江苏省南京市高三下学期5月模拟数学试题

2022届江苏省南京市高三下学期5月模拟数学试题一、单选题1．已知R为实数集，集合A＝{x∈Z||x|≤1}，B＝{x|2x－1≥0}，则A∩（）＝（

）A．{－1，0} B．{0，1} C．{－1，0，1} D．【答案】A【分析】根据集合补集和交集的定义，结合解绝对值不等式的公式法进行求解即可.【详解】因为，，所以，故选：A2．已知i为虚数单位，复数z满足z（1－i）＝4－3i，则|z|＝（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用复数模的运算律求解.【详解】解：因为，所以，故选：D3．为庆祝中国共青团成立100周年，某校计划举行庆祝活动，共有4个节目，要求A节目不排在第一个，则节目安排的方法数为（

）A．9 B．18 C．24 D．27【答案】B【分析】由于A节目有特殊要求，所以先安排A节目，再安排其它的节目，从而即可求解.【详解】解：由题意，先从后面3个节目中选择一个安排A节目，然后其它3个节目任意排在剩下的3个位置，共有种方法，故选：B.4．函数的部分图象大致是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】通过奇偶性可排除A，通过零点及特值可排除BD，即得结果.【详解】函数的定义域为，关于原点对称，所以为奇函数排除A，又排除B，当，，排除D；故选：C.5．我们知道，任何一个正整数N可以表示成N＝a×10n（1≤a＜10，n∈Z），此时lgN＝n＋lga（0≤lga＜1）．当n≥0时，N是一个n＋1位数．已知lg5≈0.69897，则5100是（

）位数．A．71 B．70 C．69 D．68【答案】B【分析】运用代入法直接进行求解即可.【详解】，则其为70位数，故选：B6．（1＋x）4（1＋2y）a（a∈N）的展开式中，记xmyn项的系数为f（m，n）．若f（0，1）＋f（1，0）＝8，则a的值为（

）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】C【分析】利用二项展开式求出对应的项，列出方程求解即可.【详解】展开式中含的项为，含的项为，，∴，故选：C7．已知函数f（x）＝Asin（ωx＋φ）（A＞0，ω＞0，）的图象与y轴的交点为M（0，1），与x轴正半轴最靠近y轴的交点为N（3，0），y轴右侧的第一个最高点与第一个最低点分别为B，C．若△OBC的面积为（其中O为坐标原点），则函数f（x）的最小正周期为（

）A．5 B．6 C．7 D．8【答案】D【分析】根据△OBC的面积可求得A，结合题中已知根据三角函数的性质可求得解析式，进而求得最小正周期.【详解】如下图，，，，，∴，，∴，，，，∴，故选：D．8．已知，若∀x≥1，f（x＋2m）＋mf（x）＞0，则实数m的取值范围是（

）A．（－1，＋∞） B．C．（0，＋∞） D．【答案】B【分析】分和进行分类讨论，分别确定m的取值范围，最后综合得答案.【详解】时，，符合题意；时，，即显然在R上递增，则对恒成立对恒成立则：；综上，，故选：B．二、多选题9．设，a∈R，则下列说法正确的是（

）A．B．“a＞1”是“”的充分不必要条件C．“P＞3”是“a＞2”的必要不充分条件D．a∈（3，＋∞），使得P＜3【答案】BC【分析】根据双勾函数的单调性，逐一分析，即可求解.【详解】解：A错误，当时，显然有P小于0B正确，时，，故充分性成立，而只需即可；C正确，可得或，当时成立的，故C正确；D错误，因为有，故D错误；故选：BC.10．在平面直角坐标系中，已知圆：，则下列说法正确的是（

）A．若，则点在圆外B．圆与轴相切C．若圆截轴所得弦长为，则D．点到圆上一点的最大距离和最小距离的乘积为【答案】ABD【分析】选项A，根据点与圆的位置关系判断即可；选项B，根据直线与圆相切的定义判断即可；选项C，根据圆的弦长公式求解即可；选项D，根据分和两种情况即可判断.【详解】对于A，因为时，将原点代入圆方程可得，故点在圆外，故A正确；对于B，圆化为标准方程即为，则圆心，，显然圆心到轴距离为等于半径，所以相切，故B正确；对于C，对根据题意，，解得，解得所以圆截轴所得弦长为，则，故C不正确；对于D，当时，圆：，所以点在圆上，显然最小值为，最大值为，故乘积且等于；当时，由选项A知，点在圆外，，所以最大值为，最小值为，乘积为，故D正确.故选：ABD.11．连续抛掷一枚质地均匀的硬币3次，每次结果要么正面向上，要么反面向上，且两种结果等可能．记事件A表示“3次结果中有正面向上，也有反面向上”，事件B表示“3次结果中最多一次正面向上”，事件C表示“3次结果中没有正面向上”，则（

）A．事件B与事件C互斥B．C．事件A与事件B独立D．记C的对立事件为，则【答案】BCD【分析】对A，根据事件B包含事件C判断即可；对B，根据概率的性质，用1减去全为正面和全为反面的情况概率即可；对C，根据相互独立事件的公式判断即可；对D，先求得，再利用条件概率公式求解即可【详解】选项A：显然B发生的情况中包含C，故可同时发生，错误；选项B：，正确；选项C：，故A与B独立，正确；选项D：，，正确；故选：BCD．12．在一个圆锥中，D为圆锥的顶点，O为圆锥底面圆的圆心，P为线段DO的中点，AE为底面圆的直径，是底面圆的内接正三角形，，则下列说法正确的是（

）A．BE∥平面PACB．PA⊥平面PBCC．在圆锥侧面上，点A到DB中点的最短距离为D．记直线DO与过点P的平面α所成的角为θ，当时，平面α与圆锥侧面的交线为椭圆【答案】BD【分析】根据线面平行的判定定理，结合题意，即可判断A的正误；根据线面垂直的判定、性质定理，结合勾股定理，可判断B的正误；根据圆锥侧面展开图，分析计算，可判断C的正误；根据圆锥曲线的定义，可判断D的正误，即可得答案.【详解】对于A：假设BE∥平面PAC，因为平面，平面平面，所以，由题意得BE不与AC平行，所以假设不成立，则BE不平行平面PAC，故A错．对于B：因为平面ABC，平面ABC，所以，又AE为底面圆的直径，正三角形，所以，又，所以平面PAO，所以，又因为，所以，则，所以，所以，同理，，所以，所以，因为，所以平面PBC，故B正确．对于C：将侧面铺平展开得其中，底面圆周长所以，则，所以A到DB中点的最短距离为图中AM，若时，由余弦定理可得，因为，所以，故C错．对于D:设圆锥顶角为，则，因为，由截曲线知，平面与圆锥侧面的交线为椭圆，故D正确．故选：BD【点睛】解题的关键是熟练掌握圆锥的几何性质，并灵活应用，难点在于作出图象，分析并求解各个长度，再结合圆锥曲线的定义，进行求解，属中档题.三、填空题13．在平面直角坐标系xOy中，P是直线3x＋2y＋1＝0上任意一点，则向量与向量＝（3，2）的数量积为__________．【答案】【分析】设，利用数量积的坐标运算求解.【详解】解：设，因为P是直线3x＋2y＋1＝0上任意一点，所以，故答案为：-114．写出一个同时具有下列性质（1）（2）（3）的数列的通项公式：__________．（1）数列是无穷等比数列；（2）数列不单调；（3）数列单调递减．【答案】（答案不唯一）【分析】根据数列需要满足的条件，可写出答案.【详解】由题意可得，满足（1）数列是无穷等比数列；（2）数列不单调；（3）数列单调递减，故答案为：15．在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C1与双曲线C2共焦点，双曲线C2实轴的两顶点将椭圆C1的长轴三等分，两曲线的交点与两焦点共圆，则双曲线C2的离心率为__________．【答案】【分析】先利用椭圆和双曲线的定义得到，，再根据两曲线的交点与两焦点共圆，利用勾股定理求解.【详解】不妨设焦点，在x轴上，两者在第一象限的公共点为P，设的实半轴长为a，则的长半轴长为3a，半焦距为c，设，，则，由题意知：P在为直径的圆上，所以，解得：．故答案为：四、双空题16．19世纪，美国天文学家西蒙·纽康在翻阅对数表时，偶然发现表中以1开头的数出现的频率更高．约半个世纪后，物理学家本福特又重新发现这个现象，从实际生活得出的大量数据中，以1开头的数出现的频率约为总数的三成，接近期望值的3倍，并提出本福特定律，即在大量b进制随机数据中，以n开头的数出现的概率为，如斐波那契数、阶乘数、素数等都比较符合该定律．后来常有数学爱好者用此定律来检验某些经济数据、选举数据等大数据的真实性．根据本福特定律，在某项大量经济数据（十进制）中，以6开头的数出现的概率为______；若,，则k的值为__________．【答案】

5【分析】第一空，将代入即可求得答案；第二空，根据得到的表达式，结合的值可得方程，解得答案.【详解】由题意可得：（1）（2），而，故，则．故答案为：五、解答题17．在△ABC中，记角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知．(1)求A；(2)若，，求sin∠ADC．【答案】(1)(2)【分析】（1）根据正弦定理的边角转化，进而能求得;（2）根据已知，可以确定各个角的三角函数值，进而求得与的关系，就能求得sin∠ADC．【详解】(1)由正弦定理有，所以，又，则有；(2)如下图，由，则，所以，可知，设，所以，则有，所以，又，所以，又有，所以．18．已知数列的前项和为，．从下面①②③中选取两个作为条件，剩下一个作为结论．如果该命题为真，请给出证明；如果该命题为假，请说明理由．①；②为等差数列；③．注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分．【答案】答案见解析【分析】选①②作为条件，可得，即可求出和，进而得到③.选①③作为条件，可得，即可得到，进而得到②选②③作为条件，可得，，进而得到①【详解】解：选①②作为条件，③作为结论由，，，所以，则有，，所以可知，则有，得故可知，又符合，所以，则有．选①③作为条件，②作为结论由当为奇数，当为偶数，故，是以公差为，首项为的等差数列选②③作为条件，①作为结论为等差数列，，即19．如图1，在平行四边形ABCD中，AB＝2，，∠ABC＝30°，AE⊥BC，垂足为E．以AE为折痕把△ABE折起，使点B到达点P的位置，且平面PAE与平面AECD所成的角为90°（如图2）．(1)求证：PE⊥CD；(2)若点F在线段PC上，且二面角F－AD－C的大小为30°，求三棱锥F－ACD的体积．【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）根据平面PAE与平面AECD所成的角为90°，得到平面平面AECD，进而得到平面AECD即可；（2）由平面AECD，和，得到EA，EC，EP两两垂直，则以E为坐标原点，分别以EA，EC，EP为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，设，求得平面AFD的一个法向量，平面ACD的一个法向量，根据二面角F-AD-C为30°，由，求得即可.【详解】(1)∵平面PAE与平面AECD所成的角为90°，∴平面平面AECD，平面平面，又，平面PAE，∴平面AECD，平面AECD，∴．(2)∵平面AECD，∴，，又∵，∴EA，EC，EP两两垂直，以E为坐标原点，分别以EA，EC，EP为x，y，z轴，建立如图所示空间直角坐标系E-xyz，Rt△ABE中，，，∴，，则，∴，，，，设，∴，∴，设平面AFD的一个法向量为，，，则，∴，不妨设，则，，∴，∵y轴⊥平面ACD，∴平面ACD的一个法向量∵二面角F-AD-C为30°，∴，即，∴，∴，∴F到平面AECD的距离，，∴．20．空气质量指数AQI与空气质量等级的对应关系如下：空气质量指数AQI空气质量等级[0，50]优（50，100]良（100，150]轻度污染（150，200]中度污染（200，300]中度污染（300，＋）严重污染下列频数分布表是某场馆记录了一个月（30天）的情况：空气质量指数AQI[0，50]（50，100]（100，150]（150，200]频数（单位：天）36156(1)利用上述频数分布表，估算该场馆日平均AQI的值；（同一组中的数据以这组数据所在区间的中点值作代表）7≈0.0824，结果精确到0.01）(3)为提升空气质量，该场馆安装了2套相互独立的大型空气净化系统．已知每套净化系统一年需要更换滤芯数量情况如下：更换滤芯数量（单位：个）345概率0．20．30．5已知厂家每年年初有一次滤芯促销活动，促销期内每个滤芯售价1千元，促销期结束后每个滤芯恢复原价2千元．该场馆每年年初先在促销期购买n（n≥8，且n∈N）个滤芯，如果不够用，则根据需要按原价购买补充．问该场馆年初促销期购买多少个滤芯，使当年购买滤芯的总花费最合理，请说明理由．（不考虑往年剩余滤芯和下一年需求）【答案】(1)115(3)买9个最划算，理由见解析【分析】（1）法一：直接根据平均数的求解方法计算；法二：根据频率进行计算（2）易得空气质量等级达到优或良的概率为，再根据二项分布，利用其对立事件的概率求解即可；（3）分别计算每年年初先在促销期购买n个滤芯的总花费数学期望比较大小即可【详解】(1)法一：；法二：(2)一个月30天中达到优或良的天数为9，空气质量等级达到优或良的概率为，∴未来一周（7天）中该场馆至少有两天空气质量达到优或良的概率为；(3)法一：需要更换的滤芯个数X的所有可能取值为6，7，8，9，10，，，，，∴更换滤芯个数X的期望为：个若购买8个，则总花费为元，若购买9个，则总花费为9000元，∵，故应购买9个最合理．法二：按照这个数据，每年需要6到10个滤芯，也就是，9，10，而需求假设为Z，会有；；那么当时，会有花费的分布为均值同理算出，故此买9个最划算．21．已知函数＝（x2－x＋1）ex－3，，e为自然对数的底数．(1)求函数的单调区间；(2)记函数在（0，＋∞）上的最小值为m，证明：e＜m＜3．【答案】(1)单调递增区间为，，单调递减区间；(2)证明见解析.【分析】（1）求导，利用导数求函数的单调区间即得解；（2）求导得到，再求出，再对分类讨论得证.【详解】(1)解：，，，单调递增；，，单调递减；，，单调递增；单调递增区间为，，单调递减区间.(2)解：，，①