上海市六校联考2017届高三数学模拟试卷(2月份)-Word版含解析

2017年上海市六校联考高考数学模拟试卷（2月份）一、填空题（共12小题，满分54分。第1~6题，每小题4分；第7~12题，每小题得5分。）1．=．2．已知角α的终边过点（﹣2，3），则sin2α=．3．某圆锥底面半径为4，高为3，则此圆锥的侧面积为．4．若F1、F2是双曲线﹣y2=1的两个焦点，点P（8，y0）在双曲线上，则△F1PF2的面积为．5．已知关于x，y的二元一次方程组无解，则a=．6．一个总体分为A，B两层，其个体数之比为4：1，用分层抽样方法从总体中抽取一个容量为10的样本，已知B层中甲、乙都被抽到的概率为，则总体中的个体数是．7．在5×5的表格填上数字，设在第i行第j列所组成的数字为aij，aij∈{0，1}，aij=aji（1≤i，j≤5），则表格中共有5个1的填表方法种数为．8．设f﹣1（x）为f（x）=﹣cosx+，x∈（0，π]的反函数，则y=f（x）+f﹣1（x）的最大值为．9．已知数列{an}的首项a1=2，数列{bn}为等比数列，且bn=，又b10b11=2017，则a21=．10．已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A，ω，φ是常数，A＞0，ω＞0）．若f（x）在区间[，]上具有单调性，且f（）=f（）=﹣f（）．则f（x）的最小正周期为．11．定义min{a，b}=，已知实数x，y满足|x|≤2，|y|≤2，设z=min{x+y，2x﹣y}，则z的取值范围为．12．已知向量、满足||=1，||=2，若对任意单位向量，均有|•|+|•|≤，则当取最小值时，向量与的夹角为．二、选择题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．已知a，b，c满足c＜a＜b，且ac＜0，那么下列各式中一定成立（）A．ac（a﹣c）＞0 B．c（b﹣a）＜0 C．cb2＜ab2 D．ab＞ac14．二项式（2x3﹣）7展开式中的常数项为（）A．﹣14 B．﹣7 C．14 D．715．若分别为P（1，0）、Q（2，0），R（4，0）、S（8，0）四个点各作一条直线，所得四条直线恰围成正方形，则该正方形的面积不可能为（）A． B． C． D．16．阅读材料：空间直角坐标系O﹣xyz中，过点P（x0，y0，z0）且一个法向量为=（a，b，c）的平面α的方程为a（x﹣x0）+b（y﹣y0）+c（z﹣z0）=0；过点P（x0，y0，z0）且个方向向量为=（u，v，w）（uvw≠0）的直线l的方程为==，阅读上面材料，并解决下面问题：已知平面α的方程为3x﹣5y+z﹣7=0，直线l是两个平面x﹣3y+7=0与4y+2z+1=0的交线，则直线l与平面α所成角的大小为（）A．arcsin B．arcsin C．arcsin D．arcsin三、解答题（共5小题，满分76分）17．在△ABC中，角A、B、C的对边分别a、b、c，已知a+b=5，c=，且sin22C+sin2C•sinC+cos2C=1．（Ⅰ）求角C的大小；（Ⅱ）求△ABC的面积．18．已知关于x的方程x2+4x+p=0（p∈R）的两个根是x1，x2．（1）若x1为虚数且|x1|=5，求实数p的值；（2）若|x1﹣x2|=2，求实数p的值．19．关于函数的对称性有如下结论：对于给定的函数y=f（x），x∈D，如果对于任意的x∈D都有f（a+x）+f（a﹣x）=2b成立（a，b为常数），则函数f（x）关于点（a，b）对称．（1）用题设中的结论证明：函数f（x）=关于点（3，﹣2）；（2）若函数f（x）既关于点（2，0）对称，又关于点（﹣2，1）对称，且当x∈（2，6）时，f（x）=2x+3x，求：①f（﹣5）的值；②当x∈（8k﹣2，8k+2），k∈Z时，f（x）的表达式．20．已知数列{an}满足其中p，q∈R．（1）若数列前四项a1，a2，a3，a4依次成等差数列，求p，q的值；（2）若q=0，且数列{an}为等比数列，求p的值；（3）若p=1，且a5是数列{an}的最小项，求q的取值范围．21．已知椭圆Γ的左、右焦点分别为F1（﹣1，0）、F2（1，0）．经过点F1且倾斜角为θ（0＜θ＜π）的直线l与椭圆Γ交于A、B两点（其中点A在x轴上方），△ABF2的周长为8．（1）求椭圆Γ的标准方程；（2）如图，把平面xOy沿x轴折起来，使y轴正半轴和x轴确定的半平面，与y负半轴和x轴所确定的半平面互相垂直．①若θ=，求异面直线AF1和BF2所成角的大小；②若折叠后△ABF2的周长为，求θ的大小．

2017年上海市六校联考高考数学模拟试卷（2月份）一、填空题（共12小题，满分54分。第1~6题，每小题4分；第7~12题，每小题得5分。）1．=．【考点】极限及其运算．【分析】利用洛必达法则对所求分式变形求极限值．【解答】解：原式===．故答案为：2．已知角α的终边过点（﹣2，3），则sin2α=．【考点】二倍角的正弦；任意角的三角函数的定义．【分析】根据定义求出sinα，和cosα的值，利用二倍角公式可得sin2α的值．【解答】解：角α的终边过点（﹣2，3），根据三角函数的定义可知：sinα=，cosα=，则sin2α=2sinαcosα==，故答案为：．3．某圆锥底面半径为4，高为3，则此圆锥的侧面积为20π．【考点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．【分析】首先根据底面半径和高利用勾股定理求得母线长，然后直接利用圆锥的侧面积公式代入求出即可．【解答】解：∵圆锥的底面半径为4，高为3，∴母线长为5，∴圆锥的侧面积为：πrl=π×4×5=20π，故答案为：20π．4．若F1、F2是双曲线﹣y2=1的两个焦点，点P（8，y0）在双曲线上，则△F1PF2的面积为5．【考点】双曲线的简单性质．【分析】根据题意，由双曲线的标准方程可得其焦点坐标，进而可得|F1F2|的值，又由点P（8，y0）在双曲线上，将P的坐标代入双曲线的方程，可得y0的值，进而由三角形面积公式计算可得答案．【解答】解：根据题意，双曲线的方程为：﹣y2=1，其焦点在x轴上，且c==，则其焦点坐标为（±，0），则|F1F2|=2，又由点P（8，y0）在双曲线上，则有﹣y02=1，解可得y0=±，故△F1PF2的面积S=×|y0|×|F1F2|=5，故答案为：5．5．已知关于x，y的二元一次方程组无解，则a=﹣2．【考点】根的存在性及根的个数判断．【分析】若关于x，y的二元一次方程组无解，则直线ax+4y﹣（a+2）=0与x+ay﹣a=0平行，即，解得答案．【解答】解：若关于x，y的二元一次方程组无解，则直线ax+4y﹣（a+2）=0与x+ay﹣a=0平行，即，解得：a=﹣2，故答案为：﹣26．一个总体分为A，B两层，其个体数之比为4：1，用分层抽样方法从总体中抽取一个容量为10的样本，已知B层中甲、乙都被抽到的概率为，则总体中的个体数是40．【考点】分层抽样方法；等可能事件的概率．【分析】设出B层中的个体数，根据条件中所给的B层中甲、乙都被抽到的概率值，写出甲和乙都被抽到的概率，使它等于，算出n的值，由已知A和B之间的比值，得到总体中的个体数．【解答】解：设B层中有n个个体，∵B层中甲、乙都被抽到的概率为，∴=，∴n2﹣n﹣56=0，∴n=﹣7（舍去），n=8，∵总体分为A，B两层，其个体数之比为4：1∴共有个体（4+1）×8=40故答案为：40．7．在5×5的表格填上数字，设在第i行第j列所组成的数字为aij，aij∈{0，1}，aij=aji（1≤i，j≤5），则表格中共有5个1的填表方法种数为326．【考点】排列、组合的实际应用．【分析】根据题意，按数字1出现的位置分三种情况讨论，①、5个1都出现在i=j即a11、a22、a33、a44、a55这5个表格中，②、有1个1出现在a11、a22、a33、a44、a55这5个表格中，剩余4个1在其他位置，③、有3个1出现在a11、a22、a33、a44、a55这5个表格中，剩余2个1在其他位置，分别求出每种情况下填表方法的数目，进而由分类计数原理计算可得答案．【解答】解：根据题意，在5×5的表格中，有5个i=j的表格，即a11、a22、a33、a44、a55，10个i＞j的表格，10个i＜j的表格；要求5×5的表格种恰有5个1，则对1出现的位置分3种情况讨论：①、5个1都出现在i=j即a11、a22、a33、a44、a55这5个表格中，有1种情况；②、有1个1出现在a11、a22、a33、a44、a55这5个表格中，剩余4个1在其他位置，需要先在a11、a22、a33、a44、a55这5个表格中，选出1个，有C51种情况，在剩下的10个aij（i＞j）表格中，任选2个，有C102种情况，则有C51×C102=225种填表方法；③、有3个1出现在a11、a22、a33、a44、a55这5个表格中，剩余2个1在其他位置，需要先在a11、a22、a33、a44、a55这5个表格中，选出3个，有C53种情况，在剩下的10个aij（i＞j）表格中，任选1个，有C101种情况，则有C53×C101=100种填表方法；则一共有1+225+100=326种填表方法；故答案为：326．8．设f﹣1（x）为f（x）=﹣cosx+，x∈（0，π]的反函数，则y=f（x）+f﹣1（x）的最大值为．【考点】反函数．【分析】根据f（x）是（0，π]上的单调增函数，且f（x）与f﹣1（x）单调性相同，得出y=f（x）+f﹣1（x）的定义域是（a，]，计算y=f（x）+f﹣1（x）的最大值为f（）+f﹣1（）．【解答】解：∵f（x）=﹣cosx+在x∈（0，π]上单调递增，且f﹣1（x）为f（x）=﹣cosx+在x∈（0，π]的反函数，又f（x）与f﹣1（x）的单调性相同，∴当x=π时，f（x）的最大值是f（π）=﹣cosπ+=；且当x=时，f（x）=﹣cos+=，∴y=f（x）+f﹣1（x）的定义域是（a，]，且x=时，f﹣1（）=π；∴y=f（x）+f﹣1（x）的最大值为f（）+f﹣1（）=+π=．故答案为：．9．已知数列{an}的首项a1=2，数列{bn}为等比数列，且bn=，又b10b11=2017，则a21=4034．【考点】数列递推式．【分析】由已知结合bn=，得到a21=b1b2…b20，结合b10b11=2017，及等比数列的性质求得a21．【解答】解：由bn=，且a1=2，得b1=．b2=，a3=a2b2=2b1b2．b3=，a4=a3b3=2b1b2b3．…an=2b1b2…bn﹣1．∴a21=2b1b2…b20．∵数列{bn}为等比数列，∴a21=2（b1b20）（b2b19）…（b10b11）=2=4034．故答案为：4034．10．已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A，ω，φ是常数，A＞0，ω＞0）．若f（x）在区间[，]上具有单调性，且f（）=f（）=﹣f（）．则f（x）的最小正周期为．【考点】正弦函数的图象．【分析】f（）=f（）求出函数的一条对称轴，结合f（x）在区间[，]上具有单调性，且f（）=﹣f（）．可得函数的一个对称中心，利用对称中心与对称轴距离的最小值为周期，则周期可求【解答】解：由f（）=f（）可知函数f（x）的一条对称轴为x==，又f（）=﹣f（），则f（x）有对称中心（，0），由于f（x）在区间[，]上具有单调性，则≤T所以T≥π，从而T=4（）=．故答案为：．11．定义min{a，b}=，已知实数x，y满足|x|≤2，|y|≤2，设z=min{x+y，2x﹣y}，则z的取值范围为[﹣6，3]．【考点】简单线性规划．【分析】由约束条件作出可行域，结合x+y与2x﹣y的大小关系分别标出不同区域，再求出x+y的最大值与2x﹣y的最小值得答案．【解答】解：由|x|≤2，|y|≤2作出可行域如图，由图可知，最大时过点（2，1），此时x+y=3；最小时过点（﹣2，2）此时2x﹣y=﹣6．∴z=min{x+y，2x﹣y}，的取值范围为[﹣6，3]．故答案为：[﹣6，3]．12．已知向量、满足||=1，||=2，若对任意单位向量，均有|•|+|•|≤，则当取最小值时，向量与的夹角为arccos（﹣）．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】由对任意单位向量，均有|•|+|•|≤，可得|•+•|≤，即|+|≤，|﹣|≤，⇒|+|2≤6，|﹣|2≤6，求得取最小值，再求向量与的夹角．【解答】解：∵|•+•|≤|•|+|•|≤，且对任意单位向量，均有|•|+|•|≤，则|•+•|≤，⇒|+|≤，|﹣|≤，⇒|+|2≤6，|﹣|2≤6，⇒．取最小值为﹣，向量与的夹角为θ，cos，向量与的夹角为arccos（﹣），故答案为：arccos（﹣）二、选择题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．已知a，b，c满足c＜a＜b，且ac＜0，那么下列各式中一定成立（）A．ac（a﹣c）＞0 B．c（b﹣a）＜0 C．cb2＜ab2 D．ab＞ac【考点】不等式的基本性质．【分析】c＜a＜b，且ac＜0，可得c＜0＜a＜b．利用不等式的基本性质即可得出．【解答】解：∵c＜a＜b，且ac＜0，∴c＜0＜a＜b．∴ab＞0＞ac．cb2＜ab2，故选：C或D．14．二项式（2x3﹣）7展开式中的常数项为（）A．﹣14 B．﹣7 C．14 D．7【考点】二项式系数的性质．【分析】利用通项公式即可得出．【解答】解：（2x3﹣）7展开式中的通项公式：Tr+1=（2x3）7﹣r=（﹣1）r27﹣r．令21﹣=0，解得r=6．∴常数项T7==14．故选：C．15．若分别为P（1，0）、Q（2，0），R（4，0）、S（8，0）四个点各作一条直线，所得四条直线恰围成正方形，则该正方形的面积不可能为（）A． B． C． D．【考点】直线的两点式方程．【分析】根据题意画出图形，由图形和同角三角函数的基本关系求出正方形面积．【解答】解：如果过点P（1，0），Q（2，0），R（4，0），S（8，0）作四条直线构成一个正方形，过P点的必须和过Q，R，S的其中一条直线平行和另外两条垂直，假设过P点和Q点的直线相互平行时，如图，设直线PC与x轴正方向的夹角为θ，再过Q作它的平行线QD，过R、S作它们的垂线RB、SC，过点A作x轴的平行线分别角PC、SC于点M、N，则AB=AMsinθ=PQsinθ=sinθ，AD=ANcosθ=RScosθ=4cosθ，因为AB=AD，所以sinθ=4cosθ，则tanθ=4，所以正方形ABCD的面积S=AB•AD=4sinθcosθ===，同理可求，当直线PC和过R的直线平行时正方形ABCD的面积S为，当直线PC和过S点的直线平行时正方形ABCD的面积S为，故选：C．16．阅读材料：空间直角坐标系O﹣xyz中，过点P（x0，y0，z0）且一个法向量为=（a，b，c）的平面α的方程为a（x﹣x0）+b（y﹣y0）+c（z﹣z0）=0；过点P（x0，y0，z0）且个方向向量为=（u，v，w）（uvw≠0）的直线l的方程为==，阅读上面材料，并解决下面问题：已知平面α的方程为3x﹣5y+z﹣7=0，直线l是两个平面x﹣3y+7=0与4y+2z+1=0的交线，则直线l与平面α所成角的大小为（）A．arcsin B．arcsin C．arcsin D．arcsin【考点】直线与平面所成的角．【分析】求出直线l的方向向量，平面α的法向量即可．【解答】解：∵平面α的方程为3x﹣5y+z﹣7=0，∴平面α的法向量可取平面x﹣3y+7=0的法向量为，平面4y+2z+1=0的法向量为，设两平面的交线的方向向量为，由取，则直线l与平面α所成角的大小为θ，sinθ=|cos|=．∴，故选A．三、解答题（共5小题，满分76分）17．在△ABC中，角A、B、C的对边分别a、b、c，已知a+b=5，c=，且sin22C+sin2C•sinC+cos2C=1．（Ⅰ）求角C的大小；（Ⅱ）求△ABC的面积．【考点】正弦定理；余弦定理．【分析】（Ⅰ）通过二倍角公式化简已知表达式，求出cosC的值，然后在三角形中求角C的大小；（Ⅱ）结合（Ⅰ）通过余弦定理，求出ab的值，然后直接求△ABC的面积．求角C的大小．【解答】解：（Ⅰ）∵sin22C+sin2C•sinC+cos2C=1，∴4sin2Ccos2C+2sin2CcosC+1﹣2sin2C=1，整理得：2cos2C+cosC﹣1=0，即cosC=，则C=60°；（Ⅱ）由余弦定理可知：cosC===，∴=，即ab=6，∴S△ABC=absinC=．18．已知关于x的方程x2+4x+p=0（p∈R）的两个根是x1，x2．（1）若x1为虚数且|x1|=5，求实数p的值；（2）若|x1﹣x2|=2，求实数p的值．【考点】复数代数形式的混合运算．【分析】（1）根据复数的定义可得p=x1x2=x1=|x1|2=25，解得即可，（2）根据判别式分类讨论，即可求出p的值．【解答】解：（1）∵△＜0，∴p＞4，又x1x2=p，x1x2=x1=|x1|2=25，∴p=25，（2）x1+x2=﹣4，x1x2=p，若方程的判别式△≥0，即p≤4时，则方程的有两个实数根x1，x2．则|x1﹣x2|2=（x1+x2）2﹣4x1x2=16﹣4p=4，解得p=3，若方程的判别式△＜0，即p＞4时，则方程有一对共轭虚根x1，x2则|x1﹣x2|=|i|==2，解得p=519．关于函数的对称性有如下结论：对于给定的函数y=f（x），x∈D，如果对于任意的x∈D都有f（a+x）+f（a﹣x）=2b成立（a，b为常数），则函数f（x）关于点（a，b）对称．（1）用题设中的结论证明：函数f（x）=关于点（3，﹣2）；（2）若函数f（x）既关于点（2，0）对称，又关于点（﹣2，1）对称，且当x∈（2，6）时，f（x）=2x+3x，求：①f（﹣5）的值；②当x∈（8k﹣2，8k+2），k∈Z时，f（x）的表达式．【考点】抽象函数及其应用．【分析】（1）根据题设中的结论证明即可，（2）由题意可得f（x+8）=f（x）﹣2，①代值计算即可，②由f（x）=f（x﹣8）﹣2=f（x﹣8×2）﹣2×2=f（x﹣8×3）﹣2×3=…=f（x﹣8k）﹣2k，然后代值计算即可．【解答】解：（1）f（x）=的定义域为{x|x≠3}，对任意x≠3有f（3﹣x）+f（3﹣x）=（﹣2﹣）+（﹣2﹣）=﹣4，∴函数f（x）=关于点（3，﹣2）；（2）函数f（x）关于点（2，0）对称，∴f（2+x）+f（2﹣x）=0，即f（x）+f（4﹣x）=0，又关于点（﹣2，1）对称，∴f（﹣2+x）+f（﹣2﹣x）=2，即f（x）+f（﹣4﹣x）=2，∴f（﹣4﹣x）=2+f（4﹣x），即f（x+8）=f（x）﹣2，①f（﹣5）=f（3）+2=23+3×3+2=19，②x∈（8k﹣2，8k+2），x﹣8k∈（﹣2，2），4﹣（x﹣8k）∈（2，6），∴f（x）=f（x﹣8）﹣2=f（x﹣8×2）﹣2×2=f（x﹣8×3）﹣2×3=…=f（x﹣8k）﹣2k，又由f（t）=﹣f（4﹣t），∴f（x）=f（x﹣8k）﹣2k=﹣f[4﹣（x﹣8k）]﹣2k=﹣[24﹣（x﹣8k）+3（4﹣（x﹣8k））]﹣2k，∴即当x∈（8k﹣2，8k+2），k∈Z时，f（x）=﹣24﹣x+8k+3x﹣26k﹣1220．已知数列{an}满足其中p，q∈R．（1）若数列前四项a1，a2，a3，a4依次成等差数列，求p，q的值；（2）若q=0，且数列{an}为等比数列，求p的值；（3）若p=1，且a5是数列{an}的最小项，求q的取值范围．【考点】数列递推式；等比关系的确定．【分析】（1）由已知递推式a2﹣a1=2p﹣q，a3﹣a2=4p﹣2q，a4﹣a3=8p﹣3q，再由等差数列的定义列等式求得p=q=0；（2）q=0，则，由等比数列的性质列式求得p=0或p=．然后分类求得数列{an}的通项公式；（3）p=1时，，可得当n≥6时，an﹣a5≥0恒成立，利用作差法求得满足条件的q的最大值；当n≤4时，需满足an﹣a5≤0恒成立，对n=1、2、3、4验证求得q的最小值，从而可得q的取值范围．【解答】解：（1）由已知递推式可得，a1=1，a2=1+2p﹣q；a2﹣a1=2p﹣q，a3﹣a2=4p﹣2q，a4﹣a3=8p﹣3q．由等差数列知，a4﹣a3=a3﹣a2=a2﹣a1，得p=q=0；（2）q=0，则，由，得p=0或p=．当p=0时，an+1=an，an=1，满足题意；当p=时，由累加法得，满足题意；（3）p=1时，，当n≥6时，由an﹣a5≥0恒成立得，q≤恒成立．设，只需求出cn的最小值．．当n≥7时，n2﹣3n﹣20=n（n﹣3）﹣20≥8＞0，有cn+1＞cn；当n=6时，直接验证c7＞c6；故c6为最小值，其值为，∴q；当n≤4时，需满足an﹣a5≤0恒成立，对n=1、2、3、4验证，n=1，q≥3；n=2，q；n=3，q；n=4，q≥4．综上，4．21．已知椭圆Γ的左、右焦点分别为F1（﹣1，0）、F2（1，0）．经过点F1且倾斜角为θ（0＜θ＜π）的直线l与椭圆Γ交于A、B两点（其中点A在x轴上方），△ABF2的周长为8．（1）求椭圆Γ的标准方程；（2）如图，把平面xOy沿x轴折起来，使y轴正半轴和x轴确定的半平面，与y负半轴和x轴所确定的半平面互相垂直．①若θ=，求异面直线AF1和BF2所成角的大小；②若折叠后△ABF2的周长为，求θ的大小．【考点】直线与椭圆的位置关系．【分析】（1）由椭圆的定义可知：4a=8，则a=2，c=1，b2=a2﹣c2=3，即可求得椭圆Γ的标准方程；（2）①当θ=，求得直线方程，代入椭圆方程，求得