河南省豫北名校联盟高三上学期精英对抗赛文数试题

名校联盟高三年级精英对抗赛数学（文科）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.函数的定义域为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据函数解析式，写出自变量满足的条件，即可求解.【详解】要使函数有意义，则，解得且，所以函数定义域.故选A【点睛】本题主要考查了给出解析式的函数的定义域，属于中档题.2.复数（为虚数单位）所对应的的点位于复平面内A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限【答案】B【解析】【分析】先做除法运算，再根据复数的几何意义判断.【详解】因，故选：B.3.如果执行如图所示的程序框图，输入正整数和实数，，…，，输出，，则（）A.+为，，…，的和B.为，，…，的算术平均数C.和分是，，…，中最大的数和最小的数D.和分是，，…，中最小的数和最大的数【答案】C【解析】【详解】试题分析：由程序框图可知，该程序的作用是将最大的数赋值给，最小的数赋值给，故选项正确.考点：算法与程序框图.4.设a，b∈R，则“log2a＞log2b”是“2a－b＞1”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】先化简已知条件，再利用充要条件的集合法来判断充要性.【详解】log2a＞log2b⇔a＞b＞0,2a－b＞1⇔a＞b，所以“log2a＞log2b”是“2a－b＞1”的充分不必要条件．故选A.【点睛】(1)本题主要考查充要条件的判断，考查指数对数函数的单调性，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2)判断充要条件，首先必须分清谁是条件，谁是结论，然后利用定义法、转换法和集合法来判断.（3）利用集合法判断充要条件，首先分清条件和结论；然后化简每一个命题，建立命题和集合的对应关系.，；最后利用下面的结论判断：①若,则是的充分条件，若，则是的充分非必要条件；②若,则是的必要条件，若，则是的必要非充分条件；③若且，即时，则是的充要条件.5.函数的图象向右平移后关于轴对称，则满足此条件的值为A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】【详解】函数图象向右平移个单位长度后得到为偶函数，故，结合可得.选C6.已知实数满足不等式组,若目标函数的最大值不超过4,则实数m的取值范围是A. B. C. D.[【答案】D【解析】【详解】【分析】将化为,作出可行域和目标函数基准直线(如图所示),当直线将左上方平移时,直线在轴上的截距增大,由图象,得当直线过点时,取得最大值,联立,得,则,解得;故选D.点睛：线性规划的实质是把代数问题几何化，即数形结合的思想.需要注意的是：一、准确无误地作出可行域；二、画标准函数所对应的直线时，要注意与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错；三、一般情况下，目标函数的最大或最小会在可行域的端点或边界上取得.7.已知函数，当时，的概率为A. B.C. D.【答案】D【解析】【详解】试题分析：，因为,所以，由可得，所以所求概率为,故选D.考点：几何概型与正弦函数的值域.8.已知是定义域为的单调函数，且对任意实数，都有，则的值为（）A.0 B. C. D.1【答案】B【解析】【分析】令，可以求得，即可求出解析式，进而求出函数值.【详解】根据题意，令，为常数，可得，且，所以时有，将代入，等式成立，所以是的一个解，因为随的增大而增大，所以可以判断为增函数，所以可知函数有唯一解，又因为，所以，即，所以.故选：B.【点睛】本题主要考查函数的单调性和函数的表示方法，属于中档题.9.已知的外接圆半径为1，圆心为点，且，则的面积为A. B. C. D.【答案】C【解析】【详解】试题分析：由变形可得,即,所以,由变形可得,故,所以,同理可得:,所以,选D.考点：向量的运算和余弦定理及三角形面积公式的应用．及,不厌其烦的运用完全平方公式进行了三次两边平方,再运用余弦定理将三边分别算出来,最后再借助三角形的面积公式求出其面积.值得提出的是本题的难点是如何探寻到解决问题的思路,很难将面积问题与一个不相干的向量等式进行联系,在这里两边平方是解决本题的突破口.10.设函数，若为函数的一个极值点，则下列图像不可能为的图像是A. B.C. D.【答案】D【解析】【详解】，令则，因为为函数的一个极值点，所以是的一个根，即于是，，则故A、B可能；对于D，，，则，与图矛盾，不可能，故选D11.正项等比数列中，存在两项使得，且，则的最小值是A. B.2 C. D.【答案】A【解析】【详解】试题分析：由得解得，再由得，所以，所以.考点：数列与基本不等式.【思路点晴】本题主要考查等比数列的基本元思想，考查基本不等式.第一步是解决等比数列的首项和公比，也即求出等比数列的基本元，在求解过程中，先对具体的数值条件进行化简，可求出，由此化简第一个条件，可得到；接下来第二步是基本不等式常用的处理技巧，先乘以一个常数，再除以这个常数，构造基本不等式结构来求.12.已知是定义在上的函数，其导函数为，若，，则不等式（其中为自然对数的底数）的解集为A. B.C. D.【答案】B【解析】【详解】试题分析：构造函数，则，故函数在上单调递增，又因为，所以成立，当且仅当，因此不等式的解集为，故选B.考点：1.导数与函数的单调性；2.函数与不等式.【名师点睛】本题考查.导数与函数的单调性、函数与不等式，属难题.导数在不等式中的应用是每年高考的必考内容，通常通过构造函数，利用导数讨论函数的单调性，求出最值或极值、特殊点的值，从而得到不等式，解出相应的参数值或求出不等式的解集.二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知向量，向量，则_____________.【答案】【解析】【详解】由向量，则，所以14.已知，则不等式的解是__________．【答案】或【解析】【详解】设.则可化为.于是，等价于，由及是关于的一次函数，可知应满足.解得或.15.若某多面体的三视图如图所示（单位：）则此多面体的体积是____________.【答案】【解析】【详解】解根据三视图得该几何体是由棱长为1cm的正方体ABCD﹣EFGH、沿相邻三个侧面的对角线截去一个三棱锥E﹣AFH得到一个多面体(如图所示)，所以此多面体的体积V=（cm3）.故填.点睛：本题的难点在从三视图找到几何体的原图，一般利用模型法找到几何体的原图.16.已知圆，若直线上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆有公共点，则实数的取值范围为______________.【答案】【解析】【详解】将圆的方程整理为标准方程得：，

∴圆心，半径，

∵直线上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆有公共点，

∴只需圆与有公共点，

∵圆心到直线的距离解得：故答案为.点睛：此题考查了直线与圆的位置关系，涉及的知识有：圆的标准方程，点到直线的距离公式，其中当时，直线与圆相交；当时，直线与圆相离；当时，直线与圆相切（为圆心到直线的距离，为圆的半径）．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.已知各项均不相等的等差数列的前五项和，且成等比数列.（1）求数列的通项公式；（2）若为数列的前项和，且存在，使得成立，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】【详解】试题分析：（1）用基本量法，即用表示已知条件，列出方程组，求出即可求数列的通项公式；（2）用裂项相消法求数列的前项和，列出不等式参变分离得，由基本不等式求的最小值即可.试题解析：（1）设数列的公差为，则即又因为，所以所以.（2）因为，所以.因为存在，使得成立，所以存在，使得成立，即存在，使成立.又，（当且仅当时取等号），所以.即实数的取值范围是.考点：1.等差数列的定义与性质；2.裂项相消法求数列的和；3.基本不等式；4.数列与不等式.【名师点睛】本题考查等差数列的定义与性质、裂项相消法求数列的和、基本不等式、数列与不等式相关知识，属中档题；解决数列性质与求和问题，基本量法是最通用的方法，本题在考查通性通法的同时，突出考查思维能力、代数推理能力、分析问题解决问题的能力.18.《中国好声音（）》是由浙江卫视联合星空传媒旗下灿星制作强力打造的大型励志专业音乐评论节目，于2012年7月13日在浙江卫视播出.每期节目有四位导师参加.导师背对歌手，当每位参赛选手演唱完之前有导师为其转身，则该选手可以选择加入为其转身的导师的团队中接受指导训练.已知某期《中国好声音》中，6位选手唱完后，四位导师为其转身的情况如下表所示：导师转身人数（人）4321获得相应导师转身的选手人数（人）1221现从这6位选手中随机抽取两人考查他们演唱完后导师的转身情况.（1）请列出所有的基本事件；（2）求两人中恰好其中一位为其转身的导师不少于3人，而另一人为其转身的导师不多于2人的概率.【答案】（1）所有的基本事件见解析；（2）.【解析】【分析】（1）设位选手中，有4位导师为其转身，有3位导师为其转身，有2位导师为其转身，只有1位导师为其转身，一一列出基本事件共有即可；（2）在（1）所列基本事件中找出事件“两人中恰好其中一位为其转身的导师人数不少于3人，而另一人为其转身的导师不多于2人”所包含的基本事件共个，即可计算其概率.【小问1详解】设6位选手中，有4位导师为其转身，有3位导师为其转身，有2位导师为其转身，只有1位导师为其转身.则所有的基本事件有共15个.【小问2详解】事件“两人中恰好其中一位为其转身的导师人数不少于3人，而另一人为其转身的导师不多于2人”所包含的基本事件有：共9个，故所求概率为.19.如图，在直三棱柱中，是的中点.（1）证明：平面；（2）若，求证：.【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）连接，交于点，连结.由直三棱柱性质知为的中点，则.结合线面平行的判定定理可得平面；（2）等腰三角形三线合一，则.由直三棱柱的性质结合线面垂直的性质定理可得，结合线面垂直的判断定理可得平面，故.【小问1详解】如图，连接，交于点，连结.据直三棱柱性质知四边形为平行四边形，所以为的中点.又因为是的中点，所以.又因为平面，平面，所以平面【小问2详解】因为，为的中点，所以.据直三棱柱性质知平面，又因为平面，所以.又因为，平面，所以平面，又因为平面，所以，即.20.已知点是椭圆上任一点，点到直线的距离为，到点的距离为，且.直线与椭圆交于不同两点（都在轴上方），且.（1）求椭圆的方程；（2）当为椭圆与轴正半轴的交点时，求直线方程；（3）对于动直线，是否存在一个定点，无论如何变化，直线总经过此定点？若存在，求出该定点的坐标；若不存在，请说明理由.【答案】(1)(2)（3）直线总经过定点【解析】【详解】（1）设，则，化简得：椭圆C的方程为：（2），，（3分）代入得：，，代入得，，（3）解法一：由于，．设设直线方程：，代入得：（3分），直线方程：直线总经过定点解法二：由于，所以关于x轴的对称点在直线上．设设直线方程：，代入得：，，令，得：，直线总经过定点考点：轨迹法求椭圆方程，直线与椭圆位置关系21.已知函数在点处的切线与直线垂直.（1）若函数在区间上存在极值，求实数的取值范围；（2）求证：当时，.【答案】（1）；（2）证明见解析.【解析】【详解】试题分析：（1）根据导数的几何意义求出在处的切线斜率，求得的值，求出的极值点，列出参数的不等式组，即可求得实数的取值范围；（2）当时，，整理得，可设，，证明的最小值大于的最大值.试题解析：（1）因为，所以，得，所以，得，得，（）．当时，，为增函数；当时，，为减函数，所以函数仅当时，取得极值．又函数在区间上存在极值，所以，所以，故实数的取值范围为．（2）当时，，即为，令，则，再令，则，又因为，所以，所以在上是增函数，又因为，所以当时，，所以在区间上是曾函数，所以当时，，故．令，则．因为，所以．当时，，故函数在区间上是减函数，又，所以当时，，即得，即．考点：导数的几何意义，利用导数研究函数的极值、最值.【方法点睛】本题主要考查了导数的几何意义，利用导数研究函数的极值、最值，考查了考生的转化能力和利用所学知识解决问题的能力，属于中档题.本题解答时，先通过导数的几何意义求出待定系数的值，求出导函数的变号零点列出不等式即可；解答的难点是第二问中把根据证明的不等式合理构造两个函数，，通过求它们的最值达到证明不等式的目的.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.选修4-4：坐标系与参数方程22.在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数）.（1）求曲线的普通方程；（2）经过点（平面直角坐标系中点）作直线交曲线于，两点，若恰好为线段的中点，求直线的斜率.【答案】(1)(2)【解析】【详解】（1）由曲线的参数方程，得，