兰州大学-数学物理方法期末试卷A

数学物理方法拉普拉斯算子作用于标量场在圆柱坐标系和球坐标系下的表示：1u1uu22；u2z2221u1u1u2ursin22rrrrsinrsin22222l1dl勒让德多项式的微分表示：Pxx122l!dxlll可以fx勒让德-傅里叶级数展开：定义在的区间1,1的至少分段光滑函数xx展开为广义傅里叶级数：aPfxlll0l1Px其中，系数1afx2ll1勒让德多项式的生成函数：rPcos,0rRl1Rl1ll0Rr2Pcos,rR22Rlrl1ll0在球坐标下下的梯度表示,,rur,,r1ure,,1urrur,,eerrrsinr得分10分，每小题5分）rrrkrrrrrr（1）证明：k•rk，其中，为常矢量。xyzrrrr（2）计算矢量场Axyezsinyeyze的旋度。2xyz10分，每小题5分)将下列复数写成代数形式，其中为虚数单位，i（1）i；（2）cos3i10分)fzf00fz已知解析函数的实部ux3xy，且满足，求该解析函数。3210分)fz1将函数以z1为中心的邻域内做洛朗级数展开。z3z20210分)12x2计算实变函数积分，01I2010分)受到阻尼力的作用，设阻尼力与速度成正比，比例系数为，即单位长度的弦所kx,t受阻力。试写出带有阻尼的弦振动方程。fk10分)将定解问题ux,tux,t220xl,t0a20,tx22na0,ux,t,tsint,uxlx0xlux,t,uxt0,0xltt0t0的边界条件齐次化，设,uxtVxtWxt,,，并假设,满足齐次边界条Vxt件，请写出关于,的相应的定解问题。Vxt（注：不必对边条件齐次化后的定解问题进行求解）15分)求解定解问题的解112uu0,01,022ucos4cos,115分)r在均匀电场中放置一个半径为并接地的导体球，求导体球放入电场达到静RE010分，每小题5分）rrrkrrrrr（1）证明：k•rk，其中，为常矢量。rxyzrrrr（2）计算矢量场Axyezsinyeyze的旋度。2xyz（1）证明：rrrrrrrrk•rkekeke•xeyezekxkykzxxyyzzxyzxyzeeekxkykzkxkykzkxkykzrrrxyzxyzxyz3xyzxyzrrrrkekekekxxyyzz2rrreeexyzrAAArArArAAx（2）解：zxyeeezzxyzyzzxxyxyzAAAyxz（3分）rrzye（2分）2xz10分，每小题5分)将下列复数写成代数形式，其中为虚数单位，i（1）；（2）iicos3111i2kik为整数kiee22411（3分）coskisink441122当为偶数时，icosi（1（1（3kisin4422分）分）1122当为奇数时，icosikisin44221122i2iei2i（2）ieie2ie333332分）1ecosisinecosisin222333311313eeeeieeeei222222222224413ch2ish2（2分）2210分)fzf00。fz已知解析函数的实部ux3xy32ux,yvx,yux,yvx,y，（2分）（2分）（2分）xyyxvx,yux,y所以有3x3y22yxvx,yux,yy6xx,y63x3yd3xyy即有2223所以,3（2分）（1分）（1分）vxyxyyc23由条件000fcfzx所以有33xyyiz3223310分)1fz将函数以z1为中心的邻域内做洛朗级数展开。0z23z2111fz解：（3分）z1z2z23z2z1z1111z1z1k1（7kz11z1z1k0k0z1z11kk110分)1x2计算实变函数积分，01I201解：设zeix，则有,zzx12（2分）dziiz则原积分等于1zz12dz1zzz1z1（3分）1被积函数有两个极点,z01显然在单位圆外，z在单位圆内，该点的留数为0（2分）iiResfzlimz1z10z2z（2分）i所以该定积分等于iifz11022（1分）10分)受到阻尼力的作用，设阻尼力与速度成正比，比例系数为，即单位长度的弦所kx,t受阻力fk。试写出带有阻尼的弦振动方程。解：建立坐标系，如图所示取弦的平衡位置为轴，且令端点坐标为0与．xlxx设(,)是坐标为的弦上一点在t时刻的(横向)位移．在弦上隔离出长为的dxuxtx它在两个端点及处受到张力的作用．因为弦是完全柔软的，故只受到切xxdx向应力张力的作用，而没有法向应力。因此有：TuT)T)kgtu2t2xxTcos)Tcos)0.（4xdxx分）xdx小振动近似：与两点间任一时刻横向位移之差(,)(,)与相xuxdxtuxtdxu比是一个小量，即1:xux在小振动近似下，sintancos1uu弦的横振动()()xx1x1x这样，就有T)T)0即(T)T)(3xdxxxdxx分)于是，uu()uuuukgt22T()kgTt2xxtxxx2uuu22即kTg（3t2tx2分）其中是弦的线密度(单位长度的质量)．Tk定义：，bauuu22则有gba2ttx22一般情况下弦振动的加速度远远大于重力加速度，方程简化为guubatu2202tx2210分)将定解问题ux,tux,t220xl,t0a20,tx22na0,ux,t,tsint,uxlx0xlux,t,uxt0,0xltt0t0u,tVx,tWx,tV,t的边界条件齐次化，设，并假设满足齐次边界条件，请写出关于V,t的相应的定解问题。（注：不必对边条件齐次化后的定解问题进行求解）u,tVx,tWx,tVx,t,t解：设，并令Vxx0xlWx,tWx,tt,则有x0xltt)W,tt)xBt)B(t)0设，可得，ltWx,tx所以有l（5分）tWx,tx把l带入原有的定解方程中可得关于V,t的定解问题为Vx,tVx,tsin222t0xl,t0a2x,txl220,Vx,t,t0,Vxx0t0xlVx,t0xlVx,t0,xtl（5t0分15分)求解定解问题的解112uu0,01,022ucos4cos,1,，并且代入方程可得解：设uR'''''2RRR上式左右两边要相等只能等于同一常数，设为则有''0'''0（4分）RRR2由自然周期边条件0解得，本征值2，本征函数mCmDcossinmmm其中0,1,2,3,Lm（3分）'''0则有RRmR220'''0RR当m2解得RElnF00000RE0（2分）RF00E0'''RRmR0RFm当m22mmmm00FmR（2分）REmmm综上所述,msinmbcosuaam0mmm1其中aCF，aCE，bDE（1分）000mmmmmm由边界条件ucos1cossincos4cosa0ambmmmm1m解得0,0,4，b0，a1,a4（2分）（1分）a0am14m所以解得有,cos4cos4u415分)r在均匀电场中放置一个半径为并接地的导体球，求导体球放入电场达到静RE0r解：以球心为原点，方向为极轴方向取球坐标系，显然此问题关于极轴是E0对称的，当导体达到静电平衡时，导体是个等势体，导体表面是个等势面，为了考虑问题的方面，选取导体为电势零点，则有,ur0，根据题意可知在无穷远rR的处电势为Ercos0球外各点没有电荷，满足拉普拉斯方程u(r,)02所以有定解问题为：u(r,)0rR2(r,)0urRu(r,)cosErr0r（3分）由分离变量法，由于是轴对称问题，可令(,)())urRr(r,)ArBrP(cos)（3u(l1)）lllll0分）由边界条件（3）和根据勒让德函数P(x)为基的函数的广义傅立叶级数展开，l对比系数可得：EA,01A1l0l（3分）方程的解（4）变为：(,)urcosBr(l1)P(cos)ErP0）1lll0由边界条件（2）可知：cosBR(l1)P(cos)0ERP01lll0德函数P(x)为基的函数的广义傅立叶级数展开，对比系数可得：