二次曲线的一般理论

关于二次曲线的一般理论第1页，课件共45页，创作于2023年2月§5.2二次曲线的渐近方向、中心、渐近线1.二次曲线的渐近方向

定义5.2.1

满足条件Φ(X,Y)=0的方向X:Y叫做二次曲线的渐近方向，否则叫做非渐近方向。事实上，为渐近方向第2页，课件共45页，创作于2023年2月事实上，为渐近方向第3页，课件共45页，创作于2023年2月可见，对椭圆，∵对双曲线∴它有二不同实渐近方向；∴它有二相同的实渐近方向；，∵，∵∴它没有实渐近方向；对抛物线对双曲线∴它也有二不同实渐近方向；，∵第4页，课件共45页，创作于2023年2月

定义5.2.2

没有实渐近方向的二次曲线叫做椭圆型的,有一个实渐近方向的二次曲线叫做抛物线型的,有两个实渐近方向的二次曲线叫做双曲型的。即:⑴椭圆型:I2>0；⑵抛物型:I2＝0；⑶双曲型:I2<02.二次曲线的中心与渐近线

定义5.2.3

如果点C是二次曲线的通过它的所有弦的中点(C是二次曲线的对称中心)，那么点C叫做二次曲线的中心。

定理5.2.1

点C(x0

,y0)是二次曲线(1)的中心，其充要条件是：第5页，课件共45页，创作于2023年2月二次曲线(1)的的中心坐标由下方程组决定：如果I2≠0，则(5.2－2)有唯一解，即为唯一中心坐标如果I2＝0，分两种情况：第6页，课件共45页，创作于2023年2月

定义5.2.4

有唯一中心的二次曲线叫中心二次曲线,没有中心的二次曲线叫无心二次曲线,有一条中心直线的二次曲线叫线心二次曲线,无心二次曲线和线心二次曲线统称为非中心二次曲线。二次曲线分类：第7页，课件共45页，创作于2023年2月

渐近线求法：求出中心，再求出渐近方向即可得到渐近线的参数方程。

定义5.2.5

通过二次曲线的中心，而且以渐近方向为方向的直线叫做二次曲线的渐近线。

可见：椭圆型二次曲线没有实渐近线;双曲型二次曲线有二不同实渐近线;而对抛物型二次曲线,若其为无心的,则其没有渐近线,若其为线性的,则由于其渐近方向为，而这正是中心直线的方向，∴它的渐近线即为中心直线。第8页，课件共45页，创作于2023年2月

定理5.2.2

二次曲线的渐近线与这二次曲线或者没有交点，或者整条直线在这二次曲线上成为二次曲线的组成部分。则l与曲线不相交，第9页，课件共45页，创作于2023年2月§5.3二次曲线的直径1.二次曲线的直径

在§5.1中我们已经讨论了直线与二次曲线相交的各种情况，当直线平行于二次曲线的某一非渐近方向时，这条直线与二次曲线总交于两点(两个不同实的，两重合实的或一对共轭虚的),这两点决定了二次曲线的一条弦.现在我们来研究二次曲线上一族平行弦的中点轨迹.第10页，课件共45页，创作于2023年2月

求二次曲线的一族平行弦的中点轨迹.即，解而是平行于方向的弦的中点，设是二次曲线的一个非渐近方向，那么过的弦的方程为它与二次曲线的两交点(即弦的两端点)由下列二次方程第11页，课件共45页，创作于2023年2月(1)从而有(5.3-1)两根与所决定,因为为弦的中点，所以有这就是说平行于方向的弦的中点的坐标满足方程第12页，课件共45页，创作于2023年2月即(5.3-2)或上列方程的一次项系数不能全为零，这时因为若则一条直线.(5.3-3)所以(5.3-3)或(5.3-1)是一个二元一次方程，它是反过来，这与是非渐近方向的假设矛盾，(5.3-1)第13页，课件共45页，创作于2023年2月定理5.3.1

二次曲线的一族平行弦的中点轨迹是一条直线.如果点满足方程(5.3-1)(5.3-1)那么方程(1)中将有绝对值相等而符号相反的两个根，(1)点就是具有方向的弦的中点，因此方程(5.3-1)为一族平行于某一非渐近方向的弦的中点轨迹方程.得到了结论－－定理！下面引进二次曲线直径的概念第14页，课件共45页，创作于2023年2月定义5.3.1

二次曲线的平行弦中点的轨迹叫做这个二次曲线的直径，它所对应的平行弦，叫做共轭于这条直径的共轭弦；而直径也叫做共轭于平行弦方向的直径.有多少条直径?（5.3-4）推论

如果二次曲线的一族平行弦的方向为，那么共轭于这族平行弦的直径方程是第15页，课件共45页，创作于2023年2月中心与非中心二次曲线的直径1.中心二次曲线中心满足:(2)(3)直径方程:所以,直径过中心.所有直径都过中心第16页，课件共45页，创作于2023年2月1.非中心二次曲线非中心二次曲线满足(2)(3)又分两种情形或无心曲线：直径平行渐近方向因直径方程:第17页，课件共45页，创作于2023年2月方向矢量容易验证是渐近方向;因为此时：线心曲线：直径就是其中心直线可以化为因为直径方程第18页，课件共45页，创作于2023年2月或定理5.3.2

中心二次曲线的直径通过曲线中心，无心二次曲线的直径平行于曲线的渐近方向,线心二次曲线的直径只有一条,就是曲线的中心直线.

因此当，即二次曲线为中心曲线时,它的全部直径属于一个中心直线束，这个直线束的中心就是二次曲线的中心；

当，即二次曲线为无心曲线时，直径属于一个平行线束；第19页，课件共45页，创作于2023年2月例1求椭圆或双曲线的直径.解(5.3-1)显然，直径通过曲线的中心根据(5.3-1),共轭于非渐近方向的直径方程是第20页，课件共45页，创作于2023年2月例2解求抛物线的直径.所以共轭于非渐近方向的直径为即所以抛物线的直径平行于它的渐近方向(5.3-1)第21页，课件共45页，创作于2023年2月解直径方程为即例3

求二次曲线的共轭于非渐近方向的直径.因为已知曲线的渐近方向为所以对于非渐近方向一定有第22页，课件共45页，创作于2023年2月2.共轭方向与共轭直径所以有其中(4)我们把二次曲线的与非渐近方向共轭的直径方向叫做非渐近方向的共轭方向，因此曲线的共轭于非渐近方向的直径为第23页，课件共45页，创作于2023年2月因此有所以另外又有，因此得以下结论因为为非渐近方向，第24页，课件共45页，创作于2023年2月这就是说，中心二次曲线的非渐近方向的共轭方向仍然是非渐近方向，而在非中心二次曲线的情形是渐近方向.(5.3-5)非渐近方向当即二次曲线为中心曲线时，；当即二次曲线为非中心曲线时，从(5.3-5)式看出，两个方向与是对称的，因此对中心曲线来说，非渐近方向的共轭方向为，而的共轭方向就是

由(4)得二次曲线的非渐近方向与它的共轭方向之间的关系(4)第25页，课件共45页，创作于2023年2月

中心曲线的一对具有相互共轭方向的直径叫做一对共轭直径.定义5.3.2设代入(5.3-5)，得(5.3-6)这就是一对共轭直径的斜率满足的关系式.(5.3-5)第26页，课件共45页，创作于2023年2月即(5.3-7)有着关系例如椭圆的一对共轭直径的斜率与而双曲线的一对共轭直径的斜率与有着关系(5.3-8)第27页，课件共45页，创作于2023年2月在(5.3-5)中，如果设那么有因此如果对二次曲线的共轭方向从(5.3-5)作代数的推广,那么渐近方向可以看成与自己共轭的方向，从而渐近线也就可以看成与自己共轭的直径.(5.3-5)显然此时为二次曲线的渐近方向.第28页，课件共45页，创作于2023年2月二次曲线的垂线于其共轭弦的直径叫做二次曲线的主直径，主直径的方向与垂直于主直径的方向都叫做二次曲线的主方向.§5.4二次曲线的主直径与主方向定义5.4.1

显然，主直径是二次曲线的对称轴，因此主直径也叫做二次曲线的轴，轴与曲线的交点叫做曲线的顶点.现在我们来求二次曲线(1)的主方向与主直径.第29页，课件共45页，创作于2023年2月，那么(2)或(3)（4）1.如果二次曲线(1)为中心曲线那么与二次曲线(1)的非渐近方向共轭的直径为设直径的方向为根据主方向的定义，成为主方向的条件是它垂直与它的共轭方向在直角坐标系下有，即第30页，课件共45页，创作于2023年2月因此成为中心二次曲线(1)的主方向的条件是(5.4-1)或把它改写成这是一个关于的齐次线性方程组，而不能全为零，所以成立，其中第31页，课件共45页，创作于2023年2月(5.4-3)即那么它的任何直径的方向是它的惟一的渐近方向而垂直于它的方向显然为2.如果二次曲线(1)为非中心二次曲线因此对于中心二次曲线来说，只要由(5.4-3)解出，再代入(5.4-1)就能得到它的主方向.(5.4-２)第32页，课件共45页，创作于2023年2月所以非中心二次曲线(1)的主方向：渐近主方向（5）非渐近主方向（6）正是非中心二次曲线的渐近主方向(5)与非渐近主方向(6).注意到此时方程(5.4-3)的两根为把它代入(5.4-1)所得到的主方向(5.4-1)第33页，课件共45页，创作于2023年2月因此，一个方向成为二次曲线(1)的主方向的条件是(5.4-1)成立，这里的是方程(5.4-2)或(5.4-3)的根.

定义5.4.2

方程(5.4-2)或(5.4-3)叫做二次曲线(1)的特征方程，特征方程的根叫做二次曲线的特征根.总结:1)从二次曲线(1)的特征方程(5.4-3)求出特征根

,把它代入(5.4-1).我们就得到相应的主方向.

2)如果主方向为非渐近方向，那么根据(5.4-1)就能得到共轭于它的主直径.(5.4-3)(5.4-２)第34页，课件共45页，创作于2023年2月证如果二次曲线的特征根全为零,那么得因为特征方程的判别式所以二次曲线的特征根都是实数.定理5.4.2二次曲线的特征根不能全为零.证即与从而得这与二次曲线的定义矛盾，所以二次曲线的特征根不能全为零.定理5.4.1二次曲线的特征根都是实数.第35页，课件共45页，创作于2023年2月由二次曲线(1)的特征根确定的主方向，当时，为二次曲线的非渐近方向；当时，为二次曲线的渐近主方向.定理5.4.3证因为所以由(5.4-1)得又因为不全为零，所以当时，为二次曲线(1)的非渐近主方向;第36页，课件共45页，创作于2023年2月当时，为二次曲线(1)的渐近主方向.定理5.4.4中心二次曲线至少有两条主直径，非中心二次曲线只有一条主直径.证由二次曲线(1)的特征方程(5.4-3)解得两特征根为

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当二次曲线(1)为中心曲线时，.如果特征方程的判别式那么这时的中心曲线为圆(包括点第37页，课件共45页，创作于2023年2月圆和虚圆)，它的特征根为一对二重根.把它代入(5.4-1)或(5.4-1`)，则得到两个恒等式，它被任何方向所满足，所以任何实数方向都是圆的非渐近主方向，从而通过圆心的任何直线都是直径.而且都是圆的主直径.如果特征方程的判别式那么特征根为两个不等的非零实根.将它们分别代入(5.4-1`)得相应的两非渐近主方向为第38页