称为等势函数面或者等位势面。上式取不同常数不同的等位势面等位势面族。2021/5/95例1-6-1

已知流体作无旋运动，对应的等势函数线分布如图所示（其中，<<）的，请判断并在图中标出A、B两处流体速度的方向，并比较A、B

两处流速的大小。2021/5/96④势函数的求解 假如流体的散度为：

根据势函数的定义有：

其中，为三维拉普拉斯算子。 可以看出，如果给定D，通过求解泊松（Poisson）方程，即可求得势函数。2021/5/97求解势函数的具体方法（仅考虑二维的情况）：（2）如已知速度场，可以先求出D，然后再求解泊松方程，最终得到势函数。

（1）如已知D，直接求解泊松（Poisson）方程，可得势函数。2021/5/98①定义及存在条件

二、速度流函数考虑二维无辐散流动，即满足：其流线方程为：无辐散流辐散流流体运动引入流体散度的概念之后，可将流体运动分为：2021/5/99根据格林积分公式（平面曲线积分与路径无关的条件）可知，满足无辐散条件下:流速与该函数满足：矢量形式：2021/5/910 积分以上的全微分形式，可以得到：

=常数上式所描述的曲线就是流线，当然，它也是函数的等值线。将以上引进的函数称之为流函数，而流线也就是等流函数线。对某一固定的时刻：一空间曲线－－流线方程积分曲线。流速与该函数的关系－－－曲线的切线方向与流速矢的方向是相吻合的。2021/5/911（2）表征流体通量

在流体中任取一条有向曲线AB，顺着该有向曲线流体自右侧向左侧的通量Q：曲线法向方向的单位矢量定义为： 而：②引入流函数的优点流速在曲线法向方向上的分量（1）减少表征流动的变量AB2021/5/912引用流函数，并考虑：或表明:经过两点为端点的任何曲线的流体通量，决定于该两点的流函数差，而与曲线的长度和形状无关。

用流函数可以来方便地表征无辐散场的流体通量。2021/5/913同样，求解流函数的方法为：（1）已知涡度，直接求解泊松（Poisson）方程；（2）已知速度场，先求出涡度，然后求解泊松方程。（3）表征流体涡度 由涡度的定义 ，可得到用流函数来表示的涡度表达式： 可见，对流函数取拉普拉斯运算即可得到流体的涡度。2021/5/914三、二维流动一般二维流动，既不满足无旋条件，也不满足无辐散条件，流动是有旋有辐散的。此时，其涡度和散度均不为零，即满足：

①无辐散涡旋流②无旋辐散流①②2021/5/915上式为大气动力学中广泛采用的形式。

2021/5/916习题1-6-1

已知二维流速场为：分别求势函数和流函数存在的条件。

习题1-6-2

请问是否存在既满足无辐散条件又满足无旋条件的流动？如存在，请举例说明。

①②课后习题2021/5/917习题1-6-3

请证明无辐散的平面无旋流动：（1）流函数和势函数都是调和函数（满足二维拉普拉斯方程)（2）等势函数线和等流函数线正交。习题1-6-4平面流动的流线方程为：；由流函数全微分；当取常值时，也可以得到试问两式是否等价？请