河南省平顶山市许昌市汝州市九校联盟高三下学期押题信息卷（二）数学（文）试题

2022届河南省平顶山市、许昌市、汝州市九校联盟高三下学期押题信息卷（二）数学（文）试题一、单选题1．设全集，，，则（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】首先用列举法表示全集，再根据补集、交集的定义计算可得；【详解】解：，由，可得，所以．故选：B．2．复数满足，则（

）A． B． C． D．103【答案】C【分析】先求出复数，再求其模即可【详解】由，得，所以．故选：C．3．设，则“”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】B【分析】根据充分必要条件的定义判断．【详解】由，得，解得．由可得．由推不出，由能推出，故“”是“”的必要而不充分条件，即“”是“”的必要不充分条件．故选：B．4．若函数则（

）A．10 B．9 C．12 D．11．【答案】A【分析】当时，利用迭代式即可求出，又由即可求解.【详解】当时，，所以．故选：A.5．已知，是两条直线，，，是三个平面，则下列说法错误的是（

）A．若，，则 B．若，，则C．若，，则 D．若，，则【答案】B【分析】由直线、平面的位置关系判断即可.【详解】A选项，面面平行具有传递性，故A选项正确；B选项，若，，则可能包含于，故B选项错误；C选项，若，，则，故C选项正确；D选项，根据面面垂直的判定定理可知D选项正确．故选：B．6．执行如图所示的程序框图，则输出的值为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据循环结构，计算每次循环的过程，结果，直至退出循环，即可计算结果.【详解】由程序框图知，，；，；，；，；，，此时不满足条件，跳出循环，输出的值为．故选：D．7．设，，，则，，的大小关系为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据题意得到，，即可得到答案.【详解】函数在上单调递增，则，所以.函数在上单调递减，则，所以．故选：C8．将函数的图象向左平移个单位长度，再将所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，得到函数的图象，则函数的一个解析式（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】逆向：的图像的图像【详解】将函数的图象上所有点的横坐标扩大到原来的4倍，纵坐标不变，得到，再将函数的图象向右平移个单位长度，得到．故选：D9．2019年版第五套人民币1元硬币保持1999年版第五套人民币1元硬币外形、外缘特征、“中国人民银行”行名、汉语拼音面额、人民币单位、花卉图案、汉语拼音行名等要素不变，调整了正面面额数字的造型，背面花卉图案适当收缩，直径由25毫米调整为22.25毫米，正面面额数字“1”轮廓线内增加隐形图文“￥”和“1”，边部增加圆点，材质保持不变．为了测算如图所示的直径为22.25毫米的圆形币中花卉图案的面积，进行如下实验，即向该圆形币内随机投掷100个点，若恰有33个点落在花卉图案上，则据此可估算花卉图案的面积是（

）（单位：平方毫米）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据已知可得圆的面积以及花卉图案的占比，再利用面积型的几何概型的计算公式可估算卉图案的面积.【详解】设花卉图案的面积为，则由题意可得，解得．故选A．10．设，，在平面直角坐标系内，点为角终边上任意一点，则的一个对称中心为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】首先根据三角函数变换，求，再设，利用三角函数的对称性，即可求解.【详解】根据已知得到，，所以，又因为，所以，所以点．不妨取，所以，令，，，，所以对称中心为，，当时，函数的一个对称中心是故选：A11．已知抛物线的焦点为F，过点F且斜率为的直线l交C于A，B两点，以线段AB为直径的圆交y轴于M，N两点，设线段AB的中点为D，若点F到C的准线的距离为4，则（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由题意得到抛物线C的方程为，联立方程组消去y得，根据韦达定理以及弦长公式得到：，，因为.进而得到余弦值.【详解】因为点F到C的准线的距离为4，所以，则抛物线C的方程为.设，，联立方程组消去y得，所以，，从而.设以线段AB为直径的圆的半径为r，则，又，所以，从而.故选：D.12．已知a为常数，函数有两个极值点，则（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】由题意，函数有两个极值点，等价于有两个解，即与有两个交点，结合图象，得，得，构造函数，利用单调性得．【详解】解：求导得：，由函数有两个极值点，等价于有两个解，即与有两个交点，得在点处的切线为．当时，直线与曲线交于不同两点如下图，且，．，令，则，所以单调递增，，即．故选：C．二、填空题13．已知向量，，若，则实数_____________．【答案】【分析】利用平面向量共线的坐标表示可求得实数的值.【详解】因为，所以，解得．故答案为：.14．已知双曲线的两条渐近线所夹锐角为，则双曲线的离心率为_____________．【答案】【分析】根据渐近线方程的斜率得到渐近线与轴夹角小于，由，得，从而求出离心率【详解】由于，双曲线的渐近线方程为，，所以双曲线的渐近线与轴夹角小于，由，得，则双曲线的离心率．故答案为：15．在中，，，分别是角，，的对边若，，，则外接圆的半径为_____________．【答案】【分析】利用正弦定理角化边求出，再根据余弦定理求出，进而求出外接圆半径.【详解】由正弦定理得，，，由余弦定理得，解得．又，所以外接圆半径．故答案为：.16．现为一球形水果糖设计外包装，要求外包装是全封闭的圆锥形，若该水果糖的半径为1cm，则所需外包装材料面积的最小值是_____．【答案】【分析】求解本题的关键点有三个：①根据题意得到圆锥的母线长与底面半径的关系；②利用换元法化简面积的表达式；③利用基本不等式求最小值．【详解】要使所需外包装材料的面积最小，则水果糖与圆锥形外包装内切．如图为圆锥与水果糖的轴截面示意图，设圆锥的母线长为l，底面半径为r，则，得，∴外包装材料面积，设，则，，当且仅当，即时取等号．故答案为：8π三、解答题17．某高校从大三学生中随机抽取100名小语种学生，将其参加考试的小语种成绩（均为整数）分成六组后，得到如图频率分布直方图，已知．(1)求，的值；(2)根据频率分布直方图，估计样本中100名大三小语种学生的小语种成绩的众数、中位数（结果保留到0.1）．【答案】(1)【分析】（1）由各组的频率和为1列方程，结合可求出，的值；（2）由频率分布直方图可知第4组的数最多，从而可求出众数，由于交3组的频率和小于，前4组的频率和大于，所以可知中位数在第4组，设中位数为分，则有，从而可求出中位数【详解】(1)由题意，解得(2)由频率分布直方图可知众数为75分．由（1）知，因为前3组的频率和为，前4组的频率和为，所以中位数在内，设中位数为分，则有，解得所以样本中100名大三小语种学生的小语种成绩的众数为75分，中位数为73.3分．18．如图，四棱柱的底面是矩形，平面，，，E，M，N分别是的中点．(1)证明：平面；(2)求点C到平面的距离．【答案】(1)证明过程见解析(2)【分析】（1）作出辅助线，构造平行四边形证明线线平行，进而证明线面平行；（2）等体积法求解点面距离.【详解】(1)连接，，因为E，M分别是的中点，所以是△的中位线，所以∥，且，四棱柱中∥CD，且，所以四边形是平行四边形，所以∥，＝，又因为N是的中点，所以所以，且∥，所以四边形是平行四边形，所以∥DE，又平面，平面，所以平面(2)因为，，E是BC的中点，所以，因为四边形ABCD是矩形，所以，因为平面，所以，且因为平面，所以CD，CE，由勾股定理得：，且，取DE中点Q，连接，由三线合一得：，由勾股定理得：，所以，设点C到平面的距离为，则，解得：19．已知等差数列的前项和为，，．(1)求数列的通项公式；(2)若对恒成立，求实数的取值范围．【答案】(1)(2)【分析】（1）由求和公式结合通项公式列出方程组，求解得出数列的通项公式；（2）由结合求和公式得出对恒成立，再由的单调性得出的取值范围.【详解】(1)设等差数列的公差为．由得解得故．(2)因为，所以即对恒成立．设，，则，当时，；当时，；当且时，，所以．综上，的取值范围为．20．已知椭圆：的左、右焦点分别为，，过点的直线与椭圆相交于，两点（异于椭圆长轴顶点），的周长为．(1)求椭圆的标准方程；(2)求（为坐标原点）面积的最大值，并求此时直线的方程．【答案】(1)；(2)面积最大值，直线的方程是或.【分析】（1）根据给定条件，结合椭圆的定义求解作答.（2）设出直线l的方程，与椭圆C的方程联立，结合韦达定理求出面积的函数关系，借助均值不等式求解作答.【详解】(1)依题意，椭圆半焦距，因的周长为，由椭圆定义有，解得，而，所以椭圆的标准方程是.(2)显然直线不垂直于坐标轴，设直线的方程为，由消去并整理得：，而，即，设，，则，，则，于是得，当且仅当，即时取“=”，所以当时，面积取最大值，此时直线的方程是或．【点睛】结论点睛：过定点的直线l：y=kx+b交圆锥曲线于点，，则面积；过定点直线l：x=ty+a交圆锥曲线于点，，则面积.21．已知函数．(1)讨论函数的单调性；(2)若，且在区间上有且只有一个极值点，求的取值范围．【答案】(1)答案见解析；(2).【分析】（1）求出导函数，分类讨论判断函数的单调性即可.（2）求出，令，则，要使在区间上有且只有一个极值点，即在上有且只有一个零点，且在该零点两侧异号，分类讨论即可求出的取值范围.【详解】(1)函数的定义域为，，当时，令，得；令，得或，故函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增；当时，令，得或；令，得，故函数在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减；当时，在上单调递减，在上单调递增．(2)，其定义域为，，令，则，当时，在恒成立，故在上是增函数，而，故当时，恒成立，在区间上单调递增，此时在区间上没有极值点；当时，令，解得，故在上是增函数，在上是减函数，①当，即时，在上有且只有一个零点，且在该零点两侧异号，②令，得，不可能；③令，得，所以．而，又，所以在上有且只有一个零点，且在该零点两侧异号．综上所述，的取值范围是．【点睛】结论点睛：可导函数y＝f(x)在点处取得极值的充要条件是，且在x0左侧与右侧f′(x)的符号不同．22．在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．(1)求直线的普通方程和曲线的直角坐标方程；(2)若为曲线上的动点，求点到直线的距离的最大值．【答案】(1)；(2)【分析】（1）对于直线方程，消参即可，对于极坐标方程代入公式整理即可；（2）点到直线的距离的最大值为圆心到直线的距离加上半径.【详解】(1)由得，故直线的普通方程是．由，代入公式得，故曲线的直角坐标方程是．(2)方法一：的直角坐标方程为，曲线：化为标准方程是，圆心到直线的距离为，则点到直线的距离的最