英才学院《电工学》教案02正弦交流电路

图2.3正弦电流的初相位学习目标：1.理解正弦量的特征及其各种表示方法；2.；熟练掌握计算正弦交流电路的相量分析法，会画相量图；3.掌握有功功率和功率因数的计算,了解瞬时功率、无功功率和视在功率的概念；4.了解正弦交流电路的频率特性，串、并联谐振的条件及特征；5.了解提高功率因数的意义和方法；6.三相电压电流的规律和计算；7.掌握三相四线制供电系统中单相及三相负载的正确联接方法，理解中线的作用；8.掌握对称三相电路电压、电流及功率的计算。2.1正弦电压与电流1.正弦电流及其三要素随时间按正弦规律变化的电流称为正弦电流，同样地有正弦电压等。这些按正弦规律变化的物理量统称为正弦量。设图2.1中通过元件的电流i是正弦电流，其参考方向如图所示。正弦电流的一般表达式为：i(t)=Imsin(ωt+ψ)图2.1电路元件图2.2正弦电流波形图它表示电流i是时间t的正弦函数，不同的时间有不同的量值，称为瞬时值，用小写字母表示。电流i的时间函数曲线如图2.2所示，称为波形图。Im为正弦电流的最大值(幅值)，即正弦量的振幅，用大写字母加下标m表示正弦量的最大值，例如Im、Um、Em等,它反映了正弦量变化的幅度。(Ot+ψ)随时间变化，称为正弦量的相位，它描述了正弦量变化的进程或状态。ψ为t=0时刻的相位，称为初相位(初弦电流的波形图。正弦电流每重复变化一次所经历的时间间隔即为它的周期，用T表示，周期的单位为秒(s)。正弦电流每经过一个周期T，对应的角度变化了2π弧度，所以OT=2ω==2f式中ω为角频率，表示正弦量在单位时间内变化的角度，反映正弦量变化的快慢。用弧度/秒(rad/s)作为角频率的单位；f=1/T是频率，表示单位时间内正弦量变化的循环次数，用1/秒(1/s)作为频率的单位，称为赫兹(Hz)。我国电力系统用的交流电的频率(工频)最大值、角频率和初相位称为正弦量的三要素。2.相位差任意两个同频率的正弦电流i1(t)=Im1sin(Ot+1)i2(t)=Im2sin(Ot+2)的相位差是相位差在任何瞬间都是一个与时间无关的常量，等于它们初相位之差。习惯上取∣Q12∣≤180°。若两个同频率正弦电流的相位差为零，即Q12=0，则称这两个正弦量为同相位。指i1比i2先到达正峰值，反过来也可以说i2滞后i1。超前或滞后有时也需指明超前或滞后多电流的相位差为Q12=，则称这两个正弦量为反相。如果Q12=2，则称这两个正弦量为正图2.4正弦量的相位关系3.有效值产生的能量相等，则此直流电流的量值为此周期性电流的有效值。周期性电流i流过电阻R，在时间T内，电流i所产生的能量为直流电流I流过电阻R在时间T内所产生的能量为W2=I2RT当两个电流在一个周期T内所作的功相等时，有于是，得I=对正弦电流则有I==I m=2≈0.707Im同理可得在工程上凡谈到周期性电流或电压、电动势等量值时，凡无特殊说明总是指有效值，一般电气设备铭牌上所标明的额定电压和电流值都是指有效值。2.2正弦量的相量表示法由于在正弦交流电路中,所有的电压、电流都是同频率的正弦量，所以要确定这些正弦量，只要确定它们的有效值和初相就可以了。相量法就是用复数来表示正弦量。1.复数及其表示形式设A是一个复数，并设a和b分别为它的实部和虚部，则有A=a+jb表示形式称为复数的代数形式。复数可以用复平面上所对应的点表示。图2.5复数在复平面上的表示图2.6复数的矢量表示A=复数A的矢量与实轴正向间的夹角ψ称为A的辐角，记作b2.6中可得如下关系：复数称为复数的三角形式。再利用欧拉公式(|a=Acosv|b=AsinvA=a+jb=A(cosψ+jsinψ)又得AA=Aee称为复数的指数形式。在工程上简写为A=A/ψ。2.复数运算1)复数的加减设有两个复数：A1=a1+jb1A2=a2+jb2Aajbajb=(a1a2)+j(b1b2)两个复数相加的运算在复平面上是符合平行四边形的求和法则的；如图3.7所示。图2.7复数的加减2)复数的乘除复数的乘除运算，一般采用指数形式。设有两个复数A2=a2+jb2=A2/ψ2A1A1即复数相乘时，将模和模相乘，辐角相加；复数相除时，将模相除，辐角相减。Aejej=Aej(2+)=A等于/ψ1+ψ即复数的模不变，辐角变化了ψ角，此时复数矢量按逆时针方向旋转了ψ角。所以ej称为旋转因子。使用最多的旋转因子是ej90°=j和ej(-90°)=-j。任何一个复数乘以j(或除以j)，相当于将该复数矢量按逆时针旋转90°；而乘以-j则相当于将该复数矢量按顺时针旋转90°。3.正弦量的相量表示法正弦量可以写作式中，符号Im是虚数的缩写。其中复常数部分Uej是包含了正弦量的有效值U和初相角ψ的复数，我们把这复数称为正弦量的相量，并用符号U.表示，上面的小圆点是用来表示相量。则相量和复数一样，可以在复平面上用矢量表示，这种表示相量的图，称为相量图。如图2.8电压相量图例1已知正弦电压写出表示u1和u2的相量表示式，并画出相量图。图2.9例1电压的相量图例2已知两频率均为50Hz的电压，表示它们的相量分别为U.1=380/30°V，U.2=220/-60°V，试写出这两个电压的解析式。iI.2=100/-120°AI.1+I.2=100/0°+100/-120°=100/-60°A由此可见,正弦量用相量表示，可以使正弦量的运算简化。2.3单一参数的交流电路电阻R、电感L、电容C是交流电路中的基本电路元件。本节着重研究三种元件上的电压与电流关系，能量的转换及功率问题。1.电阻元件1)电阻元件上电压与电流的关系当电阻两端加上正弦交流电压时，电阻中就有交流电流通过，电压与电流的瞬时值仍然遵循欧姆定律。在图2.10中，电压与电流为关联参考方向，则电阻上的电流为上式是交流电路中电阻元件的电压与电流的基本关系。如加在电阻两端的是正弦交流电压uR=URmsin(Ot+u)图2.10电阻元件则电路中的电流为U式中IRm=mi=u写成有效值关系为：I=URRR或UR=RIR从以上分析可知：(1)电阻两端的电压与电流同频率、同相位； (2)电阻两端的电压与电流的数值上成正比.其波形图如2.11所示(设i其波形图如2.11所示(设i)。图2.11电阻元件的电压、电流波形图电阻元件上电压与电流的相量关系为URRIRuRIRiI.R=IR/ψiU.R=RI.R就是电阻元件上电压与电流的相量关系，也就是相量形式的欧姆定律。图2.12给出了电阻元件的相量模型及相量图。2)电阻元件的功率在交流电路中，任意电路元件上的电压瞬时值与电流瞬时值的乘积称作该元件的瞬时功率。用小写字母P表示。当uR，iR为关联参考方向时，(a)相量模型(b)相量图图2.12电阻元件的相量模型及相量图RRP=uRR若电阻两端的电压、电流为(设初相角为0°)uR=URmsinOtiR=IRmsinOt则正弦交流电路中电阻元件上的瞬时功率为P=uRiR=URmsinOtIRmsinOt=RmRmUIsin=RmRm2.13所示。从图中可知：只要有电流流过电阻，电阻R上的瞬时功率P≥0，即总是吸收功率(消耗功率)。其吸收功率的大小在工程上都用平均功率来表示。周期性交流电路中的平均功率就是瞬时功率在一个周期的平均值。平均功率又因所以UR=RIRP=URIR=IR2R=UR2/R图2.13电阻元件的功率波形图由于平均功率反映了元件实际消耗电能的情况，所以又称有功功率。习惯上常简称功。例1一额定电压为220V、功率为100W的电烙铁，误接在380V的交流电源上，问此时它消耗的功率是多少？会出现什么现象。解：已知额定电压和功率，可求出电烙铁的等效电阻R=U=2202P100=484Ω当误接在380V电源上时，电烙铁实际消耗的功率为P1==300W此时，电烙铁内的电阻很可能被烧断。2.电感元件1)电感元件上电压和电流的关系设一电感L中通入正弦电流，其参考方向如图2.14所示。设iL=ILmsin(Ot+i)则电感两端的电压为udtdt=ILmOLcos(Ot+i)udtdt=ILmOLcos(Ot+i)inOtu式中ULm=OLILmΨu=Ψi+2图2.14电感元件写成有效值为UL=OLIL或U LULIL从以上分析可知：(1)电感两端的电压与电流同频率；(2)电感两端的电压在相位上超前电流90°；(3)电感两端的电压与电流有效值(或最大值)之比为OL。令XL=OL=2fLXL称为感抗，它用来表示电感元件对电流阻碍作用的一个物理量。它与角频率成正比。单位是欧姆。在直流电路中，ω=0，XL=0，所以电感在直流电路中视为短路。UL=XLIL元件的电压、电流波形图如2.15所示(设ψi=0)。图2.15电感元件的电压、电流波形图电感元件上电压与电流的相量关系为即UL=jXLIL图2.16给出了电感元件的相量模型及相量图。(a)相量模型(b)相量图图2.16电感元件的相量模型及相量图2)电感元件的功率在电压与电流参考方向一致的情况下电感元件的瞬时功率若电感两端的电流、电压为(设Ψi=0)iL=ILmsinOtu2u2则正弦交流电路中电感元件上的瞬时功率为p=uLiL=ULmsin(Ot+)ILmsinOt=ULmILmsinOtcosOt其电压、电流、功率的波形图如图2.17所示。由上式或波形图都可以看出，此功率是以两倍角频率作正弦变化的。图2.17电感元件的功率波形图电感在通以正弦电流时，所吸收的平均功率为t上式表明电感元件是不消耗能量的，它是储能元件。电感吸收的瞬时功率不为零，在第一和第三个1/4周期内，瞬时功率为正值，电感吸取电源的电能，并将其转换成磁场能量储存起来；在第二和第四个1/4周期内，瞬时功率为负值，将储存的磁场能量转换成电能返送给电源。为了衡量电源与电感元件间的能量交换的大小，把电感元件瞬时功率的最大值称为无功功率，用QL表示。2U2LQL=ULIL=ILXL=LXL(3-23)无功功率的单位为乏(var)，工程中有时也用千乏(kvar)。1kvar=103var例2若将L=20mH的电感元件，接在UL=110V的正弦电源上，则通过的电流是1mA，求(1)电感元件的感抗及电源的频率；(2)若把该元件接在直流110V电源上,会出现什么现象?电源频率f==一3=8.76105Hz(2)在直流电路中,XL=0,电流很大,电感元件可能烧坏。3.电容元件1)电容元件上电压和电流的关系设一电容C中通入正弦交流电，其参考方向如图2.18所示。设外接正弦交流电压为uc=Ucmsin(Ot+u)则电路中电流CducCdUcmsin(Ot+u)ic=dt=dt=2=Icmsin(Ot+i)图2.18电容元件式中ICm=UCmOCUC1写成有效值为IC=OCUC或ICOC从以上分析可知：(1)电容两端的电压与电流同频率；(2)电容两端的电压在相位上滞后电流90°；(3)电容两端的电压与电流有效值之比为OC。11令XC=OC=2fCXC称为容抗，它用来表示电容元件对电流阻碍作用的一个物理量。它与角频率成反比，单位是欧姆。XCCCUCCC设Ψu=0)电容元件上电压与电流的相量关系为即即件的相量模型及相量图。图2.19电容元件的电压、电流波形图 CXC(a)相量模型(b)相量图图2.20电容元件的相量模型及相量图2)电容元件的功率在电压与电流参考方向一致的情况下，设uC=UCmsinOt则电容元件的瞬时功率为p=uCiC=UCmsinOtICmsin(Ot+)=UCmICmsinOtcosOtsinOt其电压、电流、功率的波形图如图2.21所示。由上式或波形图都可以看出，此功率是以两倍角频率作正弦变化的。电容在通以正弦电流时，所吸收的平均功率为与电感元件相同，电容元件也是不消耗能量的，它也是储能元件。电容吸收的瞬时功率不为零，在第一和第三个1/4周期内，瞬时功率为正值，电容吸取电源的电能，并将其转换成电场能量储存起来；在第二和第四个1/4周期内，瞬时功率为负值，图2.21电容元件的功率波形图将储存的电场能量转换成电能返送给电源。用无功功率QC表示电源与电容间的能量交换QC=UCIC=IXC=流过电容的电流i(t)并画出电压、电流的相量图。(2)若接在直流6V的电源上，则电流为多少？解：(1)U.=6/-60°VCXC==1000110一6=100C一jxc一j100/-60°+90°=0.06/30°A图2.22。图2.22电压、电流的相量图2.4电阻、电感与电容元件串联交流电路1.电阻、电感和电容串联电路及复阻抗电阻、电感和电容串联电路如图2.23所示。相量形式的KVL可得=RI.+jOLI.+I.==jOCRjXL=jOCRjXL一XC)]I.图2.23R、L、C串联电路式中令则有=ZI.Z=R+j(XL一XC)X=XL一XCZ==R+jX可见，在R、L、C串联电路中，电压相量U.与电流相量I.之比为一复数Z，它的实部为电路的电阻R，虚部为电路中的感抗XL与电容XC之差，X称为电路的电抗，Z称为电路的复阻抗。将复阻抗写成指数形式，则为ZZ R2+ R2+X2=Z其中Z=R2+X2=R2+(XL一XC)2其中Q=arctan=arctanXQ=arctan=arctanRR以上两式表明：复阻抗的模Z(也可称阻抗)及辐角Q的大小，只与参数及角频率有关，而与电压及电流无关。复阻抗的模Z和R及X构成一个直角三角形。如图2.24所示，称为阻抗三角形，辐角Q又称为阻抗角。X=ZsinQuiui可见复阻抗的模Z等于电压的有效值与电流的有效值之比，辐角Q等于电压与电流的相位差角，即U由此可见，复阻抗Z决定了电压、电流的有效值大小和相位间的关系。所以复阻抗是正弦交流电路中一个十分重要的概念，为了简明，复阻抗可简称为阻抗。RLCRXLXC=7Ω，正弦电压U=100V，试求电路的复阻抗，电路中的电流和各元件上的电压，并作出相量图。解：复阻抗Z=R+j(XLXC)=3+j(37)=3j4=5/-53.1°Ω设电压则(V)I.=U.100/0。Z=5/53.1。=20/53.1°(A)URRI20/53.1°=60/53.1°(V)U.L=jXLI.=j320/53.1°=60/143.1°U.C=jXCI.=j720/53.1°=140/-36.9°(V)相量图如图2.25。下面我们讨论电路参数对电路性质的影响。根据电路参数可得出R、L、C串联电路的性质：(1)当XL>XC时，Q>0，即电压超前电流Q角；电路呈感性；(2)当XL<XC时，Q<0，即电压滞后电流，电路呈容性；(3)当XL=XC时，Q=0，即电压与电流同相位，电路呈阻性。三种情况的相量图如图2.26所示：则则即图2.26R、L、C串联电路相量图由上面分析可知：一90o<Q<90°，当电源频率不变时，改变电路参数L或C可以改变电路的性质；若电路参数不变，也可以改变电源频率达到改变电路的性质。从图2.26的相量图还可看出，电阻电压UR、电抗电压UX=UL+UC和端电压U.的三个相量组成一个直角三角形叫电压三角形，它与阻抗三角形是相似三角形。即U=UR2+(UL一UC)2=UR2+UX2例2电路如图2.27(a)图所示是一移相电路，已知输入电压Uin=1V，f=1000Hz，C=0.01f，欲使输出电压uo较输入电压uin的相位滞后60o，试求电路的电阻。(a)移相电路(b)相量图U.0一jI.XC一jXCXC/一90oU.in=I.(R一jXC)=R一jXC=/一arctan(XC/R)Q=-90°+R欲使输出电压uo较输入电压uin的相位滞后60oarctan=30oXCR3R=3XC=315.9=27.6k例3电路如图2.28(a)图所示为正弦交流电路中的一部分,已知电压表V1的读数为6V，V2的读数为8V，试求端口电压U。(a)电路图(b)相量图解：以电流为参考相量，画出相量图如图2.28(b)所示。U=U+U=62+82=10V本例也可用相量法计算：设电流相量为I.=I/0°则UR=6/0°=6V则UL=8/90°=j8V由KVLU=UR+UL=6+j8=10/53.1°V2.5阻抗的串联与并联1.阻抗的串联阻抗串联电路如图2.29所示，根据相量形式的KVL可得，IZI式中Z=Z1+Z2+Z3Z为全电路的等效阻抗，它等于各复阻抗之和。如果把各阻抗用R与X串联来表示，即Z1=R1+jX1，Z2=R2+jX2，Z3=R3+jX3则Z=(R1+R2+R3)+j(X1+X2+X3)=R+jX式中R=R1+R2+R3X=X1+X2+X3图2.29阻抗串联电路因此，串联阻抗的等效电阻等于各电阻之和，等效电抗等于各电抗的代数和。故等效阻抗的模为Z=(R1+R2+R3)2+(X1+X2+X3)2阻抗角为Q=arctan阻抗角为Q=arctan+R+R33阻抗串联时的分压公式其公式与直流电路相似，所不同的是电压、电流均为相量，Z为复数。例1设三个复阻抗串联电路如图2.30所示，已知Z1=5+j10，Z2=10一j15，并画出相量图。解：复阻抗Z=Z1+Z2+Z343°I.=U.=40/30。Z20.5/一43。=1.95/73°A=21.8/136.4°VU.2=Z2I.=(10-j15)1.95/73°=35.2/16.7°VU.3=Z3I.==-j91.95/73°=17.6/-17°V.30所示。2.阻抗的并联阻抗并联电路如图2.31，根据相量形式的KCL得 1=1+1+1式中123Z式中123几个复阻抗并联时，全电路的等效复阻抗的倒数等于各复阻抗的倒数之和。若用导纳表示，则为Y=Y1+Y2+Y3也就是说，几个复导纳并联时，等效复导纳等于各复导纳之和。当两个复阻抗并联时，其等效阻抗也可用下式计算：Z=a。已知R1=3，XL=4，XC=2，R3=10，U.=20/0°V，试求电路的等效复阻抗，总电流I.和支路电流I.1、I.2、I.3，并画出相量图。=j+j+=+j=0.22+j0.34SZ===1.34j2.17=2.46/-57.1°ΩI.=U.=20/0=8.1Z2.46/57.1/57.1°A1IU0=1Z2j210/90°AZ1Z2j210/90°A3IU20/0=332/0°32/0°A相量图如图2.32(b)所示。(a)电路图(b)相量图3.阻抗混联电路阻抗混联的电路的分析方法可按照直流电路的方法进行。例3在图2.33中，已知R=10，L=40mH，C=10uf，R1=50，U.=100/0°V，O=1000rads，试求各支路电流。解：(1)首先计算全电路的等效阻抗ZXL=40XC===100Z=R+jXL+=10+j40+=10+j40+40j20=50+j20=53.9/21.8°Ω(2)计算电路总电流I.=U.=100/0=Z53.9/21.81.86/-21.8°A(3)利用分流公式计算各支路电流I.=jXCI.=j1001R1jXC50j1001.86/21.8°=1.66/-48.4°AI.2=I.=1.86/21.8°=0.83/41.6°A或I.2=I.I.1=1.86/21.8°-1.66/-48.4°=0.83/41.6°A从上例可以看出，阻抗串、并联交流电路的计算同直流电路的电阻串、并联方法相同，所不同的是电阻用复阻抗来代替，电压、电流用相量代替，且计算比较复杂。2.6电路中的谐振谐振的概念：在同时含有L和C的交流电路中，如果总电压和总电流同相，称电路处于谐振状态。此时电路与电源之间不再有能量的交换，电路呈电阻性。串联谐振：L与C串联时u、i同相并联谐振：L与C并联时u、i同相研究谐振的目的，就是一方面在生产上充分利用谐振的特点，(如在无线电工程、电子测量技术等许多电路中应用)。另一方面又要预防它所产生的危害。2.7功率因数的提高1.有功功率、无功功率、视在功率和功率因数设有一个二端网络，取电压、电流参考方向如图2.34所示，则网络在任一瞬间时吸收的功率即瞬时功率为p=u(t).i(t)设u(t)=2Usin(Ot+Q)设i(t)=2IsinOt其中Q为电压与电流的相位差。p(t)=u(t).i(t)Usin(Ot+Q).2IsinOt2.35所示。瞬时功率有时为正值，有时为负值，表示网络有时从图2.35瞬时功率波形图外部接受能量，有时向外部发出能量。如果所考虑的二端网络内不含有独立源，这种能量交换的现象就是网络内储能元件所引起的。二端网络所吸收的平均功率P为瞬时功率p(t)在一个周期内的平均值，可见，正弦交流电路的有功功率等于电压、电流的有效值和电压、电流相位差角余弦的乘积。网络为纯电阻情况下，Q=0，功率因数cosQ=1，网络吸收的有功功率PR=UI；当二端这与前面2．3节的结果完全一致。二端网络两端的电压U和电流I的乘积UI也是功率的量纲，因此，把乘积UI称为该网络的视在功率，用符号S来表示，即为与有功功率区别，视在功率的单位用伏安(VA)。视在功率也称容量，例如一台变压器的容量为4000kVA，而此变压器能输出多少有功功率，要视负载的功率因数而定。在正弦交流电路中，除了有功功率和视在功率外，无功功率也是一个重要的量。即Q=UxI而UX=UsinQ所以无功功率Q=UIsinQ当Q=0时，二端网络为一等效电阻，电阻总是从电源获得能量，没有能量的交换；当Q丰0时，说明二端网络中必有储能元件，因此，二端网络与电源间有能量的交换。2.功率因数的提高电源的额定输出功率为PN=SNcosQ，它除了决定于本身容量(即额定视在功率)外，还与负载功率因数有关。若负载功率因数低，电源输出功率将减小，这显然是不利的。因此为了充分利用电源设备的容量，应该设法提高负载网络的功率因数。另外，若负载功率因数低，电源在供给有功功率的同时，还要提供足够的无功功率，致使供电线路电流增大，从而造成线路上能耗增大。可见，提高功率因数有很大的经济意义。功率因数不高的原因，主要是由于大量电感性负载的存在。工厂生产中广泛使用的三相异步电动机就相当于电感性负载。为了提高功率因数，可以从两个基本方面来着手：一方面是改进用电设备的功率因数，但这主要涉及更换或改进设备；另一方面是在感性负载的两端并联适当大小的电容器。下面分析利用并联电容器来提高功率因数的方法。原负载为感性负载，其功率因数为cosQ，电流为I.1，在其两端并联电容器C，电路如图3.47所示，并联电容以后，并不影响原负载的工作状态。从相量图可知由于电容电流补偿了负载中的无功电流。使总电流减小，电路的总功率因数提高了。(b)相量图电路图设有一感性负载的端电压为U，功率为P，功率因数cosQ1，为了使功率因数提高到cosQ，可推导所需并联电容C的计算公式：IC=I1sinQ1IsinQ=P(tgQ1tgQ)流过电容的电流U又因IC=UOC所以C=(tgQ1tgQ)例1两个负载并联,接到220V、50Hz的电源上。一个负载的功率P1=2.8kW，功率因数cosQ1=0.8(感性)，另一个负载的功率P2=2.42kW，功率因数cosQ2=0.5(感性)。试求:(1)电路的总电流和总功率因数；(2)电路消耗的总功率；(3)要使电路的功率因数提高到0.92，需并联多大的电容？此时，电路的总电流为多少？(4)再把电路的功率因数从0.92提高到1,需并联多大的电容?I1=cosQ1=0.8Q1=36.9°2I2cos设电源电压2P24202=UcosQ2=2200.5Q1=0.5Q1=60°=22A则I1=15.9/-36.9°AI2=22/-60°AI.=I1+I2=15.9/-36.9°+22/-60°=37.1/-50.3°AI=37.1AQ=50.3°cosQ=0.64P=P1+P2=2.8+2.42=5.22kWQQocosQ=0.64Q=50.3°=0.00034(1.2-0.426)=263FI=P=5220=25.8UcosQ2200.92AcosQ=0.92Q=23.1o=0.00034(0.426-0)=144.8F由上例计算可以看出，将功率因数从0.92提高到1，仅提高了0.08，补偿电容需要144.8F，将增大设备的投资。在实际生产中并不要把功率因数提高到1，因为这样做需要并联的电容较大，功率因数提高到什么程度为宜，只能在作具体的技术经济比较之后才能决定。通常只将功率因数提高到0.9~0.95之间。2.8三相电路1.三相电源三相电源是具有三个频率相同、幅值相等但相位不同的电动势的电源，用三相电源供电的电路就称为三相电路。1)对称三相电源在电力工业中，三相电路中的电源通常是三相发电机，由它可以获得三个频率相同、幅值相等、相位互差120°的电动势，这样的发电机称为对称三相电源。图2.37是三相同步发电机的原理图。三相发电机中转子上的励磁线圈MN内通有直流电流，使转子成为一个电磁铁。在定子内侧面、空间相隔120°的槽内装有三个完全相同的线圈A-X，B-Y，C-Z。转子与定子间磁场被设计成正弦分布。当转子以角速度O转动时，三个线圈中便图2.37三相同步发电机原理图感应出频率相同、幅值相等、相位互差120°的三个电动势。有这样的三个电动势的发电机便构成一对称三相电源。对称三相电源的瞬时值表达式(以uA为参考正弦量)为uc=2Usin(ot+120O)三相发电机中三个线圈的首端分别用A、B、C表示；尾端分别用X、Y、Z表示。三相电压的参考方向为首端指向尾端。对称三相电源的电路符号如图2.38所示。它们的相量形式为A|A|U.B=U/-120。卜对称三相电压的波形图和相量图如图2.39和图2.40所示。对称三相电压三个电压的瞬时值之和为零，即uAuBuC=0图2.40波形图图2.40波形图三个电压的相量之和亦为零，即这是对称三相电源的重要特点。通常三相发电机产生的都是对称三相电源。本书今后若无特殊说明，提到的三相电源均为对称三相电源。2)相序三相电源中每一相电压经过同一值(如正的最大值)的先后次序称为相序。从图2.40可以看出，其三相电压到称为顺序或正序。若将发电机转子反转，则图2.41相量图uA=2Usinot相序为A-C-B-A，称为逆序或负序。工程上常用的相序是顺序，如果不加以说明，都是指顺序。工业上通常在交流发电机的三相引出线及配电装置的三相母线上，涂有黄、绿、红三种颜色，分别表示A、B、C三相。相2.三相电源的联接将三相电源的三个绕组以一定的方式联接起来就构成三相电路的电源。通常的联接方式是星形(也称Y形)联接和三角形(也称△形)联接。对三相发电机来说，通常采用星形联接。1)三相电源的星形联接将对称三相电源的尾端X、Y、Z联在一起，首端A、B、C引出作输出线，这种联接称为三相电源的星形联接。如图2.42所示。联接在一起的X、Y、Z点称为三相电源的中点，用N表示，从中点引出的线称为中线。三个电源首端A、B、C引出的线称为端线(俗称火线)。电源每相绕组两端的电压称为电源的相电压，电源相电压用符号uA、uB、uC表示；而端线之间的电压称为线电压，用uAB、uBC、uCA表示。规定线电压的方向是由A线指向B线，B线指向C线，C线指向A线。下面分析星形联接时对称三相电源线电压与相电压的关系。根据图4.5，由KVL可得，三相电源的线电压与相电压有以下关系：图2.42星形联接的三相电源uAB=uAuBuBC=uBuC图2.43相量图uCA=uCuA则相量形式为UABUAUBUUAUB由上式看出，星形联接的对称三相电源的线电压也是对称的。线电压的有效值(Ul)是相电压有效值(Up)的3倍，即Ul=3Up；式中各线电压的相位超前于相应的相电压三相电源星形联接的供电方式有两种，一种是三相四线制(三条端线和一条中线)，另一种是三相三线制，即无中线。目前电力网的低压供电系统(又称民用电)为三相四线制，此系统供电的线电压为380V，相电压为220V，通常写作电源电压380∕220V。图2.45对称三相负载的联接2)三相电源的三角形联接将对称三相电源中的三个单相电源首尾相接，由三个联接点引出三条端线就形成三角形联接的对称三相电源。如图2.44所示。图2.44三角形联接的三相电源对称三相电源三角形联接时，只有三条端线，没有中线，它一定是三相三线制。在图2.58中可以明显地看出，线电压就是相应的相电压，即ABAuABAABAU.=ABABCBuBCBBCBU.=BCBuCA=uC或U.CA=U.C上式说明三角形联接的对称三相电源，线电压等于相应的相电压。三相电源三角形联接时，形成一个闭合回路。由于对称三相电源U.A+U.B+U.C=0，所以回路中不会有电流。但若有一相电源极性接反，造成三相电源电压之和不为零，将会在回路中产生很大的电流。所以三相电源作为三角形联接时，联接前必须检查。3.对称三相电路组成三相交流电路的每一相电路是单相交流电路。整个三相交流电路则是由三个单相交流电路所组成的复杂电路，它的分析方法是以单相交流电路的分析方法为基础的。对称三相电路是由对称三相电源和对称三相负载联接组成。一般电源均为对称电源，因此只要负载是对称三相负载，则该电路为对称三相电路。所谓对称三相负载是指三相负载的三个复阻抗相同。三相负载一般也接成星形或三角形，如图2.45所示。(a)负载的三角形联接(b)负载的星形联接1)负载Y联接的对称三相电路图2.46中，三相电源作星形联接。三相负载也作星形联接，且有中线。这种联接称Y—Y联接的三相四线制。图2.46三相四线制设每相负载阻抗均为Z=Z/Q。N为电源中点，n为负载的中点，Nn为中线。设中线的阻抗为ZN。每相负载上的电压称为负载相电压，用U.an，U.bn，U.cn表示；负载端线之间的电压称为负载的线电压，用U.ab，U.bc，U.ca表示。各相负载中的电流称为相电流，用I.a，I.b，I.c表示；火线中的电流称为线电流，用I.A，I.B，I.C表示。线电流的参考方向从电源端指向负载端，中线电流I.N的参考方向从负载端指向电源端。对于负载Y联接的电路，线电流I.A就是相电流I.a。三相电路实际上是一个复杂正弦交流电路，采用节点法分析此电路可得结论是负载中点与电源中点等电位，它与中线阻抗的大小无关。由此可得上式表明：负载相电压等于电源相电压(在忽略输电线阻抗时)，即负载三相电压也为对称三相电压。若以U.A为参考相量，则线电流为I.A=U.an=U.AZZ=/-QUpZ=/-Q-120°ZICUcnUCZZ=/-Q+120°上式可见，三相电流也是对称的。因此，对称Y—Y联接电路有中线时的计算步骤可归结为：(1)先进行一个相的计算(如A相)，首先根据电源找到该相的相电压，算出I.A；(2)根据对称性，推知其它两相电流I.B，I.C；INI.A+I.B+I.C=0。设则若对称Y—Y联接电路中无中线，即ZN=∞时，由节点法分析可知U.nN=0即负载中点设则与电源中点仍然等电位，此时相当于三相四线制。即每相电路看成是独立的，计算时采用如上的三相四线制的计算方法。可见，对称Y—Y联接的电路，不论有无中线以及中线阻抗的大小，都不会影响各相负载的电流和电压。由于U.nN=0，所以负载的线电压与相电压的关系同电源的线电压与相电压的关系相同n即lpU=3Ulp式中Ul为负载的线电压和相电压。当忽略输电线阻抗时,Ul=Ulp。综上所述可知，负载星形联接的对称三相电路其负载电压、电流有以下特点：(1)线电压、相电压，线电流、相电流都是对称的。(2)线电流等于相电流。例1某对称三相电路，负载为Y形联接，三相三线制，其电源线电压为380V，每相负载阻抗Z=8+j6Ω，忽略输电线路阻抗。求负载每相电流，画出负载电压和电流相量图。解：已知Ul=380V，负载为Y形联接，其电源无论是Y形还是△形联接，都可用等效的Y形联接的三相电源进行分析。380U==2203电源相电压3电源相电压VU.A=220/0°V=Z=8+j6=22/-36.9=Z=8+j6=22/-36.9°A根据对称性可得：I.B=22/-36.9°-120°=22/-156.9°AI.C=22/-36.9°+120°=22/83.1°A相量图如图2.47。例2如图2.48所示为一对称三相电路，对称三相电源的线电压为380V，每相负载的阻抗Z=80/-30°Ω，输电线阻抗Zl=1+j2Ω,求三相负载的相电压、线电压、相电流。380U==220p解：电源相电压3Vp设U.A=220/0°V则I.A====2.69/-30.9°A由对称性得I.B=2.69/-150.9°AI.C=2.69/89.1°A三相负载的相电压=215.2/-0.9°VUbn2/-120.9°V三相负载的线电压U.ab=3U.an/30°=372.7/29.1°VU.bc=372.1/-90.9°Vca=ca=372.1/149.1°V由于输电线路阻抗的存在，负载的相电压、线电压与电源的相电压、线电压不相等，但仍是对称的。2)负载△联接的对称三相电路负载作三角形联接，如图2.49所示。由图可以看出，与负载相联的三个电源一定是线电压，不管电源是星形联接还是三角形联接。负载的相电流为负载三角形联接的对称三相电路l/0°V，当忽略输电线阻抗时，负载线电压等于电源线电压。lI.ab===lI.bc===/-Q-120°I.ab===/-Q+120°线电流为I.A=I.ab一I.ca=ab/-30°IBIbcIabbc0°ICIcaIbcca°综上所述可知：负载△形联接的对称三相电路，其负载电压、电流有以下特点：(1)相电压、线电压，相电流、线电流均对称。(2)每相负载上的线电压等于相电压。 (3)线电流大小的有效值等于相电流有效值的 倍。即Il=3Ip,且线电流滞后相应的相电流例3已知负载△联接的对称三相电路，电源为Y形联接，其相电压为110V，负载每相阻抗Z=4+j3Ω。求负载的相电压和线电流。pVpV设则相电流根据对称性得线电流I.ab===38/-36.9°AI.bc=38/-156.9°Aca=38/83.1°I.A=ab/-30°I.B=66/-186.9°=66/173.1°AIC6/53.1°A负载三角形连接的电路，还可以利用阻抗的Y—△等效变换，将负载变换为星形联接，再按Y—Y联接的电路进行计算。例4设有一对称三相电路如图2.51(a)所示，对称三相电源相电压U.A=220/0°V。每Z30°Ω，线路阻抗Zl=1+j2Ω，求负载的相电压、相电流和线电流。解：将△形联接的对称三相负载变换成Y形联接的对称三相负载。取经变换后的电路中的一相等效电路，如图2.51(b)所示。线电流I.A====6.9/-32.2°A负载相电流3/30°=36.9/-32.2°=3.89/-2.2°AI负载相电流3/30°=36.9/-32.2°=3.89/-2.2°A△联接负载的相电压等于负载线电压，根据图4.14(a)可得U.ab=ZI.ab=90/30°3.89/-2.2°=358.2/27.8°A根据对称性可得其它两相的相电压、相电流和线电流。4.不对称三相电路在三相电路中，电源和负载只要有一个不对称，则三相电路就不对称。一般来说，三相电源总可以认为是对称的。不对称主要是指负载不对称。日常照明电路就属于这种。图2.52所示三相四线制电路中，负载不对称，假设中线阻抗为零，则每相负载上的电压一定等于该相电源的相电压，而三相电流由于负载阻抗不同而不对称。即负载相电压对称为负载相电流不对称为I.A=I.B=I.C=图2.52Y—Y联接的不对称三相电路此时中线电流I.N=I.A+I.B+I.C0如将图2.52中的中线去掉，形成三相三线制，如图2.53所示。根据节点电压法可知U.nN一般不等于零，即负载中点n的电位与电源中点N的电位不相等，发生了中点位移，相量图如图2.54所示。由相量图可以看出，中点位移标志着负载I.A=I.B=I.C=UanUbnUcn的电流也是不对称的。图2.53Y联接的三相三线制图2.54相量图综上所述，在不对称三相电路中，如果有中线，且输电线阻抗Z≈0，则中线可迫使UnN=0，尽管电路不对称，但可使负载相电压对称，以保证负载正常工作；若无中线，则中点位移，造成负载相电压不对称，从而可能使负载不能正常工作。可见，中线作用至关重要，且不能断开。实际接线中，中线的干线必须考虑有足够的机械强度，且不允许安装开关和熔丝。例5电路如图2.55所示，每只灯泡的额定电压为220V，额定功率为100w，电源系220/380V电网，试求：(1)有中线时(即三相四线制)，各灯泡的亮度是否一样；(2)中线断开时(即三相三线制)，各灯泡能正常发光吗？解：(1)有中线时，尽管此时三相负载不对称，但是有中线，加在各相灯泡上的电压均为220V，各灯泡正常发光，亮度一样。(2)中线断开时，由节点电压法得：++每盏灯泡电阻为U2202R=P=