武汉大学齐民友高数上册复习考试

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2022年12月15日

第一章函数与极限

一、函数

1．熟悉一些常用函数和初等函数。2．求函数的自然定义域。

二、极限

1．极限的计算

（1）擅长恒等化简和极限的四则运算法则（2）常用的计算办法（a）常用极限

0lim=∞→na

n，)1(0lim=∞→aann，enfnfn=??

????+∞→)

()(11lim

（∞→)(nf），[]

engngn=+∞

→)

(1

)(1lim（0)(→ng），)

()

(sinlim

nfnfn∞→=1（0)(→nf）。

（b）一些常用的处理办法(i)分子分母都除以n的最高次幂。例如：

3

562

366742nnnnnn-+++=

3

4311611714

2n

nnn-+++，

3

562346742nnnnnn-+++=

3

4321161171412

n

nnnn-+++

4

3

43252

3n

nnnn++++=

433

21512113

1n

nnn++++(ii)根号差的消退。

例如：

)(nf－)(ng=

)

()()()(ngnfngnf+-，

3

)

()()(ngnfnh-=

(

)(

)

(

)(

)(

)(

)

(

)(

)

[][]2

35

3

4

3

3

3

2

2

3

3

3

4

5

)()()()

()

()()

()

()

()()

()()(ngnfngngnfngnfngnfngnfnfnh-??

?

??

?

++

++

+

(iii)指数函数的极限。

)()(limnvnnu∞

→=[]

)

(lim)(limnvnnnu∞

→∞

→(都存在）)(lim,0)(limnvnunn∞

→∞

→>。

(iv)利用指数函数的极限。当)(limnfn∞

→=1时，

[]

)

()(limngnnf∞

→=[]

[])(1)(1

)(1

1)(1limngnfnfnnf--∞

→-+=[][])

(1)(1)(1

1)(1limngnfnfnnf--∞→?

?????-+

=[])

(1)(limngnfne

-∞

→

(v)转化为函数的极限可以用洛必达法则。

)(limnfn∞

→=)(limxfx+∞

→

(vi)利用两边夹原理。

把)(nf分离缩小、扩大一点点得容易的)(ng、)(nh，)(ng≤)(nf≤)(nh，

使简单求得Anhngnn==∞

→∞

→)(lim)(lim，则Anfn=∞

→)(lim。（c）当nx用递归式给出时

（i）用数学归纳法证实{}nx是单调有界的，从而Axnn=∞→lim存在；

（ii）对nx的递归式两边取极限得关于A的方程，再解出A。（d）记得一些等价关系当)(limnfn∞

→=0时，

)(sinnf～)(nf，)(tannf～)(nf，)(arcsinnf～)(nf，)(arctannf～)(nf

1－)(cosnf～[]2)(2

1nf，[]anf)(1+～[])(nfa，1)(-nfe～)(nf，

[])(1lnnf+～)(nf

（3）函数极限的计算

（a）（2）中常用的计算办法对函数的六种极限都仍然适用。（b）假如已知)(xf在x0点延续，则)(lim0

xfxx→=)(0xf。

（c）记得一些等价关系。（lim表示六种极限之一）当)(limxf=0时，

)(sinxf～)(xf，)(tanxf～)(xf，)(arcsinxf～)(xf，)(arctanxf～)(xf

1－)(cosxf～[]2)(2

1

xf，[]axf)(1+～[])(xfa，1)(-xfe～)(xf，

[])(1lnxf+～)(xf

（d）（lim表示六种极限之一）当)(limxf=1时，

[]

)

()(limxgxf=[][])(1)(1

)(1

1)(1limxgxfxfxf+=[][])

(1)(1)(1

1)(1limxgxfxfxf--?

?????-+

=[])

(1)(limxgxfe

-

（e）利用两边夹原理。

把)(xf分离缩小、扩大一点点得容易的)(xg、)(xh，

)(xg≤)(xf≤)(xh，

使简单求得Axhxg==)(lim)(lim，则Axf=)(lim。（f）不定式的极限（lim表示六种极限之一）(i)当极限是0

或

∞

∞

型的不定式时，可用洛必达法则：)()(lim

xgxf=)

()

(limxgxf''（洛必达法则可以反复应用，但每次应用都要先检查类型。）(ii)对于0∞型的不定式，先变形，再用洛必达法则。

)()(limxgxf=)(1)(lim

xfxg=[]'??????')(1)(limxfxg=)(1)

(limxgxf=[]'?

?

?

???')(1)(limxgxf(iii)对于00、∞1、∞0型的不定式。

)()(limxgxf=f(x)g(x)elnlim=)(ln)(limxfxge=g(x)

1)

(ln

limxfe=[]'??

????'

g(x)1)(ln

limxfe

(iv)对于∞－∞型的不定式，先计算成一个式子再计算。（g）假如0)

()

(lim

≠=cxgxf，则0)(lim0)(lim=?=xfxg。2．极限的证实

（1）证实)(limnfn∞→=A的格式

证·0>?ε，

（打草稿从不等式ε（须要时将Anf-)(放大一

点点得一个容易的>)(ngAnf-)(，再从ε））（*）

取)(εNN=。当Nn>时，

（由Nn>正确推出ε?ε，

（打草稿从不等式ε)(xgAxf-)(，再从ε='')()()iii()(0)(0)()ii()(0)(0)()i()(的极值点。不是的左右附近同号，则

在若的微小值点。是，则的右边附近，在的左边附近若在的极大值点。是，则的右边附近，在的左边附近若在的某去心领域内可导。点延续，在在设xfxxxfxfxxfxxfxxfxxfxxfxxxxfiiiiiiiiii

用)(ixf''推断：??

?

??

>''<''='''的微小值点。

是，则假如的极大值点。是，则假如。存在且设)(0)()ii()(0)()i(0)()(xfxxfxfxxfxfxfiiiiii

（c）须要时求出极值。2．

求最值

（1）普通状况（a）最值点的范围

)(xf最值点的范围：所有导数不存在的点和)(xf'=0的所有解以及端点。

（b）在[]ba,上求最值的步骤

（i）求出)(xf'不存在的所有点：mxxx,,,21；求出)(xf'=0的所有解：nttt,,,21。

（ii）)}(,),(),(,),(),(),(max{11maxnmtftfxfxfbfaff=

)}(,),(),(,),(),(),(min{11minnmtftfxfxfbfaff=