2018中考数学二次函数压轴题汇编

1．如图，直线y=﹣*+c与*轴交于点A〔3，0〕，与y轴交于点B，抛物线y=﹣*2+b*+c经过点A，B．〔1〕求点B的坐标和抛物线的解析式；〔2〕M〔m，0〕为*轴上一动点，过点M且垂直于*轴的直线与直线AB及抛物线分别交于点P，N．①点M在线段OA上运动，假设以B，P，N为顶点的三角形与△APM相似，求点M的坐标；②点M在*轴上自由运动，假设三个点M，P，N中恰有一点是其它两点所连线段的中点〔三点重合除外〕，则称M，P，N三点为“共谐点〞．请直接写出使得M，P，N三点成为“共谐点〞的m的值．2．如图1，在平面直角坐标系*Oy中，抛物线C：y=a*2+b*+c与*轴相交于A，B两点，顶点为D〔0，4〕，AB=4，设点F〔m，0〕是*轴的正半轴上一点，将抛物线C绕点F旋转180°，得到新的抛物线C′．〔1〕求抛物线C的函数表达式；〔2〕假设抛物线C′与抛物线C在y轴的右侧有两个不同的公共点，求m的取值围．〔3〕如图2，P是第一象限抛物线C上一点，它到两坐标轴的距离相等，点P在抛物线C′上的对应点P′，设M是C上的动点，N是C′上的动点，试探究四边形PMP′N能否成为正方形？假设能，求出m的值；假设不能，请说明理由．3．在平面直角坐标系*Oy中的点P和图形M，给出如下的定义：假设在图形M上存在一点Q，使得P、Q两点间的距离小于或等于1，则称P为图形M的关联点．〔1〕当⊙O的半径为2时，①在点P1〔，0〕，P2〔，〕，P3〔，0〕中，⊙O的关联点是．②点P在直线y=﹣*上，假设P为⊙O的关联点，求点P的横坐标的取值围．〔2〕⊙C的圆心在*轴上，半径为2，直线y=﹣*+1与*轴、y轴交于点A、B．假设线段AB上的所有点都是⊙C的关联点，直接写出圆心C的横坐标的取值围．4．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=﹣*2+a*+b交*轴于A〔1，0〕，B〔3，0〕两点，点P是抛物线上在第一象限的一点，直线BP与y轴相交于点C．〔1〕求抛物线y=﹣*2+a*+b的解析式；〔2〕当点P是线段BC的中点时，求点P的坐标；〔3〕在〔2〕的条件下，求sin∠OCB的值．5．如图，抛物线y=﹣*2+b*+c与*轴交于点A和点B，与y轴交于点C，点B坐标为〔6，0〕，点C坐标为〔0，6〕，点D是抛物线的顶点，过点D作*轴的垂线，垂足为E，连接BD．〔1〕求抛物线的解析式及点D的坐标；〔2〕点F是抛物线上的动点，当∠FBA=∠BDE时，求点F的坐标；〔3〕假设点M是抛物线上的动点，过点M作MN∥*轴与抛物线交于点N，点P在*轴上，点Q在坐标平面，以线段MN为对角线作正方形MPNQ，请写出点Q的坐标．6．抛物线y=*2+b*﹣3〔b是常数〕经过点A〔﹣1，0〕．〔1〕求该抛物线的解析式和顶点坐标；〔2〕P〔m，t〕为抛物线上的一个动点，P关于原点的对称点为P'．①当点P'落在该抛物线上时，求m的值；②当点P'落在第二象限，P'A2取得最小值时，求m的值．7．在同一直角坐标系中，抛物线C1：y=a*2﹣2*﹣3与抛物线C2：y=*2+m*+n关于y轴对称，C2与*轴交于A、B两点，其中点A在点B的左侧．〔1〕求抛物线C1，C2的函数表达式；〔2〕求A、B两点的坐标；〔3〕在抛物线C1上是否存在一点P，在抛物线C2上是否存在一点Q，使得以AB为边，且以A、B、P、Q四点为顶点的四边形是平行四边形？假设存在，求出P、Q两点的坐标；假设不存在，请说明理由．8．函数y=﹣*2+〔m﹣1〕*+m〔m为常数〕．〔1〕该函数的图象与*轴公共点的个数是．A.0B.1C.2D.1或2〔2〕求证：不管m为何值，该函数的图象的顶点都在函数y=〔*+1〕2的图象上．〔3〕当﹣2≤m≤3时，求该函数的图象的顶点纵坐标的取值围．9．直线y=2*+m与抛物线y=a*2+a*+b有一个公共点M〔1，0〕，且a＜b．〔Ⅰ〕求抛物线顶点Q的坐标〔用含a的代数式表示〕；〔Ⅱ〕说明直线与抛物线有两个交点；〔Ⅲ〕直线与抛物线的另一个交点记为N．〔ⅰ〕假设﹣1≤a≤﹣，求线段MN长度的取值围；〔ⅱ〕求△QMN面积的最小值．10．在平面直角坐标系中，设二次函数y1=〔*+a〕〔*﹣a﹣1〕，其中a≠0．〔1〕假设函数y1的图象经过点〔1，﹣2〕，求函数y1的表达式；〔2〕假设一次函数y2=a*+b的图象与y1的图象经过*轴上同一点，探究实数a，b满足的关系式；〔3〕点P〔*0，m〕和Q〔1，n〕在函数y1的图象上，假设m＜n，求*0的取值围．11．定义：如图1，抛物线y=a*2+b*+c〔a≠0〕与*轴交于A，B两点，点P在该抛物线上〔P点与A、B两点不重合〕，如果△ABP的三边满足AP2+BP2=AB2，则称点P为抛物线y=a*2+b*+c〔a≠0〕的勾股点．〔1〕直接写出抛物线y=﹣*2+1的勾股点的坐标．〔2〕如图2，抛物线C：y=a*2+b*〔a≠0〕与*轴交于A，B两点，点P〔1，〕是抛物线C的勾股点，求抛物线C的函数表达式．〔3〕在〔2〕的条件下，点Q在抛物线C上，求满足条件S△ABQ=S△ABP的Q点〔异于点P〕的坐标．12．如图，二次函数y=*2+b*+c的图象与*轴交于A、B两点，与y轴交于点C，OB=OC．点D在函数图象上，CD∥*轴，且CD=2，直线l是抛物线的对称轴，E是抛物线的顶点．〔1〕求b、c的值；〔2〕如图①，连接BE，线段OC上的点F关于直线l的对称点F'恰好在线段BE上，求点F的坐标；〔3〕如图②，动点P在线段OB上，过点P作*轴的垂线分别与BC交于点M，与抛物线交于点N．试问：抛物线上是否存在点Q，使得△PQN与△APM的面积相等，且线段NQ的长度最小？如果存在，求出点Q的坐标；如果不存在，说明理由．13．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=*2﹣*﹣与*轴交于A、B两点〔点A在点B的左侧〕，与y轴交于点C，对称轴与*轴交于点D，点E〔4，n〕在抛物线上．〔1〕求直线AE的解析式；〔2〕点P为直线CE下方抛物线上的一点，连接PC，PE．当△PCE的面积最大时，连接CD，CB，点K是线段CB的中点，点M是CP上的一点，点N是CD上的一点，求KM+MN+NK的最小值；〔3〕点G是线段CE的中点，将抛物线y=*2﹣*﹣沿*轴正方向平移得到新抛物线y′，y′经过点D，y′的顶点为点F．在新抛物线y′的对称轴上，是否存在点Q，使得△FGQ为等腰三角形？假设存在，直接写出点Q的坐标；假设不存在，请说明理由．14．如图，抛物线y=a*2+b*+2经过点A〔﹣1，0〕，B〔4，0〕，交y轴于点C；〔1〕求抛物线的解析式〔用一般式表示〕；〔2〕点D为y轴右侧抛物线上一点，是否存在点D使S△ABC=S△ABD？假设存在请直接给出点D坐标；假设不存在请说明理由；〔3〕将直线BC绕点B顺时针旋转45°，与抛物线交于另一点E，求BE的长．15．如图，直线y=k*+b〔k、b为常数〕分别与*轴、y轴交于点A〔﹣4，0〕、B〔0，3〕，抛物线y=﹣*2+2*+1与y轴交于点C．〔1〕求直线y=k*+b的函数解析式；〔2〕假设点P〔*，y〕是抛物线y=﹣*2+2*+1上的任意一点，设点P到直线AB的距离为d，求d关于*的函数解析式，并求d取最小值时点P的坐标；〔3〕假设点E在抛物线y=﹣*2+2*+1的对称轴上移动，点F在直线AB上移动，求CE+EF的最小值．16．如图，二次函数y=*2﹣4的图象与*轴交于A，B两点，与y轴交于点C，⊙C的半径为，P为⊙C上一动点．〔1〕点B，C的坐标分别为B〔〕，C〔〕；〔2〕是否存在点P，使得△PBC为直角三角形？假设存在，求出点P的坐标；假设不存在，请说明理由；〔3〕连接PB，假设E为PB的中点，连接OE，则OE的最大值=．17．点A〔﹣1，1〕、B〔4，6〕在抛物线y=a*2+b*上〔1〕求抛物线的解析式；〔2〕如图1，点F的坐标为〔0，m〕〔m＞2〕，直线AF交抛物线于另一点G，过点G作*轴的垂线，垂足为H．设抛物线与*轴的正半轴交于点E，连接FH、AE，求证：FH∥AE；〔3〕如图2，直线AB分别交*轴、y轴于C、D两点．点P从点C出发，沿射线CD方向匀速运动，速度为每秒个单位长度；同时点Q从原点O出发，沿*轴正方向匀速运动，速度为每秒1个单位长度．点M是直线PQ与抛物线的一个交点，当运动到t秒时，QM=2PM，直接写出t的值．18．直线y=k*+b与抛物线y=a*2〔a＞0〕相交于A、B两点〔点A在点B的左侧〕，与y轴正半轴相交于点C，过点A作AD⊥*轴，垂足为D．〔1〕假设∠AOB=60°，AB∥*轴，AB=2，求a的值；〔2〕假设∠AOB=90°，点A的横坐标为﹣4，AC=4BC，求点B的坐标；〔3〕延长AD、BO相交于点E，求证：DE=CO．19．如图，抛物线y=m*2﹣16m*+48m〔m＞0〕与*轴交于A，B两点〔点B在点A左侧〕，与y轴交于点C，点D是抛物线上的一个动点，且位于第四象限，连接OD、BD、AC、AD，延长AD交y轴于点E．〔1〕假设△OAC为等腰直角三角形，求m的值；〔2〕假设对任意m＞0，C、E两点总关于原点对称，求点D的坐标〔用含m的式子表示〕；〔3〕当点D运动到*一位置时，恰好使得∠ODB=∠OAD，且点D为线段AE的中点，此时对于该抛物线上任意一点P〔*0，y0〕总有n+≥﹣4my02﹣12y0﹣50成立，数n的最小值．20．如图，在平面直角坐标系中，直线y=*+2与*轴交于点A，与y轴交于点C，抛物线y=﹣*2+b*+c经过A、C两点，与*轴的另一交点为点B．〔1〕求抛物线的函数表达式；〔2〕点D为直线AC上方抛物线上一动点，①连接BC、CD，设直线BD交线段AC于点E，△CDE的面积为S1，△BCE的面积为S2，求的最大值；②过点D作DF⊥AC，垂足为点F，连接CD，是否存在点D，使得△CDF中的*个角恰好等于∠BAC的2倍？假设存在，求点D的横坐标；假设不存在，请说明理由．21．在平面直角坐标系*Oy中，抛物线y=a*2+b*+c的开口向上，且经过点A〔0，〕〔1〕假设此抛物线经过点B〔2，﹣〕，且与*轴相交于点E，F．①填空：b=〔用含a的代数式表示〕；②当EF2的值最小时，求抛物线的解析式；〔2〕假设a=，当0≤*≤1，抛物线上的点到*轴距离的最大值为3时，求b的值．22．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=a*2+b*+1交y轴于点A，交*轴正半轴于点B〔4，0〕，与过A点的直线相交于另一点D〔3，〕，过点D作DC⊥*轴，垂足为C．〔1〕求抛物线的表达式；〔2〕点P在线段OC上〔不与点O、C重合〕，过P作PN⊥*轴，交直线AD于M，交抛物线于点N，连接CM，求△PCM面积的最大值；〔3〕假设P是*轴正半轴上的一动点，设OP的长为t，是否存在t，使以点M、C、D、N为顶点的四边形是平行四边形？假设存在，求出t的值；假设不存在，请说明理由．23．如图，抛物线y=a*2+b*﹣3经过点A〔2，﹣3〕，与*轴负半轴交于点B，与y轴交于点C，且OC=3OB．〔1〕求抛物线的解析式；〔2〕点D在y轴上，且∠BDO=∠BAC，求点D的坐标；〔3〕点M在抛物线上，点N在抛物线的对称轴上，是否存在以点A，B，M，N为顶点的四边形是平行四边形？假设存在，求出所有符合条件的点M的坐标；假设不存在，请说明理由．24．函数y=m*2﹣〔2m﹣5〕*+m﹣2的图象与*轴有两个公共点．〔1〕求m的取值围，并写出当m取围最大整数时函数的解析式；〔2〕题〔1〕中求得的函数记为C1．①当n≤*≤﹣1时，y的取值围是1≤y≤﹣3n，求n的值；②函数C2：y=m〔*﹣h〕2+k的图象由函数C1的图象平移得到，其顶点P落在以原点为圆心，半径为的圆或圆上．设函数C1的图象顶点为M，求点P与点M距离最大时函数C2的解析式．25．如图，抛物线y=*2+*+c与*轴的负半轴交于点A，与y轴交于点B，连结AB，点C〔6，〕在抛物线上，直线AC与y轴交于点D．〔1〕求c的值及直线AC的函数表达式；〔2〕点P在*轴正半轴上，点Q在y轴正半轴上，连结PQ与直线AC交于点M，连结MO并延长交AB于点N，假设M为PQ的中点．①求证：△APM∽△AON；②设点M的横坐标为m，求AN的长〔用含m的代数式表示〕．26．如图，过抛物线y=*2﹣2*上一点A作*轴的平行线，交抛物线于另一点B，交y轴于点C，点A的横坐标为﹣2．〔1〕求抛物线的对称轴和点B的坐标；〔2〕在AB上任取一点P，连结OP，作点C关于直线OP的对称点D；①连结BD，求BD的最小值；②当点D落在抛物线的对称轴上，且在*轴上方时，求直线PD的函数表达式．27．如图，抛物线y=a*2+b*+c〔a≠0〕的图象的顶点坐标是〔2，1〕，并且经过点〔4，2〕，直线y=*+1与抛物线交于B，D两点，以BD为直径作圆，圆心为点C，圆C与直线m交于对称轴右侧的点M〔t，1〕，直线m上每一点的纵坐标都等于1．〔1〕求抛物线的解析式；〔2〕证明：圆C与*轴相切；〔3〕过点B作BE⊥m，垂足为E，再过点D作DF⊥m，垂足为F，求BE：MF的值．28．平面直角坐标系*Oy中，点A、B的横坐标分别为a、a+2，二次函数y=﹣*2+〔m﹣2〕*+2m的图象经过点A、B，且a、m满足2a﹣m=d〔d为常数〕．〔1〕假设一次函数y1=k*+b的图象经过A、B两点．①当a=1、d=﹣1时，求k的值；②假设y1随*的增大而减小，求d的取值围；〔2〕当d=﹣4且a≠﹣2、a≠﹣4时，判断直线AB与*轴的位置关系，并说明理由；〔3〕点A、B的位置随着a的变化而变化，设点A、B运动的路线与y轴分别相交于点C、D，线段CD的长度会发生变化吗？如果不变，求出CD的长；如果变化，请说明理由．29．如图，抛物线y=﹣*2+*+3与*轴交于A、B两点〔点A在点B的左侧〕，与y轴交于点C，连接AC、BC．点P沿AC以每秒1个单位长度的速度由点A向点C运动，同时，点Q沿BO以每秒2个单位长度的速度由点B向点O运动，当一个点停顿运动时，另一个点也随之停顿运动，连接PQ．过点Q作QD⊥*轴，与抛物线交于点D，与BC交于点E，连接PD，与BC交于点F．设点P的运动时间为t秒〔t＞0〕．〔1〕求直线BC的函数表达式；〔2〕①直接写出P，D两点的坐标〔用含t的代数式表示，结果需化简〕②在点P、Q运动的过程中，当PQ=PD时，求t的值；〔3〕试探究在点P，Q运动的过程中，是否存在*一时刻，使得点F为PD的中点？假设存在，请直接写出此时t的值与点F的坐标；假设不存在，请说明理由．30．如图，在平面直角坐标系*Oy中，抛物线y=*2﹣2*﹣3交*轴于A，B两点〔点A在点B的左侧〕，将该抛物线位于*轴上方曲线记作M，将该抛物线位于*轴下方局部沿*轴翻折，翻折后所得曲线记作N，曲线N交y轴于点C，连接AC、BC．〔1〕求曲线N所在抛物线相应的函数表达式；〔2〕求△ABC外接圆的半径；〔3〕点P为曲线M或曲线N上的一动点，点Q为*轴上的一个动点，假设以点B，C，P，Q为顶点的四边形是平行四边形，求点Q的坐标．31．如图，是将抛物线y=﹣*2平移后得到的抛物线，其对称轴为*=1，与*轴的一个交点为A〔﹣1，0〕，另一个交点为B，与y轴的交点为C．〔1〕求抛物线的函数表达式；〔2〕假设点N为抛物线上一点，且BC⊥NC，求点N的坐标；〔3〕点P是抛物线上一点，点Q是一次函数y=*+的图象上一点，假设四边形OAPQ为平行四边形，这样的点P、Q是否存在？假设存在，分别求出点P、Q的坐标；假设不存在，说明理由．32．如图，二次函数y=a*2+b*+3〔a≠0〕的图象经过点A〔3，0〕，B〔4，1〕，且与y轴交于点C，连接AB、AC、BC．〔1〕求此二次函数的关系式；〔2〕判断△ABC的形状；假设△ABC的外接圆记为⊙M，请直接写出圆心M的坐标；〔3〕假设将抛物线沿射线BA方向平移，平移后点A、B、C的对应点分别记为点A1、B1、C1，△A1B1C1的外接圆记为⊙M1，是否存在*个位置，使⊙M1经过原点？假设存在，求出此时抛物线的关系式；假设不存在，请说明理由．33．抛物线y=4*2﹣2a*+b与*轴相交于A〔*1，0〕，B〔*2，0〕〔0＜*1＜*2〕两点，与y轴交于点C．〔1〕设AB=2，tan∠ABC=4，求该抛物线的解析式；〔2〕在〔1〕中，假设点D为直线BC下方抛物线上一动点，当△BCD的面积最大时，求点D的坐标；〔3〕是否存在整数a，b使得1＜*1＜2和1＜*2＜2同时成立，请证明你的结论．34．如图，二次函数y=a*2+b*+c〔a≠0〕的图象经过A〔﹣1，0〕、B〔4，0〕、C〔0，2〕三点．〔1〕求该二次函数的解析式；〔2〕点D是该二次函数图象上的一点，且满足∠DBA=∠CAO〔O是坐标原点〕，求点D的坐标；〔3〕点P是该二次函数图象上位于第一象限上的一动点，连接PA分别交BC、y轴于点E、F，假设△PEB、△CEF的面积分别为S1、S2，求S1﹣S2的最大值．35．如图1，抛物线y=a*2+b*+c经过平行四边形ABCD的顶点A〔0，3〕、B〔﹣1，0〕、D〔2，3〕，抛物线与*轴的另一交点为E．经过点E的直线l将平行四边形ABCD分割为面积相等的两局部，与抛物线交于另一点F．点P为直线l上方抛物线上一动点，设点P的横坐标为t．〔1〕求抛物线的解析式；〔2〕当t何值时，△PFE的面积最大？并求最大值的立方根；〔3〕是否存在点P使△PAE为直角三角形？假设存在，求出t的值；假设不存在，说明理由．36．如图，*日的钱塘江观潮信息如图：按上述信息，小红将“穿插潮〞形成后潮头与乙地之间的距离s〔千米〕与时间t〔分钟〕的函数关系用图3表示，其中：“11：40时甲地‘穿插潮’的潮头离乙地12千米〞记为点A〔0，12〕，点B坐标为〔m，0〕，曲线BC可用二次函数s=t2+bt+c〔b，c是常数〕刻画．〔1〕求m的值，并求出潮头从甲地到乙地的速度；〔2〕11：59时，小红骑单车从乙地出发，沿江边公路以0.48千米/分的速度往甲地方向去看潮，问她几分钟后与潮头相遇？〔3〕相遇后，小红立即调转车头，沿江边公路按潮头速度与潮头并行，但潮头过乙地后均匀加速，而单车最高速度为0.48千米/分，小红逐渐落后．问小红与潮头相遇到落后潮头1.8千米共需多长时间？〔潮水加速阶段速度v=v0+〔t﹣30〕，v0是加速前的速度〕．37．如图1，抛物线y=a*2+b*+2与*轴交于A，B两点，与y轴交于点C，AB=4，矩形OBDC的边CD=1，延长DC交抛物线于点E．〔1〕求抛物线的解析式；〔2〕如图2，点P是直线EO上方抛物线上的一个动点，过点P作y轴的平行线交直线EO于点G，作PH⊥EO，垂足为H．设PH的长为l，点P的横坐标为m，求l与m的函数关系式〔不必写出m的取值围〕，并求出l的最大值；〔3〕如果点N是抛物线对称轴上的一点，抛物线上是否存在点M，使得以M，A，C，N为顶点的四边形是平行四边形？假设存在，直接写出所有满足条件的点M的坐标；假设不存在，请说明理由．38．如图，抛物线y=﹣*2+b*+c与直线AB交于A〔﹣4，﹣4〕，B〔0，4〕两点，直线AC：y=﹣*﹣6交y轴于点C．点E是直线AB上的动点，过点E作EF⊥*轴交AC于点F，交抛物线于点G．〔1〕求抛物线y=﹣*2+b*+c的表达式；〔2〕连接GB，EO，当四边形GEOB是平行四边形时，求点G的坐标；〔3〕①在y轴上存在一点H，连接EH，HF，当点E运动到什么位置时，以A，E，F，H为顶点的四边形是矩形？求出此时点E，H的坐标；②在①的前提下，以点E为圆心，EH长为半径作圆，点M为⊙E上一动点，求AM+CM它的最小值．39．抛物线y=a*2+b*+3经过点A〔1，0〕和点B〔5，0〕．〔1〕求该抛物线所对应的函数解析式；〔2〕该抛物线与直线y=*+3相交于C、D两点，点P是抛物线上的动点且位于*轴下方，直线PM∥y轴，分别与*轴和直线CD交于点M、N．①连结PC、PD，如图1，在点P运动过程中，△PCD的面积是否存在最大值？假设存在，求出这个最大值；假设不存在，说明理由；②连结PB，过点C作CQ⊥PM，垂足为点Q，如图2，是否存在点P，使得△Q与△PBM相似？假设存在，求出满足条件的点P的坐标；假设不存在，说明理由．40．"函数的图象与性质"拓展学习片段展示：【问题】如图①，在平面直角坐标系中，抛物线y=a〔*﹣2〕2﹣经过原点O，与*轴的另一个交点为A，则a=．【操作】将图①中抛物线在*轴下方的局部沿*轴折叠到*轴上方，将这局部图象与原抛物线剩余局部的图象组成的新图象记为G，如图②．直接写出图象G对应的函数解析式．【探究】在图②中，过点B〔0，1〕作直线l平行于*轴，与图象G的交点从左至右依次为点C，D，E，F，如图③．求图象G在直线l上方的局部对应的函数y随*增大而增大时*的取值围．【应用】P是图③中图象G上一点，其横坐标为m，连接PD，PE．直接写出△PDE的面积不小于1时m的取值围．1．如图1，经过原点O的抛物线y=a*2+b*〔a≠0〕与*轴交于另一点A〔，0〕，在第一象限与直线y=*交于点B〔2，t〕．〔1〕求这条抛物线的表达式；〔2〕在第四象限的抛物线上有一点C，满足以B，O，C为顶点的三角形的面积为2，求点C的坐标；〔3〕如图2，假设点M在这条抛物线上，且∠MBO=∠ABO，在〔2〕的条件下，是否存在点P，使得△POC∽△MOB？假设存在，求出点P的坐标；假设不存在，请说明理由．2．如图①，在平面直角坐标系中，二次函数y=﹣*2+b*+c的图象与坐标轴交于A，B，C三点，其中点A的坐标为〔﹣3，0〕，点B的坐标为〔4，0〕，连接AC，BC．动点P从点A出发，在线段AC上以每秒1个单位长度的速度向点C作匀速运动；同时，动点Q从点O出发，在线段OB上以每秒1个单位长度的速度向点B作匀速运动，当其中一点到达终点时，另一点随之停顿运动，设运动时间为t秒．连接PQ．〔1〕填空：b=，c=；〔2〕在点P，Q运动过程中，△APQ可能是直角三角形吗？请说明理由；〔3〕在*轴下方，该二次函数的图象上是否存在点M，使△PQM是以点P为直角顶点的等腰直角三角形？假设存在，请求出运动时间t；假设不存在，请说明理由；〔4〕如图②，点N的坐标为〔﹣，0〕，线段PQ的中点为H，连接NH，当点Q关于直线NH的对称点Q′恰好落在线段BC上时，请直接写出点Q′的坐标．3．定义：对于给定的两个函数，任取自变量*的一个值，当*＜0时，它们对应的函数值互为相反数；当*≥0时，它们对应的函数值相等，我们称这样的两个函数互为相关函数．例如：一次函数y=*﹣1，它的相关函数为y=．〔1〕点A〔﹣5，8〕在一次函数y=a*﹣3的相关函数的图象上，求a的值；〔2〕二次函数y=﹣*2+4*﹣．①当点B〔m，〕在这个函数的相关函数的图象上时，求m的值；②当﹣3≤*≤3时，求函数y=﹣*2+4*﹣的相关函数的最大值和最小值；〔3〕在平面直角坐标系中，点M，N的坐标分别为〔﹣，1〕，〔，1〕，连结MN．直接写出线段MN与二次函数y=﹣*2+4*+n的相关函数的图象有两个公共点时n的取值围．4．如图，在平面直角坐标系*Oy中，A，B两点的坐标分别为〔﹣4，0〕，〔4，0〕，C〔m，0〕是线段AB上一点〔与A，B点不重合〕，抛物线L1：y=a*2+b1*+c1〔a＜0〕经过点A，C，顶点为D，抛物线L2：y=a*2+b2*+c2〔a＜0〕经过点C，B，顶点为E，AD，BE的延长线相交于点F．〔1〕假设a=﹣，m=﹣1，求抛物线L1，L2的解析式；〔2〕假设a=﹣1，AF⊥BF，求m的值；〔3〕是否存在这样的实数a〔a＜0〕，无论m取何值，直线AF与BF都不可能互相垂直？假设存在，请直接写出a的两个不同的值；假设不存在，请说明理由．5．如图，抛物线y=a*2﹣2a*﹣9a与坐标轴交于A，B，C三点，其中C〔0，3〕，∠BAC的平分线AE交y轴于点D，交BC于点E，过点D的直线l与射线AC，AB分别交于点M，N．〔1〕直接写出a的值、点A的坐标及抛物线的对称轴；〔2〕点P为抛物线的对称轴上一动点，假设△PAD为等腰三角形，求出点P的坐标；〔3〕证明：当直线l绕点D旋转时，+均为定值，并求出该定值．6．如图1，矩形OABC的顶点A，C的坐标分别为〔4，0〕，〔0，6〕，直线AD交BC于点D，tan∠OAD=2，抛物线M1：y=a*2+b*〔a≠0〕过A，D两点．〔1〕求点D的坐标和抛物线M1的表达式；〔2〕点P是抛物线M1对称轴上一动点，当∠CPA=90°时，求所有符合条件的点P的坐标；〔3〕如图2，点E〔0，4〕，连接AE，将抛物线M1的图象向下平移m〔m＞0〕个单位得到抛物线M2．①设点D平移后的对应点为点D′，当点D′恰好在直线AE上时，求m的值；②当1≤*≤m〔m＞1〕时，假设抛物线M2与直线AE有两个交点，求m的取值围．7．如图，抛物线y=a*2+2*+c与y轴交于点A〔0，6〕，与*轴交于点B〔6，0〕，点P是线段AB上方抛物线上的一个动点．〔1〕求这条抛物线的表达式及其顶点坐标；〔2〕当点P移动到抛物线的什么位置时，使得∠PAB=75°，求出此时点P的坐标；〔3〕当点P从A点出发沿线段AB上方的抛物线向终点B移动，在移动中，点P的横坐标以每秒1个单位长度的速度变动；与此同时点M以每秒1个单位长度的速度沿AO向终点O移动，点P，M移动到各自终点时停顿．当两个动点移动t秒时，求四边形PAMB的面积S关于t的函数表达式，并求t为何值时，S有最大值，最大值是多少？8．如图，直线y=﹣*+分别与*轴、y轴交于B、C两点，点A在*轴上，∠ACB=90°，抛物线y=a*2+b*+经过A，B两点．〔1〕求A、B两点的坐标；〔2〕求抛物线的解析式；〔3〕点M是直线BC上方抛物线上的一点，过点M作MH⊥BC于点H，作MD∥y轴交BC于点D，求△DMH周长的最大值．9．如图，抛物线y=a*2+b*﹣2的对称轴是直线*=1，与*轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点A的坐标为〔﹣2，0〕，点P为抛物线上的一个动点，过点P作PD⊥*轴于点D，交直线BC于点E．〔1〕求抛物线解析式；〔2〕假设点P在第一象限，当OD=4PE时，求四边形POBE的面积；〔3〕在〔2〕的条件下，假设点M为直线BC上一点，点N为平面直角坐标系一点，是否存在这样的点M和点N，使得以点B，D，M，N为顶点的四边形是菱形？假设存在，直接写出点N的坐标；假设不存在，请说明理由．【温馨提示：考生可以根据题意，在备用图中补充图形，以便探究】10．如图，抛物线y=﹣*2+b*+c与*轴分别交于A〔﹣1，0〕，B〔5，0〕两点．〔1〕求抛物线的解析式；〔2〕在第二象限取一点C，作CD垂直*轴于点D，AC，且AD=5，CD=8，将Rt△ACD沿*轴向右平移m个单位，当点C落在抛物线上时，求m的值；〔3〕在〔2〕的条件下，当点C第一次落在抛物线上记为点E，点P是抛物线对称轴上一点．试探究：在抛物线上是否存在点Q，使以点B、E、P、Q为顶点的四边形是平行四边形？假设存在，请出点Q的坐标；假设不存在，请说明理由．11．如图，抛物线y=a*2+b*+c过点A〔﹣1，0〕，B〔3，0〕，C〔0，3〕，点M、N为抛物线上的动点，过点M作MD∥y轴，交直线BC于点D，交*轴于点E．〔1〕求二次函数y=a*2+b*+c的表达式；〔2〕过点N作NF⊥*轴，垂足为点F，假设四边形MNFE为正方形〔此处限定点M在对称轴的右侧〕，求该正方形的面积；〔3〕假设∠DMN=90°，MD=MN，求点M的横坐标．12．如图1，二次函数y=a*2+b*+c〔a、b、c为常数，a≠0〕的图象过点O〔0，0〕和点A〔4，0〕，函数图象最低点M的纵坐标为﹣，直线l的解析式为y=*．〔1〕求二次函数的解析式；〔2〕直线l沿*轴向右平移，得直线l′，l′与线段OA相交于点B，与*轴下方的抛物线相交于点C，过点C作CE⊥*轴于点E，把△BCE沿直线l′折叠，当点E恰好落在抛物线上点E′时〔图2〕，求直线l′的解析式；〔3〕在〔2〕的条件下，l′与y轴交于点N，把△BON绕点O逆时针旋转135°得到△B′ON′，P为l′上的动点，当△PB′N′为等腰三角形时，求符合条件的点P的坐标．13．如图，矩形OABC的两边在坐标轴上，点A的坐标为〔10，0〕，抛物线y=a*2+b*+4过点B，C两点，且与*轴的一个交点为D〔﹣2，0〕，点P是线段CB上的动点，设CP=t〔0＜t＜10〕．〔1〕请直接写出B、C两点的坐标及抛物线的解析式；〔2〕过点P作PE⊥BC，交抛物线于点E，连接BE，当t为何值时，∠PBE=∠OCD？〔3〕点Q是*轴上的动点，过点P作PM∥BQ，交CQ于点M，作PN∥CQ，交BQ于点N，当四边形PMQN为正方形时，请求出t的值．14．如下图，在平面直角坐标系中，⊙C经过坐标原点O，且与*轴，y轴分别相交于M〔4，0〕，N〔0，3〕两点．抛物线开口向上，与⊙C交于N，H，P三点，P为抛物线的顶点，抛物线的对称轴经过点C且垂直*轴于点D．〔1〕求线段CD的长及顶点P的坐标；〔2〕求抛物线的函数表达式；〔3〕设抛物线交*轴于A，B两点，在抛物线上是否存在点Q，使得S四边形OPMN=8S△QAB，且△QAB∽△OBN成立？假设存在，请求出Q点的坐标；假设不存在，请说明理由．15．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=a*2+b*+c〔a≠0〕与y轴交与点C〔0，3〕，与*轴交于A、B两点，点B坐标为〔4，0〕，抛物线的对称轴方程为*=1．〔1〕求抛物线的解析式；〔2〕点M从A点出发，在线段AB上以每秒3个单位长度的速度向B点运动，同时点N从B点出发，在线段BC上以每秒1个单位长度的速度向C点运动，其中一个点到达终点时，另一个点也停顿运动，设△MBN的面积为S，点M运动时间为t，试求S与t的函数关系，并求S的最大值；〔3〕在点M运动过程中，是否存在*一时刻t，使△MBN为直角三角形？假设存在，求出t值；假设不存在，请说明理由．16．抛物线y=a*2+b*+c，其中2a=b＞0＞c，且a+b+c=0．〔1〕直接写出关于*的一元二次方程a*2+b*+c=0的一个根；〔2〕证明：抛物线y=a*2+b*+c的顶点A在第三象限；〔3〕直线y=*+m与*，y轴分别相交于B，C两点，与抛物线y=a*2+b*+c相交于A，D两点．设抛物线y=a*2+b*+c的对称轴与*轴相交于E．如果在对称轴左侧的抛物线上存在点F，使得△ADF与△BOC相似，并且S△ADF=S△ADE，求此时抛物线的表达式．17．二次函数y=﹣*2+b*+c+1，①当b=1时，求这个二次函数的对称轴的方程；②假设c=﹣b2﹣2b，问：b为何值时，二次函数的图象与*轴相切？③假设二次函数的图象与*轴交于点A〔*1，0〕，B〔*2，0〕，且*1＜*2，b＞0，与y轴的正半轴交于点M，以AB为直径的半圆恰好过点M，二次函数的对称轴l与*轴、直线BM、直线AM分别交于点D、E、F，且满足=，求二次函数的表达式．18．如图1，点A坐标为〔2，0〕，以OA为边在第一象限作等边△OAB，点C为*轴上一动点，且在点A右侧，连接BC，以BC为边在第一象限作等边△BCD，连接AD交BC于E．〔1〕①直接答复：△OBC与△ABD全等吗？②试说明：无论点C如何移动，AD始终与OB平行；〔2〕当点C运动到使AC2=AE•AD时，如图2，经过O、B、C三点的抛物线为y1．试问：y1上是否存在动点P，使△BEP为直角三角形且BE为直角边？假设存在，求出点P坐标；假设不存在，说明理由；〔3〕在〔2〕的条件下，将y1沿*轴翻折得y2，设y1与y2组成的图形为M，函数y=*+m的图象l与M有公共点．试写出：l与M的公共点为3个时，m的取值．19．抛物线y=*2+b*+c与*轴交于A〔1，0〕，B〔m，0〕，与y轴交于C．〔1〕假设m=﹣3，求抛物线的解析式，并写出抛物线的对称轴；〔2〕如图1，在〔1〕的条件下，设抛物线的对称轴交*轴于D，在对称轴左侧的抛物线上有一点E，使S△ACE=S△ACD，求点E的坐标；〔3〕如图2，设F〔﹣1，﹣4〕，FG⊥y于G，在线段OG上是否存在点P，使∠OBP=∠FPG？假设存在，求m的取值围；假设不存在，请说明理由．20．在平面直角坐标系*Oy中，规定：抛物线y=a〔*﹣h〕2+k的伴随直线为y=a〔*﹣h〕+k．例如：抛物线y=2〔*+1〕2﹣3的伴随直线为y=2〔*+1〕﹣3，即y=2*﹣1．〔1〕在上面规定下，抛物线y=〔*+1〕2﹣4的顶点坐标为，伴随直线为，抛物线y=〔*+1〕2﹣4与其伴随直线的交点坐标为和；〔2〕如图，顶点在第一象限的抛物线y=m〔*﹣1〕2﹣4m与其伴随直线相交于点A，B〔点A在点B的左侧〕，与*轴交于点C，D．①假设∠CAB=90°，求m的值；②如果点P〔*，y〕是直线BC上方抛物线上的一个动点，△PBC的面积记为S，当S取得最大值时，求m的值．21．我们知道，经过原点的抛物线可以用y=a*2+b*〔a≠0〕表示，对于这样的抛物线：〔1〕当抛物线经过点〔﹣2，0〕和〔﹣1，3〕时，求抛物线的表达式；〔2〕当抛物线的顶点在直线y=﹣2*上时，求b的值；〔3〕如图，现有一组这样的抛物线，它们的顶点A1、A2、…，An在直线y=﹣2*上，横坐标依次为﹣1，﹣2，﹣3，…，﹣n〔n为正整数，且n≤12〕，分别过每个顶点作*轴的垂线，垂足记为B1、B2，…，Bn，以线段AnBn为边向左作正方形AnBnDn，如果这组抛物线中的*一条经过点Dn，求此时满足条件的正方形AnBnDn的边长．22．如图，抛物线y=a〔*﹣1〕〔*﹣3〕与*轴交于A，B两点，与y轴的正半轴交于点C，其顶点为D．〔1〕写出C，D两点的坐标〔用含a的式子表示〕；〔2〕设S△BCD：S△ABD=k，求k的值；〔3〕当△BCD是直角三角形时，求对应抛物线的解析式．23．如下图，顶点为〔，﹣〕的抛物线y=a*2+b*+c过点M〔2，0〕．〔1〕求抛物线的解析式；〔2〕点A是抛物线与*轴的交点〔不与点M重合〕，点B是抛物线与y轴的交点，点C是直线y=*+1上一点〔处于*轴下方〕，点D是反比例函数y=〔k＞0〕图象上一点，假设以点A，B，C，D为顶点的四边形是菱形，求k的值．24．如图，抛物线y=a*2+b*﹣2与*轴交于A、B两点，与y轴交于C点，A〔3，0〕，且M〔1，﹣〕是抛物线上另一点．〔1〕求a、b的值；〔2〕连结AC，设点P是y轴上任一点，假设以P、A、C三点为顶点的三角形是等腰三角形，求P点的坐标；〔3〕假设点N是*轴正半轴上且在抛物线的一动点〔不与O、A重合〕，过点N作NH∥AC交抛物线的对称轴于H点．设ON=t，△ONH的面积为S，求S与t之间的函数关系式．25．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y=a*2+b*﹣5与*轴交于A〔﹣1，0〕，B〔5，0〕两点，与y轴交于点C．〔1〕求抛物线的函数表达式；〔2〕假设点D是y轴上的一点，且以B，C，D为顶点的三角形与△ABC相似，求点D的坐标；〔3〕如图2，CE∥*轴与抛物线相交于点E，点H是直线CE下方抛物线上的动点，过点H且与y轴平行的直线与BC，CE分别相交于点F，G，试探究当点H运动到何处时，四边形CHEF的面积最大，求点H的坐标及最大面积；〔4〕假设点K为抛物线的顶点，点M〔4，m〕是该抛物线上的一点，在*轴，y轴上分别找点P，Q，使四边形PQKM的周长最小，求出点P，Q的坐标．26．如图，抛物线y=*2+b*+c经过点B〔3，0〕，C〔0，﹣2〕，直线l：y=﹣*﹣交y轴于点E，且与抛物线交于A，D两点，P为抛物线上一动点〔不与A，D重合〕．〔1〕求抛物线的解析式；〔2〕当点P在直线l下方时，过点P作PM∥*轴交l于点M，PN∥y轴交l于点N，求PM+PN的最大值．〔3〕设F为直线l上的点，以E，C，P，F为顶点的四边形能否构成平行四边形？假设能，求出点F的坐标；假设不能，请说明理由．27．如图，⊙M的圆心M〔﹣1，2〕，⊙M经过坐标原点O，与y轴交于点A．经过点A的一条直线l解析式为：y=﹣*+4与*轴交于点B，以M为顶点的抛物线经过*轴上点D〔2，0〕和点C〔﹣4，0〕．〔1〕求抛物线的解析式；〔2〕求证：直线l是⊙M的切线；〔3〕点P为抛物线上一动点，且PE与直线l垂直，垂足为E；PF∥y轴，交直线l于点F，是否存在这样的点P，使△PEF的面积最小．假设存在，请求出此时点P的坐标及△PEF面积的最小值；假设不存在，请说明理由．28．如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的边OA、OC分别在*轴、y轴上，点B坐标为〔4，t〕〔t＞0〕，二次函数y=*2+b*〔b＜0〕的图象经过点B，顶点为点D．〔1〕当t=12时，顶点D到*轴的距离等于；〔2〕点E是二次函数y=*2+b*〔b＜0〕的图象与*轴的一个公共点〔点E与点O不重合〕，求OE•EA的最大值及取得最大值时的二次函数表达式；〔3〕矩形OABC的对角线OB、AC交于点F，直线l平行于*轴，交二次函数y=*2+b*〔b＜0〕的图象于点M、N，连接DM、DN，当△DMN≌△FOC时，求t的值．29．如图甲，直线y=﹣*+3与*轴、y轴分别交于点B、点C，经过B、C两点的抛物线y=*2+b*+c与*轴的另一个交点为A，顶点为P．〔1〕求该抛物线的解析式；〔2〕在该抛物线的对称轴上是否存在点M，使以C，P，M为顶点的三角形为等腰三角形？假设存在，请直接写出所符合条件的点M的坐标；假设不存在，请说明理由；〔3〕当0＜*＜3时，在抛物线上求一点E，使△CBE的面积有最大值〔图乙、丙供画图探究〕．30．如图，抛物线y=a*2+b*+c〔a≠0〕与直线y=*+1相交于A〔﹣1，0〕，B〔4，m〕两点，且抛物线经过点C〔5，0〕．〔1〕求抛物线的解析式；〔2〕点P是抛物线上的一个动点〔不与点A、点B重合〕，过点P作直线PD⊥*轴于点D，交直线AB于点E．①当PE=2ED时，求P点坐标；②是否存在点P使△BEC为等腰三角形？假设存在请直接写出点P的坐标；假设不存在，请说明理由．1．如图，直线y=﹣*+c与*轴交于点A〔3，0〕，与y轴交于点B，抛物线y=﹣*2+b*+c经过点A，B．〔1〕求点B的坐标和抛物线的解析式；〔2〕M〔m，0〕为*轴上一动点，过点M且垂直于*轴的直线与直线AB及抛物线分别交于点P，N．①点M在线段OA上运动，假设以B，P，N为顶点的三角形与△APM相似，求点M的坐标；②点M在*轴上自由运动，假设三个点M，P，N中恰有一点是其它两点所连线段的中点〔三点重合除外〕，则称M，P，N三点为“共谐点〞．请直接写出使得M，P，N三点成为“共谐点〞的m的值．【分析】〔1〕把A点坐标代入直线解析式可求得c，则可求得B点坐标，由A、B的坐标，利用待定系数法可求得抛物线解析式；〔2〕①由M点坐标可表示P、N的坐标，从而可表示出MA、MP、PN、PB的长，分∠NBP=90°和∠BNP=90°两种情况，分别利用相似三角形的性质可得到关于m的方程，可求得m的值；②用m可表示出M、P、N的坐标，由题意可知有P为线段MN的中点、M为线段PN的中点或N为线段PM的中点，可分别得到关于m的方程，可求得m的值．【解答】解：〔1〕∵y=﹣*+c与*轴交于点A〔3，0〕，与y轴交于点B，∴0=﹣2+c，解得c=2，∴B〔0，2〕，∵抛物线y=﹣*2+b*+c经过点A，B，∴，解得，∴抛物线解析式为y=﹣*2+*+2；〔2〕①由〔1〕可知直线解析式为y=﹣*+2，∵M〔m，0〕为*轴上一动点，过点M且垂直于*轴的直线与直线AB及抛物线分别交于点P，N，∴P〔m，﹣m+2〕，N〔m，﹣m2+m+2〕，∴PM=﹣m+2，AM=3﹣m，PN=﹣m2+m+2﹣〔﹣m+2〕=﹣m2+4m，∵△BPN和△APM相似，且∠BPN=∠APM，∴∠BNP=∠AMP=90°或∠NBP=∠AMP=90°，当∠BNP=90°时，则有BN⊥MN，∴N点的纵坐标为2，∴﹣m2+m+2=2，解得m=0〔舍去〕或m=2.5，∴M〔2.5，0〕；当∠NBP=90°时，过点N作NC⊥y轴于点C，则∠NBC+∠BNC=90°，NC=m，BC=﹣m2+m+2﹣2=﹣m2+m，∵∠NBP=90°，∴∠NBC+∠ABO=90°，∴∠ABO=∠NBC，∴Rt△NCB∽Rt△BOA，∴=，∴=，解得m=0〔舍去〕或m=，∴M〔，0〕；综上可知当以B，P，N为顶点的三角形与△APM相似时，点M的坐标为〔2.5，0〕或〔，0〕；②由①可知M〔m，0〕，P〔m，﹣m+2〕，N〔m，﹣m2+m+2〕，∵M，P，N三点为“共谐点〞，∴有P为线段MN的中点、M为线段PN的中点或N为线段PM的中点，当P为线段MN的中点时，则有2〔﹣m+2〕=﹣m2+m+2，解得m=3〔三点重合，舍去〕或m=；当M为线段PN的中点时，则有﹣m+2+〔﹣m2+m+2〕=0，解得m=3〔舍去〕或m=﹣1；当N为线段PM的中点时，则有﹣m+2=2〔﹣m2+m+2〕，解得m=3〔舍去〕或m=﹣；综上可知当M，P，N三点成为“共谐点〞时m的值为或﹣1或﹣．【点评】此题为二次函数的综合应用，涉及待定系数法、函数图象的交点、相似三角形的判定和性质、勾股定理、线段的中点、方程思想及分类讨论思想等知识．在〔1〕中注意待定系数法的应用，在〔2〕①中利用相似三角形的性质得到关于m的方程是解题的关键，注意分两种情况，在〔2〕②中利用“共谐点〞的定义得到m的方程是解题的关键，注意分情况讨论．此题考察知识点较多，综合性较强，分情况讨论比拟多，难度较大．2．如图1，在平面直角坐标系*Oy中，抛物线C：y=a*2+b*+c与*轴相交于A，B两点，顶点为D〔0，4〕，AB=4，设点F〔m，0〕是*轴的正半轴上一点，将抛物线C绕点F旋转180°，得到新的抛物线C′．〔1〕求抛物线C的函数表达式；〔2〕假设抛物线C′与抛物线C在y轴的右侧有两个不同的公共点，求m的取值围．〔3〕如图2，P是第一象限抛物线C上一点，它到两坐标轴的距离相等，点P在抛物线C′上的对应点P′，设M是C上的动点，N是C′上的动点，试探究四边形PMP′N能否成为正方形？假设能，求出m的值；假设不能，请说明理由．【分析】〔1〕由题意抛物线的顶点D〔0，4〕，A〔﹣2，0〕，设抛物线的解析式为y=a*2+4，把A〔2，0〕代入可得a=﹣，由此即可解决问题；〔2〕由题意抛物线C′的顶点坐标为〔2m，﹣4〕，设抛物线C′的解析式为y=〔*﹣2m〕2﹣4，由，消去y得到*2﹣2m*+2m2﹣8=0，由题意，抛物线C′与抛物线C在y轴的右侧有两个不同的公共点，则有，解不等式组即可解决问题；〔3〕情形1，四边形PMP′N能成为正方形．作PE⊥*轴于E，MH⊥*轴于H．由题意易知P〔2，2〕，当△PFM是等腰直角三角形时，四边形PMP′N是正方形，推出PF=FM，∠PFM=90°，易证△PFE≌△FMH，可得PE=FH=2，EF=HM=2﹣m，可得M〔m+2，m﹣2〕，理由待定系数法即可解决问题；情形2，如图，四边形PMP′N是正方形，同法可得M〔m﹣2，2﹣m〕，利用待定系数法即可解决问题．【解答】解：〔1〕由题意抛物线的顶点D〔0，4〕，A〔﹣2，0〕，设抛物线的解析式为y=a*2+4，把A〔﹣2，0〕代入可得a=﹣，∴抛物线C的函数表达式为y=﹣*2+4．〔2〕由题意抛物线C′的顶点坐标为〔2m，﹣4〕，设抛物线C′的解析式为y=〔*﹣2m〕2﹣4，由，消去y得到*2﹣2m*+2m2﹣8=0，由题意，抛物线C′与抛物线C在y轴的右侧有两个不同的公共点，则有，解得2＜m＜2，∴满足条件的m的取值围为2＜m＜2．〔3〕结论：四边形PMP′N能成为正方形．理由：1情形1，如图，作PE⊥*轴于E，MH⊥*轴于H．由题意易知P〔2，2〕，当△PFM是等腰直角三角形时，四边形PMP′N是正方形，∴PF=FM，∠PFM=90°，易证△PFE≌△FMH，可得PE=FH=2，EF=HM=2﹣m，∴M〔m+2，m﹣2〕，∵点M在y=﹣*2+4上，∴m﹣2=﹣〔m+2〕2+4，解得m=﹣3或﹣﹣3〔舍弃〕，∴m=﹣3时，四边形PMP′N是正方形．情形2，如图，四边形PMP′N是正方形，同法可得M〔m﹣2，2﹣m〕，把M〔m﹣2，2﹣m〕代入y=﹣*2+4中，2﹣m=﹣〔m﹣2〕2+4，解得m=6或0〔舍弃〕，∴m=6时，四边形PMP′N是正方形．综上，四边形PMP′N能成为正方形，m=﹣3或6．【点评】此题考察二次函数综合题、中心对称变换、正方形的性质、全等三角形的判定和性质、一元二次方程的根与系数的关系等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考压轴题．3．在平面直角坐标系*Oy中的点P和图形M，给出如下的定义：假设在图形M上存在一点Q，使得P、Q两点间的距离小于或等于1，则称P为图形M的关联点．〔1〕当⊙O的半径为2时，①在点P1〔，0〕，P2〔，〕，P3〔，0〕中，⊙O的关联点是P2，P3．②点P在直线y=﹣*上，假设P为⊙O的关联点，求点P的横坐标的取值围．〔2〕⊙C的圆心在*轴上，半径为2，直线y=﹣*+1与*轴、y轴交于点A、B．假设线段AB上的所有点都是⊙C的关联点，直接写出圆心C的横坐标的取值围．【分析】〔1〕①根据点P1〔，0〕，P2〔，〕，P3〔，0〕，求得OP1=，OP2=1，OP3=，于是得到结论；②根据定义分析，可得当最小y=﹣*上的点P到原点的距离在1到3之间时符合题意，设P〔*，﹣*〕，根据两点间的距离公式即可得到结论；〔2根据条件得到A〔1，0〕，B〔0，1〕，如图1，当圆过点A时，得到C〔﹣2，0〕，如图2，当直线AB与小圆相切时，切点为D，得到C〔1﹣，0〕，于是得到结论；如图3，当圆过点A，则AC=1，得到C〔2，0〕，如图4，当圆过点B，连接BC，根据勾股定理得到C〔2，0〕，于是得到结论．【解答】解：〔1〕①∵点P1〔，0〕，P2〔，〕，P3〔，0〕，∴OP1=，OP2=1，OP3=，∴P1与⊙O的最小距离为，P2与⊙O的最小距离为1，OP3与⊙O的最小距离为，∴⊙O，⊙O的关联点是P2，P3；故答案为：P2，P3；②根据定义分析，可得当最小y=﹣*上的点P到原点的距离在1到3之间时符合题意，∴设P〔*，﹣*〕，当OP=1时，由距离公式得，OP==1，∴*=，当OP=3时，OP==3，解得：*=±；∴点P的横坐标的取值围为：﹣≤*≤﹣，或≤*≤；〔2〕∵直线y=﹣*+1与*轴、y轴交于点A、B，∴A〔1，0〕，B〔0，1〕，如图1，当圆过点A时，此时，CA=3，∴C〔﹣2，0〕，如图2，当直线AB与小圆相切时，切点为D，∴CD=1，∵直线AB的解析式为y=﹣*+1，∴直线AB与*轴的夹角=45°，∴AC=，∴C〔1﹣，0〕，∴圆心C的横坐标的取值围为：﹣2≤*C≤1﹣；如图3，当圆过点A，则AC=1，∴C〔2，0〕，如图4，当圆过点B，连接BC，此时，BC=3，∴OC==2，∴C〔2，0〕．∴圆心C的横坐标的取值围为：2≤*C≤2；综上所述；圆心C的横坐标的取值围为：﹣2≤*C≤1﹣或2≤*C≤2．【点评】此题考察了一次函数的性质，勾股定理，直线与圆的位置关系，两点间的距离公式，正确的作出图形是解题的关键．4．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=﹣*2+a*+b交*轴于A〔1，0〕，B〔3，0〕两点，点P是抛物线上在第一象限的一点，直线BP与y轴相交于点C．〔1〕求抛物线y=﹣*2+a*+b的解析式；〔2〕当点P是线段BC的中点时，求点P的坐标；〔3〕在〔2〕的条件下，求sin∠OCB的值．【分析】〔1〕将点A、B代入抛物线y=﹣*2+a*+b，解得a，b可得解析式；〔2〕由C点横坐标为0可得P点横坐标，将P点横坐标代入〔1〕中抛物线解析式，易得P点坐标；〔3〕由P点的坐标可得C点坐标，由B、C的坐标，利用勾股定理可得BC长，利用sin∠OCB=可得结果．【解答】解：〔1〕将点A、B代入抛物线y=﹣*2+a*+b可得，，解得，a=4，b=﹣3，∴抛物线的解析式为：y=﹣*2+4*﹣3；〔2〕∵点C在y轴上，所以C点横坐标*=0，∵点P是线段BC的中点，∴点P横坐标*P==，∵点P在抛物线y=﹣*2+4*﹣3上，∴yP=﹣3=，∴点P的坐标为〔，〕；〔3〕∵点P的坐标为〔，〕，点P是线段BC的中点，∴点C的纵坐标为2×﹣0=，∴点C的坐标为〔0，〕，∴BC==，∴sin∠OCB===．【点评】此题主要考察了待定系数法求二次函数解析式和解直角三角形，利用中点求得点P的坐标是解答此题的关键．5．如图，抛物线y=﹣*2+b*+c与*轴交于点A和点B，与y轴交于点C，点B坐标为〔6，0〕，点C坐标为〔0，6〕，点D是抛物线的顶点，过点D作*轴的垂线，垂足为E，连接BD．〔1〕求抛物线的解析式及点D的坐标；〔2〕点F是抛物线上的动点，当∠FBA=∠BDE时，求点F的坐标；〔3〕假设点M是抛物线上的动点，过点M作MN∥*轴与抛物线交于点N，点P在*轴上，点Q在坐标平面，以线段MN为对角线作正方形MPNQ，请写出点Q的坐标．【分析】〔1〕由B、C的坐标，利用待定系数法可求得抛物线解析式，再求其顶点D即可；〔2〕过F作FG⊥*轴于点G，可设出F点坐标，利用△FBG∽△BDE，由相似三角形的性质可得到关于F点坐标的方程，可求得F点的坐标；〔3〕由于M、N两点关于对称轴对称，可知点P为对称轴与*轴的交点，点Q在对称轴上，可设出Q点的坐标，则可表示出M的坐标，代入抛物线解析式可求得Q点的坐标．【解答】解：〔1〕把B、C两点坐标代入抛物线解析式可得，解得，∴抛物线解析式为y=﹣*2+2*+6，∵y=﹣*2+2*+6=﹣〔*﹣2〕2+8，∴D〔2，8〕；〔2〕如图1，过F作FG⊥*轴于点G，设F〔*，﹣*2+2*+6〕，则FG=|﹣*2+2*+6|，∵∠FBA=∠BDE，∠FGB=∠BED=90°，∴△FBG∽△BDE，∴=，∵B〔6，0〕，D〔2，8〕，∴E〔2，0〕，BE=4，DE=8，OB=6，∴BG=6﹣*，∴=，当点F在*轴上方时，有=，解得*=﹣1或*=6〔舍去〕，此时F点的坐标为〔﹣1，〕；当点F在*轴下方时，有=﹣，解得*=﹣3或*=6〔舍去〕，此时F点的坐标为〔﹣3，﹣〕；综上可知F点的坐标为〔﹣1，〕或〔﹣3，﹣〕；〔3〕如图2，设对角线MN、PQ交于点O′，∵点M、N关于抛物线对称轴对称，且四边形MPNQ为正方形，∴点P为抛物线对称轴与*轴的交点，点Q在抛物线的对称轴上，设Q〔2，2n〕，则M坐标为〔2﹣n，n〕，∵点M在抛物线y=﹣*2+2*+6的图象上，∴n=﹣〔2﹣n〕2+2〔2﹣n〕+6，解得n=﹣1+或n=﹣1﹣，∴满足条件的点Q有两个，其坐标分别为〔2，﹣2+2〕或〔2，﹣2﹣2〕．【点评】此题为二次函数的综合应用，涉及待定系数法、相似三角形的判定和性质、正方形的性质、方程思想及分类讨论思想等知识．在〔1〕中注意待定系数法的应用，在〔2〕中构造三角形相似是解题的关键，注意有两种情况，在〔3〕中确定出P、Q的位置是解题的关键．此题考察知识点较多，综合性较强，难度适中．6．抛物线y=*2+b*﹣3〔b是常数〕经过点A〔﹣1，0〕．〔1〕求该抛物线的解析式和顶点坐标；〔2〕P〔m，t〕为抛物线上的一个动点，P关于原点的对称点为P'．①当点P'落在该抛物线上时，求m的值；②当点P'落在第二象限，P'A2取得最小值时，求m的值．【分析】〔1〕把A点坐标代入抛物线解析式可求得b的值，则可求得抛物线解析式，进一步可求得其顶点坐标；〔2〕①由对称可表示出P′点的坐标，再由P和P′都在抛物线上，可得到关于m的方程，可求得m的值；②由点P′在第二象限，可求得t的取值围，利用两点间距离公式可用t表示出P′A2，再由点P′在抛物线上，可以消去m，整理可得到关于t的二次函数，利用二次函数的性质可求得其取得最小值时t的值，则可求得m的值．【解答】解：〔1〕∵抛物线y=*2+b*﹣3经过点A〔﹣1，0〕，∴0=1﹣b﹣3，解得b=﹣2，∴抛物线解析式为y=*2﹣2*﹣3，∵y=*2﹣2*﹣3=〔*﹣1〕2﹣4，∴抛物线顶点坐标为〔1，﹣4〕；〔2〕①由P〔m，t〕在抛物线上可得t=m2﹣2m﹣3，∵点P′与P关于原点对称，∴P′〔﹣m，﹣t〕，∵点P′落在抛物线上，∴﹣t=〔﹣m〕2﹣2〔﹣m〕﹣3，即t=﹣m2﹣2m+3，∴m2﹣2m﹣3=﹣m2﹣2m+3，解得m=或m=﹣；②由题意可知P′〔﹣m，﹣t〕在第二象限，∴﹣m＜0，﹣t＞0，即m＞0，t＜0，∵抛物线的顶点坐标为〔1，﹣4〕，∴﹣4≤t＜0，∵P在抛物线上，∴t=m2﹣2m﹣3，∴m2﹣2m=t+3，∵A〔﹣1，0〕，P′〔﹣m，﹣t〕，∴P′A2=〔﹣m+1〕2+〔﹣t〕2=m2﹣2m+1+t2=t2+t+4=〔t+〕2+；∴当t=﹣时，P′A2有最小值，∴﹣=m2﹣2m﹣3，解得m=或m=，∵m＞0，∴m=不合题意，舍去，∴m的值为．【点评】此题为二次函数的综合应用，涉及待定系数法、中心对称、二次函数的性质、勾股定理、方程思想等知识．在〔1〕中注意待定系数法的应用，在〔2〕①中求得P′点的坐标，得到关于m的方程是解题的关键，在〔2〕②中用t表示出P′A2是解题的关键．此题考察知识点较多，综合性较强，难度适中．7．在同一直角坐标系中，抛物线C1：y=a*2﹣2*﹣3与抛物线C2：y=*2+m*+n关于y轴对称，C2与*轴交于A、B两点，其中点A在点B的左侧．〔1〕求抛物线C1，C2的函数表达式；〔2〕求A、B两点的坐标；〔3〕在抛物线C1上是否存在一点P，在抛物线C2上是否存在一点Q，使得以AB为边，且以A、B、P、Q四点为顶点的四边形是平行四边形？假设存在，求出P、Q两点的坐标；假设不存在，请说明理由．【分析】〔1〕由对称可求得a、n的值，则可求得两函数的对称轴，可求得m的值，则可求得两抛物线的函数表达式；〔2〕由C2的函数表达式可求得A、B的坐标；〔3〕由题意可知AB只能为平行四边形的边，利用平行四边形的性质，可设出P点坐标，表示出Q点坐标，代入C2的函数表达式可求得P、Q的坐标．【解答】解：〔1〕∵C1、C2关于y轴对称，∴C1与C2的交点一定在y轴上，且C1与C2的形状、大小均一样，∴a=1，n=﹣3，∴C1的对称轴为*=1，∴C2的对称轴为*=﹣1，∴m=2，∴C1的函数表示式为y=*2﹣2*﹣3，C2的函数表达式为y=*2+2*﹣3；〔2〕在C2的函数表达式为y=*2+2*﹣3中，令y=0可得*2+2*﹣3=0，解得*=﹣3或*=1，∴A〔﹣3，0〕，B〔1，0〕；〔3〕存在．∵AB的中点为〔﹣1，0〕，且点P在抛物线C1上，点Q在抛物线C2上，∴AB只能为平行四边形的一边，∴PQ∥AB且PQ=AB，由〔2〕可知AB=1﹣〔﹣3〕=4，∴PQ=4，设P〔t，t2﹣2t﹣3〕，则Q〔t+4，t2﹣2t﹣3〕或〔t﹣4，t2﹣2t﹣3〕，①当Q〔t+4，t2﹣2t﹣3〕时，则t2﹣2t﹣3=〔t+4〕2+2〔t+4〕﹣3，解得t=﹣2，∴t2﹣2t﹣3=4+4﹣3=5，∴P〔﹣2，5〕，Q〔2，5〕；②当Q〔t﹣4，t2﹣2t﹣3〕时，则t2﹣2t﹣3=〔t﹣4〕2+2〔t﹣4〕﹣3，解得t=2，∴t2﹣2t﹣3=4﹣4﹣3=﹣3，∴P〔2，﹣3〕，Q〔﹣2，﹣3〕，综上可知存在满足条件的点P、Q，其坐标为P〔﹣2，5〕，Q〔2，5〕或P〔2，﹣3〕，Q〔﹣2，﹣3〕．【点评】此题为二次函数的综合应用，涉及待定系数法、对称的性质、函数图象与坐标轴的交点、平行四边形的性质、方程思想及分类讨论思想等知识．在〔1〕中由对称性质求得a、n的值是解题的关键，在〔2〕中注意函数图象与坐标轴的交点的求法即可，在〔3〕中确定出PQ的长度，设P点坐标表示出Q点的坐标是解题的关键．此题考察知识点较多，综合性较强，难度适中．8．函数y=﹣*2+〔m﹣1〕*+m〔m为常数〕．〔1〕该函数的图象与*轴公共点的个数是D．A.0B.1C.2D.1或2〔2〕求证：不管m为何值，该函数的图象的顶点都在函数y=〔*+1〕2的图象上．〔3〕当﹣2≤m≤3时，求该函数的图象的顶点纵坐标的取值围．【分析】〔1〕表示出根的判别式，判断其正负即可得到结果；〔2〕将二次函数解析式配方变形后，判断其顶点坐标是否在函数图象即可；〔3〕根据m的围确定出顶点纵坐标围即可．【解答】解：〔1〕∵函数y=﹣*2+〔m﹣1〕*+m〔m为常数〕，∴△=〔m﹣1〕2+4m=〔m+1〕2≥0，则该函数图象与*轴的公共点的个数是1或2，应选D；〔2〕y=﹣*2+〔m﹣1〕*+m=﹣〔*﹣〕2+，把*=代入y=〔*+1〕2得：y=〔+1〕2=，则不管m为何值，该函数的图象的顶点都在函数y=〔*+1〕2的图象上；〔3〕设函数z=，当m=﹣1时，z有最小值为0；当m＜﹣1时，z随m的增大而减小；当m＞﹣1时，z随m的增大而增大，当m=﹣2时，z=；当m=3时，z=4，则当﹣2≤m≤3时，该函数图象的顶点坐标的取值围是0≤z≤4．【点评】此题考察了抛物线与*轴的交点，以及二次函数的性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解此题的关键．9．直线y=2*+m与抛物线y=a*2+a*+b有一个公共点M〔1，0〕，且a＜b．〔Ⅰ〕求抛物线顶点Q的坐标〔用含a的代数式表示〕；〔Ⅱ〕说明直线与抛物线有两个交点；〔Ⅲ〕直线与抛物线的另一个交点记为N．〔ⅰ〕假设﹣1≤a≤﹣，求线段MN长度的取值围；〔ⅱ〕求△QMN面积的最小值．【分析】〔Ⅰ〕把M点坐标代入抛物线解析式可得到b与a的关系，可用a表示出抛物线解析式，化为顶点式可求得其顶点坐标；〔Ⅱ〕由直线解析式可先求得m的值，联立直线与抛物线解析式，消去y，可得到关于*的一元二次方程，再判断其判别式大于0即可；〔Ⅲ〕〔i〕由〔Ⅱ〕的方程，可求得N点坐标，利用勾股定理可求得MN2，利用二次函数性质可求得MN长度的取值围；〔ii〕设抛物线对称轴交直线与点E，则可求得E点坐标，利用S△QMN=S△QEN+S△QEM可用a表示出△QMN的面积，再整理成关于a的一元二次方程，利用判别式可得其面积的取值围，可求得答案．【解答】解：〔Ⅰ〕∵抛物线y=a*2+a*+b过点M〔1，0〕，∴a+a+b=0，即b=﹣2a，∴y=a*2+a*+b=a*2+a*﹣2a=a〔*+〕2﹣，∴抛物线顶点Q的坐标为〔﹣，﹣〕；〔Ⅱ〕∵直线y=2*+m经过点M〔1，0〕，∴0=2×1+m，解得m=﹣2，联立直线与抛物线解析式，消去y可得a*2+〔a﹣2〕*﹣2a+2=0〔*〕∴△=〔a﹣2〕2﹣4a〔﹣2a+2〕=9a2﹣12a+4，由〔Ⅰ〕知b=﹣2a，且a＜b，∴a＜0，b＞0，∴△＞0，∴方程〔*〕有两个不相等的实数根，∴直线与抛物线有两个交点；〔Ⅲ〕联立直线与抛物线解析式，消去y可得a*2+〔a﹣2〕*﹣2a+2=0，即*2+〔1﹣〕*﹣2+=0，∴〔*﹣1〕[*﹣〔﹣2〕]=0，解得*=1或*=﹣2，∴N点坐标为〔﹣2，﹣6〕，〔i〕由勾股定理可得MN2=[〔﹣2〕﹣1]2+〔﹣6〕2=﹣+45=20〔﹣〕2，∵﹣1≤a≤﹣，∴﹣2≤≤﹣1，∴MN2随的增大而减小，∴当=﹣2时，MN2有最大值245，则MN有最大值7，当=﹣1时，MN2有最小值125，则MN有最小值5，∴线段MN长度的取值围为5≤MN≤7；〔ii〕如图，设抛物线对称轴交直线与点E，∵抛物线对称轴为*=﹣，∴E〔﹣，﹣3〕，∵M〔1，0〕，N〔﹣2，﹣6〕，且a＜0，设△QMN的面积为S，∴S=S△QEN+S△QEM=|〔﹣2〕﹣1|•|﹣﹣〔﹣3〕|=﹣﹣，∴27a2+〔8S﹣54〕a+24=0〔*〕，∵关于a的方程〔*〕有实数根，∴△=〔8S﹣54〕2﹣4×27×24≥0，即〔8S﹣54〕2≥〔36〕2，∵a＜0，∴S=﹣﹣＞，∴8S﹣54＞0，∴8S﹣54≥36，即S≥+，当S=+时，由方程〔*〕可得a=﹣满足题意，∴当a=﹣，b=时，△QMN面积的最小值为+．【点评】此题为二次函数的综合应用，涉及函数图象的交点、二次函数的性质、根的判别式、勾股定理、三角形的面积等知识．在〔1〕中由M的坐标得到b与a的关系是解题的关键，在〔2〕中联立两函数解析式，得到关于*的一元二次方程是解题的关键，在〔3〕中求得N点的坐标是解题的关键，在最后一小题中用a表示出△QMN的面积是解题的关键．此题考察知识点较多，综合性较强，难度较大．10．在平面直角坐标系中，设二次函数y1=〔*+a〕〔*﹣a﹣1〕，其中a≠0．〔1〕假设函数y1的图象经过点〔1，﹣2〕，求函数y1的表达式；〔2〕假设一次函数y2=a*+b的图象与y1的图象经过*轴上同一点，探究实数a，b满足的关系式；〔3〕点P〔*0，m〕和Q〔1，n〕在函数y1的图象上，假设m＜n，求*0的取值围．【分析】〔1〕根据待定系数法，可得函数解析式；〔2〕根据函数图象上的点满足函数解析式，可得答案；〔3〕根据二次函数的性质，可得答案．【解答】解：〔1〕函数y1的图象经过点〔1，﹣2〕，得〔a+1〕〔﹣a〕=﹣2，解得a1=﹣2，a2=1，函数y1的表达式y=〔*﹣2〕〔*+2﹣1〕，化简，得y=*2﹣*﹣2；函数y1的表达式y=〔*+1〕〔*﹣2〕化简，得y=*2﹣*﹣2，综上所述：函数y1的表达式y=*2﹣*﹣2；〔2〕当y=0时〔*+a〕〔*﹣a﹣1〕=0，解得*1=﹣a，*2=a+1，y1的图象与*轴的交点是〔﹣a，0〕，〔a+1，0〕，当y2=a*+b经过〔﹣a，0〕时，﹣a2+b=0，即b=a2；当y2=a*+b经过〔a+1，0〕时，a2+a+b=0，即b=﹣a2﹣a；〔3〕当P在对称轴的左侧〔含顶点〕时，y随*的增大而减小，〔1，n〕与〔0，n〕关于对称轴对称，由m＜n，得0＜*0≤；当时P在对称轴的右侧时，y随*的增大而增大，由m＜n，得＜*0＜1，综上所述：m＜n，所求*0的取值围0＜*0＜1．【点评】此题考察了二次函数图象上点的坐标特征，解〔1〕的关键是利用待定系数法；解〔2〕的关键是把点的坐标代入函数解析式；解〔3〕的关键是利用二次函数的性质，要分类讨论，以防遗漏．11．定义：如图1，抛物线y=a*2+b*+c〔a≠0〕与*轴交于A，B两点，点P在该抛物线上〔P点与A、B两点不重合〕，如果△ABP的三边满足AP2+BP2=AB2，则称点P为抛物线y=a*2+b*+c〔a≠0〕的勾股点．〔1〕直接写出抛物线y=﹣*2+1的勾股点的坐标．〔2〕如图2，抛物线C：y=a*2+b*〔a≠0〕与*轴交于A，B两点，点P〔1，〕是抛物线C的勾股点，求抛物线C的函数表达式．〔3〕在〔2〕的条件下，点Q在抛物线C上，求满足条件S△ABQ=S△ABP的Q点〔异于点P〕的坐标．【分析】〔1〕根据抛物线勾股点的定义即可得；〔2〕作PG⊥*轴，由点P坐标求得AG=1、PG=、PA=2，由tan∠PAB==知∠PAG=60°，从而求得AB=4，即B〔4，0〕，待定系数法求解可得；〔3〕由S△ABQ=S△ABP且两三角形同底，可知点Q到*轴的距离为，据此求解可得．【解答】解：〔1〕抛物线y=﹣*2+1的勾股点的坐标为〔0，1〕；〔2〕抛物线y=a*2+b*过原点，即点A〔0，0〕，如图，作PG⊥*轴于点G，∵点P的坐标为〔1，〕，∴AG=1、PG=，PA===2，∵tan∠PAB==，∴∠PAG=60°，在Rt△PAB中，AB===4，∴点B坐标为〔4，0〕，设y=a*〔*﹣4〕，将点P〔1，〕代入得：a=﹣，∴y=﹣*〔*﹣4〕=﹣*2+*；〔3〕①当点Q在*轴上方时，由S△ABQ=S△ABP知点Q的纵坐标为，则有﹣*2+*=，解得：*1=3，*2=1〔不符合题意，舍去〕，∴点Q的坐标为〔3，〕；②当点Q在*轴下方时，由S△ABQ=S△ABP知点Q的纵坐标为﹣，则有﹣*2+*=﹣，解得：*1=2+，*2=2﹣，∴点Q的坐标为〔2+，﹣〕或〔2﹣，﹣〕；综上，满足条件的点Q有3个：〔3，〕或〔2+，﹣〕或〔2﹣，﹣〕．【点评】此题主要考察抛物线与*轴的交点及待定系数法求函数解析式，根据新定义求得点B的坐标，并熟练掌握待定系数求函数解析式及三角形面积问题是解题的关键．12．如图，二次函数y=*2+b*+c的图象与*轴交于A、B两点，与y轴交于点C，OB=OC．点D在函数图象上，CD∥*轴，且CD=2，直线l是抛物线的对称轴，E是抛物线的顶点．〔1〕求b、c的值；〔2〕如图①，连接BE，线段OC上的点F关于直线l的对称点F'恰好在线段BE上，求点F的坐标；〔3〕如图②，动点P在线段OB上，过点P作*轴的垂线分别与BC交于点M，与抛物线交于点N．试问：抛物线上是否存在点Q，使得△PQN与△APM的面积相等，且线段NQ的长度最小？如果存