2023年高考数学(理)圆锥曲线试题汇编

河南教考资源信息网版权所有·严禁转载II〕.【考点定位】1.椭圆的离心率；2.椭圆的标准方程；3.点点关于直线对称的应用.【名师指点】椭圆一直是解答题中考查解析几何知识的重要载体，不管对其如何进行改编与设计，抓住根底知识、考根本技能是不变的话题.解析几何主要研究两类问题：一是根据条件确定曲线方程，二是利用曲线方程研究曲线的几何性质.曲线方程确实定可分为两类：假设曲线类型，那么采用待定系数法；假设曲线类型未知时，那么可利用直接法、定义法、相关点法等求解.此题是第一种类型，要利用给定条件求出.24.【2023高考天津，理19】〔本小题总分值14分〕椭圆的左焦点为,离心率为，点M在椭圆上且位于第一象限，直线被圆截得的线段的长为c，.(I)求直线的斜率；(II)求椭圆的方程；(III)设动点在椭圆上，假设直线的斜率大于，求直线〔为原点〕的斜率的取值范围.【答案】(I)；(II)；(=3\*ROMANIII).【解析】(I)由有，又由，可得，，设直线的斜率为，那么直线的方程为，由有，解得.(II)由(I)得椭圆方程为，直线的方程为，两个方程联立，消去，整理得，解得或，因为点在第一象限，可得的坐标为，由，解得，所以椭圆方程为(=3\*ROMANIII)设点的坐标为，直线的斜率为，得，即,与椭圆方程联立，消去，整理得，又由，得，解得或，设直线的斜率为，得，即，与椭圆方程联立，整理可得.=1\*GB3①当时，有，因此，于是，得=2\*GB3②当时，有，因此，于是，得综上，直线的斜率的取值范围是【考点定位】1.椭圆的标准方程和几何性质；2.直线和圆的位置关系；3.一元二次不等式.【名师指点】此题主要考查椭圆的定义、标准方程及几何性质，直线与圆锥曲线的位置关系.由勾股定理求圆的弦长，表达数学数形结合的重要数学思想；用数字来刻画几何图形的特征，是解析几何的精髓，联立方程组，求出椭圆中参数的关系，进一步得到椭圆方程；构造函数求斜率取值范围，表达函数在解决实际问题中的重要作用，是拨高题.25.【2023高考重庆，理21】如题〔21〕图，椭圆的左、右焦点分别为过的直线交椭圆于两点，且〔1〕假设，求椭圆的标准方程〔2〕假设求椭圆的离心率【答案】〔1〕；〔2〕【解析】试题解析：〔1〕此题中椭圆上的一点到两焦点的距离，因此由椭圆定义可得长轴长，即参数的值，而由，应用勾股定理可得焦距，即的值，因此方程易得；〔2〕要求椭圆的离心率，就是要找到关于的一个等式，题中涉及到焦点距离，因此我们仍然应用椭圆定义，设，那么，，于是有，这样在中求得，在中可建立关于的等式，从而求得离心率.(1)由椭圆的定义，设椭圆的半焦距为c，由，因此即从而故所求椭圆的标准方程为.(2)解法一：如图(21)图，设点P在椭圆上，且，那么求得由,得,从而由椭圆的定义，,从而由，有又由，知，因此于是解得.【考点定位】考查椭圆的标准方程，椭圆的几何性质.，直线和椭圆相交问题，考查运算求解能力．【名师指点】确定圆锥曲线方程的最根本方法就是根据条件得到圆锥曲线系数的方程，解方程组得到系数值．注意在椭圆中c2＝a2－b2，在双曲线中c2＝a2＋b2.圆锥曲线根本问题的考查的另一个重点是定义的应用；求椭圆与双曲线的离心率的根本思想是建立关于a，b，c的方程，根据条件和椭圆、双曲线中a，b，c的关系，求出所求的椭圆、双曲线中a，c之间的比例关系，根据离心率定义求解．如果是求解离心率的范围，那么需要建立关于a，c的不等式．26.【2023高考四川，理20】如图，椭圆E：的离心率是，过点P〔0,1〕的动直线与椭圆相交于A，B两点，当直线平行与轴时，直线被椭圆E截得的线段长为.(1)求椭圆E的方程；〔2〕在平面直角坐标系中，是否存在与点P不同的定点Q，使得恒成立？假设存在，求出点Q的坐标；假设不存在，请说明理由.【答案】〔1〕；〔2〕存在，Q点的坐标为.【解析】〔1〕由，点在椭圆E上.因此，解得.所以椭圆的方程为.〔2〕当直线与轴平行时，设直线与椭圆相交于C、D两点.如果存在定点Q满足条件，那么，即.所以Q点在y轴上，可设Q点的坐标为.当直线与轴垂直时，设直线与椭圆相交于M、N两点.那么，由，有，解得或.所以，假设存在不同于点P的定点Q满足条件，那么Q点的坐标只可能为.下面证明：对任意的直线，均有.当直线的斜率不存在时，由上可知，结论成立.当直线的斜率存在时，可设直线的方程为，A、B的坐标分别为.联立得.其判别式，所以，.因此.易知，点B关于y轴对称的点的坐标为.【考点定位】此题考查椭圆的标准方程与几何性质、直线方程、直线与椭圆的位置关系等根底知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查数形结合、化归与转化、特殊与一般、分类与整合等数学思想.【名师指点】高考中解几题一般都属于难题的范畴，考生应立足于拿稳第〔1〕题的分和第〔2〕小题的步骤分.解决直线与圆锥曲线相交的问题，一般是将直线方程与圆锥曲线的方程联立，再根据根与系数的关系解答.此题是一个探索性问题，对这类问题一般是根据特殊情况找出结果，然后再证明其普遍性.解决此题的关键是通过作B的对称点将问题转化.27.【2023高考湖北，理21】一种作图工具如图1所示．是滑槽的中点，短杆可绕转动，长杆通过处铰链与连接，上的栓子可沿滑槽AB滑动，且，．当栓子在滑槽AB内作往复运动时，带动绕转动一周〔不动时，也不动〕，处的笔尖画出的曲线记为．以为原点，所在的直线为轴建立如图2所示的平面直角坐标系．〔Ⅰ〕求曲线C的方程；〔Ⅱ〕设动直线与两定直线和分别交于两点．假设直线总与曲线有且只有一个公共点，试探究：的面积是否存在最小值？假设存在，求出该最小值；假设不存在，说明理由．xDxDOMNy第21题图第21题图2第21题图1【答案】〔Ⅰ〕；〔Ⅱ〕存在最小值8.【解析】〔Ⅰ〕设点，，依题意，第21题解答图第21题解答图，且，所以，且即且由于当点不动时，点也不动，所以不恒等于0，于是，故，代入，可得，即所求的曲线的方程为〔Ⅱ〕〔1〕当直线的斜率不存在时，直线为或，都有.〔2〕当直线的斜率存在时，设直线，由消去，可得.因为直线总与椭圆有且只有一个公共点，所以，即.①又由可得；同理可得.由原点到直线的距离为和，可得考点：椭圆的标准方程、几何性质,直线与圆、椭圆的位置关系，最值.【名师指点】此题以滑槽，长短杆为背景，乍一看与我们往年考的很不一样，但是只要学生仔细读题均能找到椭圆的,,.那么第一问就迎刃而解了，第二问仍然为圆锥曲线的综合问题。直线与圆锥曲线位置关系的判断、有关圆锥曲线弦的问题等能很好地渗透对函数方程思想和数形结合思想的考查，一直是高考考查的重点，特别是焦点弦和中点弦等问题，涉及中点公式、根与系数的关系以及设而不求、整体代入的技巧和方法，也是考查数学思想方法的热点题型．解题过程中要注意讨论直线斜率的存在情况，计算要准确．28.【2023高考陕西，理20】〔本小题总分值12分〕椭圆〔〕的半焦距为，原点到经过两点，的直线的距离为．〔I〕求椭圆的离心率；〔II〕如图，是圆的一条直径，假设椭圆经过，两点，求椭圆的方程．【答案】〔I〕；〔II〕．【解析】试题分析：〔I〕先写过点，的直线方程，再计算原点到该直线的距离，进而可得椭圆的离心率；〔II〕先由〔I〕知椭圆的方程，设的方程，联立，消去，可得和的值，进而可得，再利用可得的值，进而可得椭圆的方程．试题解析：〔I〕过点，的直线方程为，那么原点到直线的距离，由，得，解得离心率.(II)解法一：由〔I〕知，椭圆的方程为.(1)依题意，圆心是线段的中点，且.易知，不与轴垂直，设其直线方程为，代入(1)得设那么由，得解得.从而.于是.由，得，解得.故椭圆的方程为.解法二：由〔I〕知，椭圆的方程为.(2)考点：1、直线方程；2、点到直线的距离公式；3、椭圆的简单几何性质；4、椭圆的方程；5、圆的方程；6、直线与圆的位置关系；7、直线与圆锥曲线的位置.【名师点晴】此题主要考查的是直线方程、点到直线的距离公式、椭圆的简单几何性质、椭圆的方程、圆的方程、直线与圆的位置关系和直线与圆锥曲线的位置，属于难题．解题时一定要注意考虑直线的斜率是否存在，否那么很容易失分．解此题需要掌握的知识点是截距式方程，点到直线的距离公式和椭圆的离心率，即截距式方程〔在轴上的截距，在轴上的截距〕，点到直线的距离，椭圆〔〕的离心率．29.【2023高考新课标1，理20】在直角坐标系中，曲线C：y=与直线(＞0)交与M,N两点，〔Ⅰ〕当k=0时，分别求C在点M和N处的切线方程；〔Ⅱ〕y轴上是否存在点P，使得当k变动时，总有∠OPM=∠OPN？说明理由.【答案】〔Ⅰ〕或〔Ⅱ〕存在【解析】试题分析：〔Ⅰ〕先求出M,N的坐标，再利用导数求出M,N.〔Ⅱ〕先作出判定，再利用设而不求思想即将代入曲线C的方程整理成关于的一元二次方程，设出M,N的坐标和P点坐标，利用设而不求思想，将直线PM，PN的斜率之和用表示出来，利用直线PM，PN的斜率为0,即可求出关系，从而找出适合条件的P点坐标.试题解析：〔Ⅰ〕由题设可得，，或，.∵，故在=处的到数值为，C在处的切线方程为，即.故在=-处的到数值为-，C在处的切线方程为，即.故所求切线方程为或.……5分〔Ⅱ〕存在符合题意的点，证明如下：设P〔0，b〕为复合题意得点，，，直线PM，PN的斜率分别为.将代入C得方程整理得.∴.∴==.当时，有=0，那么直线PM的倾斜角与直线PN的倾斜角互补，故∠OPM=∠OPN，所以符合题意.……12分【考点定位】抛物线的切线；直线与抛物线位置关系；探索新问题；运算求解能力【名师指点】对直线与圆锥曲线的位置关系问题，常用设而不求思想，即设出直线方程代入圆锥曲线方程化为关于的一元二次方程，设出交点坐标，利用根与系数关系，将交点的横坐标之和与积一元二次方程的系数表示出来，然后根据题中的条件和所求结论，选择适宜的方法进行计算，注意题中条件的合理转化，如此题中，将角∠OPM=∠OPN相同转化为直线PM的倾斜角与直线PN的倾斜角互补，进而转化为直线PM的斜率与直线PN的斜率之和为0，再将其坐标化，即可列出方程，解析几何题思路固定，字母运算复杂，需要细心和耐心.30.【2023高考北京，理19】椭圆：的离心率为，点和点都在椭圆上，直线交轴于点．〔Ⅰ〕求椭圆的方程，并求点的坐标〔用，表示〕；〔Ⅱ〕设为原点，点与点关于轴对称，直线交轴于点．问：轴上是否存在点，使得？假设存在，求点的坐标；假设不存在，说明理由．【答案】(1),,(2)存在点考点：1.求椭圆方程；2.求直线方程及与坐标轴的交点；3.存在性问题.【名师指点】此题考查直线和椭圆的有关知识及解存在性命题的方法，此题属于中偏难问题，思维量和运算量均有，利用待定系数法求出椭圆方程，利用直线方程的斜截式写出直线方程，求出点M、N的坐标，利用直角三角形内锐角三角函数正切定义求出，根据二者相等，解出Q点坐标，说明存在点符合条件的点Q.【2023高考湖南，理20】抛物线的焦点也是椭圆的一个焦点，与的公共弦的长为.〔1〕求的方程；〔2〕过点的直线与相交于，两点，与相交于，两点，且与同向〔ⅰ〕假设，求直线的斜率〔ⅱ〕设在点处的切线与轴的交点为，证明：直线绕点旋转时，总是钝角三角形【答案】〔1〕；〔2〕〔i〕，〔ii〕详见解析.【解析】试题分析：〔1〕根据条件可求得的焦点坐标为，再利用公共弦长为即可求解；〔2〕〔i〕设直线的斜率为，那么的方程为，由得，根据条件可知，从而可以建立关于的方程，即可求解；〔ii〕根据条件可说明，因此是锐角，从而是钝角，即可得证试题解析：〔1〕由：知其焦点的坐标为，∵也是椭圆的一焦点，∴①，又与的公共弦的长为，与都关于轴对称，且的方程为，由此易知与的公共点的坐标为，∴②，联立①，②，得，，故的方程为；〔2〕如图，，，，，〔i〕∵与同向，且，∴，从而，即，于是③，设直线的斜率为，那么的方程为，由得，而，是这个方程的两根，∴，④，由得【考点定位】1.椭圆的标准方程及其性质；2.直线与椭圆位置关系.【名师指点】此题主要考查了椭圆的标准方程及其性质以及直线与椭圆的位置关系，属于较难题，解决此类问题的关键：〔1〕结合椭圆的几何性质，如焦点坐标，对称轴，等；〔2〕当看到题目中出现直线与圆锥曲线时，不需要特殊技巧，只要联立直线与圆锥曲线的方程，借助根与系数关系，找准题设条件中突显的或隐含的等量关系，把这种关系“翻译〞出来，有时不一定要把结果及时求出来，可能需要整体代换到后面的计算中去，从而减少计算量.【202