人教课标实验B版-必修3-概率-随机现象-事件与基本事件的空间全国公开课一等奖

随机事件的概率一、教学目标

1．在具体情境中，使学生了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性，了解概率的意义以及频率与概率的区别，了解随机数的意义.

2．通过本节的教学，使学生在正确理解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性的基础上，能澄清生活中遇到的一些对概率的错误认识，并能通过做大量重复试验，用频率对某些随机事件的概率作出估计.

3．通过本节的教学，培养学生以随机的观点认识世界，使学生了解偶然性和必然性的辩证统一，培养其辩证唯物主义思想．

二、设计思路与教学建议

1．1频率与概率

【问题提出】P147

引出了本节的主要问题．

先对初中所学的相关知识作简单回顾，教师可让学生举出一些必然事件、不可能事件和随机事件的例子．接着引出了本节的主要问题：随机事件在一次试验中是否发生具有不确定性，但是在相同条件下的大量重复试验中，它发生的频率是否会呈现出一定的规律性？教科书展示了北京市某学校高一（5）班的学生为研究这个问题做的掷图钉试验的部分结果，所给的频率图，让学生对相同条件下的大量重复试验中随机事件的频率具有稳定性有初步体会．

【动手实践】P148

让学生在相同的条件下自己动手掷图钉，并绘制频率图来观察出现“钉尖朝上”的频率的变化趋势．

这里注意一定要“在相同的条件下”掷图钉．教师应在课前准备好同一型号图钉，我们认为每个学生用的图钉完全相同．若认为每个学生的课桌桌面高度相同，在掷图钉时，可让学生坐在座位上，手捏一枚图钉的钉尖，钉帽在下，从与桌面齐平的高度让图钉自由下落．当然，也可采取别的掷图钉的方式，只要是“在相同的条件下”掷图钉并且易于操作就行．

掷完图钉后，教师将每个学生的数据进行编号，得出前20次、前40次、前60次……试验出现“钉尖朝上”的频率，再让学生在直角坐标系中，画出频率图．这里要让学生都动手做一做．

【思考交流】P148

让学生体会频率稳定于概率的过程与一般的极限过程的区别，在频率稳定于概率的过程中可能会出现偏差大的情形．这里要求学生根据所画的频率图，观察随着试验次数的增加，出现“钉尖朝上”的频率在“常数”附近的摆动幅度是否一定越来越小，可让学生结合书上的频率图观察．一般来说，出现“钉尖朝上”的频率，在“常数”附近的摆动幅度不一定是单调递减的，但是随着试验次数的增加，摆动的幅度具有越来越小的趋势．

【抽象概括】P148

对频率的稳定性作出归纳总结．

事实上，要考察频率的稳定性，应考察多个样本，比如：

先做n次试验，可得到一个出现“钉尖朝上”的频率；

再做n次试验，可得到一个出现“钉尖朝上”的频率；

……

（1），，…是变化的量，但是当n很大时，，，…会在一个“常数”附近摆动；

（2）对于每n次试验，通过画出频率图可看出，当n很大时，出现“钉尖朝上”的频率具有“稳定性”――在上述“常数”附近摆动，并且随着试验次数的增加，摆动的幅度具有越来越小的趋势；

（3）有时，，…中也可能出现频率偏离“常数”较大的情形，但是随着n的增大，频率偏离“常数”大的可能性会减小．

抽象概括中的两点就是上述三条中的内容．

考虑到这样做试验要占用很多课堂时间，因此，教科书在设计时只让学生做n次试验，即只考察了一个样本，教师在课上应对学生说明这一点．教师还可以让学生在课下多做几组n次试验，算出，，…，观察，，…的稳定性．在下面的动手实践活动中，教师要引导学生进一步体会这一点.

【阅读理解】P148

让学生课上阅读，从中进一步体会频率的稳定性．

【动手实践】P150

通过用随机数表模拟掷硬币的活动，让学生了解随机数的意义，初步了解模拟方法的优越性；模拟得到的结果与历史上大量抛掷硬币的试验结果是一致的，可从一个侧面帮助学生体会频率的稳定性．

教师在学生模拟之前可说明：在随机数表中，0，1，…，9出现在表中的任何一个位置的可能性都是相同的，并让学生思考如何用随机数表来模拟掷硬币的试验．由于出现“正面朝上”和“反面朝上”的可能性是相同，因此可用0，1，…，9这10个数字中的任意5个表示“正面朝上”，其余5个表示“反面朝上”．当然还可以用别的方法，比如在表中去掉2，3，…，9，用0表示“正面朝上”，用1表示“反面朝上”等．在随机数表中随机选择一个开始点，可按某一方式在表中产生100个随机数．比如，在下面的随机数表中，从第二行第三个数开始，可顺次往后产生100个随机数，这样就完成了100次模拟．

86541

76173

75204

86985

55785

37652

39743

48699

72924

25688

76717

90494

60165

34668

04915

22256

88362

73974

88715

61973

99543

77560

63191

93767

11455

50193

78250

57919

75632

33716

23548

28717

从模拟结果可以看出：每100次试验中出现“正面朝上”的频率是一个变化的量，但是它又在附近摆动.教师在这里要让学生进一步体会：，，…是变化的量，但当n很大时，，，…会在一个“常数”附近摆动，即具有稳定性．教科书里建议：如果学生有科学计算器、图形计算器或计算机，那么可以用它们产生随机数来模拟掷硬币的试验．利用计算器或计算机产生随机数来做模拟试验，是一种应用非常广泛的模拟方法.下面简单介绍一下如何利用计算器来产生随机数，供教师参考．

许多计算器有产生随机数的功能，可以通过看说明书了解你的计算器是否能产生随机数及如何具体操作．一般地，每次按下适当的键（有时键上有RND表示随机），显示屏将显示一个0～1之间的随机数．假设产生的随机数小数点后有三位数字，因为数字是随机产生的，那么0～9之间的任何一个整数出现在这三个位置中的任何一个的可能性是相同的．这样产生的数字有很多用途．例如，模拟掷一枚均匀硬币的试验时，我们可以让奇数代表“正面朝上”，偶数代表“反面朝上”，如果计算器产生的随机数是,那么我们认为三次抛掷顺次的结果为“正面朝上”“反面朝上”“正面朝上”．

计算器能够很容易地产生指定范围内的随机数．例如，为了产生1～20之间的整数，我们可以将显示屏上的数乘以20，再加1，接着再取它的整数部分．例如，乘以20得到,加1得到，11就是我们得到的随机数．

【抽象概括】P150

给出了随机事件的概率的定义：在相同的条件下，大量重复进行同一试验时，随机事件A发生的频率会在某个常数附近摆动，即随机事件A发生的频率具有稳定性．我们把这个常数叫做随机事件A的概率，记作P(A)．

在概率定义里，教师要强调是“在相同的条件下”大量重复进行同一试验．对于一次试验来说，随机事件是否发生是不确定的，但是“在相同的条件下”大量重复进行同一试验时，随机事件的发生又呈现出一定的规律性，这就是随机现象的统计规律性，我们把这个定义称作概率的统计定义．注意频率与概率的区别和联系．

（1）频率反映了一个随机事件出现的频繁程度，频率是随机的，而概率是一个确定的值；

（2）在相同的条件下，大量重复进行同一试验时，频率会稳定于概率；

（3）概率从数量上客观地反映了随机事件发生的可能性大小．在实际问题中，某些随机事件的概率往往难以确切得到,因此我们常常通过做大量的重复试验，用随机事件发生的频率来估计它的概率．

由概率的统计定义可以得出：0≤P(A)≤1；P(必然事件)＝1；P(不可能事件)＝0．

生活中有很多涉及概率的语句，人们对这些语句有不同的理解，很多理解都是不准确或者是完全错误的.练习第3题是让学生针对“明天的降水概率是60％”的含义课后展开调查，在下节课的思考交流栏目里进行交流和讨论.教师应提前把这个作业布置下去.

【练习】P151

1．“明天股票升值”“掷一粒骰子，向上的点数为6”等．

2．从教科书上的频率图估计约为，每个班的估计值可能是互不相同的．

3．略．

【阅读材料】P151

让学生了解随机现象的统计规律性对保险的意义．1．2生活中的概率

【思考交流】P152

澄清对“明天的降水概率是60%”的一些错误认识，让学生进一步体会频率的稳定性和随机的思想．

考察历史上的天气记录，如果和明天在气压、云层、温度等天气条件方面相同的天数是100，其中有60天降雨了，那么就说“明天的降水概率是60%”．对这句话有很多错误的理解，比如，“明天有60%的时间下雨”“明天有60%的地区下雨”等等，应让每个学生交流调查的结果并鼓励其发表自己的看法，教师最后归纳概括．

对思考交流栏目中的两个问题，应让学生展开讨论并作出回答．

考察北京历史上的天气记录，如果和今天在气压、云层、温度等天气条件方面相同的天数是100，其中有60天降雨了，那么就说今天北京的降水概率是60%；今天上海的降水概率是70%道理一样．

有可能北京今天降雨了而上海没有降雨．“今天降雨”是一个随机事件，今天北京的降水概率是60%，上海的降水概率是70%，只是说明今天上海降雨的可能性比北京大，并不表示今天上海一定降雨．如果北京今天降雨了而上海没有降雨，即可能性较小的事件发生了而可能性较大的事件却没有发生，正是随机事件发生的不确定性的体现．“百年一遇”的意思是平均每100年才可能遇上一次，即每年发生这样大的洪水的概率为百分之一．在这里是指出现像1998年那样大的洪水的可能性是非常小的．

【问题1】P152

澄清学生对这个问题的错误认识，让学生进一步体会频率的稳定性和随机的思想．这里可以让学生先作出判断．

【动手实践】P152

主要是让学生通过实践来回答上面问题．

全班同学每人抛掷10次硬币，通过试验可以知道不一定出现5次“正面朝上”和5次“反面朝上”．用出现5次“正面朝上”的频率对其概率作出估计，可以发现，出现5次“正面朝上”的概率比较小（理论上用二项分布可以算得这个事件的概率为）．

教科书接着让学生用随机数表来模拟抛掷10次硬币的试验，并对出现5次“正面朝上”的概率作出估计．应注意的是，这里产生10个随机数只能算完成1次模拟．汇总班上同学的数据对出现5次“正面朝上”的概率作出的估计，因为其试验次数比每个人的试验次数多很多，因此应该更可信．这里可以进一步让学生体会模拟方法在进行大量重复试验时的优越性．

【思考交流】P153

加深学生对随机事件发生的不确定性和频率的稳定性的理解．

这里应让学生交流各自的看法并讨论，教师再归纳概括：掷1枚硬币，出现“正面朝上”的概率为，是指大量重复试验时，出现“正面朝上”的频率在附近摆动，若1枚硬币掷了1000次，则大约有500次出现“正面朝上”；而不是指1枚硬币掷2次恰出现1次“正面朝上”．

【练习1】P153

主要让学生通过做大量重复试验，用频率来估计概率，并对这三个结果不是等可能的有一个初步了解．在学了古典概型之后，我们可以算出出现“两枚硬币都是正面朝上”“恰好一枚硬币正面朝上”“两枚硬币都是正面朝下”的概率分别为，，．

（1）略；

（2）略；

（3）大量重复进行试验；

（4）理论上可算得“两枚硬币都是正面朝上”“恰好一枚硬币正面朝上”“两枚硬币都是正面朝下”的概率分别为，，．

【问题2】P153

澄清人们对这个问题的错误认识．人们通常认为先抓奖的人中奖率大，而实际上先抓的人和后抓的人的中奖率是一样的，先抓还是后抓对每个抓奖的人来说是公平的．教科书首先展示了北京市某学校高一（5）班的学生为研究这个问题所做模拟活动的部分结果.根据教科书中的表格，学生容易得出四个人摸到白球的机会是相等的，对摸奖的顺序不影响中奖率有一个初步了解．

【动手实践】P154

让学生自己动手来体会摸奖的顺序不影响中奖率．

教师事先应准备好口袋（或纸箱）和球，球可以选用乒乓球（用黄色乒乓球代替黑球），口袋（或纸箱）的大小应保证四个球能在里面有自由活动的空间．应准备至少4套口袋（或纸箱）和球，再让学生轮流做试验．

教师应强调：每次摸球之前应将球充分混合，学生在摸球时也可以用手把球搅拌一下，摸球时不能看口袋（或纸箱）里的球，无放回地摸取，每一轮摸取完成后，每个人把球放入口袋（或纸箱），充分混合后再进行下一轮摸取．

对第（1）问，每一组学生的结果可能不一样，因为仅从一组学生模拟得到的数据看，可能第一个人、第二个人、第三个人、第四个人摸到白球的频率的差异比较大．汇总全班的数据后，用第一个人、第二个人、第三个人、第四个人摸到白球的频率估计出四个人摸到奖品的概率，可以发现它们的差异是比较小的（学了古典概型之后，我们可以算出每个人摸到奖品的概率都是），学生可以得出摸奖的次序对中奖率没有影响．

【阅读理解】P154

澄清人们在购买彩票时的一些错误认识．

北京市有一种电脑体育彩票，每张彩票的号码是从01，02，…，36这36个数中选取7个组成的（彩票号码与次序无关，可以由彩民自己选取）．这种体育彩票在开奖时，共摇出8个标有号码的彩球，前7个为正选号码，最后一个为特别号码．例如，北京市电脑体育彩票36选7(03099期)开奖结果如下：

中奖号码：26，10，25，23，34，06，05，特选号码：21．

中奖办法：

特等奖为选中全部7个正选号码；

一等奖为选中7个正选号码中的任意6个加特选号码；

二等奖为选中7个正选号码中的任意6个；

三等奖为选中7个正选号码中的任意5个加特选号码；

四等奖为选中7个正选号码中的任意5个或者选中7个正选号码中的任意4个加特选号码；

五等奖为选中7个正选号码中的任意4个或者选中7个正选号码中的任意3个加特选号码．

对于阅读思考中的两个问题，因为每次摇奖摇出任何一个号码的可能性都是相同的，并且这次摇奖摇出哪个号码与下次摇奖摇出哪个号码是互不影响的（这次摇奖与下次摇奖是独立的），因此彩民甲和彩民乙的做法是没有道理的，对他们中奖没有帮助．教师可先让学生交流看法并讨论，教科书在正文旁边给出了提示，教师应提醒学生看正文旁边的标注．“为了公平起见，开奖用的36个球应该是均匀的、没有任何差别的”，是指对任何一个号码来说，最后摇出的可能性都是一样的；“原则上每期摇奖都应该使用新球，除非能保证用过的球还和新球一样”是指每次摇奖前都要保证36个球没有磨损，是均匀的并且是没有任何差别的．教师可在学生讨论时给出提示，最后教师再归纳概括．

【抽象概括】P155

说明概率知识在日常生活中的作用：可以帮助我们对生活中的随机事件作出合理的判断与决策．

【练习2】P157

1．足球比赛中球队获胜，公共汽车在一个站至少上5位乘客等等.

2．买1000张和买10000张都不一定中奖．这10万张彩票里共有100张中奖彩票，买1000张中奖是一个随机事件，有可能1000张彩票都没有中奖，有可能1000张彩票里有1张中奖，有可能1000张彩票里有2张中奖，……但平均来说，每1000张彩票里有1张中奖；买10000张彩票的情况类似，平均来说，每10000张彩票里有10张中奖，买10000张彩票中奖的可能性比买1000张中奖的可能性大．

3．第一粒骰子．

4．赛季初他击中的概率约为，赛季末约为，相对于赛季初而言，赛季末他击中的概率有了较大的提高．

【习题3-1】P157

A组

1．略．2．．3．．

B组

（1）11；（2）略；（3）略；（4）大量重复进行试验；

（5）理论上可算出出现“点数和为4”“点数和为7”“点数和为10”的概率分别为，，．

三、备用课程资源概率论的起源及公理化

概率论起源于博奕问题．15至16世纪意大利数学家帕乔利、塔塔利亚和卡尔丹的著作中曾讨论过“如果两人赌博提前结束，该如何分配赌金”等概率问题．1654年左右，费马与帕斯卡在一系列通信中讨论类似的合理分配赌金的问题，并用组合的方法给出了正确的解答．他们的通信引起了荷兰数学家惠更斯（，1629―1695）的兴趣．惠更斯在1657年发表了《论赌博中的计算》，这本书成为了最早的概率论著作．这些数学家的著述中所出现的第一批概率论概念（如数学期望）与定理（如概率加法、乘法定理），标志着概率论的诞生．一般认为，概率论作为一门独立的数学分支，其真正的奠基人是雅各布?伯努利.他在遗著《猜测术》中首次提出了后来以“伯努利定理”著称的极限定理：若在一系列独立试验中，事件A发生的概率为常数且等于p，那么对任意ε>0以及充分大的试验次数n,有

P{|-p|<ε}>1-η(η为任意小的正数)，

其中m为n次试验中事件A出现的次数．伯努利定理刻画了大量经验观测中频率呈现的稳定性，作为大数定律的最早形式而在概率论发展史上占有重要地位．

伯努利之后，棣莫弗（，1667―1754）、蒲丰（，1707―1788）、拉普拉斯、高斯和泊松等对概率论做出了进一步的奠基性的贡献．其中棣莫弗和高斯各自独立地引进了正态分布，蒲丰提出了投针问题和几何概率，泊松陈述了泊松大数定律．特别是拉普拉斯1812年出版的《概率的分析理论》，以强有力的分析工具处理概率论的基本内容，使以往零散的结果系统化，实现了从组合技巧向分析方法的过渡，开辟了概率论发展的新时期．正是在这部书里，拉普拉斯给出了概率的古典定义：事件A的概率P(A)等于一次试验中有利于事件A的可能的结果数与该试验中所有可能的结果数之比．

19世纪后期，极限理论的发展成为概率论研究的中心课题，俄国数学家切比雪夫在这方面做出了重要贡献，他在1866年建立了关于随机变量序列的大数定律，使伯努利定理和泊松大数定律成为其特例．切比雪夫还将棣莫弗―拉普拉斯极限定理推广为更一般的中心极限定理，他的成果后来被他的学生马尔可夫等发扬光大．

19世纪末，概率论在统计物理等领域的应用提出了对概率论基本概念与原理进行解释的需要．同时，科学家们发现的一些概率论悖论也揭示出古典概率论中基本概念存在的矛盾与含糊之处．1899年法国学者贝特朗提出了著名的“贝特朗悖论”：

在半径为r的圆内随机选择弦，计算弦长超过圆内接正三角形边长的概率．

根据“随机选择”的不同意义，可以得到不同答案．

（1）如图5（Ⅰ）,考虑与某确定方向平行的弦，则弦心距小于的弦长大于圆内接正三角形边长，大于圆内接正三角形边长的弦的中点的轨迹的长度为r，是直径的一半，所求概率为；

（2）如图5（Ⅱ）,考虑从圆上某固定点P引出的弦，则所求概率为；

（3）如图5（Ⅲ）,随机的意义理