极点与极线背景下的高考试题

极点与极线背景下的高考试题王文彬(江西省抚州市第一中学344000)课程标准》规定的学习内容，也不属于高考考查的范围，但由于会有所反映，自然也会成为高考试题的命题背景.有关极点与极线的基本性质，只有这样，才能“识破”试题中蕴含的有关极点与极线的知识背景，进而把握命题规律.1.从几何角度看极点与极线A定义1如图是不在圆锥曲线上的一点，过点引，连接P两条割线依次交圆锥曲线于四点PF,E,F,G,H交于，则直线为点对应的极线.N交于，连接NEG,M若为圆锥曲线上的点，则过点的切线即为极线.MNPGB由图1同理可知，为点对应的极线，为点所HPPNPNM对应的极线.因而将称为自极三点形.设直线交圆锥曲线MMNPMN图1,定理1在圆锥曲线上时，则点的极线是曲线于点两点，则,B恰为圆锥曲线的两条切线.P在点处的切线；PP(2)当在外时，过点作的两条切线，设其切点分别为，则点的极线是直线(即切点弦所在的直线)；PP,BP(3)当在任作一割线交于在处PP的切线交于点，则点的极线是动点的轨迹.,B,BQP定理2如图2，设点关于圆锥曲线的极线为，过点任QPlP作一割线交于，交于，则①；反之，若有①成,BlQ立，则称点调和分割线段，或称点与关于调和共轭P，P,Q或称点(或点)关于圆锥曲线PQAP的调和共轭点为点(或点).点关于圆锥曲线的调QQ和共轭点是一条直线，这条直线就是点的极线.QPPlP推论1如图2，设点关于圆锥曲线的调和共轭BP图2点为点，则有211②；反之，若有②成立，Q则点与关于调和共轭.PQ可以证明①与②是等价的.事实上，由①有AQBQPAPBPQPAPBPQPQPAPQPB1111PQ(PAPB)2PAPB211.特别地，我们还有推论2如图关于有心圆锥曲线(设其中心为)的调和共轭点为点，连线经过圆锥曲线的中心，则有OPQ，反之若有此式成立，则点与关于调和共轭.OROPOQPQ2证明：设直线与的另一交点为，则RP，化简RQ.反之由此式可推出R即可得OROPOQQ2O，即点与关于调和共轭.RQQP推论3如图圆锥曲线的一条,BRR对称轴上的两点(不在上)，若关于调图3l,B和共轭，过任作的一条割线，交于BP,Q两点，则证明：因关于直线对称，故在上存在.PlQ的对称点.若与重合，则与RP,Q也重合，此时关于对称，有lP,QPQQPAB；QP,Ql若与不重合，则与也不重合，由于关于调和共轭，故为上完全四点形PQQP,BPR,B的对边交点，即在上，故PQQP图4关于直线lAP,AQQ对称，也有.定理3(配极原则)点关于圆锥曲线P的极线经过点点关于的极线经过点；直线关于pQ的极点在直线上直线关于的极点在直线上.QqPpPq由此可知，共线点的极线必共点；共点线的极点必共线.qQp以上未加证明的定理，可参阅有关高等几何教材，如【其中定理1的初等证法可参阅文【2】.2.从代数角度看极点与极线定义2已知圆锥曲线，则称点:AxCy2Dx2EyF022P(x,y)和直线l:AxxCyyD(xx)E(yy)F0是圆锥曲线的0一对极点和极线.00000x事实上，在圆锥曲线方程中，以替换，以x替换，xxx2x02的极线方程.0y以替换，以y替换即可得到点yyyyP(x,y)02020特别地：0(1)对于椭圆x2y，与点对应的极线方程为21P(x,y)02ab20xxyy；10a20b2(2)对于双曲线x2y，与点对应的极线方程为21P(x,y)02ab20xxyy；10a20b2(3)对于抛物线，与点对应的极线方程为为其焦点y2px2P(x,y)00.yyp(xx)00(4)如果圆锥曲线是椭圆x2y，当21P(x,y)F(c2ab200时，极线恰为椭圆的准线；如果圆锥曲线是双曲线x2y，当21ab22时，极线恰为双曲线的准线；如果圆锥曲为其焦点P(x,y)F(c00线是抛物线为其焦点py2px2P(x,y)0F(,0)20线的准线.3.从极点与极线角度看圆锥曲线试题【例江苏卷文理18)在平面直角坐标系xOy图，已知椭圆xy的左右顶点为，右焦点为．设过点221,BF95与此椭圆分别交于点的直线，其中Tt,m),M(x,y),N(x,y)2112m0，，y0．y1(1)设动点满足2P，求点的轨迹；PPFPB422(2)设1，求点的坐标；x，xT3(3)设，求证：直线必过轴上的一定点（其坐标与12t9MNxm分析与解：前面两问比较简单，这里从略.T(t,m)yMxAOKB对于(3)，当时，点坐标为，t9连，设直线与的交点为，根据T(9,m)MN极点与极线的定义可知，点对应的极线经过，MNKTKxmy又点对应的极线方程为91，即T95my，此直线恒过轴上的定点，x1xK5从而直线也恒过定点.MNK【例(2008安徽卷理22)设椭圆x2y过2C:abab22点，且左焦点为.F(2,0)M((1)求椭圆的方程；1C(2)当过点的动直线与椭圆交于两个不同的点P(4,1)l时，在线段上取点，满足CAP,B，证明点总在yAQPBABQQ某定直线上.P分析与解：(1)易求得答案x2y.21Bx42(2)由条件可有，说明点关于P,QA图6圆锥曲线调和共轭.根据定理的轨迹就是点CQ对应的极线，即4x1y，化简得.2xy20P14故点总在定直线2上.Q2xy20【例3】(1995全国卷理26)已知椭圆x2y，直线2C:1xy，是上一点，射线交椭圆于点，又点在上l:1P8且满足RQOPlOP2，当点在上移动时，求点的轨迹方程.,lPQ并说明轨迹是什么曲线.分析与解：由条件知调和共轭，而点可看作是点的极线与直线的交点.2可知点关于圆锥曲线P,QCQ，则与对应的极线方程为POP设P(12t,8t)Pytx(8t)y，化简得12416③Pt)y2Rx又直线的方程为8t，化简得OPyxOt图72t④yxt解由③④联立方程组得txxtt2，消去得，可化为2t2x23y4x6y24ttt22(x(y(不同时为的轨迹是以为中心，221x,y0Q(1,1)5523y长短轴分别为10和15，且长轴平行于Bx23F标原点.A【例4】(2006年全国卷理21)已知抛物线xx4yO2的焦点为，是抛物线上的两动点，且P，过两点分别作抛物线的切线，并设其交点F,B(为.,B图8P(1)证明为定值；(2)设的面积为，写出的表达式，SSf()并求的最小值.S分析与解：(1)显然，点的极线为，故可设点P，三点对应的极线方程分别为P(x,1)，再设A(x,y),B(x,y)2F,,B011，2，，由于三点共线，故相应y1的三极线共点于2(yy)xx2(yy),B,F代入后面两个极线方程得xx1122，将P(x,1)1y0xx2(y1)，两式相减得(xx)x2(yy).101xx2(y1)12012202又，故(x,(xx,yy)02121.x(xx)2(yy)00212(2)设的方程为1，与抛物线的极线方程xx0代入2(yy)y1对比可知直线对应的极点为0，把并P(2k,y1x24y由弦长公式得，所以1.k)SABFPk)4(1k)2222y显然，当时，取最小值.k0BS4【例5】(2005江西卷理22)设抛物线C:yx2的焦点为，动点在直线上运动，lFFP过作抛物线的两条切线l:xy20Ax，且与抛物线分别OP相切于两点.,B,P图9(1)求的重心的轨迹方程；G(2)证明分析与解：(1)设点.，P(x,y),A(x,y),B(x,y)100122与yyxx对比可知直线l:xy20对应的极点为1，为直(,2)P2020线上的动点，则点对应的极线必恒过点1.lP(,2)2ky2设1，可化为k，故直线对应的极22AB:y2k(x)x2，将直线的方程代入抛物线方程得2点为kkP(,2)22k，由此得，xkx20xxk,yyk(xx1)4kk4222的重心的轨迹方程为121212Gkkxxkk22x12，消去即得k332kkkyy2kk42k22222212y3331.y(4xx2)23(2)设，由(1)知2k，又1，4(x,x),B(x,x)2xxk,xx2F(0,)211221212由(1)知kk，即xx，所以1，P(,2)22P(,xx)12FA(x,x)1222411FP(xx11，41.,xx)FB(x,x)222412