2.3.1双曲线的标准方程(李用2)

2.3.1双曲线的标准方程2021/5/912例题讲评［例1］已知定点F1(-3，0)，F2(3，0)，坐标平面上满足下列条件之一的动点P的轨迹：其中，是双曲线的有：（3）（5）2021/5/92练一练判断下列方程是否表示双曲线？若是，求出及焦点坐标。答案：2021/5/93例2:如果方程表示双曲线，求m的取值范围.解:方程表示焦点在y轴双曲线时，则m的取值范围_____________.思考：2021/5/94变式二:上述方程表示焦点在y轴的双曲线时，求m的范围和焦点坐标。分析:方程表示双曲线时，则m的取值范围_________________.变式一:2021/5/95例3.如果方程表示双曲线，求m的取值范围.

方程表示双曲线时，则m的取值范围_________________.变式一:返回变式二:2021/5/962021/5/97定义图象方程焦点a.b.c的关系||MF1|-|MF2||=2a（０<2a<|F1F2|）F(±c,0)

F(0,±c)双曲线定义及标准方程2021/5/98定义

方程

焦点a.b.c的关系F（±c，0）F（±c，0）a>0，b>0，但a不一定大于b，c2=a2+b2a>b>0，a2=b2+c2双曲线与椭圆之间的区别与联系||MF1|－|MF2||=2a

|MF1|+|MF2|=2a椭圆双曲线F（0，±c）F（0，±c）2021/5/99例1、已知双曲线两个焦点的坐标为F1(-5,0)、F2(5,0),双曲线上一点P到F1、F2的距离的差

的绝对值等于6，求双曲线的标准方程。基本例题2021/5/910例2：k>1,则关于x、y的方程(1-k)x2+y2=k2-1

所表示的曲线是（)

解：原方程化为：A、焦点在x轴上的椭圆C、焦点在y轴上的椭圆B、焦点在y轴上的双曲线D、焦点在x轴上的双曲线∵k>0∴k2-1>01+k>0∴方程的曲线为焦点在y轴上的双曲线。故选（B）2021/5/911例3.已知圆C1：(x+3)2+y2=1和圆C2：(x-3)2+y2=9，动圆M同时与圆C1及圆C2相外切，求动圆圆心M的轨迹方程．解：设动圆M与圆C1及圆C2分别外切于点A

和B，根据两圆外切的条件，|MC1|-|AC1|=|MA|,|MC2|-|BC2|=|MB|这表明动点M与两定点C2、C1的距离的差是常数2．根据双曲线的定义，动点M的轨迹为双曲线的左支(点M与C2的距离大，与C1的距离小)，这里a=1，c=3，则b2=8，设点M的坐标为(x，y)，其轨迹方程为：2021/5/912变式.已知圆C1：(x-3)2+y2=9和圆外一定点P（-3，0），M是圆上任一点，PM的垂直平分线与C1M交于Q点，求点Q的轨迹方程．2021/5/913例4、已知双曲线的焦点为F1(-5,0),F2(5,0)双曲线上一点到焦点的距离差的绝对值等于6，

（1）双曲线的标准方程为______________

（2）若|ＰF1|=10,则|ＰF2|=_________4或16（3）若|ＰF1|=7，则|ＰF2|=_________132021/5/914变式：已知双曲线的焦点为F1(-5,0),F2(5,0)，双曲线上一点P到F1、F2的距离的差的绝对值等于8，求双曲线的标准方程.∵

2a=8,

c=5∴

a=4,c=5∴

b2=52-42=9所以所求双曲线的标准方程为：根据双曲线的焦点在x轴上，设它的标准方程为：解:2021/5/9152021/5/9162021/5/9172021/5/918例6已知双曲线的焦点在y轴上，并且双曲线上两点P1、P2的坐标分别为（3，）、（9/4,5），求双曲线的标准方程.解：因为双曲线的焦点在y轴上，所以设所求双曲线的标准方程为：

因为点P1、P2在双曲线上，所以点P1、P2的坐标适合方程①.将（3，）、（）分别代入方程①中，得方程组2021/5/919解得：a2=16,b2=9.故所求双曲线的标准方程为：2021/5/9202021/5/921例8一炮弹在某处爆炸，在A处听到爆炸声的时间比在B处晚2s.（1）爆炸点应在什么样的曲线上？（2）已知A、B两地相距800m，并且此时声速为340m/s，求曲线的方程.解（1）由声速及A、B两处听到爆炸声的时间差，可知A、B两处与爆炸点的距离的差，因此爆炸点应位于以A、B为焦点的双曲线上.2021/5/922（2）如图8—14，建立直角坐标系xOy，使A、B两点在x轴上，并且点O与线段AB的中点重合.

设爆炸点P的坐标为（x,y），则即2a=680,a=340.2c=800,c=400b2=c2－a2=44400

所求双曲线的方程为：(x>0).xyoPBA2021/5/923

使A、B两点在x轴上，并且点O与线段AB的中点重合解:由声速及在A地听到炮弹爆炸声比在B地晚2s,可知A地与爆炸点的距离比B地与爆炸点的距离远680m.因为|AB|>680m,所以爆炸点的轨迹是以A、B为焦点的双曲线在靠近B处的一支上.

例9.(课本第54页例)已知A,B两地相距800m,在A地听到炮弹爆炸声比在B地晚2s,且声速为340m/s,求炮弹爆炸点的轨迹方程.如图所示，建立直角坐标系xOy,设爆炸点P的坐标为(x,y)，则即2a=680，a=340xyoPBA因此炮弹爆炸点的轨迹方程为2021/5/924

答:再增设一个观测点C，利用B、C（或A、C）两处测得的爆炸声的时间差，可以求出另一个双曲线的方程，解这两个方程组成的方程组，就能确定爆炸点的准确位置.这是双曲线的一个重要应用.2021/5/925PBACxyo2021/5/9262021/5/927(3)应用(1)定义:||MF1|-|MF2||=2a（0<2a<|F1F2|）课后思考返回小结2021/5/928解:在△ABC中,|BC|=10，故顶点A的轨迹是以B、C为焦点的双曲线的左支又因c=5，a=3，则b=4则顶点A的轨迹方程为2021/5/929课堂练习：2、若椭圆与双曲线

的焦点相同,则a=32021/5/930练习若去掉焦点在X轴上的条件呢?(3)经过点（5，2）与点（10，8）2021/5/9311.过双曲线的焦点且垂直x轴的弦的长度

为