笔试NO.秘笈-行测部分

行测复习要点及注意事项2009年大笔经行测\申论NO.1秘笈号外：2009年大面经公布(已加精华）

我回来了。带着面试88分(准备时间不到15天），面试亦第一名。面试亦复习要点、心得与大家共享，现在开始发布。发心仍是一样，在笔试后发心，面试后再发几天时间总结的面试复习要点及注意事项。2009年大面经，请点击。

行测\申论复习要点及注意事项

前文

为什么发此文，为什么我说你会多得几分？

我曾发愿通过公务员笔试之后,把我几个月以来总结的行测和申论的复习要点以及注意事项发布出来。写这篇文章，完全是发自内心地真心地想帮助大家提高分数；事实上，现在的成文比我当初自己总结给自已看的要完善许多。之所以对我自己总结的东西大吹大捧，自卖自夸，没有其它原因，我一不想出名，二不想赚才智币。主要原因有两：一是我对这些总结的内容较为自信，我个人认为我的部分方法可能前无古人，二是我希望各位能够从中获益，复习得全面，同时讲究解题速度，少走些很多弯路，取得好成绩，这是我发此帖的初衷——回报论坛。希望觉得有用的朋友帮顶起来，让更多的朋友能够看到这篇文章，从中获益；我自信你认真看完这篇文章之后，行测、申论至少会多得几分！！！而对公务员考试来说，几分也许就是致命的。

同时，我写这篇文章还希望带给大家一个思路就是，勤加总结，善于总结。

关于本文优点－－纵观QZZN，也许前无古人，思路最新、总结最系统、最全面。

本文特点是句句要点，句句精华。有人说一篇文章一个精华就算多了，但我觉得这篇文章是每一篇都可做精华。文章是我精心总结大量要点、难点、解题方法之作，特点是强调解题思路，新、快、准。

行测部分，对考点大量总结，对容易犯的错误进行提示，对众多考点解题思路进行归纳总结，力求在最短时间拿下最多的题目。其中，个人觉得总结最好的是数字推理题、图形推理题部分，思路新颖，解题方法可能是前无古人的，在保证迅速做这些题目的同时，一般做这些大题，错一题。再如数学运算，这里总结的专题都是我觉得较难又常考的，很多考友没有掌握，而像一些简单的专题，本文未列入其中；演绎推理则侧重总结容易在考试中误解的句子，其实我觉得这部分掌握了，演绎推理可以超过大部分人了；言语理解提供了不传的秘笈；而常识题侧重容易混淆的法律知识和2009年觉得出题可能性大的一些时事。文章有很多亮点，这里不一一赘述，等你发掘，相信你会收获不少。

申论部分，第一阶段李永新的申论书籍总结为蓝本，第二阶段加上众多资料的体会总结，最为精华的部分是大量词式、句式、阵式、段落、结尾等总结，同时精选四篇必背范文，以及覆盖大部分社会问题的申论热点总结。申论文章（尤其是申论下半部分），我观QZZN,很多是前人没有总结过的，尤其是申论的专用词式、句式、排比阵式等等，相信各位能获得很大的利益。

关于本文缺点－－个人观点，可能不正确；不全面

我说我是最系统，是相对QZZN的文章来说的，但是相对市面上的行测，申论书来说，这篇文章是不全面的。这主要是时间的关系(大致行测40天+申论20天），同时文章可能会有些错误，欢迎指正。这不是套话，复习时光靠我这篇文章是不够的。如数学运算纵使我整理了十数个专题，却仍不全面，因为数算可能会有几十个专题；再如数字推理，不可能面面俱到，关键是自己平时要多加总结。所以你不能期待仅通过这篇文章就能保证通过笔试，还需要买本厚厚的书啃，还需通过QZZN加强，还需其它认真、系统的复习。

另外，请注意，文章中我的观点可能是不正确的（包括我自认为正确的观点，尤其是申论，大部分是个人的观点，仅供参考），而且并不具普适性、仅具参考价值（本人是省考），真的，希望各位能加以分辨。如果因为我可能不适或不正确的观点误导了你们，那真的是罪过了。

公务员考试的大准则

一是，公务员考试感受最深的一句话是，“天道酬勤”，公务员是考出来的、念出来的，付出总会有回报，考公务员，要全身心地投入，各个模块一个个突破，发现错误，善于总结，不断模拟真题，最重要的是要用心认真地去学去念。我是一个脑瓜子极其平凡的人，但请相信，平凡的人如果勤奋，一旦认真是会有好结果的，是不会比聪明的人差的。

二是，要善于总结。不仅是我总结，自己总结更关键，最好用一本子，或者用电脑WORD随时写下心得总结。有总结，心里才有底，有成就感，复习会更系统，同时一些要点、难点、错题写下来了，以后再复习时就方便了，也不会忘复习了。时间倒不是最大问题，我用60天总结了笔试这么多内容，事实上中间很多时间被我浪费了。当然，有时间，你的成绩就更高了。

三是，战战兢兢的态度。我笔试、面试都是一个感觉，战战兢兢，如履薄冰，如临深渊，深怕自己什么地方漏了，什么地方答错了。这样有好处，好处是复习会比较全面，精细，只要临场发挥得正常就OK了；坏处也很明显，压力很大。

本文楼层分布（更新较快）

注：帖子各楼层有更新小部分（很少），但是附件没有及时更新。如有疑问，请先翻阅本人的帖子看是否有更新，点击只看楼主。

楼层说明(一页页找很麻烦，请用只看功能）：

注：全文各楼层整理而成的WORD文档已经发布，详见本楼附件。

第一部分数字推理：本楼

第二部分图形推理：13楼

第三部分演绎推理：33楼

第四部分数字运算上：38楼由于楼层有字数限制，分成三个部分

第五部分数字运算中：39楼

第六部分数字运算下：40楼

第七部分言语理解与表达：74楼

秘笈

第八部分常识判断（适合2009年公考考生）：123楼

第九部分申论上.第一阶段复习：李永新版申论要点整理（436页的书)等：

详见175楼

第十部分申论下.第二阶段复习：专用句式、词式、段落总结+必背范文+我的申论念笔+我的看法185楼

本文附件说明（包括全文）：

行测部分

注：本文行测全部分的WORD文档

申论部分

注：本文申论全部分的WORD文档

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第一部分、数字推理

一、基本要求

熟记熟悉常见数列，保持数字的敏感性，同时要注意倒序。

自然数平方数列：4，1，0，1，4，9，16，25，36，49，64，81，100，121，169，196，225，256，289，324，361，400……

自然数立方数列：－8，－1，0，1，8，27，64，125，216，343，512，729，1000

质数数列：2，3，5，7，11，13，17……（注意倒序，如17,13,11,7,5,3,2）

合数数列：4，6，8，9，10，12，14…….（注意倒序）

二、解题思路：

1基本思路：第一反应是两项间相减，相除，平方，立方。所谓万变不离其综，数字推理考察最基本的形式是等差，等比，平方，立方，质数列，合数列。

相减，是否二级等差。

8，15，24，35，（48）

相除，如商约有规律，则为隐藏等比。

4，7，15，29，59，（59*2－1）初看相领项的商约为2，再看4*2-1=7,7*2+1＝15……

2特殊观察：

项很多，分组。三个一组，两个一组

4，3，1，12，9，3，17，5，（12）三个一组

19，4，18，3，16，1，17，（2）

2，－1，4，0，5，4，7，9，11，（14）两项和为平方数列。

400，200，380，190，350，170，300，（130）两项差为等差数列

隔项，是否有规律

0，12，24，14，120，16（7^3－7）

数字从小到大到小，与指数有关

1，32，81，64，25，6，1，1/8每个数都两个数以上，考虑拆分相加（相乘）法。

87，57，36，19，（1*9+1）

256，269，286，302，（302+3+0+2）

数跳得大，与次方（不是特别大），乘法（跳得很大）有关

1，2，6，42，（42^2+42）

3，7，16，107，（16*107-5）

每三项/二项相加，是否有规律。

1，2，5，20，39，（125－20－39）

21，15，34，30，51，（10^2-51）

C=A^2－B及变形（看到前面都是正数，突然一个负数，可以试试）

3，5，4，21，（4^2-21）,446

5，6，19，17，344,(-55)

-1，0，1，2，9，（9^3+1）

C=A^2+B及变形（数字变化较大）

1，6，7，43，（49+43）

1，2，5，27，（5+27^2）

分数，通分，使分子/分母相同，或者分子分母之间有联系。/也有考虑到等比的可能

2/3，1/3，2/9，1/6，（2/15）

3/1，5/2，7/2，12/5，（18/7）分子分母相减为质数列

1/2，5/4，11/7，19/12，28/19，（38/30）分母差为合数列，分子差为质数列。

3，2，7/2，12/5，（12/1）

通分，3,2变形为3/1，6/3，则各项分子、分母差为质数数列。

64，48，36，27，81/4，（243/16）等比数列。

出现三个连续自然数，则要考虑合数数列变种的可能。

7，9，11，12，13，（12+3）

8，12，16，18，20，（12*2）

突然出现非正常的数，考虑C项等于A项和B项之间加减乘除，或者与常数/数列的变形

2，1，7，23，83，（A*2+B*3）思路是将C化为A与B的变形，再尝试是否正确。

1，3，4，7，11，（18）

8，5，3，2，1，1，（1－1）

首尾项的关系，出现大小乱现的规律就要考虑。

3，6，4，（18），12，24首尾相乘

10，4，3，5，4，（－2）首尾相加

旁边两项（如a1,a3)与中间项(如a2)的关系

1，4，3，－1，－4，－3，（－3―（－4））

1/2，1/6，1/3，2，6，3，(1/2)

B项等于A项乘一个数后加减一个常数

3，5，9，17，（33）

5，6，8，12，20，(20*2－4)

如果出现从大排到小的数，可能是A项等于B项与C项之间加减乘除。

157,65,27,11,5,(11-5*2)

一个数反复出现可能是次方关系，也可能是差值关系

－1，－2，－1，2，（－7）差值是2级等差

1，0，－1，0，7，（2^6－6^2）

1，0，1，8，9，（4^1）

除3求余题，做题没想法时，试试（亦有除5求余）

4,9,1,3,7,6,(C)A.5B.6.C.7D.8（余数是1,0,1,0,10,1)

3.怪题：

日期型

2100－2－9，2100－2－13，2100－2－18，2100－2－24，（2100-3-3）

结绳计数

1212，2122，3211，131221，（311322）2122指1212有2个1，2个2.

第四部分、数学运算上

一、利用“凑整法”求解的题型例题：1.5的值为A.29

B.28

C.30

D.29.2答案为A。“凑整法”是简便运算中最常用的方法，方法是利用交换律和结合律，把数字凑成整数，再进行计算，就简便多了。二、利用“尾数估算法”求解的题型例题：425+683+544+828的值是A.2488

B.2486

C.2484

D.2480答案为D。如果几个数的数值较大，又似乎没有什么规律可循，可以先考察几个答案项尾数是否都是唯一的，如果是，那么可以先利用个位数进行运算得到尾数，再从中找出唯一的对应项。如上题，各项的个位数相加=5348=20，尾数为0，所以很快可以选出正确答案为D。三、利用“基准数法”求解的题型（尾数更快）例题：1997+1998+1999+2000+2001A.9993

B.9994

C.9995

D.9996答案为C。当遇到两个以上的数相加，且他们的值相近时，可以找一个中间数作为基准，然后再加上每个加数与基准的差，从而求得他们的和。在该题中，选2000作为基准数，其他数分别比2000少3，少2，少1，和多1，故五个数的和为9995。这种解题方法还可以用于求几个相近数的算术平均数。四、比例分配问题例题：一所学校一、二、三年级学生总人数450人，三个年级的学生比例为2：3：4，问学生人数最多的年级有多少人？A.100B.150C.200D.250答案为C。解答这种题，可以把总数看作包括了234=9份，其中人数最多的肯定是占4/9的三年级，所以答案是200人。五、路程问题例题：某人从甲地步行到乙地，走了全程的2/5之后，离中点还有2.5公里。问甲乙两地距离多少公里？A.15B.25C.35D.45答案为B。全程的中点即为全程的2.5/5处，离2/5处为0.5/5，这段路有2.5公里，因此很快可以算出全程为25公里。六、工程问题例题：一件工程，甲队单独做，15天完成；乙队单独做，10天完成。两队合作，几天可以完成？A.5天B.6天C.7.5天D.8天答案为B。此题是一道工程问题。工程问题一般的数量关系及结构是：工作总量／工作效率＝工作时间我们可以把全工程看作“1”，工作要n天完成推知其工作效率为1/n,两组共同完成的工作效率为1/n11/n2,根据这个公式很快可以得到答案为6天。另外，工程问题还可以有许多变式，如水池灌水问题等等，都可以用这种思路来解题。七、植树问题——线段+1，封闭不变例题：若一米远栽一棵树，问在345米的道路上栽多少棵树？A.343B.344C.345D.346答案为D。这种题目要注意多分析实际情况，如本题要考虑到起点和终点两处都要栽树，所以答案为346八、连续自然数21.四个连续自然数的积为1680，它们的和为(A)

A.26

B.52

C.20

D.28四个连续自然数,为两个奇数和两个偶数，它们的和可以被2整除，但是不能被4整除，选项中只有26符合要求。即4X+1+2+3=4X+6九、“抽屉原则”——最不利原则7．有8种颜色的小球,数量分别为2、3、4、5、6、7、8、9，将它们放进一个袋子里面，问拿到同颜色的球最多需要几次？？a、6；b、7；c、8；d9

解题思路：8种小球，每种取一个，然后任取一个，必有重复的，所以是最多取9个。和球的数量无关，最多比颜色数多一次就能有两个颜色相同的球。在数学里，叫做“抽屉原则”。十、1000以内有多少个1？——10n=n*10(n-1)一般方法：从1到99共有20个1，以此类推，201-299，301-399，……，901-999之间均有20个1。解析：（方法一）101-199之间为99+20个1，加上100和1000所含的1，共有10*20+99+2=301个。个位上含“1”的有1000-90-91（1，11（只计算了个位的1），21，…111（只计算了个位的1）…991），

十位上含“1”的有1000-910-9（10，11（只计算了十位的1），12，…111（只计算了十位的1）…

百位上含“1”的有10010-90-9（100，101，…111（只计算了百位的1）…可以重复：10n=n*10(n-1)；即1000是103=3*10*10+11.关于含“1”的页数例：一本300页的书中含“1”的有多少页？答：136页（重复0-211、10-91、110-9、111被3次消除应计1次）方法一：个位上含“1”的有30页0-20-91（1，11，21，101…111…291），

十位上含“1”的有30页0-210-9（10，11，12，…111…

百位上含“1”的有100页10-90-9（100，101，…111…

故100+30+30=160160-(3+10+10)+1=136方法二：一位数：1两位数：1-91=10和10-9=10三位数：1-20-91=20和1-210-9=20和10-90-9=100（重复0-211、10-91、110-9、111被3次消除）161-23=1361）1~200，数字0一共出现31次。个位为0：0-10-90=20十位为0：100-9=100、00、000都为1个数0，除掉它，-1总数：20+10-1+2=31十一、关于“多米诺骨牌”的问题——2的N次方最大值例：有300张多米诺骨牌，从1——300编号，每次抽取奇数牌，问最后剩下的一张牌是多少号？答：第256号总结：不论题中给出的牌数是多少，小于等于总牌数的2的N次方的最大值就是最后剩下的牌的序号。（抽完奇数，剩下总数的2/1，再抽剩下1/4，抽N次，剩下1/2的N次方）（例题中小于等于300的2的N次方的最大值是2的8次方，故最后剩下的一张牌是256号。再举个例子：153张牌按1——153排序，每次抽取奇数牌，最后剩下几号？答：2的7次方等于128，故最后剩下的是128号牌）十二、用韦恩图分析——容斥定理3）某班有50名学生，第一次测验中游26人满分，第二次测验中有21人满分，这两次测验中有21人从没有得到满分，那么两次测验中都获得满分的人数是多少？a14b12

c18

d20答案1为a2为a第一题：50--21=29,（26+21）--29=18用韦恩图分析画个图就可以弄明白的了。应该选C十三、牛吃草问题。——原始量+增加量*时间=减少量*时间这类问题的数量关系是（牛数*吃草较多天数-牛数*吃草较少天数）/（吃草较多天数-吃草较少天数）=草地每天新长草量（牛数-草地每天新长草量）*吃草天数=原有草量，即牛数*吃草天数-草地每天新长草量*吃草天数=原有草量，36．一牧场的草,27头牛6周吃完,23头牛9周吃完,21头牛要几周才吃完?(假定草的生长速度不便)a13.5

b13

c12

d103.请问，一个牧场的草，27头牛6周吃完，23头牛9周吃完，21头牛需要几周吃完？（假定草地生长速度不变）解析：假设每头牛每周吃草一份，“27头牛吃6周”，可知6周内牧场共有青草27×6=162份，又“23头牛吃9周”，可知9周内牧场共有青草23×9=207份。每周生长青草（207－162）/（9－6）=15份，原有青草162－15*6=72份。21头牛中的15头牛吃每周长出的青草，剩下的6头吃牧场上原有的青草，72/6=12周吃完。所以这片牧场可供21头牛吃12周。

十三、路程问题——距离=速度*时间；——相对距离=速度差*相对时间；

1介绍：这是我们经常碰到的一类题目，一开始碰到时我们不知道从何下手，通过帖子里月满西楼Q友的解答，我顿时明白。例题：一个骑车人和一个步行人在一条街上相向而行，骑车人的速度是步行人的3倍。每隔10分钟有一辆公式汽车超过行人，每隔20分钟有一辆公共汽车超过骑车人，如果公共汽车从始发站每次间隔同样的时间发一次车，那么间隔几分钟发一辆公共汽车？

（

）

A、10

B、8

C、6

D、4

Q友月满西楼的解答：

汽车间距不变，当一辆汽车超过行人时，下一辆汽车与行人之间的距离就是汽车的间距

每隔10分钟有一辆汽车超过行人，说明当一辆汽车超过行人时下一辆汽车需要10分钟才能追上行人，由此得：

汽车间距=（汽车速度-行人速度）*10=（汽车速度-骑车速度）*20

推出：汽车速度=5*步行速度

又因为：汽车间距=汽车速度*间隔时间

可设行人速度为x，间隔时间为t，可得：（5x-x）*10=5x*t

t=8（分钟）十四、相遇问题——第二次相遇他们一共走了三个路程例题：两艘渡轮在同一时刻驶离H河的甲、乙两岸相向而行，一艘从甲岸驶向乙岸，另一艘从乙岸开往甲岸，他们在距离甲岸720米处相遇。到达预定地点后，每艘船都要停留10分钟，以便让乘客上船下船，然后返航。这两艘船在距离乙岸400米处又重新相遇。问：该河的宽度是多少？

A1120米

B1280米

C

1520米

D1760米

Q友gfirst的解答：

第一次相遇在一个路程里甲走了720米，

第二次相遇他们一共走了三个路程，那么甲应该走2160米，

虽然后面的路程里他们都停了10分钟，他们的速度下降比是一样的，走的路程的比例不变

那么河宽就是2160-400=1760米例题：甲乙两车同时从A.B两地相向而行，在距B地54千米处相遇，他们各自到达对方车站后立即返回，在距A地42千米处相遇。A.B两地相距多少千米？（提示：相遇时他们行了3个全程）一个行程乙就走了54千米，甲乙第二次相遇时，一共走了3个行程，所以乙一共走了3*54=162千米。从图中可以知道甲一共走了2X–42

千米，两者一共行走了3X。所以2X–42+3*54=3X，解出X=120千米。

3、介绍：相遇问题是我们碰到的最多的行程问题之一，而在行测中出现的往往不是简单的一次相遇，这无疑给我们的运算带来了很大的麻烦。下面我介绍一个比较复杂的相遇问题。例题：甲、乙、丙三人沿湖边散步，同时从湖边一固定点出发。甲按顺时针方向行走，乙与丙按逆时针方向行走，甲第一次遇到乙后1又1/4分钟遇到丙.再过3又3/4分钟第二次遇到乙。已知乙的速度是甲的2/3，湖的周长为600米.则丙的速度为：()

A.24米/分；B.25米/分；C.26米/分；D.27米/分

Q友fansyang的解答：

设甲的速度为X，乙的速度为2X/3，丙的速度为Y，甲乙从出发到第一次相遇需要的时间为T，根据题意：

（X+2X/3）*T=600（1）

（X+Y）*（T+5/4）=600（2）

（X+2X/3）*（T+5）=1200（3）

根据（1）式和（3）式，可知X=72米/分；T=5分钟。

根据（2）式，可知Y=24米/分。

所以丙的速度为24米/分，

所以：答案为A

这是比较常规的解答方式。他还提供了另外的一种比较简单的算法。

因为题目里面有个600米，所以答案是6的倍数几率很大，直接选择答案A，比较节约时间

十五、追及问题。例题：甲从A地步行到B地，出发1小时40分钟后，乙骑自行车也从同地出发，骑了10公里时追到甲。于是，甲改骑乙的自行车前进，共经5小时到达B地，这恰是甲步行全程所需时间的一半。问骑自行车的速度是多少公里/小时？

A．12

B．10

C．16

D．15第一个是总时间等于5小时则

5/3+10/V自+(S-10)/V自=5

解得3S=10V自

第二个方程

S/V步=10

得到S=10V步

所以由以上两个结果得到

V自=3V步

然后把他们带入

就能够解出来

V自=12

Q友stopsurf的解答：

乙走完全程花了5小时--5/3小时=10/3小时（可以把甲看成一直在骑车）

V甲：V乙===10/3：10

可得===V乙==3V甲

遇到追及问题了

路程差=速度差X时间

5/3*V甲=(V乙-V甲)*10\V乙

最后得到答案了

例题：甲班与乙班同学同时从学校出发去某公园，甲班步行的速度是每小时4千米，乙班步行的速度是每小时3千米。学校有一辆汽车，它的速度是每小时48千米，这辆汽车恰好能坐一个班的学生。为了使这两班学生在最短的时间内到达，那么，甲班学生与乙班学生需要步行的距离之比是：（

）

A.15：11

B.17：22

C.19：24

D.21：27

Q友gfirst的解答：

1、此题作为考试的话，可以根据题意甲的速度快，所以应该多走路，答案明显选A

2、作为解答来讲，车无论先带谁走，答案都是一样的。

解答的关键：车先带一组A走，走到某一位置放下该组A，让A自己走，车这时返回遇到另一组B的时间带上B，要求车与A组同时到达公园

列写公式即可

这个题解答出来的通用公式就是

S甲：S乙=（V车/V乙-1）：（V车/V甲-1）=（48/3-1）：（48/4-1）=15：11十六、日期问题34．今天是星期二，55×50天之后(A)。

A.星期一

B.星期二

C.星期三

D.星期四解题思路：从55是7的倍数减1,50是7的倍数加1，快速推出少1天。如果用55×50÷7=396余6，也可推出答案，但较费时。十七、价格问题33．商店各以3000元卖出两件商品，其中盈亏均为20%，则该店应(D)。A.赚500元

B.亏300元

C.持平

D.亏250元解题思路：快速算出赚20%的商品成本应为2500元，而亏20%的商品成本肯定不只2500元，即刻排除A、C，再由亏两折算出成本为3750元，因而，750元-500元为250元。成本=3000/（1+1/5）+3000/(1-1\5)十八、排列组合及相关40．把10个苹果分成三堆，每堆至少1个，应有(A)种分法。

A.8

B.9

C.10

D.11解题思路：用枚举法列出，快速去掉重复的。十九、整除法42．有80份文件，甲、乙、丙3人参加处理。乙比甲多8份，但只是丙的份数的3/5，他们处理文件份数的比是(D)。

A.2:4:6

B.2:4:5

C.2:5:8

D.2:3:5解题思路：既然文件都是单独处理的即都是整数的，那么如果三者之比的总和不能除尽80而出现分数，应当予以排除。44．某校男生人数比全校生数的5/9还少15人，女生人数比全校总数4/9还多15人，该校总生数应为(D)。

A.600

B.610

C.620

D.630解题思路：能被9整除的即是，因为人只能是整数。5、+1法

一条长廊长20米，每隔2米放置一盆花，一共需要多少盆花？

A、10

B、11

C、12

D、13

答案B6、—1法

张晋孔嘉住三楼，每层楼阶梯数是15，那么张晋孔嘉每次回家要爬多少层楼梯？

A、20

B、30

C、40

D、45

答案B

7、青蛙跳井的问题

井深10米，青蛙每次向上跳5米，又向下滑4米，问他几次能够跳上井？

A、5

B、6

C、10

D、9

答案B10、比例分配法

学校一、二、三年级学生总数是450人，三个年级学生人数的比例是

2：3：4，问人数最多的年级是多少人？

A、100

B、150

C、200

D、250

答案11、还原与年龄

——年龄差永远不变1.某数加上6，乘以6，减去6，除以6，其结果等于6，则这个数是多少？解答：（6×6+6）÷6-6=1，这个数是1.2.两个两位数相加，其中一个加数是73，另一个加数不知道，只知道另一个加数的十位数字增加5，个位数字增加1，那么求得的和的后两位数字是72，问另一个加数原来是多少？解答：和的后两位数字是72，说明另一个加数变成了99，所以原来的加数是99-51=48.3.有砖26块，兄弟二人争着去挑。弟弟抢在前面，刚摆好砖，哥哥赶到了。哥哥看弟弟挑的太多，就抢过一半。弟弟不肯，又从哥哥那儿抢走一半。哥哥不服，弟弟只好给哥哥5块，这时哥哥比弟弟多挑2块。问最初弟弟准备挑多少块？解答：先算出最后各挑几块：（和差问题）哥哥是（26+2）÷2=14，弟弟是26-14=12，然后来还原：1.哥哥还给弟弟5块：哥哥是14-5=9，弟弟是12+5=17；2.弟弟把抢走的一半还给哥哥：抢走了一半，那么剩下的就是另一半，所以哥哥就应该是9+9=18，弟弟是17-9=8；3.哥哥把抢走的一半还给弟弟：那么弟弟原来就是8+8=16块.弟：X哥：YX+Y=26A=X/2B=Y+X/2A1=A+B/2B1=B/2A2=A1-5B2=B1+5A2=(26-2)/2=12B2=(26+2)/2=14倒推回：A1=17,B1=9；A=8,B=18；X=16,Y=10.4.甲、乙、丙三人钱数各不相同，甲最多，他拿出一些钱给乙和丙，使乙和丙的钱数都比原来增加了两倍，结果乙的钱最多；接着乙拿出一些钱给甲和丙，使甲和丙的钱数都比原来增加了两倍，结果丙的钱最多；最后丙拿出一些钱给甲和乙，使甲和乙的钱数都比原来增加了两倍，结果三人钱数一样多了。如果他们三人共有81元，那么三人原来的钱分别是多少元？解答：三人最后一样多，所以都是81÷3=27元，然后我们开始还原：1.甲和乙把钱还给丙：每人增加2倍，就应该是原来的3倍，所以甲和乙都是27÷3=9，丙是81-9-9=63；2.甲和丙把钱还给乙：甲9÷3=3，丙63÷3=21，乙81-3-21=57；3.最后是乙和丙把钱还给甲：乙57÷3=19，丙21÷3=7，甲81-19-7=55元.5.甲、乙、丙三人各有糖豆若干粒，甲从乙处取来一些，使自己的糖豆增加了一倍；接着乙从丙处取来一些，使自己的糖豆也增加了一倍；丙再从甲处取来一些，也使自己的糖豆增加了一倍。现在三人的糖豆一样多。如果开始时甲有51粒糖豆，那么乙最开始有多少粒糖豆？解答：先假设后来三个人都是4份，还原后得到甲、乙、丙分别是3份，5份，4份，实际上甲原来有51粒，51÷3=17，那么我们可以把1份看成17粒，所以乙最开始有糖豆17×5=85粒.甲X=51乙Y丙ZA=2X=102B=Y-XZA=102B1=2BC=Z-BA1=A-CB1=2BC1=2CA=102,A-C=2B=2C解得：C=34,B=34;Y=85,Z=68。6.有一筐苹果，把它们三等分后还剩2个苹果；取出其中两份，将它们三等分后还剩两个；然后再取出其中两份，又将这两份三等分后还剩2个。问：这筐苹果至少有几个？解答：如果最后的1份只有1个的话，我们很快就可以发现前面的1份就是（1×3+2）÷2=2.5个，这是不可能的，所以最后的那一份至少是2个，那么这筐苹果原来至少有：[（2×3+2）÷2×3+2]÷2×3=2=23个.7.今年父亲的年龄是儿子的5倍，15年后，父亲的年龄是儿子年龄的2倍，问：现在父子的年龄各是多少岁？解答：今年父子的年龄差是儿子的5-1=4倍，15年后父子的年龄差是儿子的2-1=1倍，这说明在过了15年后，儿子的年龄是现在的四倍，根据差倍问题的公式可以计算出儿子今年的年龄是15÷（4-1）=5岁，父亲今年是5×5=25岁.8.有老师和甲乙丙三个学生，现在老师的年龄刚好是三个学生的年龄和；9年后，老师年龄为甲、乙两个学生的年龄和；又3年后，老师年龄为甲、丙两个学生的年龄和；再3年后，老师年龄为乙、丙两个学生的年龄和。求现在各人的年龄。解答：老师=甲+乙+丙，老师+9=甲+9+乙+9，比较一下这两个条件，很快得到丙的年龄是9岁；同理可以得到乙是9+3=12岁，甲是9+3+3=15岁，老师是9+12+15=36岁.9.全家4口人，父亲比母亲大3岁，姐姐比弟弟大2岁。四年前他们全家的年龄和为58岁，而现在是73岁。问：现在各人的年龄是多少？解答：73-58=15≠4×4，我们知道四个人四年应该增长了4×4=16岁，但实际上只增长了15岁，为什么呢？是因为在4年前，弟弟还没有出生，那么弟弟今年应该是几岁呢？我们可以这样想：父亲、母亲、姐姐三个人4年增长了12岁，15-12=3，3就是弟弟的年龄！那么很快能得到姐姐是3+2=5岁，父母今年的年龄和是73-3-5=65岁，根据和差问题，就可以得到父亲是（65+3）÷2=34岁，母亲是65-34=31岁.10.学生问老师多少岁，老师说：“当我象你这么大时，你刚3岁；当你象我这么大时，我已经39岁了。”求老师与学生的年龄。解答：不管如何变，老师与学生年龄差永远不变，即3（老师年龄－学生年龄）=39-3即我们可以先求出这个差是多少：（39-3）÷3=12，所以学生年龄是3+12=15岁，老师年龄是15+12=27岁.11.哥哥现在的年龄是弟弟当年年龄的3倍，哥哥当年的年龄与弟弟现在的年龄相同，哥哥与弟弟现在的年龄和为30岁。问：哥哥现在多少岁？解答：假设弟弟当年年龄是1份，那么哥哥现在的年龄就是3份，因为哥哥当年的年龄与弟弟现在的年龄相同，因为弟弟当年年龄，弟弟现在年龄（=哥哥当年年龄），哥哥现在年龄这三个数是等差的，所以弟弟现在年龄（=哥哥当年年龄）就刚好是2份，那么兄弟现在的年龄和是3+2=5份，一份就是30÷5=6，哥哥现在是6×3=18岁.12.梁老师问陈老师有多少子女，她说：“现在我和爱人的年龄和是子女年龄和的6倍；两年前，我们的年龄和是子女年龄和的10倍；六年后，我们的年龄和是子女年龄和的3倍。”问陈老师有多少子女。解答：2年前，年龄差是子女年龄和的10-1=9倍；今年，年龄差是子女年龄和的6-1=5倍；6年后，年龄差是子女年龄和的3-1=2倍。这个时候可以看到这个题中的年龄差不是一定的，否则年龄差是9，5，2倍数，至少是90，这是不合常理的，也就是说子女个数不会是2个。如果这个题目不用方程的话，我想最好的方法就是先假设陈老师有1个子女，很快就会得到矛盾，最后可以算出陈老师是3个子女。本题推荐使用方程求解！13.今年是1996年。父母的年龄和是78岁，兄弟的年龄和是17岁。四年后，父的年龄是弟的4倍，母的年龄是兄的年龄的3倍。那么当父的年龄是兄的年龄的3倍时是公元哪一年？解答：四年后，父母的年龄和是78+8=86岁，兄弟的年龄和是17+8=25岁，父=弟×4，母=兄×3，那么父+母=弟×4+兄×3=3×（弟+兄）+弟，即86=3×25+弟，所以弟是11岁，兄是25-11=14岁，父是11×4=44岁，母是14×3=42岁（以上都是4年后的年龄，即公元2000年），很显然再过1年后父亲45岁，兄是15岁，父亲是哥哥年龄的3倍，所以答案就是公元2001年.14.甲、乙、丙三人现在岁数的和是113岁，当甲的岁数是乙的岁数的一半时，丙是38岁，当乙的岁数是丙的岁数的一半时，甲是17岁，那么乙现在是多少岁？解答：假设当甲的岁数是乙的岁数的一半时，甲是a岁，乙就是2×a岁，丙38岁；当甲17岁的时候，注意到甲乙的年龄差不变，都是a，所以乙是17+a岁，那么丙是乙的2倍，就是2×（17+a），再根据甲丙的年龄差可以得到：38-a=2×（17+a）-17，由此可以得到a是等于7的，所以在某一年，甲7岁，乙14岁，丙38岁，和是7+14+38=59岁，（113-59）÷3=18，再过18年后，三人年龄和是113岁，所以乙今年的年龄是14+18=32岁.15.今年，祖父的年龄是小明的年龄的6倍。几年后，祖父的年龄将是小明年龄的5倍。又过几年以后，祖父的年龄将是小明年龄的4倍。求：祖父今年是多少岁？解答：观察年龄差：今年的年龄差是小明年龄的5倍；几年后的年龄差是小明当时年龄的4倍；又过几年以后的年龄差是小明年龄的3倍，所以年龄差是5，4，3的倍数，很快就能得到年龄差应该是60（当然不可能是120，180等等），今年小明的年龄是：60÷（6-1）=12岁，那么祖父就是12+60=72岁.-抽屉原则——元素先平均分配个给箱子的，有剩余元素再多分给箱子的。抽屉原则，又叫狄利克雷原则，它是一个重要而又基本的数学原理，应用它可以解决各种有趣的问题，并且常常能够得到令人惊奇的结果，许多看起来相当复杂，甚至无从下手的问题，利用它能很容易得到解决．那么，什么是抽屉原则呢？我们先从一个最简单的例子谈起．将三个苹果放到两只抽屉里，想一想，可能会有什么样的结果呢？要么在一只抽屉里放两个苹果，而另一只抽屉里放一个苹果；要么一只抽屉里放有三个苹果，而另一只抽屉里不放．这两种情况可用一句话概括：一定有一只抽屉里放入了两个或两个以上的苹果．虽然哪只抽屉里放入至少两个苹果我们无法断定，但这是无关紧要的，重要的是有这样一只抽屉放入了两个或两个以上的苹果．如果我们将上面问题做一下变动，例如不是将三个苹果放入两只抽屉里，而是将八个苹果放到七只抽屉里，我们不难发现，这八个苹果无论以怎样的方式放入抽屉，仍然一定会有一只抽屉里至少有两个苹果．如果将上述问题中的苹果换成兔子、糖果、书本或数，同时，将抽屉相应地换成兔笼、小孩、学生或数的集合，仍然可以得到相同的结论．由此可以看出，上面推理的正确性与具体的事物是没有关系的．如果我们把一切可以与苹果互换的事物称为元素，而把一切可以与抽屉互换的事物叫做集合，那么上面的结论就可以叙述为：八个元素（相同）以任意方式分到七个集合（不同）之中，一定有一个集合中至少有两个元素．只要元素比集合多一个时，某集合里必有2个元素即元素重复。同样，苹果与抽屉的具体数目也是无关紧要的，只要苹果的数量比抽屉的数量多，推理依然成立．通过上面的分析，我们可以将上面问题中包含的基本原理写成下面的一般形式．抽屉原理（一）：把多于几个的元素按任一确定的方式分成几个集合，那么一定至少有一个集合中，至少含有两个元素．应用抽屉原理来解题，首先要审题，即分清什么作为“元素”，什么做为“抽屉”；其次要根据题目的条件和结论，结合有关的数学知识，来设计抽屉，在应用抽屉原理解题时，正确地设计抽屉是解题的关键．下面，我们先来看一看如何运用这一原则解决日常生活中的一些有趣的问题．例1在某个单位里，任意选出13个人，则这13个人至少有两个人的属相相同．证明属相一共有12种，不妨假设12种属相为12个“抽屉”，而将13个人当作13个“苹果”．根据抽屉原则知，有一只“抽屉“里至少放入了两个“苹果”，也就是说，至少有两个人的属相相同．例2求证同一年出生的四百个人中，一定有两个人的生日相同．分析也许有的同学看了这个问题以后会说，只要查一查这四百个人的户口就知道了，如果我们规定不能查户口，那么，怎样才能说明其中的道理呢？其实，完全没有必要查看户口，我们只要将一年中的每一天看作一只“抽屉”，而将每一个人的生日看作一个“苹果”，这样，运用抽屉原则就可以很方便地解答此问题．证明把一年中的三百六十五天（闰年三百六十六天）中的每一天看作一个“抽屉”，将四百人的每一个人的生日看成一个“苹果”，由于“苹果”数目多于“抽屉”数目，根据抽屉原则可知，一定有一个“抽屉”里至少有两个“苹果”．也就是说，至少有两个人的生日相同．例3有红、黄、绿三种颜色的小球各四颗混放在一只盒子里，为了保证一次能取到两颗颜色相同的小球，一次至少要取几颗？解答将三种不同的颜色看作三个抽屉，为了保证一次能取到两颗颜色相同的小球，即要求至少有两颗小球出自同一抽屉，因此一次至少要取4颗小球．例4某班有30名学生，班里建立一个小书库，同学们可以任意借阅，问小书库中至少要有多少本书，才能保证至少有一个同学一次能至少借到两本书？解答将30名同学看作30个“抽屉”，而将书看作“苹果”，根据抽屉原则，“苹果”数目要比“抽屉”数目大，才能保证至少有一个抽屉里有两个或两个以上的“苹果”，因此，小书库中至少要有31本书，才能保证至少有一位同学一次能借到两本或两本以上的图书．以上四例中有关“抽屉”和“苹果”的选择比较简单．但在很多情况下，“抽屉”和“苹果”并非一下子就能选好，而是要进行认真的分析与思考才能找到，有时“抽屉”和“苹果”的数目也不是现成的，需要我们通过分析，才能计算出结果．例5红色，黄色，绿色的球各6个，混杂地放在一起，要想闭着眼睛从中取出颜色不同的两对球，问至少要取多少才能保证达到要求？分析这个问题不能象前四例那样一下就能找到“抽屉”和“苹果”，从而直接运用抽屉原则来解决．由于各种颜色的球混合在一起，我们又是闭着眼睛取球，这样，如果取出的球数不多于6个，就有可能取出的球都是同一种颜色，这是最不利的情况，因此，要保证取出颜色不同的两对球，取出的球数必须超过6个，为了保证达到要求，我们从最坏的情况出发，取出的球中有6个都是同一种颜色，这样，问题就变成了怎样才能使余下的球中保证有两个是同颜色的．这时剩下的颜色只有两种，把两种颜色当作两只“抽屉”，而将球当作“苹果”，根据抽屉原则，只要有三个球，就能保证其中有两个是同颜色的，即在最不利的情况下，只要取出9个球，就能保证其中一定有两对颜色不同的小球，在其它情况下，就更无问题了．答：至少要取出9个球才能达到要求．例6在某班学生中，有8个人都订阅了《小朋友》，《少年报》，《儿童时代》中的一种或几种，问：这8个人中至少有几个人所订的报刊种类完全相同？解答8位同学订阅的报刊种类可分成如下7类：｛小朋友｝，｛少年报｝，｛儿童时代｝，｛小朋友，少年报｝，｛小朋友，儿童时代｝，｛少年报，儿童时代｝，｛小朋友，少年报，儿童时代｝我们将这七类看作七个抽屉，订阅相同种类报刊的学生“放到”同一抽屉中，因为8=1×7＋1，即有1＋1=2个订阅相同种类报刊的学生“放到”同一抽屉中，即至少有两名学生订阅的报刊种类完全相同．在上一课中，我们学习了抽屉原则（一），通过学习我们可以发现，很多表面看来很难说清楚的问题，通过我们合理地构造抽屉，都可用抽屉原则〈一〉巧妙地进行解决．抽屉原理除去我们在上一课中所接触的结论，还有以下更一般的结论．抽屉原则（二）：把多于m×n个物体放到n个抽屉里，那么一定有一个抽屉里有m＋1个或者m＋1个以上的物体．我感觉应该是M个或M+1或M+1个以上例题分析：例1某班组织全班45人进行体育比赛，项目有A、B、C三项，规定每人至少参加一项，最多参加两项，至少有几个人参加的项目完全相同？解：按要求，我们将比赛项目分组：｛A｝，｛B｝，｛C｝，｛A，B｝，｛A，C｝，｛B，C｝．我们将上述6种情况看作6个“抽屉”，由于45=6×7＋3，根据抽屉原则〈二〉，至少有8个人参加的项目完全相同．(本人观点:这种情况,如果班级里只有42个人,即42=6*7,那么至少有7个人参加的项目完全相同,也就是说这里余下的3可以表示有3个项目（箱子）有8人（元素）同时参加)问题：在上述问题中，如果规定每个人必须参加，且只能参加一项比赛，情况如何？如果不加限制条件呢？例2在一次钓鱼比赛中共有100人参加，比赛结束后，裁判宣布最少的钓了7条鱼，最多的钓了20条鱼，问这100人中，至少有几个人钓的鱼一样多？解答：这100个人所钓的鱼按条数分为14种情况，将每一种情况看作一个抽屉，将100个人任意放入这14个抽屉中，由于100=7×14＋2，由抽屉原则〈二〉可知，至少有8个人钓的鱼条数一样．例3某班学生40人开展读书比赛活动，他们从学校图书馆借书，要保证其中至少有一人一次能借到5本书，图书馆至少应为这个班准备多少本书？解答：将这个班的40个人看作40个“抽屉”，将图书馆为他们准备的书看作“苹果”，要使40个抽屉中至少有一个抽屉里放入了5个苹果，根据抽屉原则〈二〉可知，苹果数至少应为40×4+1，即：图书馆至少应为这个班的学生准备161本书．例4将25支笔放入六个铅笔盒中，证明至少有一个铅笔盒中放入了不少于5支笔．证明，将六个铅笔盒看作六个“抽屉”，将25支笔看作“苹果”，由于25=4×6＋1，根据抽屉原则〈二〉，至少有一个铅笔盒中放入的笔不少于5支．以上几例抽屉和苹果均较明显，解决起来比较方便，而有些问题，抽屉和苹果较隐蔽，要想将问题解决，需要我们通过分析，合理地构造抽屉，才能使问题得到解决．例5某单位购进一批桔子共计90箱，每箱至少110个，至多138个，现将桔子数相同的箱子作为一组，箱子数最多的一组至少有几箱桔子？解答：根据题意，由于每箱至少110个，至多138个，按每箱的桔子个数，可构造29个“抽屉”，将90个元素放入到29个抽屉中，由抽屉原则〈二〉可知，箱子数最多的一组，至少有4箱桔子．例6某年级共有学生300人，年龄最大的15岁，最小的13岁，问：其中至少有多少人是同年同月出生的？解答：根据题意，在这300名学生中，年龄最大的和年龄最小的相差三个年份，共计36个月份，将这36个月份看作36个抽屉，那么，将300个元素投放到36个抽屉中．因为300=8×36＋12．所以必有不少于9个元素在同一抽屉中．即：其中至少有9名同学是同年同月出生的．排列组合例1：某人到食堂去买饭，主食有三种，副食有五种，他主食和副食各买一种，共有多少种不同的买法？分析：某人买饭要分两步完成，即先买一种主食，再买一种副食。其中，买主食有3种不同的方法，买副食有5种不同的方法。故可以由乘法原理解决：解：由乘法原理，主食和副食各买一种共有3×5=15种不同的方法。例2：书架上有6本不同的外语书，4本不同语文书，从中任取外语、语文书各一本，有多少本不同的取法？分析：要做的事情是从外语、语文书中各取一本。完成它要分两步：即先取一本外语书（有6种取法），再取一本语文书（有4种取法）。所以，用乘法原理解决。解：从架上各取一本共有６×４＝２４种不同的取法。例3：由数字０、１、２、３组成的三位数，问：（1）、可组成多少个不相等的三位数？（2）、可组成多少个没有重复数字的三位数？分析：在确定由０、１、２、３组成的三位数的过程中，应该一位一位地去确定。所以，每个问题都可以看成是分三个步骤来完成。（1）：要求组成不相等的三位数。所以，数字可以重复使用，百位上，不能取0，故有3种不同的取法；十位上，可以在四个数字中任取一个，有４种不同的取法；个位上，也有４种不同的取法，由乘法原理，共可组成3×4×4＝48个不相等的三位数。（2）：要求组成的三位数中没有重复数字，百位上，不能取０，有３种不同的取法；十位上，由于百位上已在1、2、3中取走一个，故只剩下０和其它两个数字，故有３种取法；个位上，由于百位和十位已各取走一个数字，故只能在剩下的两个数字中取，有２种取法，由乘法原理，共有3×3×2＝18个没有重复数字的三位数。例4：现有一角的人民币4张，贰角的人民币2张，壹元的人民币3张，如果从中至少取一张，至多取9张，那么，共可以配成多少种不同的钱数？分析：要从三种面值的人民币中任取几张，构成一个钱数，需一步一步地来做。如先取一解的，再取贰角的，最后取壹元的。但注意到，取２张一角的人民币和取１张贰角的人民币，得到的钱数是相同的。这就会产生重复，如何解决这一问题呢？我们可以把壹角的人民币４张和贰角的人民币２张统一起来考虑。即从中取出几张组成一种面值，看共可以组成多少种。分析得知，共可以组成从壹角到捌角间的任何一种面值，共８种情况。整个问题就变成了从８张壹角的人民币和３张壹元的人民币中分别取钱。这样，第一步，从８张壹角的人民币中取，共９种取法，即０、１、２、３、４、５、６、７、８；第二步，从３张壹元的人民币中取共４种取法，即０、１、２、３.由乘法原理，共有９×４＝３６种情形，但注意到，要求“至少取一张”而现在包含了一张都不取的这一种情形，应减掉。所以有３５种不同的情形。例5：学校组织读书活动，要求每个同学读一本书。小明到图书馆借书时，图书馆有不同的外语书150本，不同的科技书200本，不同的小说100本。那么，小明借一本书可以有多少种不同的选法？分析：在这个问题中，小明选一本书有三类方法。即要么选外语书，要么选科技书，要么选小说。所以，是就用加法原理的问题。解：小明借一本书共有：150+200+100=450（种）不同的选法。例6：一个口袋内装有3个小球，另一个口袋内装有8个小球，所有这些小球颜色各不相同。问：（1）、从两个口袋内任取一个小球，有多少种不同的取法？（2）、从两个口袋内各取一个小球，有多少种不同的取法？分析：（1）、从两个口袋中只需取一个小球，则这个小球要么从第一个口袋中取，要么从第二个口袋中取，共有两大类方法。所以是加法原理的问题。（2）、要从两个口袋中各取一个小球，则可看成先从第一个口袋中取一个，再从第二个口袋中取一个，分两步完成，是乘法原理的问题。解：（1）：3＋8＝11（种）（2）：3×8＝24（种）例7：有两个相同的正方体，每个正方体的六个面上分别标有数字1、2、3、4、5、6。将两个正方体放到桌面上，向上的一面数字之和为偶数的有多少种情形？分析：要使两个数字之和为偶数，只要这两个数字的奇偶性相同，即这两个数字同为奇数，要么同为偶数，所以，要分两大类来考虑。第一类：两个数字同为奇数。由于放两个正方体可认为是一个一个地放。放第一个正方体时，出现奇数有三种可能，即1，3，5；放第二个正方体，出现奇数也有三种可能，由乘法原理，这时共有3×3＝9种不同的情形。第二类：两个数字同为偶数，类似第一类的讨论方法，也有9种不同的情形。所以，最后再由加法原理即可求解。9＋9＝18（种）==============================================植树问题的解题要点:(1)在没有封闭的线路(如:一条直线,折线半圆等)上植树,由于头尾两端都可以种植一棵树,应比要分的段数多1,棵数=段数+1=全长÷株距+1(2)如果两端已经种树(或两端不必种树)再在树间种树时,则种树的棵数应比可分的段数少1,棵数=段数-1=全长÷株距-1(3)在封闭线路(如:圆,正方形,长方形,闭合曲线等)上种树,因为头尾两端重合在一起,所以种树的棵数,就等于可分的段数。棵数=段数=全长÷株距巧求四位数例1.有一个四位数3AA1，它能被9整除，请问数A代表几？（1980年美国长岛小学数学竞赛试题）分析与解：已知四位数3AA1能被9整除，那么它的数字和（3＋A＋A＋1）一定是9的倍数。因为A是一个数字，只能是0、1、2、3、……、9中的某一个整数，最大值只能是9。若A=9，那么3＋A＋A＋1＝22，22＜27，所以3AA1的各位数字和只能是9的1倍或2倍，即9或18。当3＋A＋A＋1＝9时，A=2.5，不合题意。当3＋A＋A+1=18时，A=7，符合题意，所以A代表7，这个四位数是3771。例2只有1和它本身为约数的数叫质数，例如2、3、5、7、11……都是质数。如果一个长方形的长和宽均为质数个单位，并且周长是36个单位，那么这个长方形的面积最多可以是多少个平方单位？（1990年美国小学数学奥林匹克邀请赛试题）分析与解：假设这个长方形的面积最大时长为A个单位，宽为B个单位。根据题意可知：（A＋B）×2=36因此，A＋B＝18长方形的面积S＝A×B。经过尝试可知A和B均为质数个单位，而A与B的和是18，可有三组结果①A＝17，B＝1；②A＝13，B=5；③A＝11，B=7。当A与B越接近，长方形的面积越大，因此，这个长方形的面积最多可以是11×7＝77个平方单位。本题的解答依据了这样一个性质：当A与B的和一定时，A与B越接近，两者的积越大。当A与B相等时，积最大。而本题要求A、B均为质数，所以A=B＝9不合题意。这个性质在实际生活中经常运用，请小朋友一定记住并能灵活运用1.

一个体积为1立方米的正方体，如果将它分为体积各为1立方分米的正方体，并沿一条直线将他们一个一个连起来，可连多少米？()

A.10B.100C.1000D.100001立方米=1000立方分米

所以可以有1000个

每个的边是1分米=0.1米

所以就是100米

答案：B排列组合问题I一、知识点：1分类计数原理：做一件事情，完成它可以有n类办法，在第一类办法中有种不同的方法，在第二类办法中有种不同的方法，……，在第n类办法中有种不同的方法那么完成这件事共有种不同的方法2.分步计数原理：做一件事情，完成它需要分成n个步骤，做第一步有种不同的方法，做第二步有种不同的方法，……，做第n步有种不同的方法，那么完成这件事有种不同的方法3．排列的概念：从个不同元素中，任取（）个元素（这里的被取元素各不相同）按照一定的顺序排成一列，叫做从个不同元素中取出个元素的一个排列4．排列数的定义：从个不同元素中，任取（）个元素的所有排列的个数叫做从个元素中取出元素的排列数，用符号表示5．排列数公式：（）6阶乘：表示正整数1到的连乘积，叫做的阶乘规定．7．排列数的另一个计算公式：=8组合的概念：一般地，从个不同元素中取出个元素并成一组，叫做从个不同元素中取出个元素的一个组合9．组合数的概念：从个不同元素中取出个元素的所有组合的个数，叫做从个不同元素中取出个元素的组合数．用符号表示．10．组合数公式：或11组合数的性质1：．规定：；2：＝+二、解题思路：解排列组合问题，首先要弄清一件事是“分类”还是“分步”完成，对于元素之间的关系，还要考虑“是有序”的还是“无序的”，也就是会正确使用分类计数原理和分步计数原理、排列定义和组合定义，其次，对一些复杂的带有附加条件的问题，需掌握以下几种常用的解题方法：特殊优先法对于存在特殊元素或者特殊位置的排列组合问题，我们可以从这些特殊的东西入手，先解决特殊元素或特殊位置，再去解决其它元素或位置，这种解法叫做特殊优先法.例如：用0、1、2、3、4这5个数字，组成没有重复数字的三位数，其中偶数共有________个.（答案：30个）科学分类法对于较复杂的排列组合问题，由于情况繁多，因此要对各种不同情况，进行科学分类，以便有条不紊地进行解答，避免重复或遗漏现象发生例如：从6台原装计算机和5台组装计算机中任取5台，其中至少有原装与组装计算机各两台，则不同的选取法有_______种.（答案：350）插空法解决一些不相邻问题时，可以先排一些元素然后插入其余元素，使问题得以解决例如：7人站成一行，如果甲乙两人不相邻，则不同排法种数是______.(答案:3600)捆绑法相邻元素的排列，可以采用“整体到局部”的排法，即将相邻的元素当成“一个”元素进行排列，然后再局部排列例如：6名同学坐成一排，其中甲、乙必须坐在一起的不同坐法是________种.（答案：240）排除法从总体中排除不符合条件的方法数，这是一种间接解题的方法.b、排列组合应用题往往和代数、三角、立体几何、平面解析几何的某些知识联系，从而增加了问题的综合性，解答这类应用题时，要注意使用相关知识对答案进行取舍.例如：从集合{0，1，2，3，5，7，11}中任取3个元素分别作为直线方程Ax+By+C=0中的A、B、C，所得的经过坐标原点的直线有_________条.（答案：30）三、讲解范例：例1由数字１、２、３、４、５、６、７组成无重复数字的七位数(1）求三个偶数必相邻的七位数的个数；（2）求三个偶数互不相邻的七位数的个数解(1)：因为三个偶数２、４、６必须相邻，所以要得到一个符合条件的七位数可以分为如下三步：第一步将１、３、５、７四个数字排好有种不同的排法；第二步将２、４、６三个数字“捆绑”在一起有种不同的“捆绑”方法;第三步将第二步“捆绑”的这个整体“插入”到第一步所排的四个不同数字的五个“间隙”(包括两端的两个位置)中的其中一个位置上,有种不同的“插入”方法根据乘法原理共有＝720种不同的排法所以共有720个符合条件的七位数解（2）：因为三个偶数２、４、６互不相邻，所以要得到符合条件的七位数可以分为如下两步：第一步将１、３、５、７四个数字排好，有种不同的排法；第二步将２、４、６分别“插入”到第一步排的四个数字的五个“间隙”（包括两端的两个位置）中的三个位置上，有种“插入”方法根据乘法原理共有＝1440种不同的排法所以共有1440个符合条件的七位数例２将Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ、Ｅ、Ｆ分成三组，共有多少种不同的分法？解：要将Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ、Ｅ、Ｆ分成三组，可以分为三类办法：（１－１－４）分法、（１－２－３）分法、（２－２－２）分法下面分别计算每一类的方法数：第一类（１－１－４）分法，这是一类整体不等分局部等分的问题，可以采用两种解法解法一：从六个元素中取出四个不同的元素构成一个组，余下的两个元素各作为一个组，有种不同的分法解法二：从六个元素中先取出一个元素作为一个组有种选法，再从余下的五个元素中取出一个元素作为一个组有种选法，最后余下的四个元素自然作为一个组，由于第一步和第二步各选取出一个元素分别作为一个组有先后之分，产生了重复计算，应除以所以共有＝15种不同的分组方法第二类（１－２－３）分法，这是一类整体和局部均不等分的问题，首先从六个不同的元素中选取出一个元素作为一个组有种不同的选法，再从余下的五个不同元素中选取出两个不同的元素作为一个组有种不同的选法，余下的最后三个元素自然作为一个组，根据乘法原理共有＝60种不同的分组方法第三类（２－２－２）分法，这是一类整体“等分”的问题，首先从六个不同元素中选取出两个不同元素作为一个组有种不同的取法，再从余下的四个元素中取出两个不同的元素作为一个组有种不同的取法，最后余下的两个元素自然作为一个组由于三组等分存在先后选取的不同的顺序，所以应除以，因此共有＝15种不同的分组方法根据加法原理，将Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ、Ｅ、Ｆ六个元素分成三组共有：15＋60＋15＝90种不同的方法例３一排九个坐位有六个人坐，若每个空位两边都坐有人，共有多少种不同的坐法？解：九个坐位六个人坐，空了三个坐位，每个空位两边都有人，等价于三个空位互不相邻，可以看做将六个人先依次坐好有种不同的坐法，再将三个空坐位“插入”到坐好的六个人之间的五个“间隙”（不包括两端）之中的三个不同的位置上有种不同的“插入”方法根据乘法原理共有＝7200种不同的坐法排列组合问题II一、相临问题——整体捆绑法例1．7名学生站成一排，甲、乙必须站在一起有多少不同排法？解：两个元素排在一起的问题可用“捆绑”法解决，先将甲乙二人看作一个元素与其他五人进行排列，并考虑甲乙二人的顺序，所以共有种。捆绑法:要求某几个元素必须排在一起的问题,可以用捆绑法来解决问题.即将需要相邻的元素合并为一个元素,再与其它元素一起作排列,同时要注意合并元素内部也可以作排列.一般地:个人站成一排,其中某个人相邻,可用“捆绑”法解决，共有种排法。练习：5个男生3个女生排成一排,3个女生要排在一起,有多少种不同的排法?分析此题涉及到的是排队问题,对于女生有特殊的限制,因此,女生是特殊元素,并且要求她们要相邻,因此可以将她们看成是一个元素来解决问题.解因为女生要排在一起,所以可以将3个女生看成是一个人,与5个男生作全排列,有种排法,其中女生内部也有种排法,根据乘法原理,共有种不同的排法.二、不相临问题——选空插入法例2．7名学生站成一排，甲乙互不相邻有多少不同排法？解：甲、乙二人不相邻的排法一般应用“插空”法，所以甲、乙二人不相邻的排法总数应为：种.插入法:对于某两个元素或者几个元素要求不相邻的问题,可以用插入法.即先排好没有限制条件的元素,然后将有限制条件的元素按要求插入排好元素的空档之中即可.若个人站成一排，其中个人不相邻，可用“插空”法解决，共有种排法。练习：学校组织老师学生一起看电影，同一排电影票12张。8个学生，4个老师，要求老师在学生中间，且老师互不相邻，共有多少种不同的坐法？分析此题涉及到的是不相邻问题,并且是对老师有特殊的要求,因此老师是特殊元素,在解决时就要特殊对待.所涉及问题是排列问题.解先排学生共有种排法,然后把老师插入学生之间的空档，共有7个空档可插,选其中的4个空档,共有种选法.根据乘法原理,共有的不同坐法为种.三、复杂问题——总体排除法或排异法有些问题直接法考虑比较难比较复杂，或分类不清或多种时，而它的反面往往比较简捷，可考虑用“排除法”，先求出它的反面,再从整体中排除.解决几何问题必须注意几何图形本身对其构成元素的限制。例3.(1996年全国高考题)正六边形的中心和顶点共7个点，以其中3个点为顶点的三角形共有个.解：从7个点中取3个点的取法有种，但其中正六边形的对角线所含的中心和顶点三点共线不能组成三角形，有3条，所以满足条件的三角形共有－3＝32个.练习：我们班里有43位同学,从中任抽5人,正、副班长、团支部书记至少有一人在内的抽法有多少种?分析此题若是直接去考虑的话,就要将问题分成好几种情况,这样解题的话,容易造成各种情况遗漏或者重复的情况.而如果从此问题相反的方面去考虑的话,不但容易理解,而且在计算中也是非常的简便.这样就可以简化计算过程.解43人中任抽5人的方法有种,正副班长,团支部书记都不在内的抽法有种,所以正副班长,团支部书记至少有1人在内的抽法有种.四、特殊元素——优先考虑法对于含有限定条件的排列组合应用题，可以考虑优先安排特殊位置，然后再考虑其他位置的安排。例4．(1995年上海高考题)1名老师和4名获奖学生排成一排照像留念，若老师不排在两端，则共有不同的排法种．解：先考虑特殊元素（老师）的排法，因老师不排在两端，故可在中间三个位置上任选一个位置，有种，而其余学生的排法有种，所以共有＝72种不同的排法.例5．（2000年全国高考题）乒乓球队的10名队员中有3名主力队员，派5名队员参加比赛，3名主力队员要安排在第一、三、五位置，其余7名队员选2名安排在第二、四位置，那么不同的出场安排共有种.解：由于第一、三、五位置特殊，只能安排主力队员，有种排法，而其余7名队员选出2名安排在第二、四位置，有种排法，所以不同的出场安排共有＝252种.五、多元问题——分类讨论法对于元素多，选取情况多，可按要求进行分类讨论，最后总计。例6．（2003年北京春招）某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目.如果将这两个节目插入原节目单中，那么不同插法的种数为（A） A．42 B．30 C．20 D．12解：增加的两个新节目，可分为相临与不相临两种情况：1.不相临：共有A62种；2.相临：共有A22A61种。故不同插法的种数为：A62+A22例7．（2003年全国高考试题）如图，一个地区分为5个行政区域，现给地图着色，要求相邻地区不得使用同一颜色，现有4种颜色可供选择，则不同的着色方法共有种.（以数字作答）解：区域１与其他四个区域相邻，而其他每个区域都与三个区域相邻，因此，可以涂三种或四种颜色．用三种颜色着色有=24种方法,用四种颜色着色有=48种方法,从而共有24+48=72种方法,应填72.六、混合问题——先选后排法对于排列组合的混合应用题，可采取先选取元素，后进行排列的策略．例8．（2002年北京高考）12名同学分别到三个不同的路口进行车流量的调查，若每个路口4人，则不同的分配方案共有（） A．种 B．种 C．种 D．种解：本试题属于均分组问题。则12名同学均分成3组共有种方法